Реферат: Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

Министерство общего  и профессионального образования

Сочинский государственный университеттуризма

и курортного дела

Педагогический институт

Математический факультет

Кафедра общей математики

ДИПЛОМНАЯРАБОТА

Использованиедифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальныхпроцессов.

<div v:shape="_x0000_s1027">

подпись

                      студентка 5-го курса

                                                дневной формы обучения

                                              Специальность 010100

                                „Математика”

                                      Прокофьевой Я. К.

                                                         Студенческий билет № 95035

<div v:shape="_x0000_s1026">

подпись

                                      доцент,канд.                                                                                                                                                                                        

                                                                     техн. наук                                                                                                                                   

                                                                          Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

<span Times New Roman",«serif»; mso-fareast-font-family:«Times New Roman»;position:relative;top:18.0pt; mso-text-raise:-18.0pt;mso-ansi-language:RU;mso-fareast-language:RU;mso-bidi-language: AR-SA">

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………..……3

Глава 1. Уравнениягиперболического типа.

§1.1. Задачи,приводящие к уравнениям гиперболического типа..………………5

1.1.1. Уравнение колебанийструны..…………………………………………5

1.1.2. Уравнениеэлектрических колебаний в проводах…….………………8

§1.2. Метод разделенияпеременных ……………………………………………..10

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны….…………………………10

Глава 2. Уравнения параболического типа.

§2.1. Задачи,приводящие к уравнениям параболического типа………………..17

2.1.1. Уравнениераспространения тепла в стержне.……………………….17

2.1.2. Распространение теплав пространстве.………………………………19

§2.2. Температурныеволны.……………………………………………………….23

Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частныхпроизводных.

§3.1. Дифракция излучения насферической частице……………………………29

Заключение………………………………………………………………………….40

Литература…………………………………………………………………………..41

ВВЕДЕНИЕ

Изучением дифференциальныхуравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теорииэтих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интегральном исчислении» Л.Эйлера.

Классическиеуравнения математической физики являются линейными. Особенность линейныхуравнений состоит в том, что если Uи V– два решения, то функция <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">a

U+ <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-ansi-language: EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">bVпри любых постоянных <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-ansi-language:EN-US;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">aи <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">bснова является решением.Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного  дифференциального уравнения из фиксированногонабора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современнаяобщая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейнымиуравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методомрешения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступаетчисленное интегрирование.

Кругвопросов математической физики тесно связан с изучением различных физическихпроцессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости,электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержатмного общих элементов и составляют предмет математической физики.

Постановка задачматематической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем,имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадиипроцесса носят качественно различный характер и требуют применения различныхматематических методов.

Кругвопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В даннойработе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям счастными производными.

Расположениематериала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типауравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениямрассматриваемого типа.

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО  ТИПА

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

Уравнения с частнымипроизводными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются вфизических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнениегиперболического типа

<img src="/cache/referats/6953/image002.gif" v:shapes="_x0000_i1025">

называетсяволновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрениепроцессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня,электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа ит.д.

1.1.1.Уравнение колебаний струны.

Вматематической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения,возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к еепрофилю. Пусть струна длины <img src="/cache/referats/6953/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> в начальный моментнаправлена по отрезку оси Оxот 0 до <img src="/cache/referats/6953/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/6953/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1028">

Будемрассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силуэтого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярнооси Oxи в одной плоскости. При этомпредположении процесс колебания струны описывается одной функцией <img src="/cache/referats/6953/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1029">xв момент t.

u

x

M

M1

M2

x

x1

x2

<img src="/cache/referats/6953/image009.gif" v:shapes="_x0000_s1052 _x0000_s1053 _x0000_s1054 _x0000_s1055 _x0000_s1056 _x0000_s1057 _x0000_s1058 _x0000_s1059 _x0000_s1060 _x0000_s1061 _x0000_s1062 _x0000_s1063 _x0000_s1064 _x0000_s1065 _x0000_s1066 _x0000_s1067">


Рис. 1.1.

