Реферат: Математическое моделирование прыжка с трамплина

Министерство Общего иПрофессионального Образования РФ

Пермский государственныйтехнический университет

Кафедра математическогомоделирования систем и процессов

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

к выпускной работе

на степень бакалавра математическихнаук

Математическое моделирование полеталыжника

при прыжках с трамплина

Выполнил студент группы ММ-93 Подгаец А.Р.

Научный руководитель - профессор кафедры теоретической

механикиПГТУ, кандидат физико-

математическихнаук Р.Н.Рудаков

Пермь 1997

Оглавление

1. Введение

1.1. Обзор литературы

2. Концептуальная постановка задачи

2.1. Геометрические элементы трамплинов

2.2. Собственно концептуальная постановка

3. Математическая постановка задачи

3.1. Предположения

3.2 Уравнения движения

4. Обтекание трамплинной горы потоком воздуха

4.1. Концептуальная постановка задачи

4.2. Математическая постановка

4.3. Численное решение

4.4. Результаты

4.1. Выводы по главе

5. Решение основной задачи

5.4. Исследование решения

4.5. Анализ результатов

4.6. Выводы по главе

6. Заключение

1. Введение

«Достижениялыжников-прыгунов на состязаниях любого ранга, будь то всесоюзные илимеждународные соревнования, первенства мира или олимпийские игры, предопределенывсей историей прыжков на лыжах — творческим трудом ученых, тренеров, самихспортсменов. Неоднократное низвержение „законодателей стиля“,устоявшихся взглядов на „каноны“ техники всегда знаменовало собой»новый" этап, который тут же становился «пройденным», вразвитии спорта.… Постоянное усовершенствование спортивной техники,модернизация спортивных сооружений (профилей трамплинов) — вот основные условиявысоких достижений в прыжках на лыжах."

(Грозин Е. А., «Прыжки страмлина»)

Этот вид спорта — прыжки на лыжах с трамплина — появилсяна свете в конце XIX века в Скандинавских странах и на севере России. Это одиниз «молодых» видов спорта, рожденных уже в эру научно-техническойреволюции. Нельзя не заметить и то, что состязания прыгунов представляют смертельнуюугрозу для новичка. Кроме того, прыжки на лыжах с трамплина связаны не только ссилой мускулов, реакцией и удачей, но и с тонким расчетом, основанным на знаниифизических законов природы и возможностей человека. Учитывая все это, можноожидать, что этот вид спорта будет нуждаться в поддержке со стороны науки.

Первые работы, посвященные прыжкам на лыжах относятся к1924 году. Их автор — норвежец Р. Штрауман — и прыгун Тулин Тамс известны вспортивном мире, как создатели «норвежского стиля» прыжков страмплина. Этот год ознаменовал приход на спортивный Олимп норвежских прыгунов,которые занимали призовые места чуть ли не до середины 50-х годов. К 1954 годуотносится следующая научных изысканий, результатом которых стал «финскийстиль», впервые продемострированный на Олимпийских играх прыгуном ТауноЛуиро. К концу 50-х относятся работы советских ученых Андреева В.А., НирембергаГ.Р., Химичева М.А. и Нагорного В.Э. и таких прыгунов как Н. Каменский, К.Цакадзе, Н. Шамов. В начале 60-х спортивные победы достаются спортсменам изГДР, за которыми несомненно тоже стоит коллектив тренеров и ученых. К 1969 годуотносится феноменальное событие в истории прыжков на лыжах с трамплина. Вовремя соревнований «Неделя полетов» в г. Планица (Югославия) предыдущий мировой рекорд — <st1:metricconverter ProductID=«141 метр» w:st=«on»>141 метр</st1:metricconverter> — был побит шестьраз. Новым мировым рекордом стал прыжок на <st1:metricconverter ProductID=«165 метров» w:st=«on»>165 метров</st1:metricconverter>.

Этот успех всколыхнул волну новых научных исследованийво всех странах. В конце 80-х — начале 90-х годов на спортивной арене появилсяV-стиль, с которым связаны новые успехи и достижения.

