Реферат: Проблема выбора средней величины

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ

ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

МОСКОВСКИЙМЕЖДУНАРОДНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

БИЗНЕСАИ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

КУРСОВАЯ РАБОТА ПО КУРСУ

“ОБЩЕЙ ТЕОРИИ СТАТИСТИКИ“

НА ТЕМУ:

ПРОБЛЕМА ВЫБОРА СРЕДНЕЙ

Выполнилстудент

КирилловМ.В.

группаИБ-203

Москва

1998

<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language: RU;mso-bidi-language:AR-SA">

Содержание

1.<span Times New Roman"">    

Введение. Сущность изначение средней величины.

2.<span Times New Roman"">    

Проблемы выбора средней. Видысредних величин и их значение в социально-экономических исследованиях.

3.<span Times New Roman"">    

Средняя арифметическая, еесвойства и другие степенные средние.

4.<span Times New Roman"">    

Список использованнойлитературы.<span Arial",«sans-serif»;mso-fareast-font-family: «Times New Roman»;mso-bidi-font-family:«Times New Roman»;mso-font-kerning:14.0pt; mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language:AR-SA">
СУЩНОСТЬ И ЗНАЧЕНИЕ СРЕДНЕЙВЕЛИЧИНЫ.

Большое распространение встатистике коммерческой деятельности имеют средние величины. В среднихвеличинах отображаются важнейшие показатели товарооборота, товарных запасов,цен. Средними величинами характеризуются качественные показатели коммерческойдеятельности: издержки обращения, прибыль, рентабельность и др.

Средняя — этоодин из распространенных приемов обобщений. Важность средних величин длястатистической практике и науки отмечалось в работах многих ученых. Так,английский экономист В. Петти (1623-1677) при рассмотрении экономическийпроблем широко использовал средние величины. В частности, он предлагалиспользовать в качестве меры стоимости затраты на среднее дневное пропитанияодного взрослого работника. Его не смущала абстрактность средней, то, чтоданные, относящиеся к конкретным людям, могут не совпадать со среднейвеличиной. Он считал устойчивость средней величины как отражение закономерностиизучаемых явлений и полагал, что можно реконструировать информацию приотсутствии достаточного объема исходных данных (метод косвенных расчетов).

Весьма широко применялсредние и относительные величины английский ученый Г. Кинг (1648 — 1712) прианализе данных населении Англии (средний доход на одну семью, средний душевойдоход и т.д.).

Теоретическиеразработки бельгийского статистика А. Кетле (1796-1874), внесшего значительныйвклад в разработки теории устойчивости статистических показателей, основаны напротиворечивости природы социальных явлений — высоко устойчивых в массе, вместес тем сугубо индивидуальных.

Согласно Кетле,постоянные причины действуют одинаково (постоянно) на каждое изучаемое явления.Именно они делают эти явления похожими друг на друга, создают общее для всех ихзакономерности.

Следствием учения А.Кетле об общих и индивидуальных причинах явилось выделения средних величин вкачестве основного приема статистического анализа. Он подчеркивал, чтостатистические средние представляют собой не просто меру математическогоизмерения, а категорию объективной действительности. Типическую, реальносуществующую среднюю он отождествлял с истинной величиной, отклонения откоторой могут быть только случайными.

Ярким выражениемизложенного взгляда на среднюю является его теория “ среднего человека “.Средний человек — это человек, наделенный всеми качествами в среднем размере.Этот человек будет иметь средний рост и вес, среднюю быстроту бега, среднююсмертность и рождаемость, среднюю наклонность к браку и самоубийству,преступлениям, к добрым делам и т.д. Для Кетле “ средний человек “ не простаяабстракция. Это идеал человека. Не состоятельность антинаучной теории “среднего человека “ Кетле была доказана в русской статистической литературе ещев конце прошлого столетия. Известный русский статистик Ю. Э. Янсон (1835-1893г.г.) писал, что Кетле предполагает существования в природе типа среднегочеловека как чего-то данного, от которого жизнь отклонила “средних человеков“данного общества и данного времени, а это, естественного приводит его ксовершенно механическому взгляду и на законы движения социальной жизни:движение - это не естьразвитие, а есть постепенное возрастания средних свойств человека постепенноевосстановление типа; следовательно, такое нивелирование всех проявлений жизнисоциального тела, за которым всякое поступательное движение прекращается.

