Реферат: Расчет дифференциального уравнения первого, второго и третьего порядка методом Эйлера

<img src="/cache/referats/3320/image001.gif" v:shapes="_x0000_s1241"> Міністерство освіти України ДАЛПУ Кафедра автоматизації

технологічнихпроцесів і приладобудування

КУРСОВА РОБОТА

з курсу“Математичне моделювання наЕОМ”

на тему“Розв’язок диференціальногорівняння

виду апу(п)+ап-1у(п-1)+…+а1у1+а0у=кх при заданих

початковихумовах з автоматичним вибором кроку

методом Ейлера”

Виконаластудентка групи БА-4-97

Богданова Ольга Олександрівна

Холоденко Вероніка Миколаївна

Перевірила ЗаргунВалентина Василівна

1998

<img src="/cache/referats/3320/image003.jpg" v:shapes="_x0000_s1235">
Блок-схема алгоритма

Блок-схема алгоритма

<img src="/cache/referats/3320/image004.gif" v:shapes="_x0000_s1060">начало

<img src="/cache/referats/3320/image006.gif" v:shapes="_x0000_s1061">у/=f(x,y)

y(x0)=y0

x0,x0+a

h, h/2

k:=0

<img src="/cache/referats/3320/image011.gif" v:shapes="_x0000_s1070"> xk+1/2:=xk+h/2

yk+1/2:=yk+f(xk, yk)h/2

αk:=f(xk+1/2, yk+1/2)

xk+1:=xk+h

yk+1:=yk+αkh

<img src="/cache/referats/3320/image013.gif" v:shapes="_x0000_s1133"><img src="/cache/referats/3320/image014.gif" v:shapes="_x0000_s1099"><img src="/cache/referats/3320/image015.gif" v:shapes="_x0000_s1095"> нет k:=n

<img src="/cache/referats/3320/image016.gif" v:shapes="_x0000_s1129"> да

<img src="/cache/referats/3320/image017.gif" v:shapes="_x0000_s1100"> x0,y0,

x1, y1…

xn,yn

<img src="/cache/referats/3320/image019.gif" v:shapes="_x0000_s1101"> конец

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИИ МЕТОД РЕШЕНИЯ

Решитьдифференциальное уравнение у/=f(x,y) численным методом — это значит для заданнойпоследовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функциюу=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.

Таким образом, численные методы позволяют вместонахождения функции

У=F(x) получить таблицу значений этой функции длязаданной последовательности аргументов. Величина h=xk-xk-1называется шагом интегрирования.

МетодЭйлера относиться к численным методам, дающим решение в виде таблицыприближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном дляориентировочных расчетов. Однако идеи, положенные в основу метода Эйлера,являются исходными для ряда других методов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка

y/=f(x,y) (1)

с начальным условием

x=x0,y(x0)=y0 (2)

Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].

Разобьем отрезок [a,b]на nравныхчастей и получим последовательность х0, х1,х2,…, хn, где xi=x0+ih (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n-шаг интегрирования.

В методе Эйлера приближенные значения у(хi)»

yiвычисляются последовательнопо формулам уi+hf(xi, yi) (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х),проходящая через точку М0(х0, у0), заменяетсяломаной М0М1М2… с вершинами Мi(xi, yi) (i=0,1,2,…);каждое звено МiMi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеетнаправление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), котораяпроходит через точку Мi.

Если правая часть уравнения (1) внекотором прямоугольнике R{|x-x0|£

a, |y-y0|£b}удовлетворяет условиям:

|f(x, y1)- f(x, y2)| £

N|y1-y2| (N=const),

|df/dx|=|df/dx+f(df/dy)|£

M (M=const),

то имеет место следующая оценка погрешности:

|y(xn)-yn| £

hM/2N[(1+hN)n-1], (3)

где у(хn)-значение точного решенияуравнения(1) при х=хn,а уn — приближенное значение, полученное на n-омшаге.

Формула (3) имеет в основном теоретическоеприменение. На практике иногда оказывается более удобным двойной просчет: сначаларасчет ведется с шагом h, затем шаг дробят и повторный расчет ведется с шагом h/2. Погрешность болееточного значения уn* оценивается формулой

|yn-y(xn)|»

|yn*-yn|.

Метод Эйлералегко распространяется на системы дифференциальных уравнений и надифференциальные уравнения высших порядков. Последние должны бытьпредварительно приведены к системе дифференциальных уравнений первого порядка.

Модифицированный метод Эйлераболее точен.

