Реферат: Интегрирование линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Вынужденные колебания материальной точки
<m:mathPr> <m:mathFont m:val=«Cambria Math»/> <m:brkBin m:val=«before»/> <m:brkBinSub m:val="--"/> <m:smallFrac m:val=«off»/> <m:dispDef/> <m:lMargin m:val=«0»/> <m:rMargin m:val=«0»/> <m:defJc m:val=«centerGroup»/> <m:wrapIndent m:val=«1440»/> <m:intLim m:val=«subSup»/> <m:naryLim m:val=«undOvr»/> </m:mathPr><img src="/cache/referats/26966/image001.gif" v:shapes="_x0000_i1025">
<img src="/cache/referats/26966/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1026">
<img src="/cache/referats/26966/image003.gif" v:shapes="_x0000_i1027">
Выполнила:
Проверила:.
Содержание
TOC o «1-3» h z u Содержание. PAGEREF _Toc169020975 h 2
Введение. PAGEREF _Toc169020976 h 3
Основныепонятия и определения. PAGEREF _Toc169020977 h 5
ГлаваI Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений. PAGEREF _Toc169020978 h 9
§1.1 Свойствалинейного оператора. PAGEREF _Toc169020979 h 9
§1.2 Линейные однородное дифференциальные уравнениявторого порядка. PAGEREF _Toc169020980 h 11
§1.3 Интегрирование однородного линейного уравнениявторого порядка с постоянными коэффициентами методом Эйлера. PAGEREF _Toc169020981 h 15
1.3.1 Предварительные замечания. PAGEREF _Toc169020982 h 15
1.3.2 Случай различныхкорней характеристического уравнения. PAGEREF _Toc169020983 h 15
1.3.3 Случай кратныхкорней характеристического уравнения. PAGEREF _Toc169020984 h 20
§1.4 Система линейно независимых решений (фундамент) иопределитель Вронского. PAGEREF _Toc169020985 h 21
ГлаваII Интегрированиелинейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка PAGEREF _Toc169020986 h 27
§2.1 Структураобщего решения линейного неоднородного уравнения второго порядка. PAGEREF _Toc169020987 h 27
§2.2 Методвариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) для уравнения второго порядка PAGEREF _Toc169020988 h 29
§2.3 Методнеопределенных коэффициентов. PAGEREF _Toc169020989 h 32
ГлаваIII Вынужденныеколебания материальной точки. PAGEREF _Toc169020990 h 38
§3.1 Применениелинейных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами к исследованиюпростейших колебаний. PAGEREF _Toc169020991 h 38
§3.2 Свободныеколебания. PAGEREF _Toc169020992 h 39
§3.3 Вынужденныеколебания. PAGEREF _Toc169020993 h 45
§3.4 Явлениерезонанса. PAGEREF _Toc169020994 h 47
ГлаваIV Применение явлениярезонанса. PAGEREF _Toc169020995 h 51
§4.1 Учет ииспользование резонанса. PAGEREF_Toc169020996 h 51
§4.2 Явлениерезонанса ведущее к разрушению. Способы гашения нежелательных вынужденныхколебаний. PAGEREF _Toc169020997 h 54
§4.3 Дифференциальноеуравнение цепной линии. PAGEREF _Toc169020998 h 59
Заключение. PAGEREF _Toc169020999 h 67
Списоклитературы… PAGEREF _Toc169021000 h 68
Введение
В математике дифференциальные уравнения занимают особое место.Математическое исследование самых разнообразных явлений, происходящих вприроде, часто приводит к решению таких уравнений, поскольку сами законы,которым подчиняется то или иное явление, записывается в виде дифференциальныхуравнений.
Задача интегрирования дифференциальных уравнений является классической иважнейшей задачей математического анализа.
Предметом исследования моей дипломной работы являются вынужденныеколебания материальной точки, которые задаются неоднородным линейным уравнениемвторого порядка с постоянными коэффициентами. Проинтегрировав это уравнение,получим закон движения материальной точки. Рассмотрен также частный случайуравнения вынужденный колебаний, т.е. когда частота возмущающей силы совпадаетс частотой собственных колебаний — явление резонанса. Так же мною было изученоприменение явления резонанса в технике, строительстве, производстве и т.д.Рассмотрены случаи, когда явление резонанса приводило к разрушениям.
Мы живем в мире колебаний. Маятник стенных часов, фундамент быстроходнойтурбины, кузов железнодорожного вагона, струна гитары и т.д.
По современным воззрениям, все звуковые, тепловые, световые,электрические и магнитные явления, т.е. важнейшие физические процессыокружающего нас мира, сводятся к различным формам колебания материи.