Таккак мы рассматриваем малые отклонения струны в плоскости <img src="/cache/referats/6953/image011.gif" v:shapes="_x0000_i1030"><img src="/cache/referats/6953/image013.gif" v:shapes="_x0000_i1031"> равняется ее проекциина ось Ox, т.е. <img src="/cache/referats/6953/image015.gif" v:shapes="_x0000_i1032">1 Также будемпредполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим егочерез Т.

Рассмотримэлемент струны <img src="/cache/referats/6953/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1033">

x

M

<img src="/cache/referats/6953/image022.gif" v:shapes="_x0000_s1040 _x0000_s1041 _x0000_s1042 _x0000_s1043 _x0000_s1044 _x0000_s1045 _x0000_s1047 _x0000_s1048 _x0000_s1049 _x0000_s1050 _x0000_s1051 _x0000_s1068 _x0000_s1069 _x0000_s1070 _x0000_s1071 _x0000_s1072 _x0000_s1073"> <div v:shape="_x0000_s1046">

x


Рис. 1.2.

На концахэтого элемента, по касательным к струне, действуют силы Т. Пусть касательныеобразуют с осью Oxуглы <img src="/cache/referats/6953/image024.gif" v:shapes="_x0000_i1034">Ouсил, действующих на элемент <img src="/cache/referats/6953/image017.gif" v:shapes="_x0000_i1035"><img src="/cache/referats/6953/image026.gif" v:shapes="_x0000_i1036"><img src="/cache/referats/6953/image027.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> мал, то можно положить<img src="/cache/referats/6953/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1038">

<img src="/cache/referats/6953/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1039">

(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению,стоящему в квадратных скобках).

Чтобыполучить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу,приравнять силе инерции. Пусть <img src="/cache/referats/6953/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1040">  — линейная плотностьструны. Тогда масса элемента струны будет <img src="/cache/referats/6953/image035.gif" v:shapes="_x0000_i1041"><img src="/cache/referats/6953/image037.gif" v:shapes="_x0000_i1042">

<img src="/cache/referats/6953/image039.gif" v:shapes="_x0000_i1043">

Сокращая на<img src="/cache/referats/6953/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> и обозначая <img src="/cache/referats/6953/image043.gif" v:shapes="_x0000_i1045">

<img src="/cache/referats/6953/image045.gif" v:shapes="_x0000_i1046">                                                     (1)

Это и есть волновое уравнение – уравнение колебанийструны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1)недостаточно. Искомая функция <img src="/cache/referats/6953/image047.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> должна удовлетворятьеще граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны <img src="/cache/referats/6953/image049.gif" v:shapes="_x0000_i1048">t = 0).Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, как мыпредполагали, концы струны при <img src="/cache/referats/6953/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> неподвижны. Тогда прилюбом t должнывыполнятся равенства:

<img src="/cache/referats/6953/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1050">                                                  (2’)

<img src="/cache/referats/6953/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1051">                                                  (2’’)

Эти равенства являются граничными условиями для нашейзадачи.

В начальный момент t = 0 струна имеетопределенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяетсяфункцией f (x). Таким образом, должнобыть

<img src="/cache/referats/6953/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1058">                                            (3’)

Далее, в начальный момент должна быть задана скорость вкаждой точке струны, которая определяется функцией <img src="/cache/referats/6953/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1059">

<img src="/cache/referats/6953/image060.gif" v:shapes="_x0000_i1060">                                               (3’’)

Условия (3’) и (3’’) являются начальными условиями.

Замечание. В частности, может быть <img src="/cache/referats/6953/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> или <img src="/cache/referats/6953/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1062"><img src="/cache/referats/6953/image062.gif" v:shapes="_x0000_i1063"> и <img src="/cache/referats/6953/image064.gif" v:shapes="_x0000_i1064"><img src="/cache/referats/6953/image066.gif" v:shapes="_x0000_i1065">

1.1.2. Уравнение электрических колебаний впроводах.