Рассмотрим дифференциальное уравнение (1) y/=f(x,y)

с начальным условием y(x0)=y0.Разобьем наш участок интегрирования на n

<img src="/cache/referats/3320/image020.gif" v:shapes="_x0000_s1138"> равных частей.На малом участке [x0,x0+h]

у интегральнуюкривую заменим прямой

<img src="/cache/referats/3320/image021.gif" v:shapes="_x0000_s1187"><img src="/cache/referats/3320/image022.gif" v:shapes="_x0000_s1176"><img src="/cache/referats/3320/image023.gif" v:shapes="_x0000_s1175"><img src="/cache/referats/3320/image024.gif" v:shapes="_x0000_s1147"> Nk/ y=y(x) линией. Получаем точку Мк(хк, ук).

<img src="/cache/referats/3320/image027.gif" v:shapes="_x0000_s1234"><img src="/cache/referats/3320/image028.gif" v:shapes="_x0000_s1231"><img src="/cache/referats/3320/image028.gif" v:shapes="_x0000_s1229"><img src="/cache/referats/3320/image029.gif" v:shapes="_x0000_s1200"><img src="/cache/referats/3320/image030.gif" v:shapes="_x0000_s1188"><img src="/cache/referats/3320/image031.gif" v:shapes="_x0000_s1159"><img src="/cache/referats/3320/image031.gif" v:shapes="_x0000_s1158"><img src="/cache/referats/3320/image031.gif" v:shapes="_x0000_s1157"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1156"><img src="/cache/referats/3320/image031.gif" v:shapes="_x0000_s1155"> Мк Мк/

<img src="/cache/referats/3320/image030.gif" v:shapes="_x0000_s1199"><img src="/cache/referats/3320/image021.gif" v:shapes="_x0000_s1189"><img src="/cache/referats/3320/image032.gif" v:shapes="_x0000_s1153"> yk+1

<img src="/cache/referats/3320/image029.gif" v:shapes="_x0000_s1213"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1196"><img src="/cache/referats/3320/image033.gif" v:shapes="_x0000_s1195"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1174"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1152"> yk

<img src="/cache/referats/3320/image035.gif" v:shapes="_x0000_s1140"><img src="/cache/referats/3320/image031.gif" v:shapes="_x0000_s1194"> хкхк1/2xk+h=xk1 х

Через Мкпроводим касательную: у=ук=f(xk,yk)(x-xk).

Делимотрезок (хк, хк1) пополам:

xNk/=xk+h/2=xk+1/2

yNk/=yk+f(xk,yk)h/2=yk+yk+1/2

Получаемточку Nk/.В этой точке строим следующую касательную:

y(xk+1/2)=f(xk+1/2,yk+1/2)=αk

Из точки Мкпроводим прямую с угловым коэффициентом αки определяем точкупересечения этой прямой с прямой Хк1. Получаем точку Мк/. В качестве ук+1принимаем ординату точки Мк/.Тогда:

ук+1=ук+αкh

xk+1=xk+h

(4) αk=f(xk+h/2, yk+f(xk,Yk)h/2)

yk=yk-1+f(xk-1,yk-1)h

(4)-рекурентныеформулы метода Эйлера.

Сначалавычисляют вспомогательные значения искомой функции ук+1/2в точках хк+1/2, затем находят значениеправой части уравнения (1) в средней точке y/k+1/2=f(xk+1/2, yk+1/2) и определяют ук+1.

Для оценки погрешности в точке хк проводят вычисления ук с шагомh,затем с шагом 2hи берут 1/3разницы этих значений:

| ук*-у(хк)|=1/3(yk*-yk),

гдеу(х)-точное решение дифференциального уравнения.

Таким образом, методом Эйлера можно решатьуравнения любых порядков. Например, чтобы решить уравнение второго порядка y//=f(y/,y,x) c начальными условиями y/(x0)=y/0,y(x0)=y0, выполняется замена:

y/=z

z/=f(x,y,z)

Темсамым преобразуются начальные условия:y(x0)=y0, z(x0)=z0, z0=y/0.