Речь, средство общения людей, музыка, способная вызвать у людей сложныеэмоции, — физически определяются так же, как и другие звуковые явления,колебаниями струн, воздуха, пластин и других упругих тел.
Колебания играют важную роль в таких ведущих областях техники, какэлектричество и радио. Выработка, передача и потребление электрической энергии,телефония, радиовещание, телевидение, радиолокация – все эти важные отраслиоснованы на использовании электрических и электромагнитных колебаний.
С колебаниями мы встречаемся и в живом организме. Биение сердца,сокращение желудка, деятельность кишечника имеют колебательный характер.
Строители и механики имеют дело с колебаниями сооружений и машин.Кораблестроители – с качкой и вибрацией корабля и т. д.
Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при совпадениисобственной частоты и частоты вынуждающей силы называется резонансом.
Резонанс возникает из-за того, что внешняя сила, действуя в такт сосвободными колебаниями тела, все время совершает положительную работу. За счетэтой работы энергия колеблющегося тела увеличивается и амплитуда колебанийвозрастает.
Явление резонанса может играть как полезную, так и вредную роль.
На применении резонанса основано действие язычкового частотометра.Заметив, какая пластина вошла в резонанс, мы определим частоту системы.Маленький ребенок может раскачать язык большого колокола, если будетдействовать на веревку в такт со свободными колебаниями языка.
С резонансом можно встретиться и тогда, когда это совсем нежелательно.Так, например, в 1750 году близ города Анжера во Франции через цепной мостдлиной 102 м шел в ногу отряд солдат. Частота их шагов совпала с частотойсвободных колебаний моста. Из-за этого размахи колебаний моста резкоувеличились, и цепи оборвались. Мост обрушился в реку. В 1830 году по той жепричине обрушился подвесной мост около Манчестера в Англии, когда по немумаршировал военный отряд. В 1906 году из-за резонанса разрушился и такназываемый Египетский мост в Петербурге, по которому проходил кавалерийскийэскадрон. Теперь для предотвращения подобных случаев войсковым частямприказывают “сбить ногу” и идти не строевым, а вольным шагом.
Чтобы избежать резонанса при переезде поезда через мост, он проходит еголибо на медленном ходу, либо на максимальной скорости (чтобы частота ударовколес о стыки рельсов не оказалась равной собственной частоте моста).
При отборе материала для дипломной работы я старалась изложить основныеидеи и методы, применяемые для изучения линейных неоднородных дифференциальныхуравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнения такого типаявляются предметом внимательного изучения ученых, так как к ним приводитсябольшое количество задач механики и других наук. Они особенно просты по своейприроде и вместе с тем важны по своим приложениям. Они имеют значение в важномвопросе о малых колебаниях, так как было показано выше, что линейныенеоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постояннымикоэффициентами описывают процесс колебаний, так как мы живем в «миреколебаний».
Основные понятия и определения
В настоящейдипломной работе применены следующие термины с соответствующими определениями.
Дифференциальные уравнения – этоуравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной.Основная задача теории дифференциальных уравнений – изучение функций,являющихся решением таких уравнений. Решением дифференциального уравненияназывается функция, которая при подстановке в уравнение обращает его втождество.
Дифференциальные уравнения можноразделить на обыкновенные дифференциальные уравнения, в которых неизвестныефункции являются функциями одной переменной, и на дифференциальные уравнения вчастных производных, в которых неизвестные функции являются функциями двух ибольшего числа переменных.
Наивысший порядок производной,входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.
Процесс отыскания решениядифференциального уравнения называется его интегрированием, а график решениядифференциального уравнения – интегральной кривой.
Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение первогопорядка в общем случае можно записать в виде
<img src="/cache/referats/26966/image005.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> (1)
Уравнение связывает независимуюпеременную x, искомую функцию y и ее производную <img src="/cache/referats/26966/image007.gif" v:shapes="_x0000_i1029"><img src="/cache/referats/26966/image009.gif" v:shapes="_x0000_i1030">
<img src="/cache/referats/26966/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> (2)
и называют дифференциальным уравнениепервого порядка, разрешенным относительно производной.
Уравнение (2) устанавливает связьмежду координатами точки <img src="/cache/referats/26966/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> и угловымкоэффициентом <img src="/cache/referats/26966/image007.gif" v:shapes="_x0000_i1033"> касательной кинтегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно,дифференциальное уравнение <img src="/cache/referats/26966/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> дает совокупностьнаправлений (поле направлений) на плоскости Oxy. Таково геометрическое истолкованиедифференциального уравнения первого порядка.