Однако сущность этойтеории нашла отражение в работах ряда теоретиков статистики как теория “истинных величин “. У Кетле были последователи — немецкий статистик и экономистЛексис (1837-19014), перенесший теорию “ истинных величин “ на экономическимиявления общественной жизни. Его теория известна под названием “ теорияустойчивости “. Другая разновидность идеалистической теории средних основана нафилософии махизма. Ее основатель английский статистик А. Боули (1869-1957);является одним из самых видных теоретиков новейшего времени в области теориисредних величин. Его концепция средних величин изложена в книге “ Элементы статистики“. А. Боули рассматривает средние величины лишь с количественной стороны, тамсамым отрывает количество от качества. Определяя значение средних или, как онвыражается, “ их функцию “, Боули на первый план выдвигает махистский принципмышлений. Так, он писал, что функция средних ясна: она заключается в том, чтобывыражать сложную группу при помощи немногих простых чисел. Ум не в состояниисразу охватить величины миллионов статистических данных, они должны бытьсгруппированы, упрощены, приведены к средним. Взгляд на метод средних как натехнический прием упрощений цифровых материалов разделяли Р. Фишер (1890-1968),Дж. Юл (1871 — 1951), Фредерик С. Миллс (родился 1892) и др.

В 30-е и последующие годы средняя величина все чаще сталарассматриваться как социально значимая характеристика, информативность которойзависит от однородности данных. Однако зарубежная статистика не ставит вопрос освязи между средними величинами по разным признакам, не рассматривает системысредних.

 Виднейшие представители итальянской школыБенини (1862-1956) и Коррадо Джини (1884-1965), считая статистику отрасльюлогики, расширили область применения статистической индукции. Причемпознавательные принципы логики и статистики они связывали с природой изучаемыхявлений, следуя традициям социологической трактовки статистики.

Правильное пониманиясущности средней определяет ее особую значимость в условиях рыночной экономики,когда средняя через единичное и случайное позволяет выявить общее инеобходимое, выявить тенденцию закономерностей экономического развития.

Средние величины — этообобщающие показатели, в которых находят выражения действие общих условий,закономерность изучаемого явления.

Статистические средниерассчитываются на основе массовых данных правильно статистическиорганизованного массового наблюдения (сплошного или выборочного). Однакостатистическая средняя будет объективна и типична, если она рассчитывается помассовым данным для качественно однородной совокупности (массовых явлений).Пример не типичной средней хорошо показан в рассказе Глеба Успенского “ Живыецифры “. Там средний доход определялся сложением 1 млн. миллионера Колотушкинаи 1 гроша просвирни Кукушкиной, и получалось, что он составил 0,5 млн. руб…Например, если рассчитывать среднюю заработную плату в кооперативах и нагоспредприятиях, а результат распространить на всю совокупность, то средняяфиктивна, т.к. рассчитана по неоднородной совокупности, и такая средняя теряетвсякий смысл.

При помощи среднейпроисходит как бы сглаживание различий в величине признака, которые возникаютпо тем или иным причинам у отдельных единиц наблюдения.

Например, средняявыработка продавца зависит от многих причин: квалификации, стажа, возраста,формы обслуживания, здоровье и т.д. Средняя выработка отражает общее свойствавсей совокупности.

Средняя величина — величина абстрактная, потому что характеризует значение абстрактной единицы, азначит, отвлекается от структуры совокупности.

Средняя абстрагируетсяот разнообразия признака у отдельных объектов. Но то, что средняя являетсяабстракцией, не лишает ее научного исследования. Абстракция есть необходимаяступень всякого научного исследования. В средней величине, как и во всякойабстракции, осуществляется диалектическое единство оттененного и общего.