Как указывалось выше, куравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах.Электрический ток в проводе характеризуется величиной i (x, t) инапряжением v (x, t), которые зависят от координаты x точки провода и от времени t. Рассматривая элементпровода <img src="/cache/referats/6953/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1066"><img src="/cache/referats/6953/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1067"> равно <img src="/cache/referats/6953/image070.gif" v:shapes="_x0000_i1068"><img src="/cache/referats/6953/image072.gif" v:shapes="_x0000_i1069"><img src="/cache/referats/6953/image074.gif" v:shapes="_x0000_i1070">

<img src="/cache/referats/6953/image076.gif" v:shapes="_x0000_i1071">                                   (4)

где Rи L – сопротивление икоэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу длины провода. Знак минусвзят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию v. Сокращая на <img src="/cache/referats/6953/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1072">

<img src="/cache/referats/6953/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1073">                                              (5)

Далее, разность токов, выходящего из элемента <img src="/cache/referats/6953/image041.gif" v:shapes="_x0000_i1074"> и входящего в него завремя <img src="/cache/referats/6953/image082.gif" v:shapes="_x0000_i1075">

<img src="/cache/referats/6953/image084.gif" v:shapes="_x0000_i1076">

Она расходуется на зарядку элемента, равную <img src="/cache/referats/6953/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1077"><img src="/cache/referats/6953/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1078"> (здесь А – коэффициентутечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на <img src="/cache/referats/6953/image090.gif" v:shapes="_x0000_i1079">

<img src="/cache/referats/6953/image092.gif" v:shapes="_x0000_i1080">                                            (6)

Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными уравнениями.

Из системы уравнений (5) и (6)можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию i (x, t), иуравнение, содержащее только искомую функцию v (x, t). Продифференцируем членыуравнения (6) по x;члены уравнения (5) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя вычитание, получим:

<img src="/cache/referats/6953/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1081">

Подставляя в последнее уравнение выражение <img src="/cache/referats/6953/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1082"> из уравнения (5),получим:

<img src="/cache/referats/6953/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1083">

или

<img src="/cache/referats/6953/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1084">                           (7)

Аналогичным образом получается уравнение для определения v (x, t):

<img src="/cache/referats/6953/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1085">                          (8)

Если пренебречь утечкой черезизоляцию <img src="/cache/referats/6953/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1086"> и сопротивлением <img src="/cache/referats/6953/image106.gif" v:shapes="_x0000_i1087">

<img src="/cache/referats/6953/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1088">

где обозначено: <img src="/cache/referats/6953/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1089">

§1.2. Метод разделения переменных.

1.2.1.Уравнение свободных колебаний струны.

Метод разделения переменных или метод Фурье, является однимиз наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными.Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленнойна концах. Итак, будем искать решение уравнения

<img src="/cache/referats/6953/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1090">

удовлетворяющееоднородным граничным условиям

<img src="/cache/referats/6953/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1091">                                              (9)

иначальным условиям

<img src="/cache/referats/6953/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1092">                                                 (10)

Уравнение(1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решениемэтого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можнопопытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомоерешение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

<img src="/cache/referats/6953/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1093">

не равноетождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

<img src="/cache/referats/6953/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1094">                                                 (11)

и представимое в виде произведения

<img src="/cache/referats/6953/image120.gif" v:shapes="_x0000_i1095">                                            (12)

где X(x) – функциятолько переменного x, T(t) – функциятолько переменного t.

Подставляяпредполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:

<img src="/cache/referats/6953/image122.gif" v:shapes="_x0000_i1096">

или,после деления на XT,

<img src="/cache/referats/6953/image124.gif" v:shapes="_x0000_i1097">                                                (13)

Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство(13) должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ <img src="/cache/referats/6953/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1098">t› 0.Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некотороезначение х и меняя t(илинаоборот), получим, что правая и левая части равенства (13) при изменении своихаргументов сохраняют постоянное значение

<img src="/cache/referats/6953/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1099">                                        (14)

где<img src="/cache/referats/6953/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1100"> – постоянная, которуюдля удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагаяпри этом о ее знаке.

Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальныеуравнения для определения функций  X(x) и T(t)

<img src="/cache/referats/6953/image130.gif" v:shapes="_x0000_i1101">                            (15)

<img src="/cache/referats/6953/image132.gif" v:shapes="_x0000_i1102">                            (16)

Граничные условия (11) дают:

<img src="/cache/referats/6953/image134.gif" v:shapes="_x0000_i1103">

Отсюдаследует, что функция X(x) должна удовлетворять дополнительным условиям:

X(0) = X(<img src="/cache/referats/6953/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1104">) = 0,                                                 (17)

Так как иначе мы имели бы

<img src="/cache/referats/6953/image136.gif" v:shapes="_x0000_i1105">

вто время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T(t) восновной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.