Каждый стиль — это своя техника прыжка, опирающаяся нанаучный опыт. Хочется надеяться, что данная работа послужит если не еще однойступенькой в этом восхождении, то хотя бы заделом для будущей работы,принесущей реально значимые для российских спортсменов плоды.

1.1. Обзор литературы

Как и было сказано выше, данная работа, конечно же, неявляется первой в области моделирования прыжков. Более того, она во многомопирается на опыт наших предшественников.

В своей книге «Прыжки с трамлина» [1],вышедшей в 1971 году, Е.А.Грозин рассматривает последовательно все стадиипрыжка: разгон, полет и приземление. В работе детально рассмотрен сам полет,составлена математическая модель, использующая коэффициенты аэродинамическогосопротивления, полученные из экспериментов в аэродинамической трубе, икинограммы прыжков. Разобраны различные техники прыжка, популярные в 50-е, 60-егоды и показано превосходство вторых над первыми. Автор рассматривает такжеразгон и приземление, но комплексного исследования не проводит, то есть,например, при анализе приземления не учитывается посадочная скорость, котораяобусловлена всем предыдущим движением лыжника. Указаны лишь очевидные границыдля нее и способы гашения. В работе есть место и математическим выкладкам, и практическимсоветам. Несомненно, эта книга была способна принести много пользы прыгунам — идействительно принесла. Положительной стороной книги является рассмотрение всехстадий прыжка, что у нас присутствует пока только в планах на будущее.

Вопросам моделирования прыжка с трамплина посвященыработы Л.П.Ремизова [2,3]. Первая из них, опубликованная в советском журнале«Теория и практика физической культуры» в 1973 году, создаетвпечатление то ли выборки, то ли предварительных результатов для второй работы,опубликованной десятилетием позже в международном журнале по биомеханике.Отличие разительное: 2 страницы — и полномасштабное исследование, включающее всебя и эти 2 страницы. Обе статьи посвящены нахождению оптимальной траекторииполета лыжника-прыгуна при помощи принципа максимума Понтрягина. Склон горыприземления задан некоторой функцией, так же как и коэффициентыаэродинамического сопротивления, и задача решается в такой обобщеннойпостановке почти до конца. Естественно, что аналитическое решение поставленнойзадачи найти очень трудно, и для каждого вида функций задача решается численно.В обеих статьях используются коэффициенты аэродинамического сопротивления,полученные Грозиным в 1971 году, то есть эти работы также проведены для давноустаревших способов прыжка. Их результатом явился вывод, что угол атаки прыгунадолжен не оставаться постоянным, как считалось ранее, а медленно возрастать вполете. Сейчас мы видим плоды этого и других подобных исследований винструкциях по прыжкам с трамплина, где сказано, что прыгун должен постепеннораспрямляться и поднимать лыжи. Таким образом, данная работа является намекомна необходимость проведения такого же исследования для современных способовпрыжка.

Наконец, в последнюю очередь кратко остановимся насовсем новой статье [4], опубликованной в 1997 году в журнале «Теория ипрактика физической культуры» несколькими авторами из города Великие Луки.Один из них, будучи математиком, демонстрирует оригинальный математическийметод расчета дальности прыжка с привлечением теории функций комплексногопеременного. В конце статьи выведена формула, позволяющая легко вычислятьдальность прыжка, основываясь на данных о прыгуне, трамплине и ветре. Цельпоставлена благая: дать тренеру и конструктору возможность легко рассчитывать дальностьпрыжка, не вдаваясь в физические сложности. Однако в этой работе допущенаошибка при записи уравнений движения — неверно учтена скорость ветра. Неисследуется зависимость аэродинамических коэффициентов от угла атаки и самикоэффициенты, взятые из [1], соответствуют старым способам прыжка. Угол вылетапрыгуна положителен, в то время как таких трамплинов не делают по меньшей мереуже тридцать лет. Также скорость ветра считается постоянной по модулю инаправлению в любой точке траектории лыжника.

Во всех рассмотренных работах не анализируетсяпосадочная скорость лыжника, а между тем травмы в этом виде спорта случаются нетолько при приземлении «вверх тормашками», но и при казалось бынормальной посадке. Также ни в одной работе не учтено влияние ветра вокрестностях трамплинной горы.