Применение среднихдолжно исходить из диалектического понимания категорий общего ииндивидуального, массового и единичного.

Средняя отражает тообщее, что складывается в каждом отдельном, единичном объекте благодаря этомусредняя получает большое значение для выявления закономерностей присущихмассовым общественным явлениям и незаметных в единичных явлениях.

Отклонениеиндивидуального от общего — проявление процесса развития. В отдельных единичныхслучаях могут быть заложены элементы нового, передового. В этом случае именноконкретных фактор, взятые на фоне средних величин, характеризует процессразвития. Поэтому в средней и отражается характерный, типичный, реальныйуровень изучаемых явлений. Характеристики этих уровней и их изменений вовремени и в пространстве являются одной из главных задач средних величин. Так,через средние проявляется, например, свойственная предприятиям на определенномэтапе экономического развития; изменение благосостояния населения находит своеотражение в средних показателях заработной платы, доходов семьи в целом и поотдельным социальным группам, уровня потребления продуктов, товаров и услуг.

Однако в маркетинговойдеятельности нельзя ограничиваться лишь средними цифрами, т.к. за общимиблагоприятными средними могут скрываться крупные серьезные недостатки вдеятельности отдельных подразделений предприятия, акционерного общества.

Средний показатель —это значение типичное (обычное, нормальное, сложившееся в целом), но таковымоно является по тому, что формируется в нормальных, естественных условияхсуществования конкретного массового явления, рассматриваемого в целом. Средняяотображает объективное свойство явления. В действительности часто существуеттолько отклоняющиеся явления, и средняя как явления может и не существовать, хотяпонятие типичности явления и заимствуется из действительности. Такое пониманиетипичности пришло из геометрии — круг как вписанный или описанный многоугольникс бесконечным увеличивающимся числом сторон (в действительности не возможнобесконечное увеличение числа сторон). Бесконечная — математическое понятие, ане существующая величина и исключает возможность всякого увеличения <span Times New Roman";mso-hansi-font-family: «Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">¥

+ 1 = <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">¥.Другой пример, качание маятника тяготеют к своей оси, но не совпадают с ней.

Индивидуальныезначения изучаемого признака у отдельных единиц совокупности могут быть темиили иными (например, цены у отдельных продавцов). Эти значения не возможнообъяснить, не прослеживая причинно- следственные связи. Поэтому средняявеличина индивидуальных значений одного и того же вида есть продуктнеобходимости. Он является результатом совокупного действия всех единойсовокупности, который проявляется в массе повторяющихся случайностей,опосредуемых общими условиями процесса.

Распределениеиндивидуального значения изучаемого признака порождает случайность егоотклонения от средних, но не случайно среднее отклонение, которое равно нулю.

Образцом научнойзначимости диалектики случайного и необходимого в области общественных явленийслужат учению К. Маркса. В “ Капитале “ на примере перехода от одной формыстоимости товара к другой он показывает основное содержания трансформациислучайного в необходимое. При случайной форме стоимости случайным выглядит и токоличественное соотношение, в котором обмениваются два продукта при случайнойвстрече их владельца, когда отношения владельцев продуктов единичны.Естественный переход случайной формы стоимости в более полную (развернутую)происходит, когда отдельный товар вступает в отношения не с одним товаромдругого вида, а “ совсем товарным миром “. В этом случае меновые отношениярегулируются величиной стоимости и отношение двух индивидуальныхтоваровладельцев не случайны. При всеобщей форме стоимости все множествотоваров находится в общественном отношении с одним и тем же товаром, иотношения товаровладельцев становится всеобщим. Обмен повторяется постоянно, астоимость выражает то общее, что имеется у данного товара со всеми остальнымитоварами. Индивидуальное время, затрачиваемое на изготовления товаров, имеетзначение для их владельцев лишь постольку, поскольку оно соответствующимобразом может быть сведено к общественно необходимому времени, котороеутверждается с абсолютной необходимостью, а по природе своей является средним.

