Реферат: Решение систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Куты 4 порядка

Министерствообразования Украины

Донецкий государственный технический

университет

Кафедра химической технологии топлива

Курсоваяработа

на тему : Решениесистем

дифференциальных

уравнений методом

Рунге — Кутты 4 порядка

по дисциплине : Математические методы и

модели в расчетах на ЭВМ

Выполнил: студент гр. ХТ-96 КузнецовМ.В.Проверил: доц. Чеховской Б.Я. <img src="/cache/referats/1194/image001.gif" v:shapes="_x0000_s1060">
г.Донецк 1998 год

РЕФЕРАТ

Дифференциальные Уравнения, Метод Рунге-Кутта, РК-4,Концентрация, Метод Эйлера, Задача Коши, Ряд Тейлора, Паскаль, Реакция,Интервал, Коэффициенты Дифференциального Уравнения.

Листов : 28

Таблиц : 2

Графиков : 4

Решить системудифференциальных уравнений методом Рунге-Кутты 4 порядка, расчитать записимостьконцентрации веществ в зависимости от времени, проанализировать полученнуюзависимость, удостовериться в действенности метода.

Содержание:

Введение

1.

Постановка задачи…………………………………6

2.

Суть метода…………………………………………8

3.

Выбор метода реализации программы……………14

4.

Блок – схема………………………………………...15

5.

Программа…………………………………………..17

6.

Идентификация переменных………………………19

7.

Результаты…………………………………………..20

8.

Обсуждение результатов…………………………...21

9.

Инструкция к программе…………………………...23

10.

Заключение………………………………………….27

Литература

Введение

Обыкновенныедифференциальные уравнения (ОДУ) широко используются для математическогомоделирования процессов и явлений в различных областях науки и техники.Переходные процессы в радиотехнике, кинетика химических реакций, динамикабиологических популяций, движение космических объектов, модели экономическогоразвития исследуются с помощью ОДУ.

Вдифференциальное уравнение n-го порядка в качестве неизвестных величин входятфункция y(x) и ее первые n производных по аргументу x

j

( x, y, y1, ... y(n) )=0. 1.1

Изтеории ОДУ известно, что уравнение (1.1) эквивалентно системе n уравненийпервого порядка

j

k(x, y1, y1’,y2 ,y2 ’,… ,yn ,yn ’)=0. 1.2

где k=1,…, n.

Уравнение(1.1) и эквивалентная ему система (1.2) имеют бесконечное множество решений.Единственные решения выделяют с помощью дополнительных условий, которым должныудовлетворять искомые решения. В зависимости от вида таких условий рассматривают три типа задач, для которых доказаносуществование и единственность решений.

Первыйтип – это задачи Коши, или задачи с начальными условиями. Для таких задач кромеисходного уравнения (1.1) в некоторой точке xo должны быть заданы начальныеусловия, т.е. значения функции y(x) и ее производных

y(x0)=y0’, y’(x0)=y10,… ,y(n-1)(x0)=yn-1,0.

Для системы ОДУ типа (1.2) начальные условиязадаются в виде

y1(x0)=y10, y2(x0)=y20,…, yn(x0)=yn0. 1.3

Ковторому типу задач относятся так называемые граничные, или краевые задачи, вкоторых дополнительные условия задаются в виде функциональных соотношений междуискомыми решениями. Количество условий должно совпадать с порядком n уравненияили системы. Если решение задачи определяется в интервале x є [

x0,xk],то такие условия могут быть заданы как на границах, так и внутри интервала.Минимальный порядок ОДУ, для которых может быть сформулирована граничнаязадача, равен двум.

Третийтип задач для ОДУ – это задачи на собственные значения. Такие задачи отличаютсятем, что кроме искомых функций y(x) и их производных в уравнения входятдополнительно m неизвестных параметров l

1,l2,¼,хm,которые называютсясобственными значениями.Для единственности решенияна интервале [x0,xk] необходимо задать m+nграничных условий.В качестве примера можноназвать задачи определения собственных частот,коэффициентов диссипации,структуры электромагнитных полей имеханических напряжений в колебательных системах,задачи нахождения фазовыхкоэффициентов,коэффициентов затухания,распределения напряженностей полей волновыхпроцессов и т.д.