2. Концептуальная постановка задачи

2.1.Геометрические элементы трамплинов

Трамплины создаются под определеннуюдальность полета прыгунов, которую вычисляют как расстояние от точки старта доточки приземления по склону. Трамплины делятся по дальности на 5 категорий:

маленькие трамплины 20-<st1:metricconverter ProductID=«45 м» w:st=«on»>45 м</st1:metricconverter>

средние трамплины 50-<st1:metricconverter ProductID=«70 м» w:st=«on»>70 м</st1:metricconverter>

нормальные трамплины 75-<st1:metricconverter ProductID=«90 м» w:st=«on»>90 м</st1:metricconverter>

большие трамплины 105-<st1:metricconverter ProductID=«120 м» w:st=«on»>120 м</st1:metricconverter>

трамплины для полетов 145-<st1:metricconverter ProductID=«185 м» w:st=«on»>185 м</st1:metricconverter>

Соревнования в России проводятся, какправило, на больших трамплинах, а международные соревнования — на трамплинахдля полетов. Для того, чтобы лыжник, идущий на рекорд, не разбился, улетев запределы склона приземления или недолетев до него, существуют специальныеформулы и нормы для расчета геометрических параметров трамплинов.

Рис. 1. Основные геометрические элементытрамплина

Трамплин состоит из участка дляразгона и так называемого стола отрыва, с которого лыжники уходят в свободныйполет. Стол отрыва наклонен к горизонтали под небольшим отрицательным углом, обычноот -6о до -12о. Здесь собственно трамплин заканчивается,а все, что дальше, называется горой приземления или трамплинной горой. Высотастола отрыва над склоном горы приземления обычно обозначается <img src="/cache/referats/2622/image004.gif" v:shapes="_x0000_i1026"> и составляет от 2% до4% от максимальной дальности, обозначаемой <img src="/cache/referats/2622/image006.gif" v:shapes="_x0000_i1027"><img src="/cache/referats/2622/image008.gif" v:shapes="_x0000_i1028"> и шириной <img src="/cache/referats/2622/image010.gif" v:shapes="_x0000_i1029"><img src="/cache/referats/2622/image012.gif" v:shapes="_x0000_i1030">О до -40О,и участка торможения. Участок торможения как правило имеет профиль, плавнозакругляющийся вверх. Расстояние по горизонтали от канта отрыва — крайней точкистола отрыва — до точки максимальной дальности обозначается <img src="/cache/referats/2622/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1031">

2.2.Собственно концептуальная постановка

Кратко цель данной работы звучит так:«как прыгнуть, чтобы улететь подальше и не разбиться?» Изменяя своюпозицию во время отрыва, относительное положение ног, рук и корпуса, атлетможет контролировать траекторию своего полета в воздухе, управляя углом атаки.Задача формулируется следующим образом: как должен лыжник управлять своимтелом, чтобы приземлиться настолько далеко, насколько возможно, и при этомиметь приемлемую посадочную скорость.

Если старт и полет проходят нормально, то практическиневозможно приземлиться раньше начала склона приземления. Но существует другаяопасность. Лыжник оканчивает полет с большой скоростью, которую необходимопогасить. Для этого существует слегка закругляющийся участок торможения. Ноесли прыгун перелетает критическую точку, то он серьезно рискует, так как дальшесклон закругляется вверх, и угол, под которым его траектория подходит к склону,будет составлять уже не 5-10О, а значительно больше. Поэтомуприземление ральше или позже специально созданного для этого участкаприземления в первом случае невозможно, а во втором — недопустимо. Параллельнаясклону составляющая скорости гасится при дальнейшем движении лыжника позкругленному склону. Наибольшую опасность при приземлении представляет собойсоставляющая скорости, перпендикулярная склону, так как при слишком большойнормальной скорости кроме больших ударных нагрузок также есть риск упасть — притом, что в момент приземления лыжник имеет скорость в несколько десятков км/ч.Поэтому нормальная к склону составляющая посадочной скорости не должнапревышать 7 м/с, а желательно должнасоставлять 3-5 м/с.