РЕШЕНИЕ КОНТРОЛЬНОГО ПРИМЕРА

Приведем расчет дифференциального уравнения первого,второго и третьего порядка методомЭйлера

1. Пусть дано дифференциальное уравнение первогопорядка:

y/=2x-y

Требуетсянайти решение на отрезке [0,1] c шагом h=(1-0)/5=0,2

Начальныеусловия:у0=1;

Пользуясьрекурентными формулами (4), находим:

1). x1=0,2; х1/2=0,1; y(x1)=y(x0)+α0h; y(x1/2)=y(x0)+f(x0,y0)h/2;

f(x0,y0)=2*

0-1=-1

y(x1/2)=1-1*

0,1=0,9

α0=2*

0,1-0,9=-0,7

y1=1-0,1*

0,2=0,86

2). y(x2)=y(x1)+α1h; x2=0,2+0,2=0,4; x1+1/2=x1+h/2=0,2+0,1=0,3

y(x1+1/2)=y(x1)+f(x1,y(x1))h/2

f(x1,y1)=2*

0,2-0,86=-0,46

y(x1+1/2)=0,86-0,46*

0,1=0,814

α1=2*0,3-0,814=-0,214

y2=0,86-0,214*0,2=0,8172

3). x3=0,4+0,2=0,6; x2+1/2=x2+h/2=0,4+0,1=0,5

f(x2,y2)=2*0,4-0,8172=-0,0172

y2+1/2=0,8172-0,0172*0,1=0,81548

α2=2*0,5-0,81548=0,18452

y3=0,8172+0,18452*0,2=0,854104

4).x4=0,8; x3+1/2=x3+h/2=0,6+0,1=0,7

f(x3,y3)=2*0,6-0,854104=0,345896

y3+1/2=0,854104+0,345896*0,1=0,8886936

α3=2*0,7-0,89=0,5113064

y4=0,854104+0,5113064*0,2=0,95636528

5).x5=1; x4+1/2=0,8+0,1=0,9

f(x4,y4)=2*0,8-0,956=0,64363472

y4+1/2=0,956+0,643*0,1=1,020728752;

α4=2*0,9-1,02=0,779271248

y5=0,956+0,7792*0,2=1,11221953

2. Даноуравнение второго порядка:

y//=2x-y+y/

Находим решение на том жеотрезке [0,1] c шагом h=0,2;