Дифференциальное уравнение первогопорядка, разрешимое относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:
<img src="/cache/referats/26966/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> (3)
где <img src="/cache/referats/26966/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> и <img src="/cache/referats/26966/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> - известные функции.Уравнение (3) удобно тем, что переменные xи y в нем равноправны, т.е. любую изних можно рассматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записидифференциального уравнения можно перейти к другому.
Чтобы решение дифференциальногоуравнения приобрело конкретный смысл, его надо подчинить некоторымдополнительным условиям.
Условие, что при <img src="/cache/referats/26966/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1038"> функция y должна быть равна заданному числу <img src="/cache/referats/26966/image023.gif" v:shapes="_x0000_i1039"><img src="/cache/referats/26966/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> называется начальным условием. Начальное условиезаписывается в виде
<img src="/cache/referats/26966/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1041"> или <img src="/cache/referats/26966/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> (4)
Общим решением дифференциального уравнения первогопорядка называется функция <img src="/cache/referats/26966/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1043">
1. Функция <img src="/cache/referats/26966/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> является решениемдифференциального уравнения при каждом фиксированном значении c.
2. Каково бы ни было начальное условие(4), можно найти такое значение постоянной <img src="/cache/referats/26966/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1045"><img src="/cache/referats/26966/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1046"> удовлетворяет данномуначальному условию.
Частным решением дифференциального уравнения первогопорядка называется любая функция <img src="/cache/referats/26966/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1047"><img src="/cache/referats/26966/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> при конкретномзначении постоянной <img src="/cache/referats/26966/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1049">
Задача отыскания решениядифференциального уравнения первого порядка (3), удовлетворяющего заданномуначальному условию (4), называется задачейКоши.
Теорема (существования и единственностизадачи Коши). Если в уравнении (2) функция <img src="/cache/referats/26966/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1050"> и ее частнаяпроизводная <img src="/cache/referats/26966/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> непрерывны в некоторойобласти D, содержащей точку <img src="/cache/referats/26966/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1052"><img src="/cache/referats/26966/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> этого уравнения,удовлетворяющее начальному условию (4).
Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения порядкавыше первого называются дифференциальными уравнениями высших порядков.Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае запишется в виде
<img src="/cache/referats/26966/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1054"> (5)
или, если это возможно, в виде,разрешенном относительно старшей производной:
<img src="/cache/referats/26966/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> (6)
Решением дифференциального уравнения(6) называется всякая функция вида <img src="/cache/referats/26966/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1056">
Общим решением дифференциального уравненияназывается функция вида <img src="/cache/referats/26966/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1057"><img src="/cache/referats/26966/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> и <img src="/cache/referats/26966/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1059"> - не зависящее от x произвольные постоянные,удовлетворяющая условиям:
1. <img src="/cache/referats/26966/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1060"> является решениемдифференциального уравнения для каждого фиксированного значения <img src="/cache/referats/26966/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> и <img src="/cache/referats/26966/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1062">
2. Каковы бы ни были начальныеусловия
<img src="/cache/referats/26966/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1063"><img src="/cache/referats/26966/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1064"> (7)
существуют единственные значенияпостоянных <img src="/cache/referats/26966/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> и <img src="/cache/referats/26966/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1066"> такие, что функция <img src="/cache/referats/26966/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> является решениемуравнения (6) и удовлетворяет начальным условиям (7).
Всякое решение <img src="/cache/referats/26966/image068.gif" v:shapes="_x0000_i1068"> уравнения (6),получающееся из общего решения <img src="/cache/referats/26966/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1069"> при конкретныхзначениях постоянных <img src="/cache/referats/26966/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1070"> и <img src="/cache/referats/26966/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1071">частнымрешением.
Как и в случае уравнения первогопорядка, задача нахождения решения дифференциального уравнения,удовлетворяющего заданным начальным условиям (7), называется задачей Коши.
Теорема (существования и единственностизадачи Коши). Если в уравнении (6) функция <img src="/cache/referats/26966/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> и ее частныепроизводные <img src="/cache/referats/26966/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> и <img src="/cache/referats/26966/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1074"> непрерывны в некоторойобласти D изменения переменных x, y и <img src="/cache/referats/26966/image007.gif" v:shapes="_x0000_i1075"><img src="/cache/referats/26966/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1076"> существуетединственное решение <img src="/cache/referats/26966/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1077"> уравнения (6),удовлетворяющее начальным условиям (7).