3. Математическая постановка задачи

3.1. Предположения

Поверхность земли считаем плоской, аплотность воздуха и ускорение свободного падения — постоянными.

Ось абсцисс направим в сторону полеталыжников параллельно горизонту, ось ординат — вверх через край стола отрыва,называемый кантом отрыва. Начало координат расположено так, что абсцисса точкистарта и ордината критической точки <img src="/cache/referats/2622/image014.gif" v:shapes="_x0000_i1032"> — конца участкаприземления — равны нулю. Если нет бокового ветра и других возмущений, центрмасс лыжника описывает кривую в вертикальной плоскости, то есть задачу полетаможно рассматривать как двухмерную.

Очевидно, прыгун может изменять свои аэродинамические параметры, на которые влияютследующие факторы:

*

кинетический момент системыпрыгун-лыжи относительно оси, перпендирулярной плоскости рисунка и проходящейчерез центр масс системы, в момент отрыва и в полете;

*

изменение момента инерциисистемы относительно той же оси в полете;

*

различные активные и реактивныеэффекты, связанные с вращением различных частей тела вследствие работы мышц.

Результаты многих исследований кинозаписей (Грозин,1971,Komi et al.,1974) доказываютотносительную статичность положения каждого прыгуна в полете. Это упрощаетописание картины перемещений и скоростей системы прыгун-лыжи и позволяетиспользовать индивидуальные экспериментальные характеристики, получаемые ваэродинамической трубе. Благодаря этому было введено предположение онеизменности позы лыжника в полете.

Весь прыжок можно разбить на четыре фазы: взлет,группировку, собственно полет и подготовку к приземлению. Первая фаза длитсяпримерно 0.3 с, вторая — 0.8-0.9 с, третья — 0.3-0.6 с. Все остальное времяпоза лыжника практически не меняется — см. рис.2 [1].

Рис.2. Изменение угла атаки прыгуна во время прыжка

(пооси абсцисс отложено отношение текущейдальности к полной дальности прыжка, по оси ординат — угол атаки туловища вградусах по результатам среднего прыжка).

Таким образом, в основной фазе полет прыгуна близок к поступательномудвижению, что делает естественным предположение о замене рассмотрения прыгунарассмотрением движения его центра масс.

3.2 Уравнения движения

На прыгуна в полете действуют двеосновные силы: аэродинамическая сила и сила тяжести. Разложим аэродинамическуюсилу на две составляющие — подъемную силу и силу лобового сопротивления (см.рис.3) — и запишем второй закон Ньютона для центра масс системы лыжник-лыжи:

<img src="/cache/referats/2622/image019.gif" v:shapes="_x0000_i1034"> (1)

где <img src="/cache/referats/2622/image021.gif" v:shapes="_x0000_i1035"> — сила тяжести;

<img src="/cache/referats/2622/image023.gif" v:shapes="_x0000_i1036"> масса системыпрыгун-лыжи;

<img src="/cache/referats/2622/image025.gif" v:shapes="_x0000_i1037"> ускорение центрамасс системы;

<img src="/cache/referats/2622/image029.gif" v:shapes="_x0000_i1039"> — подъемная сила;

<img src="/cache/referats/2622/image031.gif" v:shapes="_x0000_i1040"> — сила лобовогосопротивления.

Рис. 3. Система координат и основные силы, действующие на прыгуна вполете.

Сила лобовогосопротивления направлена по касательной к траектории противоположно скорости ипропорциональна квадрату модуля скорости: <img src="/cache/referats/2622/image034.gif" v:shapes="_x0000_i1042"> (2)

а подъемная сила направлена по нормали ктраектории и по модулю равна: <img src="/cache/referats/2622/image036.gif" v:shapes="_x0000_i1043"> (3)

где коэффициент <img src="/cache/referats/2622/image038.gif" v:shapes="_x0000_i1044"> [6]. Коэффициент <img src="/cache/referats/2622/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1045"> определяетсяпредельной скоростью системы лыжник-лыжи <img src="/cache/referats/2622/image042.gif" v:shapes="_x0000_i1046">

<img src="/cache/referats/2622/image044.gif" v:shapes="_x0000_i1047"> (4)

Предельная скорость — это скоростьустановившегося свободного падения тела в воздухе.