Замена: y/=z

z/=2x-y+z

Начальные условия: у0=1

z0=1

1).x1=0,2; x1/2=0,1

y(z1)=y(z0)+α0h z(x1,y1)=z(x0,y0)+β0h

y(z1/2)=y(z0)+f(z0,y0)h/2 z(x1/2,y1/2)=z(x0,y0)+f(x0,y0,z0)h/2

f(z0,y0)=f10=1 f(x0,y0,z0)=f20=2*0-1+1=0

y1/2=1+1*0,1=1,1 z1/2=1+0*0,1=1

α0=z0=1 β0=2*0,1-1,1+1=0,1

y1=1+0,2*1=1,2 z1=1+0,2*0,1=1,02

2).x2+0,4; x1+1/2=0,3

f11=z1=1,02 f21=2*0,2-1,2+1,02=0,22

y1+1/2=1,2+1,02*0,1=1,1 z1+1/2=1,02+0,22*0,1=1,042

α1=z1+1/2=1,042 β1=2*0,3-1,302+1,042=0,34

y2=1,2+1,042*0,2=1,4084 z2=1.02+0,34*0,2=1,088

3).x3=0,6; x2+1/2=0,5

f12=z2=1,088 f22=2*0,4-1,4084+1,088=0,4796

y2+1/2=1,4084+1,088*0,1=1,5172 z2+1/2=1,088+0,4796*0,1=1,13596

α2=z2+1/2=1,13596 β2=2*0,5-1,5172+1,13596=0,61876

y3=1,4084+1,136*0,2=1,635592 z3=1,088+0,61876*0,2=1,211752

4).x4=0,8; x3+1/2=0,7

f13=z3=1,211752 f23=2*0,6-1,636+1,212=0,77616

y3+1/2=1,636+1,212*0,1=1,7567672 z3+1/2=1,212+0,776*0,1=1,289368

α3=z3+1/2=1,289368 β3=2*0,7-1,7568+1,289=0,9326008

y4=1,6+1,289*0,2=1,8934656 z4=1,212+0,93*0,2=1,39827216

5).x5=1; y4+1/2=0,9

f14=z4=1,39827216 f24=2*0,8-1,893+1,398=1,10480656

y4+1/2=1,893+1,398*0,1=2,0332928 z4+1/2=1,398+1,105*0,1=1,508752816

α4=z4+1/2=1,508752816 β4=2*0,9-2,03+1,5=1,27546

y5=1,893+1,5*0,2=2,195216163 z5=1,398+1,275*0,2=1,65336416

3. Чтобырешитьуравнение третьего порядка

y///=2x-y-y/+y//

наотрезке [0,1], с шагом h=0,2 и начальными условиями

y0//=1

y0/=1

y0=1

необходимосделать 3 замены: y/=a y0/=a0=1

y//=a/=b y0//=b0=1

b/=2x-y-a+b

1).x1=0,2; x1/2=0,1

y(a1)=y(a0)+a0h y(a1/2)=y(a0)+f10h/2

a(b1)=a(b0)+β0h a(b1/2)=a(b0)+f20h/2

b(x1,y1,a1)=b(x0,y0,a0)+γ0h b(x1/2,y1/2,a1/2)=b(x0,y0,a0)+f30h/2

f10=f(a0,y(a0))=1 y1/2=1+1*0,1=1,1

f20=f(b0,a(b0))=1 a1/2=1+1*0,1=1,1

f30=f(x0,y0,a0,b0)=-1 b1/2=1-1*0,1=0,9

α0=a1/2=1,1 y(a1)=1+1,1*0,2=1,22

β0=b1/2=0,9 a(b1)=1+0,9*0,2=1,18

γ0=2*0,1-1,1-1,1+0,9=-1,1 b(x1,y1,a1)=1-1,1*0,2=0,78

2).x2=0,4; x1+1/2=x1+h/2=0,3

f11=a1=1,18 y1+1/2=1,22+1,18*0,1=1.338

f21=b1=0,78 a1+1/2=1,18+0,78*0,1=1,258

f31=2*0,2-1,22-1,18+0,78=-1,22 b1+1/2=-1,22*0,1+0,78=0,658

α1=a1+1/2=1,258 y2=1,22+1,258*0,2=1,4716

β1=b1+1/2=0,658 a2=1,18+0,658*0,2=1,3116

γ1=2*0,3-1,338-1,258+0,658=-1,338 b2=0,78-1,338*0,2=0,5124

3).x3=0,6; x2+1/2=0,5

f12=a2=1,3116 y2+1/2=1,47+1,3*0,1=1,60276

f22=b2=0,5124 a2+1/2=1,3116+0,5*0,1=1.36284

f32=2*0,4-1,47-1,31+0,512=-1,4708 b2+1/2=0,4-1,4*0,1=0,36542

α2=1,36284 y3=1,4716+1,3116*0,2=1,744168

β2=0,36542 a3=1,3116+0,3654*0,2=1,384664

γ2=2*0,5-1,6-1,36+0,365=-1,60018 b3= 0,51-1,60018*0,2=0,192364

4).x4=0,8; x3+1/2=0,7

f13=1,384664 y3+1/2=1,74+1,38*0,1=1,8826364

f23=0,192364 a3+1/2=1,38+0,19*0,1=1,4039204

f33=2*0,6-1,7-1,38+0,19=-1,736488 b3+1/2=0,19-1,7*0,1=0,0187152

α3=1,4039204 y4=1,74+1,4*0,2=2,0249477

β3=0,0187152 a4=1,38+0,9187*0,2=1,388403

γ3=2*0,7-1,88-1,4+0,0187=-1,8678416 b4=0,192-1,87*0,2=-0,1812235

5).x4=1; x4+1/2=0,9

f14=1,388403 y4+1/2=2,02+1,388*0,1=2,16379478

f24=-0,1812235 a4+1/2=1,4-0.181*0,1=1,370306608

f34=2*0,8-2,02-1,388-0,18=-1,9945834 b4+1/2=-0,18-1,99*0,1=-0,38066266

α4=1,3703 y5=2,02+1,37*0,2=2,2990038

β4=-0,38066 a5=1,388-0,38*0,2=1,3122669

γ4=2*0,9-2,16-1,37-0,38=-2,114764056 b5=-0,181-2,1*0,2=-0,6041734

Программа на Turbo Pascal

usescrt,pram,kurs1_1;

var

yx,xy,l,v,p,ff,ay,by,x:array[0..10] of real;

y,a,b:array[0..10,0..1]of real;

i,n,o:integer;

c,d,h,k:real;

label

lap1;

begin

screen1;

clrscr;

writeln('введите наивысший порядок производной не большетрех ');

readln(n);

ifn=0 thenbegin

writeln('это прямолинейная зависимость и решается безметода Эйлера ');

gotolap1;end;

writeln('введите коэффициенты {a0,a1}');

fori:=0 ton do

readln(l[i]);

if(n=1) and (l[1]=0) or (n=2) and (l[2]=0) or (n=3) and (l[3]=0) then begin

writeln('делениена ноль');

goto lap1;

end;

writeln('введите коэффициент при x');

readln(k);

writeln('введите отрезок ');

readln(c,d);

o:=5;

h:=abs(d-c)/o;

writeln('шаг=',h:1:1);

writeln('задайте начальные условия y(x)= ');

fori:=0 ton-1 do

readln(v[i]);

ifn=3 thenbegin

yx[0]:=v[0];

ay[0]:=v[1];

by[0]:=v[2];

p[0]:=(k*c-l[0]*v[0]-l[1]*v[1]-l[2]*v[2])/l[3];

x[0]:=c;

gotoxy(32,1);