Аналогичные понятия и определенияимеют место и для дифференциального уравнения <img src="/cache/referats/26966/image078.gif" v:shapes="_x0000_i1078"> порядка, которое вобщем виде записывается как
<img src="/cache/referats/26966/image080.gif" v:shapes="_x0000_i1079">
Нам часто будут встречаться функциивещественного переменного t, называемого временем. Производнаяпо t называется скоростью и обозначаетсячаще всего точкой наверху: <img src="/cache/referats/26966/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1080">t называется ускорением иобозначается: <img src="/cache/referats/26966/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1081">
ГлаваI
Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений §1.1 Свойства линейного оператора
Линейное уравнение <img src="/cache/referats/26966/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1082"> порядка имеет следующийобщий вид:
<img src="/cache/referats/26966/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> (1.1.1)
Если в рассматриваемом интервалеизменения x функция <img src="/cache/referats/26966/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1084"> тождественно равнанулю, то уравнение (1.1.1) принимает вид
<img src="/cache/referats/26966/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1085"> (1.1.2)
и называется однородным. Если <img src="/cache/referats/26966/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1086">неоднородным.
Будем предполагать, что функции <img src="/cache/referats/26966/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1087"><img src="/cache/referats/26966/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1088"> - непрерывны наинтервале <img src="/cache/referats/26966/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1089"><img src="/cache/referats/26966/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> при любом <img src="/cache/referats/26966/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1091"><img src="/cache/referats/26966/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1092"> будет только очевидноенулевое решение y= 0.
Для упрощения дальнейшего изложенияобозначим левую часть линейного уравнения (1.1.1) через <img src="/cache/referats/26966/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1093">
<img src="/cache/referats/26966/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1094"> (1.1.3)
Таким образом <img src="/cache/referats/26966/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1095"> есть результатвыполнения над функцией y операций,указанных в правой части формулы (1.1.3), а именно: вычисление производных отфункции y вплоть допорядка n включительно,умножение <img src="/cache/referats/26966/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1096"> на заданные функции <img src="/cache/referats/26966/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1097">L:
<img src="/cache/referats/26966/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1098">
и будем называть его линейнымдифференциальным оператором <img src="/cache/referats/26966/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1099">. В частности, линейный дифференциальныйоператор второго порядка имеет вид
<img src="/cache/referats/26966/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1100">
Пример 1. Рассмотрим оператор
<img src="/cache/referats/26966/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1101">
Вычислим <img src="/cache/referats/26966/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1102"><img src="/cache/referats/26966/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1103"> и <img src="/cache/referats/26966/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1104">
<img src="/cache/referats/26966/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1105">
Линейный дифференциальный оператор L обладает следующими основнымисвойствами (линейность оператора L):
1) постоянный множитель можно выноситьзнак оператора
<img src="/cache/referats/26966/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1106">
2) оператор от суммы двух функций равенсумме операторов от этих функций
<img src="/cache/referats/26966/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1107">
В справедливости этих свойств легкоубедиться непосредственной проверкой. В самом деле, имеем
<img src="/cache/referats/26966/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1108">
<img src="/cache/referats/26966/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1109">
<img src="/cache/referats/26966/image136.gif" v:shapes="_x0000_i1110">
<img src="/cache/referats/26966/image138.gif" v:shapes="_x0000_i1111"><img src="/cache/referats/26966/image140.gif" v:shapes="_x0000_i1112">
<img src="/cache/referats/26966/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1113">
Из этих основных свойств оператора L следует, что
<img src="/cache/referats/26966/image144.gif" v:shapes="_x0000_i1114">
т.е. оператор от линейной комбинации m функций равен линейной комбинацииоператоров от этих функций.
Используя оператор L, можно записать неоднородное иоднородное линейные уравнения (1.1.1) и (1.1.2) соответственно в виде
<img src="/cache/referats/26966/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1115"> (1.1.4)
и
<img src="/cache/referats/26966/image148.gif" v:shapes="_x0000_i1116"> (1.1.5)
Если функция <img src="/cache/referats/26966/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1117"> является решениемуравнения (1.1.4) или (1.1.5) в некотором интервале <img src="/cache/referats/26966/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1118">L от этой функции равно <img src="/cache/referats/26966/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1119"> или нулю при всех x из <img src="/cache/referats/26966/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1120">
<img src="/cache/referats/26966/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1121"> <img src="/cache/referats/26966/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1122">
или
<img src="/cache/referats/26966/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1123"> <img src="/cache/referats/26966/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1124">
§1.2 Линейные однородноедифференциальные уравнения второго порядкаРассмотрим линейноеоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
<img src="/cache/referats/26966/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1125"> (1.2.1)
и установим некоторые свойства егорешений.