Спроецировав (1) на оси координат,путем несложных преобразований приходим к дифференциальным уравнениям движения:

<img src="/cache/referats/2622/image046.gif" v:shapes="_x0000_i1048"> (5)

Понизим порядок системы:

<img src="/cache/referats/2622/image048.gif" v:shapes="_x0000_i1049"> (6)

Следует также помнить, что воздушнаясреда находится в движении, в воздухе вокруг трамплинной горы задано векторноеполе скоростей ветра. То есть все предыдущие уравнения записаны дляотносительных скоростей и их следует переписать для абсолютных скоростей.

<img src="/cache/referats/2622/image050.gif" v:shapes="_x0000_i1050"> (7)

где <img src="/cache/referats/2622/image052.gif" v:shapes="_x0000_i1051"> — горизонтальная, а <img src="/cache/referats/2622/image054.gif" v:shapes="_x0000_i1052"> — вертикальнаясоставляющая скорости ветра.

Начальные условия:

<img src="/cache/referats/2622/image056.gif" v:shapes="_x0000_i1053"> (8)

Очевидно, что в общем случае задачаесли и решается аналитически, то очень сложно, поэтому целесообразнее решать еечисленно. Критерием окончания расчета будет служить выполнение одного изследующих условий:

*

пересечение траектории сосклоном горы;

*

вылет прыгуна за пределыучастка приземления:<img src="/cache/referats/2622/image058.gif" v:shapes="_x0000_i1054">

Рассмотрим коэффициенты <img src="/cache/referats/2622/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1055"> и<img src="/cache/referats/2622/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1056">

Вернемся к началу этой главы. Для силылобового сопротивления (2) и подъемной силы (3) существуют и другие выражения[6,7]:

<img src="/cache/referats/2622/image063.gif" v:shapes="_x0000_i1057"> (9)

<img src="/cache/referats/2622/image065.gif" v:shapes="_x0000_i1058"> (10)

где <img src="/cache/referats/2622/image067.gif" v:shapes="_x0000_i1059"><img src="/cache/referats/2622/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1060">

<img src="/cache/referats/2622/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1061"> — коэффициентподъемной силы, <img src="/cache/referats/2622/image073.gif" v:shapes="_x0000_i1062"> — площадь миделя(площадь сечения системы прыгун-лыжи в плоскости, перпендикулярной набегающемупотоку воздуха). Если считать, что лыжник и лыжи находятся в одной плоскости,то площадь миделя при заданном угле атаки <img src="/cache/referats/2622/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1063"><img src="/cache/referats/2622/image077.gif" v:shapes="_x0000_i1064"><img src="/cache/referats/2622/image079.gif" v:shapes="_x0000_i1065"> — площадь миделя приугле атаки 900. Угол атаки складывается из угла <img src="/cache/referats/2622/image081.gif" v:shapes="_x0000_i1066"><img src="/cache/referats/2622/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1067">

Рис. 4. Определение углаатаки системы лыжник-лыжи.

Как видно из кинограмм прыжков,приводимых, например, в [1], и из наблюдений за прыгунами, угол между лыжами игоризонталью в полете практически не меняется, меняется лишь угол междускоростью и горизонталью. Тогда, учитывая выражения (2) и (9), можно записать:

<img src="/cache/referats/2622/image086.gif" v:shapes="_x0000_i1072"> (11)

Из рис. 4 видно, что

<img src="/cache/referats/2622/image088.gif" v:shapes="_x0000_i1073"> (12)

Аэродинамические коэффициенты <img src="/cache/referats/2622/image069.gif" v:shapes="_x0000_i1074"> и <img src="/cache/referats/2622/image071.gif" v:shapes="_x0000_i1075"> можно найти из опытовв аэродинамической трубе. Однако в настоящее время мы не располагаем этимиданными для современных техник прыжка, поэтому в данной работе используетсялишь оценка аэродинамических коэффициентов. Рассмотрим лыжника и окрыжающий еговоздух. Если рассмотреть воздух, как идеальный газ, состоящий из круглыхупругих частичек, то согласно теории удара аэродинамическая сила будетнаправлена по нормали к поверхности лыж (см. рис. 5).