Приведенный пример, атакже многие другие примеры трансформации случайности в необходимость позволяютсделать вывод о том, что средние значения определенных признаков в массовыхявлениях продукт необходимости.

Каждое наблюдаемоеиндивидуальное явление обладает признаками двоякого рода — одни имеются во всехявлениях, только в различных количествах (рост, возраст человека), др.признаки, качественно различные в отдельных явлениях, имеются в одних, но невстречаются в других (мужчина не может быть женщиной). Средняя величинавычисляется для признаков, присущих всем явлениям в данной совокупности, дляпризнаков качественно однородных и различных только количественно (среднийрост, средняя зарплата).

Средняя величинаявляется отражения значения изучаемого признака и, следовательно, измеряется втой же размеренности что и этот признак. Однако существуют различные способыприближенного определения уровня распределения численности для сравнениясводных признаков, непосредственно не сравнимых между собой, например средняячисленность населения по отношению к территории (средняя плотность населения).В зависимости от того, какой именно фактор нужно элиминировать, будетнаходиться и содержание средней.

Сочетание общихсредних с групповыми средними дает возможность ограничить качественнооднородные совокупности. Расчленяя массу объектов, составляющих то или иноесложное явления, на внутренне однородные, но качественно различные группы,характеризуя каждую из групп своей средней, можно вскрыть резервы процесснарождающегося нового качества. Например, распределения населения по доходупозволяет выявить формирование новых социальных групп.

Теория диалектическогоматериализма учит, что не одно явления не останется неизменным, что все в миременяется, развивается. Меняются и те признаки, которые характеризуютсясредними, а, следовательно, и сами средние.

В общественной жизнипроисходит не прерывный процесс нарождения нового. Носителем нового качествасначала являются единичные объекты, а затем количество этих объектовувеличивается, и новое становится массовым, типичным.

Отклонения от среднейи противоположные стороны являются результатом борьбы противоположностей, однаиз которых должна поддерживаться, другая, наоборот, преодолеваться.

Каждая средняявеличина характеризует изучаемою совокупность по какому-либо одному признаку.Чтобы получить полное и всестороннее представление об изучаемой совокупности поряду существенных признаков, в целом необходимо располагать системой среднихвеличин, которые могут описать явление с разных сторон так, изменения доходовторговых предприятий характеризуют показатели среднего оборота на однопредприятия, среднего размера дохода на одно предприятия, среднего уровнядоходности и др.

Тогда общая тенденциявидна более отчетливо, т.е. здесь нет уже действия тех разнообразных условий,которые определяли размер дохода каждого предприятия.

            ВИДЫСРЕДНИХ МЕТОДЫ ИХ РАСЧЕТА.

В практикестатистической обработки материала возникают различные задачи, имеютсяособенности изучаемых явлений, и поэтому для их решения требуются различныесведения.

Средняя, рассчитаннаяпо совокупности в целом называется общей средней, средние, исчисленныедля каждой группы — групповыми средними. Общая средняя отражает общие чертыизучаемого явления, групповая средняя дает характеристику размера явления,складывающуюся в конкретных условиях данной группы.

Например,статистическое изучение рождаемости и среднего количества детей в семье натерритории бывшего СССР проводилось в региональном аспекте (по союзнымреспубликам). Традиционно более высокая рождаемость была в Средней Азии иЗакавказье по сравнению с Центральными районами России. Среднее количестводетей в семье, исчисленное по каждому региону — это групповые средние, асоответственно исчисленное по всей территории СССР — общая средняя.

Сравнительный анализгрупповых и общих средних используется для характеристикисоциально-экономических типов изучаемого общественного явления. В частности,при изучении рождаемости большое значение имеет характеристика этого процессапо общественным группам населения региона.

Групповые средниеиспользуются для изучения закономерности развития общественных явлений. Так, ваналитических группировках анализ групповых средних позволяет сделать вывод оналичии и направлении взаимосвязи между группированным (факторным) признаком ирезультативном показателем.