Теорема 1. Если функции <img src="/cache/referats/26966/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1126"> и <img src="/cache/referats/26966/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1127"> являются частнымирешениями уравнения (1.2.1), то решением этого уравнения является также функция
<img src="/cache/referats/26966/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1128"> (1.2.2)
где <img src="/cache/referats/26966/image166.gif" v:shapes="_x0000_i1129"> и <img src="/cache/referats/26966/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1130"> - произвольныепостоянные.
Подставим функцию <img src="/cache/referats/26966/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1131"> и ее производные влевую часть линейного однородного уравнения (1.2.1). Получаем:
<img src="/cache/referats/26966/image170.gif" v:shapes="_x0000_i1132">
<img src="/cache/referats/26966/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1133">
<img src="/cache/referats/26966/image174.gif" v:shapes="_x0000_i1134">
так как функции <img src="/cache/referats/26966/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1135"> и <img src="/cache/referats/26966/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1136"> - решения уравнения(1.2.1) и, значит, выражения в скобках тождественно равны нулю.
Такимобразом, функция (1.2.2) также является решением уравнения (1.2.1).
Изтеоремы 1, как следствие, вытекает, что если <img src="/cache/referats/26966/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1137"> и <img src="/cache/referats/26966/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1138"> - решения уравнения(1.2.1), то решениями его будут также функции <img src="/cache/referats/26966/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1139"> и <img src="/cache/referats/26966/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1140">
Функция (1.2.2) содержитдве произвольные постоянные и является решением уравнения (1.2.1). Может ли онаявляться общим решением уравнения (1.2.1)? Для ответа на вопрос введем понятиелинейной зависимости и линейной независимости функций.
Функции <img src="/cache/referats/26966/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1141"> и <img src="/cache/referats/26966/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1142"> называются линейнонезависимыми на интервале <img src="/cache/referats/26966/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1143">
<img src="/cache/referats/26966/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1144"> (1.2.3)
где <img src="/cache/referats/26966/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1145"><img src="/cache/referats/26966/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1146">
Если хотя бы одно изчисел <img src="/cache/referats/26966/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1147"> или <img src="/cache/referats/26966/image192.gif" v:shapes="_x0000_i1148"> отлично от нуля ивыполняется равенство (1.2.3), то функции <img src="/cache/referats/26966/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1149"> и <img src="/cache/referats/26966/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1150"> называются линейнозависимыми на <img src="/cache/referats/26966/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1151">
Очевидно, что функции <img src="/cache/referats/26966/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1152"> и <img src="/cache/referats/26966/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1153"> линейно зависимы тогдаи только тогда, когда они пропорциональны, т.е. для всех <img src="/cache/referats/26966/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1154"> выполняется равенство <img src="/cache/referats/26966/image196.gif" v:shapes="_x0000_i1155"><img src="/cache/referats/26966/image198.gif" v:shapes="_x0000_i1156">
Например, функции <img src="/cache/referats/26966/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1157"> и <img src="/cache/referats/26966/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1158"> линейно зависимы: <img src="/cache/referats/26966/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1159"><img src="/cache/referats/26966/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1160"> и <img src="/cache/referats/26966/image207.gif" v:shapes="_x0000_i1161"> - линейно независимы: <img src="/cache/referats/26966/image209.gif" v:shapes="_x0000_i1162"><img src="/cache/referats/26966/image211.gif" v:shapes="_x0000_i1163"> и <img src="/cache/referats/26966/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1164"> являются линейнонезависимыми: равенство <img src="/cache/referats/26966/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1165"> выполняется для всех <img src="/cache/referats/26966/image217.gif" v:shapes="_x0000_i1166"> лишь при <img src="/cache/referats/26966/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1167"> (или <img src="/cache/referats/26966/image219.gif" v:shapes="_x0000_i1168">
Средством изучениялинейной зависимости системы функций является определитель Вронского иливронскиан.
Для двух дифференцируемыхфункций <img src="/cache/referats/26966/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1169"> и <img src="/cache/referats/26966/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1170"> вронскиан имеет вид
<img src="/cache/referats/26966/image221.gif" v:shapes="_x0000_i1171">
Имеют место следующиетеоремы.