Рис. 5

Подъемная сила и сила лобового сопротивления в потоке идеальногогаза.

сила лобового сопротивления и подъемная сила.

Угол между скоростью и лыжами — это уголатаки <img src="/cache/referats/2622/image075.gif" v:shapes="_x0000_i1078">

<img src="/cache/referats/2622/image094.gif" v:shapes="_x0000_i1079"> (13)

Окончательно имеем следующиевыражения для <img src="/cache/referats/2622/image040.gif" v:shapes="_x0000_i1080"> и <img src="/cache/referats/2622/image061.gif" v:shapes="_x0000_i1081">

<img src="/cache/referats/2622/image096.gif" v:shapes="_x0000_i1082"> (14)

где

<img src="/cache/referats/2622/image098.gif" v:shapes="_x0000_i1083"> (15)

В формуле (14) <img src="/cache/referats/2622/image100.gif" v:shapes="_x0000_i1084"> — это угол отрыва, тоесть угол, под которым траектория наклонена к горизонтали в начальный моментвремени. Минус поставлен потому, что <img src="/cache/referats/2622/image102.gif" v:shapes="_x0000_i1085"><img src="/cache/referats/2622/image104.gif" v:shapes="_x0000_i1086"> понимается предельнаяскорость системы лыжник-лыжи в момент отрыва (в начальный момент времени).

Система дифференциальных уравнений (7) саэродинамическими коэффициентами, вычисляемыми в каждый момент времени поформулам (14), (15), образует замкнутую систему уравнений. Если к ней добавитьначальные условия (8), данная задача будет являться задачей Коши.

В заключение приводится сравнениереальных аэродинамических коэффициентов прыгунов 60-х и нашей оценки. На рис. 6видно, что вид зависимости коэффициентов друг от друга с угол атаки в качествепараметра слабо отличается, и коэффициент подъемной силы в нашей работе выше,чем в экспериментах тридцатилетней давности. Это хорошо согласуется с темфактом, что за прошедшие годы прыгуны научились развивать большую подъемную силу. Также если сравнить полученные нами графикизависимости аэродинамических коэффициентов от угла атаки (рис. 7) саналогичными графиками в [1] на страницах 10-11, 13-14 и 15-16, видно, что видзависимости сохранился.

Рис. 6.

Зависимость коэффициента подъемной силы от коэффициентасопротивления с углом атаки в качестве параметра.

Кривая А — наша оценка, кривая В — эксперименты в аэродинамическойтрубе с моделями прыгунов, использующих старую технику прыжка.

Рис. 7.

Зависимость коэффициентов силы лобового сопротивления и подъемнойсилы от угла атаки.
4. Обтекание трамплиннойгоры потоком воздуха

4.1. Концептуальная постановказадачи

Эта глава посвящена задаче обтекания воздухомтрамплинной горы. Цель данной работы — спрогнозировать поле скоростей ветравблизи трамплина, чтобы можно было использовать эти данные в модели полеталыжника и более точно оценить влияние ветра на полет.

Сам трамплин достаточно узок и не играет значительнойроли в формировании воздухных потоков, поэтому рассматривается только гора.

Для решения задачи была привлечена теория пограничногослоя. Воздух в пограничном слое вблизи земли считается вязкой несжимаемойжидкостью. Это не противоречит очевидной сжимаемости воздуха: как будетпоказано ниже, условие сжимаемости (согласно [8], где используется термин«искусственная сжимаемость») будет выглядеть точно так же, как иусловие несжимаемости. Рассматривается двумерная постановка задачи теченияжидкости в достаточно большой области, чтобы течение во входном и выходномсечениях и на верхней границе можно было считать строго горизонтальным. Намизвестны экспериментальные данные по среднесезонным и среднегодовым скоростямветра на разных высотах, их можно использовать для проверки и выбора входныхданных. В [9], например, скорости ветра заданы в виде нечетких чисел, у которыхфункция принадлежности имеет вероятностный смысл, а носитель измеряется в м/с:

Скорости ветра в среднем по зимнему сезону (среднеезначение):