Таким образом, в связи с нахождением функции X(x) мыприходим к простейшей задаче о собственных значениях:

найти тезначения параметра <img src="/cache/referats/6953/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1106">

<img src="/cache/referats/6953/image138.gif" v:shapes="_x0000_i1107">                                                 (18)

а также найти эти решения.Такиезначения параметра <img src="/cache/referats/6953/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1108"> называютсясобственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения –собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу частоназывают задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотримотдельно случаи, когда параметр <img src="/cache/referats/6953/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1109"> отрицателен, равеннулю или положителен.

1.<span Times New Roman"">              

При <img src="/cache/referats/6953/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1110"> ‹ 0 задача не имеетнетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид

<img src="/cache/referats/6953/image140.gif" v:shapes="_x0000_i1111">

Граничные условия дают:

Х (0) = С1 + С2 = 0;

<img src="/cache/referats/6953/image142.gif" v:shapes="_x0000_i1112"><img src="/cache/referats/6953/image144.gif" v:shapes="_x0000_i1113">

т. е.

<img src="/cache/referats/6953/image146.gif" v:shapes="_x0000_i1114">

Нов рассматриваемом случае <img src="/cache/referats/6953/image148.gif" v:shapes="_x0000_i1115"> – действительно иположительно, так что <img src="/cache/referats/6953/image150.gif" v:shapes="_x0000_i1116">

С1 =0, С2 = 0

и,следовательно,

Х (х)<img src="/cache/referats/6953/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1117">

2.<span Times New Roman"">              

При <img src="/cache/referats/6953/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1118"> = 0 также несуществует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решениеуравнения (15) имеет вид

Х (х) = С1х + С2.

Граничныеусловия дают:

<img src="/cache/referats/6953/image154.gif" v:shapes="_x0000_i1119">

т.е. С1 = 0 и С2 = 0 и, следовательно,

Х (х)<img src="/cache/referats/6953/image152.gif" v:shapes="_x0000_i1120">

3.<span Times New Roman"">              

 При <img src="/cache/referats/6953/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1121"> › 0 общее решениеуравнения может быть записано в виде

<img src="/cache/referats/6953/image156.gif" v:shapes="_x0000_i1122">

Граничныеусловия дают:

<img src="/cache/referats/6953/image158.gif" v:shapes="_x0000_i1123">

ЕслиХ(х) не равно тождественно нулю, то D2<img src="/cache/referats/6953/image160.gif" v:shapes="_x0000_i1124">

<img src="/cache/referats/6953/image162.gif" v:shapes="_x0000_i1125">                                                 (19)

или

<img src="/cache/referats/6953/image164.gif" v:shapes="_x0000_i1126">

гдеn — любое целое число. Следовательно,нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях

<img src="/cache/referats/6953/image166.gif" v:shapes="_x0000_i1127">

Этимсобственным значениям соответствуют собственные функции

<img src="/cache/referats/6953/image168.gif" v:shapes="_x0000_i1128">

гдеDn–произвольная постоянная.

Итак, только при значениях <img src="/cache/referats/6953/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1129">

<img src="/cache/referats/6953/image170.gif" v:shapes="_x0000_i1130">                                                      (20)

существуютнетривиальные решения задачи (11)

<img src="/cache/referats/6953/image172.gif" v:shapes="_x0000_i1131">                                                (21)

определяемыес точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице.Этим же значениям <img src="/cache/referats/6953/image128.gif" v:shapes="_x0000_i1132">nсоответствуют решения уравнения (9)

<img src="/cache/referats/6953/image174.gif" v:shapes="_x0000_i1133">                                   (22)

гдеAnи Bn– произвольные постоянные.

Возвращаяськ задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции

<img src="/cache/referats/6953/image176.gif" v:shapes="_x0000_i1134">                        (23)

являютсячастными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) ипредставимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависиттолько от х, другая – от t. Этирешения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачитолько для частных случаев начальных функций <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">j

(x) и <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">y(x).