Теорема 2. Если дифференцируемые функции <img src="/cache/referats/26966/image223.gif" v:shapes="_x0000_i1172"> и <img src="/cache/referats/26966/image225.gif" v:shapes="_x0000_i1173"> линейно зависимы на <img src="/cache/referats/26966/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1174">
Так как функции <img src="/cache/referats/26966/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1175"> и <img src="/cache/referats/26966/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1176"> линейно зависимы, то вравенстве (1.2.3) значение <img src="/cache/referats/26966/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1177"> и <img src="/cache/referats/26966/image192.gif" v:shapes="_x0000_i1178"> отлично от нуля. Пусть<img src="/cache/referats/26966/image229.gif" v:shapes="_x0000_i1179"><img src="/cache/referats/26966/image231.gif" v:shapes="_x0000_i1180"><img src="/cache/referats/26966/image194.gif" v:shapes="_x0000_i1181">
<img src="/cache/referats/26966/image233.gif" v:shapes="_x0000_i1182">
Теорема 3. Если функции <img src="/cache/referats/26966/image223.gif" v:shapes="_x0000_i1183"> и <img src="/cache/referats/26966/image225.gif" v:shapes="_x0000_i1184"> - линейно независимыерешения уравнения (1.2.1) на <img src="/cache/referats/26966/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1185">
Из теорем 2 и 3 следует,что вронскиан не равен нулю ни в однойточке интервала <img src="/cache/referats/26966/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1186"> тогда и только тогда,когда частные решения линейно независимы.
Совокупность любых двухлинейно независимых на интервале <img src="/cache/referats/26966/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1187"> частных решений <img src="/cache/referats/26966/image223.gif" v:shapes="_x0000_i1188"> и <img src="/cache/referats/26966/image225.gif" v:shapes="_x0000_i1189"> линейного однородногодифференциального уравнения второго порядка определяет фундаментальную системурешений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено каккомбинация <img src="/cache/referats/26966/image235.gif" v:shapes="_x0000_i1190">
Теперь можно сказать, прикаких условиях функция (1.2.2) будет общим решением уравнения (1.2.1).
Теорема 4. (структураобщего решения). Если два частных решения <img src="/cache/referats/26966/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1191"> и <img src="/cache/referats/26966/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1192"> линейного однородногодифференциального уравнения (1.2.1) образуют на интервале <img src="/cache/referats/26966/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1193"> фундаментальнуюсистему, то общим решением этого уравнения является функция
<img src="/cache/referats/26966/image237.gif" v:shapes="_x0000_i1194"> (1.2.4)
где <img src="/cache/referats/26966/image166.gif" v:shapes="_x0000_i1195"> и <img src="/cache/referats/26966/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1196"> - произвольныепостоянные.
Согласно теореме 1,функция (1.2.4) является решением уравнения (1.2.1). Остается доказать, что эторешение общее, т.е. что из него можно выделить единственное частное решение,удовлетворяющее заданным начальным условиям
<img src="/cache/referats/26966/image239.gif" v:shapes="_x0000_i1197"><img src="/cache/referats/26966/image241.gif" v:shapes="_x0000_i1198"> (1.2.5)
где <img src="/cache/referats/26966/image243.gif" v:shapes="_x0000_i1199">
Подставив начальныеусловия (1.2.5) в решение (1.2.2), получим систему уравнений
<img src="/cache/referats/26966/image245.gif" v:shapes="_x0000_i1200">
где <img src="/cache/referats/26966/image247.gif" v:shapes="_x0000_i1201"> и <img src="/cache/referats/26966/image249.gif" v:shapes="_x0000_i1202">
Так как решения <img src="/cache/referats/26966/image223.gif" v:shapes="_x0000_i1203"> и <img src="/cache/referats/26966/image225.gif" v:shapes="_x0000_i1204"> образуютфундаментальную систему решений на <img src="/cache/referats/26966/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1205"> и <img src="/cache/referats/26966/image243.gif" v:shapes="_x0000_i1206"><img src="/cache/referats/26966/image253.gif" v:shapes="_x0000_i1207">
<img src="/cache/referats/26966/image255.gif" v:shapes="_x0000_i1208"> <img src="/cache/referats/26966/image257.gif" v:shapes="_x0000_i1209">
Решение <img src="/cache/referats/26966/image259.gif" v:shapes="_x0000_i1210"> является частнымрешением (единственным, в силу теоремы единственности) уравнения (1.2.1),удовлетворяющим начальным условиям (1.2.5).
Теорема доказана.