Групповые средниешироко применяются также при определении имеющихся использованных резервовпроизводства, когда на ряду со средними величинами рассматриваются ииндивидуальные значение признака.

Существуют двекатегории средних величин:

1.Степенные средние К ним относятся:

1. средняя арифметическая

2. средняя гармоническая

3. средняя геометрическая

2.Структурные средние

1. мода

2. медиана

Выбор того или иноговида средней производится в зависимости от цели исследования, экономическойсущности в усредняемого характер имеющихся исходных данных.

Рассмотрим пример.Известны значения месячной заработной платы рабочих бригады за октябрь 1995года

                                                                                                          Таблица1

табельный номер рабочего

 15

 16

 27

 30

 20

 41

 25

 32

 18

 49

Всего

месячная з/п рабочего (тыс. руб.)

493

561

609

718

850

894

901

1070

1203

251

8550

Требуется определить среднюю месячную заработную платурабочих бригады (X)

Общая сумма заработнаяплата всех рабочих

<img src="/cache/referats/2980/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">                                       

Это определяющий показатель, исчисленный каксумма индивидуальных значений заработной платы Х каждого рабочего, другимисловами — это фонд оплаты их труда который может быть записан алгебраически:

<img src="/cache/referats/2980/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026">

Определяющийпоказатель, выраженный математическим, называется определяющей функцией.

 Определяющей функции соответствует уравнениесредних, где индивидуальная заработная плата каждого рабочего заменена среднейзаработной платой, по сколько такая замена не сказывается на общей сумме оплатытруда всех рабочих бригады — определяющего показателя:

<img src="/cache/referats/2980/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027">

            Знаяопределяющую функцию и уравнение средних

<img src="/cache/referats/2980/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> или  <img src="/cache/referats/2980/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029">

<img src="/cache/referats/2980/image012.gif" v:shapes="_x0000_s1026">
получаем формулу:

Где Хi — индивидуальноезначение признака каждой единицы совокупности;

            n — числоединиц совокупности.

<img src="/cache/referats/2980/image013.gif" v:shapes="_x0000_s1028">
Таким образом, средняя месячнаязаработная плата одного рабочего бригады вычисляемая по формуле:

                       

Если бы все единицыизучаемой совокупности развивались под действием одних общих условий и на нихне действовали никакие “случайные“ факторы, то величина признака у каждойединицы — индивидуальное значение месячной заработной платы — была быодинаковой, равной 855 тыс. руб. и обеспечивала величину итогового показателя:855 тыс. руб.*10 чел. = 8550тыс.руб.

Итак, при выборе видасредней величины обычно исходят из логической сущности усредняемого признака иего взаимосвязи с итоговым (определяющим) показателем. Величина итоговогопоказателя не должна изменятся при замене индивидуальных значений признакасредней величины.

Способность среднихвеличин сохранять свойства статистических совокупностей называют определяющимсвойством.

Общая формуластепенной средней записывается следующим образом:

<img src="/cache/referats/2980/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1030">

С изменением показателя степени К выражениеданной функции меняется, и в каждом отдельном случае приходим к определенномувиду средней.

Запишем формулы степенныхсредних, придавая К значения: -1,0,1,2.

При К = -1 получим среднююгармоническую величину:

<img src="/cache/referats/2980/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

При К = 0 получим среднююгеометрическую величину:

<img src="/cache/referats/2980/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1032">

Для раскрытия неопределенности прологарифмируем обе частистепенной средней:

<img src="/cache/referats/2980/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1033"><img src="/cache/referats/2980/image023.gif" v:shapes="_x0000_i1034">

и подставим К = 0, получим

<img src="/cache/referats/2980/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1035">

т.е. неопределенность типа 0 / 0.

Для ее раскрытияиспользуем правило Лопиталя и найдем (lim (ln X))как предел отношения производных по k числителя и знаменателя в правой части равенства

При k<span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">®

0

<img src="/cache/referats/2980/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1036">

Таким образом, при k= 0,

<img src="/cache/referats/2980/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1037">

после потенцирования

<img src="/cache/referats/2980/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1038">

При К = 1 получим среднююарифметическую:

<img src="/cache/referats/2980/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1039">

При К=2среднюю квадратическую:

<img src="/cache/referats/2980/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1040">

и т.д. для любой степени.