<img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1254"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1252"><img src="/cache/referats/3320/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1248"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1245"><img src="/cache/referats/3320/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1244"><img src="/cache/referats/3320/image036.gif" v:shapes="_x0000_s1243"> write(' ');

gotoxy(32,2);

<img src="/cache/referats/3320/image037.gif" v:shapes="_x0000_s1256"><img src="/cache/referats/3320/image032.gif" v:shapes="_x0000_s1253"><img src="/cache/referats/3320/image032.gif" v:shapes="_x0000_s1251"><img src="/cache/referats/3320/image038.gif" v:shapes="_x0000_s1247"><img src="/cache/referats/3320/image039.gif" v:shapes="_x0000_s1246"> write(' x y a b ');

gotoxy(32,3);

<img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1340"><img src="/cache/referats/3320/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1339"><img src="/cache/referats/3320/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1336"><img src="/cache/referats/3320/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1335"><img src="/cache/referats/3320/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1332"> write('',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ',by[0]:7:7,' ');

for i:=0 to o-1 dobegin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];

a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*by[i];

b[i,1]:=by[i]+(h/2)*p[i];

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1]-l[2]*b[i,1])/l[3];

xy[i]:=x[i]+h/2;

yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];

ay[i+1]:=ay[i]+h*b[i,1];

by[i+1]:=by[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(k*xy[i]-l[0]*yx[i+1]-l[1]*ay[i+1]-l[2]*by[i+1])/l[3];

end;

for i:=0 to o-1 dobegin

gotoxy(32,4+i);

<img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1275"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1274"><img src="/cache/referats/3320/image038.gif" v:shapes="_x0000_s1273"><img src="/cache/referats/3320/image040.gif" v:shapes="_x0000_s1272"><img src="/cache/referats/3320/image040.gif" v:shapes="_x0000_s1270"> write('',xy[i]:7:7,' ',yx[i+1]:7:7,' ',ay[i+1]:7:7,' ',by[i+1]:7:7,' ');

end;

gotoxy(32,4+o);

<img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1269"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1268"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1267"><img src="/cache/referats/3320/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1266"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1262"><img src="/cache/referats/3320/image041.gif" v:shapes="_x0000_s1261"> write(' ');

end;

ifn=2 thenbegin

x[0]:=c;

yx[0]:=v[0];

ay[0]:=v[1];

p[0]:=(k*c-l[0]*yx[0]-l[1]*v[1])/l[2];

gotoxy(32,1);

<img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1280"><img src="/cache/referats/3320/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1279"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1278"><img src="/cache/referats/3320/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1277"><img src="/cache/referats/3320/image042.gif" v:shapes="_x0000_s1276"> write(' ');

gotoxy(32,2);

<img src="/cache/referats/3320/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1292"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1290"><img src="/cache/referats/3320/image034.gif" v:shapes="_x0000_s1288"><img src="/cache/referats/3320/image026.gif" v:shapes="_x0000_s1286"> write(' x y a ');

gotoxy(32,3);

<img src="/cache/referats/3320/image033.gif" v:shapes="_x0000_s1296"><img src="/cache/referats/3320/image033.gif" v:shapes="_x0000_s1295"><img src="/cache/referats/3320/image033.gif" v:shapes="_x0000_s1294"><img src="/cache/referats/3320/image040.gif" v:shapes="_x0000_s1293"> write('',c:7:7,' ',yx[0]:7:7,' ',ay[0]:7:7,' ');

for i:=0 to o-1 dobegin

x[i]:=x[i]+h/2;

y[i,1]:=yx[i]+(h/2)*ay[i];

a[i,1]:=ay[i]+(h/2)*p[i];

ff[i]:=(k*x[i]-l[0]*y[i,1]-l[1]*a[i,1])/l[2];

xy[i]:=x[i]+h/2;

yx[i+1]:=yx[i]+h*a[i,1];

ay[i+1]:=ay[i]+h*ff[i];

x[i+1]:=x[i]+h/2;

p[i+1]:=(

еще рефераты

Еще работы по математике