Обратимсяк решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности иоднородности уравнения (1) сумма частных решений

<img src="/cache/referats/6953/image178.gif" v:shapes="_x0000_i1135">                       (24)

такжеудовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условияпозволяют определить Anи Bn. Потребуем, чтобы функция (24)удовлетворяла условиям (10)

<img src="/cache/referats/6953/image180.gif" v:shapes="_x0000_i1136">                (25)

Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывнаяи кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке  <img src="/cache/referats/6953/image182.gif" v:shapes="_x0000_i1137">

<img src="/cache/referats/6953/image184.gif" v:shapes="_x0000_i1138">                                         (26)

где    

<img src="/cache/referats/6953/image186.gif" v:shapes="_x0000_i1139">                                            (27)

Если функции <span Times New Roman"; mso-hansi-font-family:«Times New Roman»;mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family: Symbol">j

(x)и  <span Times New Roman";mso-hansi-font-family:«Times New Roman»; mso-char-type:symbol;mso-symbol-font-family:Symbol">y(x) удовлетворяют условиямразложения в ряд Фурье, то

<img src="/cache/referats/6953/image188.gif" v:shapes="_x0000_i1140">                   (28)

<img src="/cache/referats/6953/image190.gif" v:shapes="_x0000_i1141">                  (29)

Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что длявыполнения начальных условий надо положить

<img src="/cache/referats/6953/image192.gif" v:shapes="_x0000_i1142">                                       (30)

чемполностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.

Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты Anи Bnопределены по формуле (30), если он допускаетдвукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u(x, t), которая является решением уравнения (1) иудовлетворяет граничным  и начальнымусловиям (9) и (10).

Замечание.Решая рассмотренную задачу дляволнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляетрешение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. Приэтом функция <img src="/cache/referats/6953/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1143">  должна быть дваждыдифференцируемой, а <img src="/cache/referats/6953/image195.gif" v:shapes="_x0000_i1144">  — один раздифференцируемой.

Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО  ТИПА

§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

2.1.1.<span Times New Roman"">             

Уравнениераспространения тепла в стержне.

Рассмотрим однородныйстержень длины <img src="/cache/referats/6953/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1145">

Расположим ось Ох так, чтоодин конец стержня будет совпадать с точкой х = 0, а другой – с точкой х = <img src="/cache/referats/6953/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1146">

x1

x2

<img src="/cache/referats/6953/image196.gif" v:shapes="_x0000_s1028 _x0000_s1029 _x0000_s1030 _x0000_s1031 _x0000_s1032 _x0000_s1033 _x0000_s1034 _x0000_s1035 _x0000_s1036 _x0000_s1037">  

 

 


Рис. 2.1.

Пусть u (x, t) – температурав сечении стержня с абсциссой х в момент t. Опытным путем установлено, что скорость распространения тепла, т. е.количество тепла, протекающего через сечение с абсциссой х за единицу времени,определяется формулой

<img src="/cache/referats/6953/image198.gif" v:shapes="_x0000_i1147">                                                (1)

где S –площадь сечения рассматриваемого стержня, k – коэффициент теплопроводности.

Рассмотрим элемент стержня,заключенный между сечениями с абсциссами х1 и х2 (х2– х1 = <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1148">1за время <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1149">

<img src="/cache/referats/6953/image202.gif" v:shapes="_x0000_i1150">                                                  (2)

то же самое с абсциссой х2:

<img src="/cache/referats/6953/image204.gif" v:shapes="_x0000_i1151">                                                 (3)

Приток <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1152">1 —   <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1153">Q2 в элемент стержня за время <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1154">

<img src="/cache/referats/6953/image206.gif" v:shapes="_x0000_i1155">                      (4)

Этот притоктепла за время <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1156"><img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1157">

<img src="/cache/referats/6953/image208.gif" v:shapes="_x0000_i1158">

или

<img src="/cache/referats/6953/image210.gif" v:shapes="_x0000_i1159">                                       (5)

где с –теплоемкость вещества стержня, <img src="/cache/referats/6953/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1160"> – плотность веществастержня (<img src="/cache/referats/6953/image033.gif" v:shapes="_x0000_i1161"><img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1162">

Приравнивая выражения (4) и(5) одного и того же количества тепла <img src="/cache/referats/6953/image213.gif" v:shapes="_x0000_i1163">

<div v:shape="_x0000_s1038">

(6)

<img src="/cache/referats/6953/image215.gif" v:shapes="_x0000_i1164">

Это и есть уравнениераспространения тепла (уравнение теплопроводности) в однородном стержне.