§1.3 Интегрирование однородноголинейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами методом Эйлера1.3.1 Предварительные замечанияРассмотрим линейное уравнение n-ого порядка
<img src="/cache/referats/26966/image261.gif" v:shapes="_x0000_i1211"> (1.3.1)
где коэффициенты <img src="/cache/referats/26966/image263.gif" v:shapes="_x0000_i1212"> суть вещественныечисла, а правая часть <img src="/cache/referats/26966/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1213"> непрерывна в некотороминтервале <img src="/cache/referats/26966/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1214"> <img src="/cache/referats/26966/image265.gif" v:shapes="_x0000_i1215">
Так как интегрированиенеоднородного линейного уравнения приводится к интегрированию соответствующегооднородного уравнения, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решенияоднородного уравнения
<img src="/cache/referats/26966/image267.gif" v:shapes="_x0000_i1216"> (1.3.2)
Для нахождения общегорешения этого уравнения достаточно знать фундаментальную систему решений. Таккак коэффициенты уравнения постоянны и, следовательно, заведомо непрерывны привсех значениях x, то согласно теоремеПикара и все решения уравнения (1.3.2) определены при всех значениях x. Поэтому в дальнейшем мы не будемуказывать ни интервал существования частных решений, ни область общего решения.
Эйлер доказал, что дляоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами всегда можнопостроить фундаментальную систему решений, состоящую из элементарных функций,и, следовательно, это уравнение всегда интегрируется в элементарных функциях.
1.3.2 Случайразличных корней характеристического уравненияЧастным случаем линейныходнородных дифференциальных уравнений являются линейные однородныедифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Пусть дано линейноеоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
<img src="/cache/referats/26966/image269.gif" v:shapes="_x0000_i1217"> (1.3.3)
где <img src="/cache/referats/26966/image271.gif" v:shapes="_x0000_i1218"> и <img src="/cache/referats/26966/image273.gif" v:shapes="_x0000_i1219"> - вещественные числа.Будем, следуя Эйлеру, искать частное решение уравнения (1.3.3) в виде
<img src="/cache/referats/26966/image275.gif" v:shapes="_x0000_i1220"> (1.3.4)
где <img src="/cache/referats/26966/image277.gif" v:shapes="_x0000_i1221"> - подлежащееопределению число (вещественное или комплексное). Согласно определению решенияфункции (1.3.4) будет решением уравнения (1.3.3), если <img src="/cache/referats/26966/image277.gif" v:shapes="_x0000_i1222"> выбрано так, чтофункция (1.3.4) обращает это уравнение в тождество
<img src="/cache/referats/26966/image279.gif" v:shapes="_x0000_i1223"> (1.3.5)
Вычисляя <img src="/cache/referats/26966/image281.gif" v:shapes="_x0000_i1224">
<img src="/cache/referats/26966/image283.gif" v:shapes="_x0000_i1225"> (1.3.6)
будем иметь
<img src="/cache/referats/26966/image285.gif" v:shapes="_x0000_i1226">
так что
<img src="/cache/referats/26966/image287.gif" v:shapes="_x0000_i1227"> (1.3.7)
или
<img src="/cache/referats/26966/image289.gif" v:shapes="_x0000_i1228">
где
<img src="/cache/referats/26966/image291.gif" v:shapes="_x0000_i1229">
Из (1.3.7) следует, чтоинтересующее нас тождество (1.3.5) будет выполнятся тогда и только тогда, когда<img src="/cache/referats/26966/image293.gif" v:shapes="_x0000_i1230"><img src="/cache/referats/26966/image277.gif" v:shapes="_x0000_i1231"> является корнемуравнения
<img src="/cache/referats/26966/image295.gif" v:shapes="_x0000_i1232"> (1.3.8)
Это уравнение называется характеристическим уравнением, а егокорни – характеристическими числами уравнения (1.3.3).
Заметим, чтохарактеристическое уравнение (1.3.8) может быть составлено по данномудифференциальному уравнению (1.3.3) заменой <img src="/cache/referats/26966/image297.gif" v:shapes="_x0000_i1233"><img src="/cache/referats/26966/image007.gif" v:shapes="_x0000_i1234"> и <img src="/cache/referats/26966/image300.gif" v:shapes="_x0000_i1235"> на <img src="/cache/referats/26966/image302.gif" v:shapes="_x0000_i1236"><img src="/cache/referats/26966/image277.gif" v:shapes="_x0000_i1237"> и 1, т.е. степень <img src="/cache/referats/26966/image277.gif" v:shapes="_x0000_i1238"> совпадает с порядкомпроизводной, если условиться считать, что производная нулевого порядка отфункции есть сама функция <img src="/cache/referats/26966/image304.gif" v:shapes="_x0000_i1239">
Структура фундаментальнойсистемы решений, а вместе с ней и общего решения уравнения (1.3.3) зависит отвида корней характеристического уравнения (1.3.8).