скорость ветра на высоте от 40 до <st1:metricconverter ProductID=«120 м» w:st=«on»>120 м</st1:metricconverter> (4.9 м/с):

(«0 до 2»/0.188, «2 до 5»/0.420, «5 до10»/0.352, «10 до 15»/ 0.037, «свыше 15»/0.003)

скорость ветра на высоте <st1:metricconverter ProductID=«500 м» w:st=«on»>500 м</st1:metricconverter> (11.4 м/с):

(«0 до 2»/0.061, «2 до 5»/0.125, «5 до10»/0.336, «10 до 15»/ 0.241, «свыше 15»/0.237)

скорость ветра на высоте от <st1:metricconverter ProductID=«1000 м» w:st=«on»>1000 м</st1:metricconverter> (11.3 м/с):

(«0 до 2»/0.073, «2 до 5»/0.114, «5 до10»/0.290, «10 до 15»/ 0.280, «свыше 15»/0.243)

скорость ветра на высоте от <st1:metricconverter ProductID=«1500 м» w:st=«on»>1500 м</st1:metricconverter> (11.6 м/с):

(«0 до 2»/0.087, «2 до 5»/0.076, «5 до10»/0.276, «10 до 15»/ 0.306, «свыше 15»/0.255)

Среднегодовые скорости ветра (среднее значение):

скорость ветра на высоте от 40 до <st1:metricconverter ProductID=«120 м» w:st=«on»>120 м</st1:metricconverter> (4.7 м/с):

(«0 до 2»/0.214, «2 до 5»/0.442, «5 до10»/0.316, «10 до 15»/ 0.026, «свыше 15»/0.002)

скорость ветра на высоте <st1:metricconverter ProductID=«500 м» w:st=«on»>500 м</st1:metricconverter> (8.9 м/с):

(«0 до 2»/0.117, «2 до 5»/0.194, «5 до10»/0.370, «10 до 15»/ 0.187, «свыше 15»/0.132)

скорость ветра на высоте <st1:metricconverter ProductID=«1000 м» w:st=«on»>1000 м</st1:metricconverter> (9.2 м/с):

(«0 до 2»/0.110, «2 до 5»/0.183, «5 до10»/0.336, «10 до 15»/ 0.225, «свыше 15»/0.146)

скорость ветра на высоте <st1:metricconverter ProductID=«1500 м» w:st=«on»>1500 м</st1:metricconverter> (9.4 м/с):

(«0 до 2»/0.126, «2 до 5»/0.168, «5 до10»/0.284, «10 до 15»/ 0.274, «свыше 15»/0.148)

Как видно из этих данных, начиная с высоты <st1:metricconverter ProductID=«500 метров» w:st=«on»>500 метров</st1:metricconverter> скоростьветра мало изменяется, значит, эту величину можно принять в качестве толщиныпограничного слоя. Рассматриваемая область имеет прямоугольную форму свыпуклостью на нижней границе — трамплинной горой.

Контрольный счет проводился при следующих граничныхусловиях:

во входном сечении:<img src="/cache/referats/2622/image108.gif" v:shapes="_x0000_i1089"> (16)

в выходном сечении:<img src="/cache/referats/2622/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1090"> (17)

на верхней границе:<img src="/cache/referats/2622/image110.gif" v:shapes="_x0000_i1091"> (18)

на нижней границе:<img src="/cache/referats/2622/image112.gif" v:shapes="_x0000_i1092"> (19)

Рассматриваются достаточно малые скорости, так как присильном ветре прыжки запрещены. Малость скоростей позволяет пренебречьконвективными членами и считать течение ламинарным. Силой тяжести на данномэтапе мы также пренебрегаем. Надо сказать, что мы сознаем некоторую натянутостьтакой постановки, в следующей работе эта задача будет решена уже с учетом иконвективного члена, и силы тяжести.