Кчисленному решению ОДУ приходится обращаться,

когда не удается построитьаналитическое решение задачи через известные функции.Хотя для некоторых задач численные методыоказываются более эффективными даже при наличии аналитических решений.

Большинствометодов решения ОДУ основано на задаче Коши,

алгоритмы и программы длякоторой рассматриваются в дальнейшем.

1.Постановка задачи

Многиепроцессы химической технологии описываются СДУ — начиная от кинетических исследованийи заканчивая химическими технологическими процессами.

В основу математических способов описанияпроцессов положены СДУ и СЛАУ.Эти уравнения описываютматериальные и тепловые балансы объектов химической технологии,а так же структуры потоков техническихвеществ в этих аппаратах.

Для получения,

распределения технологических параметров вовремени и в пространстве (в пределах объекта),необходимо произвести СДУметодом,которых дал бы высокуюточность решения при минималььных затратах времени на решение,потому что ЭВМ должна работать в режимереального времени и успевать за ходом технологического процесса.Если время на решение задачи большое,то управляющее воздействие,выработанное на ЭВМ может привести котрицательным воздействиям.Методов решения существуеточень много.В данной работе будетрассмотрен метод решения СДУ методом Рунге-Кутта 4 порядка.

Для удобстваработы на ЭВМ, необходимо данную кинетическую схему преобразовать в удобный дляработы на компьютере вид. Для этого необходимо кинетическую схему процессапредставить в виде уравнений. При рассмотрении кинетической схемы процессанеобходимо учитывать коэффициенты скоростей реакций. Но, так как процесспротекает при изотермических условиях, коэффициенты скоростей реакций можносчитать за константы скоростей химической реакции. Из приведенной ниже схемы мыможем составить ряд дифференциальных уравнений, учитывающих изотермичностьпроцесса.

Так как коэффициенты K1,K2,K3,K4 являются константами, то можноуравнение записать в следущем виде.

Для преобразования данныхдифференциальных уравнений для использования их в расчетах тепловых и кинетических схем методами Рунге-Куттынеобходимо подставлять вместо производных значений концентраций, значенияконцентраций данных в начале процесса. Это обусловлено тем, что методРунге-Кутты четвертого порядка, который будет использован для расчетакинетической схемы процесса. Так как этот метод требует сведений только ободной точке и значений функции.

2.Суть метода

Разбори рассмотрение методов,

применяемых на практике длярешения дифференциальных уравнений,мы начнем с их широкойкатегории,известной под общимназванием методов Рунге-Кутта.

МетодыРунге-Кутта обладают следующими свойствами:

1.

Эти методыявляются одноступенчатыми: чтобы найти уm+1,нужна

информация о предыдущей точке xm,

ym.

2.

Онисогласуются с рядом Тейлора вплоть до членов порядка hp,где степень р

различна для различных методов и называетсяпорядковым номером или

порядком метода.

3.

Они не требуют вычисления производных от f (x,y),а требуютвычисления

самой функции.

Рассмотрим сначалагеометрическое построение и выведем некоторые формулы на основе геометрическиханалогий.

После этого мы подтвердимполученные результаты аналитически.

Предположим,

намизвестна точка xm,ym на искомой кривой. Тогда мы можем провести прямую линию с тангенсом угланаклона у¢m=f(xm,ym),которая пройдет через точку xm,ym. Этопостроение показано на рис.1, где кривая представляет собой точное, ноконечно неизвестное решение уравнения, а прямая линия L1построена так,как это только что описано.

Тогда следующей точкой решения можно считать ту,

где прямая L1 пересечет ординату,проведенную через точку x=xm+1=xm+h.

<img src="/cache/referats/1194/image011.gif" v:shapes="_x0000_s1030">Уравнение прямой L1 выглядит так: y=ym+y¢

m(x-xm) так как y¢=f(xm,ym) и кроме того,xm+1=xm+h тогдауравнение примет вид

ym+1=ym+h*f(xm,

ym) 1.1

Ошибкапри x=xm+1 показана в виде отрезка е.