Рассмотрим сначаласлучаи, когда эти корни различные и вещественные. Обозначим их через <img src="/cache/referats/26966/image306.gif" v:shapes="_x0000_i1240"> и <img src="/cache/referats/26966/image308.gif" v:shapes="_x0000_i1241"><img src="/cache/referats/26966/image277.gif" v:shapes="_x0000_i1242"> числа <img src="/cache/referats/26966/image306.gif" v:shapes="_x0000_i1243"> и <img src="/cache/referats/26966/image308.gif" v:shapes="_x0000_i1244">
<img src="/cache/referats/26966/image312.gif" v:shapes="_x0000_i1245"><img src="/cache/referats/26966/image314.gif" v:shapes="_x0000_i1246"> (1.3.9)
Эти решения, очевидно, линейнонезависимы, так как их отношение
<img src="/cache/referats/26966/image316.gif" v:shapes="_x0000_i1247">
не равно тождественно постояннойвеличине. В линейной независимости решений (1.3.9) можно убедиться также припомощи определителя Вронского. Имеем
<img src="/cache/referats/26966/image318.gif" v:shapes="_x0000_i1248">
Следовательно, частныерешения (1.3.9) образуют фундаментальную систему решений. А тогда общимрешением уравнения (1.3.3) будет
<img src="/cache/referats/26966/image320.gif" v:shapes="_x0000_i1249">
Пример 1. Рассмотрим уравнение
<img src="/cache/referats/26966/image322.gif" v:shapes="_x0000_i1250">
Характеристическимуравнением будет
<img src="/cache/referats/26966/image324.gif" v:shapes="_x0000_i1251">
Его корни <img src="/cache/referats/26966/image326.gif" v:shapes="_x0000_i1252"><img src="/cache/referats/26966/image328.gif" v:shapes="_x0000_i1253"> (вещественные иразличные). Поэтому фундаментальная система решений имеет вид
<img src="/cache/referats/26966/image330.gif" v:shapes="_x0000_i1254"><img src="/cache/referats/26966/image332.gif" v:shapes="_x0000_i1255">
а общим решением будет
<img src="/cache/referats/26966/image334.gif" v:shapes="_x0000_i1256">
Пример 2. Пусть дано уравнение
<img src="/cache/referats/26966/image336.gif" v:shapes="_x0000_i1257">
Имеем
<img src="/cache/referats/26966/image338.gif" v:shapes="_x0000_i1258">
<img src="/cache/referats/26966/image340.gif" v:shapes="_x0000_i1259"><img src="/cache/referats/26966/image342.gif" v:shapes="_x0000_i1260">
Общим решением будет
<img src="/cache/referats/26966/image344.gif" v:shapes="_x0000_i1261">
Предположим теперь, чтокорни характеристического уравнения комплексные.Так как коэффициенты этого уравнения вещественные, то эти комплексные корниявляются сопряженными, так что ониимеют вид
<img src="/cache/referats/26966/image346.gif" v:shapes="_x0000_i1262"> <img src="/cache/referats/26966/image348.gif" v:shapes="_x0000_i1263">
Подставляя корень <img src="/cache/referats/26966/image350.gif" v:shapes="_x0000_i1264"> в формулу (1.3.4),получим комплексное решение
<img src="/cache/referats/26966/image352.gif" v:shapes="_x0000_i1265"> (1.3.10)
Но
<img src="/cache/referats/26966/image354.gif" v:shapes="_x0000_i1266">
поэтому решение (1.3.10) можнозаписать так
<img src="/cache/referats/26966/image356.gif" v:shapes="_x0000_i1267"> (1.3.11)
Отделяя в комплексномрешении (1.3.11) вещественную и мнимую части, получим два вещественных частныхрешения
<img src="/cache/referats/26966/image358.gif" v:shapes="_x0000_i1268"><img src="/cache/referats/26966/image360.gif" v:shapes="_x0000_i1269"> (1.3.12)
Эти решения независимы,так как
<img src="/cache/referats/26966/image362.gif" v:shapes="_x0000_i1270">
Аналогично убеждаемся,что сопряженному корню <img src="/cache/referats/26966/image348.gif" v:shapes="_x0000_i1271"> соответствуютвещественные частные решения
<img src="/cache/referats/26966/image364.gif" v:shapes="_x0000_i1272"><img src="/cache/referats/26966/image366.gif" v:shapes="_x0000_i1273"> (1.3.13)
Решения (1.3.13),очевидно, линейно зависимы с решениями (1.3.12).
Таким образом, паресопряженных комплексных корней <img src="/cache/referats/26966/image368.gif" v:shapes="_x0000_i1274"> соответствуют двавещественных линейно независимых частных решения (1.3.12).
Решения (1.3.12) образуютфундаментальную систему решенийуравнения (1.3.3). Поэтому
<img src="/cache/referats/26966/image370.gif" v:shapes="_x0000_i1275">
или
<p