Приведенные вышеформулы простых средних применяются в случае, если индивидуальныезначения усредняемого признака не повторяются.

Однако, когда впрактических исследованиях отдельные значения изучаемого признака встречаютсянесколько раз у единиц исследуемой совокупности, тогда частота повторенияиндивидуальных значений признака (вес) присутствует в расчетных формулахстепенных средних. В этом случае они называются формулами взвешенных средних иимеют и имеют следующий вид:

средняя гармоническая:

<img src="/cache/referats/2980/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1041">

средняягеометрическая:

<img src="/cache/referats/2980/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1042">

средняяарифметическая:

<img src="/cache/referats/2980/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

средняяквадратическая:

<img src="/cache/referats/2980/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1044">

где fi — частота повторения индивидуального значения признака(его вес)

Весом может быть частость, т.е. отношение частотыповторения индивидуального значения признака к сумме частот:

<img src="/cache/referats/2980/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1045">

Известно, чтостепенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности,имеют различные количественные значения. И чем больше показатель степени К, тембольше и величина соответствующей средней:

<img src="/cache/referats/2980/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1046">

Это свойства степенных среднихвозрастать с повышением показателя степени определяющей функции называется мажорантностью средних.

К средним величинам,кроме степенных средних, относят также моду и медиану.

Для вычислениястепенных средних необходимо использовать все имеющиеся значения признака. Модаи медиана определяются лишь структурой распределения. Поэтому их именуютструктурными позиционными средними. Медиану и моду часто используют как среднююхарактеристику в тех совокупностях, где расчет средней степенной невозможен илинецелесообразен.

Например, выборочноеобследование в одном из районов Москвы 12 коммерческих пунктов обмена валютыпозволило зафиксировать различные цены за доллар при его продажи (данные на 10октября 1995 г. при биржевом курсе доллара — 4493 руб.)

                                                                                                          Таблица2

№пункта обмены валют

 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

цена за один долл./руб

4500

4560

4540

4535

4550

4500

4560

4570

4560

4560

4570

450

В силу того, чтоданными об объеме продаж в каждом обменном пункте мы не располагаем, расчетсредней арифметической с целью определения средней цены за долларнецелесообразен. Однако можно определить то значение признака, которое делитединицы ранжированного ряда на две части. И такое значение носит название медианы.

Медиана лежит в середине ранжированного ряда и делит его пополам.

Расчет медианы понесгруппированным данным производится следующим образом:

1. расположиминдивидуальные значения признака в возрастающим порядке:

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х6

Х7

Х8

Х9

Х10

Х11

Х12

4500

4500

4500

4535

4540

4550

4560

4560

4560

4560

4570

4570

           

2. определимпорядковый номер медианы по формуле:

<img src="/cache/referats/2980/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1047">

В нашем случае:

<img src="/cache/referats/2980/image051.gif" v:shapes="_x0000_i1048">

Это означает,что медиана в данном случае расположена между шестым и седьмым значениямипризнака в ранжированном ряду, т.к. ряд имеет четное число индивидуальныхзначений. Таким образом, Ме равна средней арифметической из соседних значений:4550, 4560.

<img src="/cache/referats/2980/image053.gif" v:shapes="_x0000_i1049">

3. Рассмотрим порядоквычисления медианы в случае не четного числа индивидуальных значений.

Допустим, мы наблюдалине 12, а 11 пунктов обмена валюты, тогда ранжированный ряд будет выглядетьследующим образом (отбрасываем 12 пункт):

Х1

Х2

Х3

Х4

Х5

Х6

Х7

Х8

Х9

Х10

Х11

4500

4500

4500

4535

4540

4550

4560

4560

4560

4560

4570

Находим номер медианы:

<img src="/cache/referats/2980/image055.gif" v:shapes="_x0000_i1050">

на шестом месте стоит Х = 4560, который и являются медианойМе = 4560 руб.