Чтобы решение уравнения (6)было вполне определено, функция u (x, t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическимусловиям задачи. Краевые условия для решения уравнения (6) могут бытьразличные. Условия, которые соответствуют так называемой первой краевой задачедля <img src="/cache/referats/6953/image217.gif" v:shapes="_x0000_i1166">

u (x, 0) = φ(x),                                                    (7)

u (0, t) = ψ1(t),                                                   (8)

u (<img src="/cache/referats/6953/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1167">, t) = ψ2(t).                                                  (9)

Физическое условие (7)(начальное условие) соответствует тому, что при <img src="/cache/referats/6953/image219.gif" v:shapes="_x0000_i1168"> в разных сеченияхстержня задана температура, равная φ(x). Условия (8) и (9) (граничныеусловия) соответствуют тому, что на концах стержня при х = 0 и при х = <img src="/cache/referats/6953/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1169"> поддерживаетсятемпература, равная ψ1(t) и ψ2(t)соответственно.

Доказывается, что уравнение(6) имеет единственное решение в области <img src="/cache/referats/6953/image221.gif" v:shapes="_x0000_i1170">

2.1.2.Распространение тепла в пространстве.

Рассмотрим процессраспространения тепла в трехмерном пространстве. Пусть u (x, y, z, t) –температура в точке с координатами (x, y, z) с момент времени t. Опытным путемустановлено, что скорость прохождения тепла через площадку <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1171"> (1))

<img src="/cache/referats/6953/image223.gif" v:shapes="_x0000_i1172">                                               (10)

где k –коэффициент теплопроводности рассматриваемой среды, которую мы считаемоднородной и изотропной, n – единичный вектор, направленный по нормали кплощадке  <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1173">

<img src="/cache/referats/6953/image225.gif" v:shapes="_x0000_i1174">

где <img src="/cache/referats/6953/image227.gif" v:shapes="_x0000_i1175"> – направляющиекосинусы вектора n, или

<img src="/cache/referats/6953/image229.gif" v:shapes="_x0000_i1176">

Подставляявыражение <img src="/cache/referats/6953/image231.gif" v:shapes="_x0000_i1177"> в формулу (10),получаем:

<img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1178">Q = -k n grad u <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1179">s.

Количество тепла,протекающего за время ∆t через площадку ∆s, будет равно:

<img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1180">Q<img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1181">t = -k n grad u <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1182">t <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1183">s.

Вернемся к поставленнойзадаче. В рассматриваемой среде выделим малый объем V, ограниченныйповерхностью S. Количество тепла, протекающего через поверхность S, будетравно:

<img src="/cache/referats/6953/image233.gif" v:shapes="_x0000_i1184">                                   (11)

где n –единичный вектор, направленный по внешней нормали к поверхности S. Очевидно,что формула (11) дает количество тепла, поступающего в объем V (или уходящегоиз объема V) за время <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1185">

Рассмотрим элементарныйобъем <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1186"><img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1187"><img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1188"><img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1189">

<img src="/cache/referats/6953/image235.gif" v:shapes="_x0000_i1190">

где с –теплоемкость вещества, ρ – плотность. Общее количество тепла, затраченноена повышение температуры в объеме V за время <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1191">

<img src="/cache/referats/6953/image237.gif" v:shapes="_x0000_i1192">

Но это есть тепло,поступающее в объем V за время <img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1193">

<img src="/cache/referats/6953/image239.gif" v:shapes="_x0000_i1194">

Сокращая на<img src="/cache/referats/6953/image200.gif" v:shapes="_x0000_i1195">

<img src="/cache/referats/6953/image241.gif" v:shapes="_x0000_i1196">                                (12)

Поверхностный интеграл,стоящий в левой части этого равенства, преобразуем по формуле Остроградского (ввекторной форме, где F – дивергенция векторн

еще рефераты
Еще работы по математике