4.2. Математическая постановка

Течение вязкой несжимаемой жидкости описываетсяследующими уравнениями [7]:

<img src="/cache/referats/2622/image114.gif" v:shapes="_x0000_i1093"> (20)

Для двумерной постановки эти уравнения приводятся кследующему виду:

<img src="/cache/referats/2622/image116.gif" v:shapes="_x0000_i1094"> (21)

Согласно [8] для описания сжимаемых жидкостей первоеуравнение из (21) может быть заменено на следующее: <img src="/cache/referats/2622/image118.gif" v:shapes="_x0000_i1095">

Задача решалась с граничными условиями (16)-(19).

В качестве области брался прямоугольник с выступом ввиде трамплинной горы. Сам трамплин достаточно узок, и не вносит существенноговклада в формирование воздушного потока, поэтому он не рассматривается.Трамплинная гора состоит из участка необработанного склона — дуги окружности сизвестным радиусом кривизны, длиной и высотой, участка обработанного склона,предназначенного для приземления лыжников — прямой с известным углом кгоризонтали и длиной и закругления с известным радиусом для безопасности тех,кто улетает за пределы допустимой дальности.

4.3. Численное решение

Задача решалась методом Галеркина в терминахскорость-давление. Метод конечных элементов был использован, так как онпозволяет более точно, чем метод сеток, аппроксимировать границы области.Задача решалась в естественных переменных для простоты удовлетворения граничнымусловиям. Для решения задачи была составлена программа, основными частямикоторой были разбиение области на конечные элементы, составление и решениесистемы уравнений. Система уравнений имеет ленточный вид, что позволилозначительно увеличить количество конечных элементов. В программе былаиспользована линейная аппроксимация скоростей и кусочно-постояннаяаппроксимация давления. Дело в том, что в [7] показано, что наибольшая точностьи устойчивость метода конечных элементов для подобных задач достигается, еслиаппроксимация скоростей на порядок выше аппроксимации давлений. Для давленийиспользовались четырехугольные конечные элементы, делившиеся для скоростей надва треугольных.

Рис. 8.

Конечноэлементнаясетка, использовавшаяся при решении задачи.

Показанытолько четырехугольные элементы.

4.4. Результаты

При перепаде давлений между входным и выходным сечениямирасчетной области 2<img src="/cache/referats/2622/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1097">-<st1:metricconverter ProductID=«6 мм» w:st=«on»>6мм</st1:metricconverter>рт. ст. (около 4<img src="/cache/referats/2622/image121.gif" v:shapes="_x0000_i1098">-4 Па) скорость ветра на верхней границесоставила примерно 11 м/с, а на высоте, где обычно летают лыжники — около 5м/с, что вполне согласуется с приведенными выше опытными данными.

Задача решалась при различных граничных условиях, чтопозволило выяснить, как влияет на расчет заданный перепад давлений или заданнаявходная скорость. Оказалось, что задав силовое граничное условие — перепаддавлений — получаем такие скорости, что если задать их в качествекинематических граничных условий, получается тот же перепад давлений, что и впервой задаче.

Из рисунка 9 видно, что во входном и в выходном участкахобласти скорость ветра строго горизонтальна, а в районе горы имеет вертикальнуюсоставляющую, так как воздушный поток огибает гору. На рисунке 10, показывающемраспределение поля давлений, видно, что давление над горой ниже, чем под горой,что и является причиной восходящего (огибающего гору) тока воздуха.

Рис.9

Полескоростей ветра в окрестностях горы.

5. Расчетполета лыжника

Задача Коши (7),(14),(15),(8) решалась методом Гауссарешения систем дифференциальных уравнений.

Траекторию при заданных уравнениях движения и трамплинеопределяют три «входных» патаметра: начальная скорость <img src="/cache/referats/2622/image126.gif" v:shapes="_x0000_i1100"><img src="/cache/referats/2622/image083.gif" v:shapes="_x0000_i1101"> и предельная скорость <img src="/cache/referats/2622/image129.gif" v:shapes="_x0000_i1102"><img src="/cache/referats/2622/image131.g

еще рефераты

Еще работы по математике

Реферат по математике

Адаптивное параметрическое оценивание квадратно-корневыми информационными алгоритмами

20 Июня 2015

Реферат по математике

Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

20 Июня 2015

Реферат по математике

Модернизация электронной подписи Эль-Гамаля

29 Августа 2013

Реферат по математике

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов

29 Августа 2013