Мода — Это наиболее частовстречающееся значение признака у единиц данной совокупности. Она соответствуетопределенному значению признака.

В нашем случаемодальной ценной за доллар можно назвать 4560 руб. это значение повторяется 4раза, чаще, чем все другие. На практике моду находят, как правило, посгруппированным данным. Определить величину моды в первичном ряду в точномсоответствии с данными правилом возможно только при достаточно большомколичестве наблюдений и при условии, что одно из индивидуальных значенийизучаемого признака у отдельных единиц совокупности повторяется значительночаще, чем все другие значения.

Методология расчетамоды и медианы по сгруппированным данным рассмотрим по таблице.

                                                                                                          Таблица3

                        Группировкабанков по величине их прибыли

                                     (данные 1994 года)

                                  

Размер прибыли, млрд.руб.

Число банков

1

2

3,7 — 4,6

2

4,6 — 5,5

4

5,5 — 6,4

6

6,4 — 7,3

5

7,3 — 8,2

3

Итого

20

  Мода (Мо) — наиболее часто встречающеесязначение признака в совокупности — для данного ряда распределения. Винтервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в которомбудут находиться только мода или медиана. Для определения их величиныиспользуются следующие формулы:

<img src="/cache/referats/2980/image057.gif" v:shapes="_x0000_i1051">

            где ХMe — нижняя граница медианногоинтервала;

             h — величина интервала;

             S(-1) — накопленная частота интервала, предшествующегомедианному;

             fMe — частота медианного интервала.

<img src="/cache/referats/2980/image059.gif" v:shapes="_x0000_i1052">

где Х — начало модальногоинтервала;

 fMo — частота, соответствующая модальному интервалу;

 f(-1) — предмодальная частота;

 f(+1) — послемодальная частота.

Используяданные примера, приведенные в таблице 3, рассчитаем медиану. По накопленнымчастотам определяем, что медиана находится в интервале 5,5 — 6,4. Тогда

<img src="/cache/referats/2980/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1053">

Такимобразом, 50 % банков имеют прибыль менее 6,175 млрд. руб, а 50 % банков более6,175 млд. руб.

Наибольшая частота соответствует также интервалу 5,5 — 6,4, т.е.мода должна находится в этом интервале. Приведенная формула моды может бытьиспользована в вариационных рядах с равными интервалами.

<img src="/cache/referats/2980/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

Таким образом, в данной совокупности наиболее часто встречаетсяразмер прибыли 6,10 млрд. руб.

СРЕДНЯЯ АРИФМЕТИЧЕСКАЯ, ЕЕ СВОЙСТВА И ДРУГИЕ                                                     СТЕПЕННЫЕ СРЕДНИЕ.

В статистической практике из всех перечисленных видов средних чащевсего используется средняя арифметическая. Ее расчет осуществляется по-разномудля несгруппированных и сгруппированных данных. Рассмотрим пример.

Требуется вычислить средний стаж работы 12 работников рекламногоагентства. При этом известны индивидуальные значения признака (стажа) в годах:6,4,5,3,3,5,5,6,3,7,4,5.

<img src="/cache/referats/2980/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1055">             Как видно,средняя арифметическая может оказаться дробным числом, если даже индивидуальныезначения признака заданы только целыми числами. Это вытекает из сущностисредней арифметической, которая есть величина абстрактная (теоретическая), т.е.она может принимать такое числовое значения, которое не встречается впредставленной совокупности индивидуальных значений признака.

Под средней арифметическойпонимается такое значение признака, которое имело бы каждая единицасовокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределенравномерно между всеми единицами совокупности.

Отметим, что в этом примере одно и тоже значение признакавстречается несколько раз. Объединив данные по величине признака и подсчитавчисло случаев повторения каждого из них, проведем расчет среднего стажа посгруппированным данным с помощью формулы средней взвешенной арифметической.

                                                                                               Таблица4

<div align=«ce
еще рефераты
Еще работы по математике