Очевидно,найденное таким образом приближенноезначение согласуется с разложением в ряд Тейлора вплоть до членов порядка h,так что ошибка ограничения равна et=Кh2

Заметим,

что хотя точка на графике 1была показана на кривой,в действительности ym являетсяприближенным значением и не лежит точно на кривой.

Формула1.

1описывает метод Эйлера, один из самых старых и широко известных методовчисленного интегрирования дифференциальных уравнений. Отметим, чтометод Эйлера является одним из методов Рунге-Кутта первого порядка.

Рассмотрим исправленныйметод Эйлера и модификационный метод Эйлера.

В исправленном методе Эйлерамы находим средний тангенс угла наклона касательной для двух точек: xm,ym и xm+h,ym+hy¢m.Последняя точка есть та самая,которая в методе Эйлера обозначалась xm+1,ym+1.Геометрический процесснахождения точки xm+1,ym+1 можнопроследить по рис.2.С помощью метода Эйлера находится точка xm+h,ym+hy¢m,лежащая на прямой L1.В этой точке снова вычисляется тангенс,дает прямую Ĺ.Наконец,через точку xm,ym мы проводим прямую L,параллельную Ĺ.Точка,в которой прямая Lпересечется с ординатой,восстановленной из x=xm+1=xm+h,и будет искомой точкой xm+1,ym+1.Тангенс угла наклона прямой Ĺи прямой L равен

Ф(xm,

ym,h)=½[f(xm,ym)+f(xm+h,ym+y¢mh)] 1.2

где y¢

m=f(xm,ym) 1.3

Уравнениелинии L при этом записывается в виде

y=ym+(x-xm)Ф(xm,

<img src="/cache/referats/1194/image013.gif" v:shapes="_x0000_s1032"> такчто

ym+1=ym+hФ(xm,

ym,h). 1.4

Соотношения1.

2,1.3,1.4 описывают исправленный метод Эйлера.

<img src="/cache/referats/1194/image015.gif" v:shapes="_x0000_s1064">
Чтобы выяснить,

насколько хорошо этот метод согласуется сразложением в ряд Тейлора,вспомним,что разложение в ряд функции f(x,y) можно записать следующим образом:

f(x,

y)=f(xm,ym)+(x-xm)¶f/¶x+(y-ym)¶f/¶x+¼ 1.5

где частные производные вычисляются при x=xmи y=ym.

Подставляяв формулу 1.

5x=xm+h и y=ym+hy¢m ииспользуя выражение 1.3 для y¢m, получаем

f(xm+h,

ym+hy¢m)=f+hfx+hffy+O(h2),

где снова функция f и ее производные вычисляются вточке xm,

ym.Подставляя результат в 1.2 и производя необходимые преобразования,получаем

Ф(xm,

ym,h)=f+h/2(fx+ffy)+O(h2).

Подставим полученноевыражение в 1.

4 и сравним с рядом Тейлора

ym+1=ym+hf+h2/2(fx+ffy)+O(h3).

Каквидим,

исправленный метод Эйлера согласуется сразложением в ряд Тейлора вплоть до членов степени h2,являясь,таким образом,методом Рунге-Куттывторого порядка.

Рассмотриммодификационный метод Эйлера.

Рассмотрим рис.3 где первоначальное построение сделано также,как и на рис.2.Но на этот раз мы берем точку,лежащую на пересечении этой прямой иординатой x=x+h/2.На рисунке эта точкаобразована через Р,а ее ордината равна y=ym+(h/2)y¢m.Вычислим тангенс угла наклона касательной вэтой точке

Ф(xm,

ym,h)=f+(xm+h/2,ym+h/2*y¢m), 1.6

где y¢

Прямаяс таким наклоном,

проходящая через Р,обозначена через L*.Вслед за тем,мы проводим через точку xm,ym прямую параллельную L*,и обозначаем ее через L0.Пересечение этой прямой с ординатой x=xm+hи даст искомую точку xm+1,ym+1<span Times Ne

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Сложения и вычитания чисел с плавающей запятой

20 Июня 2015

Реферат по математике

Математическое моделирование

3 Августа 2015

Реферат по математике

Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

20 Июня 2015

Реферат по математике

Статистика

20 Июня 2015