Реферат: Теория вероятности

Выполнил: Дубчинов Чингисученик 9 «А» класса

г.Улан-Удэ 2008 г.

Введение

Теория вероятностей возникла в середине XVII в. всвязи с задачами расчета шансов выигрыша игроков в азартных играх. Страстныйигрок в кости француз де Мере, стараясь разбогатеть, придумывал новые правилаигры. Он предлагал бросать кость четыре раза подряд и держал пари, что при этомхотя бы один раз выпадет шестерка (6 очков). Для большей уверенности в выигрышеде Мере обратился к своему знакомому, французскому математику Паскалю, спросьбой рассчитать вероятность выигрыша в этой игре. Приведем рассужденияПаскаля. Игральная кость представляет собой правильный кубик, на шести граняхкоторого нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (число очков). При бросании кости«наудачу» выпадение какого-либо числа очков является случайнымсобытием; оно зависит от многих неучитываемых воздействий: начальные положенияи начальные скорости различных участков кости, движение воздуха на ее пути, теили иные шероховатости в месте падения, возникающие при ударе о поверхностьупругие силы и т. д. Так как эти воздействия имеют хаотичный характер, то всилу соображений симметрии нет оснований отдавать предпочтение выпадению одногочисла очков перед другим (если, конечно, нет неправильностей в самой кости иликакой-то исключительной ловкости бросающего).

Поэтому при бросании кости имеется шесть исключающихдруг друга равновозможных случаев, и вероятность выпадения данного числа очковследует принять равной 1/6 (или100/6 %). При двукратном бросании костирезультат первого бросания — выпадение определенного числа очков — не окажетникакого влияния на результат второго бросания, следовательно, всехравновозможных случаев будет 6 · 6 = 36. Из этих 36 равновозможных случаев в 11случаях шестерка появится хотя бы один раз и в 5 · 5 = 25 случаях шестерка невыпадет ни разу.

Шансы на появление шестерки хотя бы один раз будутравны 11 из 36, другими словами, вероятность события А, состоящего в том, чтопри двукратном бросании кости появится хотя бы один раз шестерка, равна11/100,т. е. равна отношению числа случаев благоприятствующих событию А к числу всехравновозможных случаев. Вероятность того, что шестерка не появится ни разу, т.е. вероятность события />, называемого противоположнымсобытию A, равна25/36. При трехкратном бросании кости число всехравновозможных случаев будет 36 · 6 = 63, при четырехкратном 63 · 6 = 64. Притрехкратном бросании кости число случаев, в которых шестерка не появится ниразу, равно 25 · 5 = 53, при четырехкратном 53 · 5 = 54. Поэтому вероятностьсобытия, состоящего в том, что при четырехкратном бросании ни разу не выпадетшестерка, равна/>, а вероятность противоположногособытия, т. е. вероятность появления шестерки хотя бы один раз, или вероятностьвыигрыша де Мере, равна ./>

Таким образом, у де Мере было больше шансов выиграть,чем проиграть.

Рассуждения Паскаля и все его вычисления основаны наклассическом определении понятия вероятности как отношения числаблагоприятствующих случаев к числу всех равновозможных случаев.

Важно отметить, что произведенные выше расчеты и самопонятие вероятности как числовой характеристики случайного события относились кявлениям массового характера. Утверждение, что вероятность выпадения шестеркипри бросании игральной кости равна 1/6, имеет следующий объективный смысл: прибольшом количестве бросаний доля числа выпадений шестерки будет в среднем равна1\6; так, при 600 бросаниях шестерка может появиться 93, или 98, или 105 и т.д. раз, однако при большом числе серий по 600 бросаний среднее число появленийшестерки в серии из 600 бросаний будет весьма близко к 100.

Отношение числа появлений события к числу испытанийназывается частостью события. Для однородных массовых явлений частости событийведут себя устойчиво, т. е. мало колеблются около средних величин, которые ипринимаются за вероятности этих событий (статистическое определение понятиявероятности).

В XVII-XVIII вв. теория вероятностей развиваласьнезначительно, так как область ее применения, ввиду низкого уровняестествознания ограничивалась небольшим кругом вопросов (страхование, азартныеигры, демография). В XIX в. и до настоящего времени, в связи с запросамипрактики, теория вероятностей непрерывно и быстро развивается, находяприменения все в более разнообразных областях науки, техники, экономики (теорияошибок наблюдений, теория стрельбы, статистика, молекулярная и атомная физика,химия, метеорология, вопросы планирования, статистический контроль впроизводстве и т. д.)

Теория вероятностей является разделом математики,изучающим закономерности случайных массовых событий устойчивой частости.

Основное положение теории

Теория вероятности – это наука, занимающаяся изучениемзакономерностей массовых случайных явлений. Такие же закономерности, только вболее узкой предметной области социальноэкономических явлений, изучаетстатистика. Между этими науками имеется общность методологии и высокая степеньвзаимосвязи. Практически любые выводы сделанные статистикой рассматриваются каквероятностные.

Особенно наглядно вероятностный характерстатистических исследований проявляется в выборочном методе, поскольку любойвывод сделанный по результатам выборки оценивается с заданной вероятностью.

С развитием рынка постепенно сращивается вероятность истатистика, особенно наглядно это проявляется в управлении рисками, товарнымизапасами, портфелем ценных бумаг и т.п. За рубежом теория вероятности иматематическая статистика применятся очень широко. В нашей стране пока широкоприменяется в управлении качеством продукции, поэтому распространение ивнедрение в практику методов теории вероятности актуальная задача.

Как уже говорилось, понятие вероятности событияопределяется для массовых явлений или, точнее, для однородных массовыхопераций. Однородная массовая операция состоит из многократного повторенияподобных между собой единичных операций, или, как говорят, испытаний. Каждоеотдельное испытание заключается в том, что создается определенный комплексусловий, существенных для данной массовой операции. В принципе должно бытьвозможным воспроизводить эту совокупность условий неограниченное число раз.

Пример1. При бросании игральной кости«наудачу» существенным условием является только то, что костьбросается на стол, а все остальные обстоятельства (начальная скорость, давлениеи температура воздуха, окраска стола и т. д.) в расчет не принимаются.

Пример 2. Стрелок многократно стреляет в определеннуюмишень с данного расстояния из положения «стоя»; каждый отдельныйвыстрел является испытанием в массовой операции стрельбы в данных условиях.Если же стрелку разрешено при разных выстрелах менять положение(«стоя», «лежа», «с колена»), то предыдущиеусловия существенно изменяются и следует говорить о массовой операции стрельбыс данного расстояния.

Возможные результаты единичной операции, или испытанияS, называются случайными событиями. Случайное событие — это такое событие,которое может произойти, а может и не произойти при испытании S. Вместо«произойти» говорят также «наступить»,«появиться», «иметь место».

Так, при бросании игральной кости случайными событиямиявляются: выпадение данного числа очков, выпадение нечетного числа очков,выпадение числа очков, не большего трех, и т. п.

При стрельбе случайным событием является попадание вцель (стрелок может как попасть в цель, так и промахнуться), противоположнымему случайным событием является промах. Из этого примера хорошо видно, чтопонятие случайного события в теории вероятностей не следует понимать вжитейском смысле: «это чистая случайность», так как для хорошегострелка попадание в цель будет скорее правилом, а не случайностью, понимаемой вобыденном смысле.

Пусть при некотором числе n испытаний событие Aнаступило m раз, т. е. m результатов единичной операции оказались«удачными», в том смысле, что интересующее нас событие Aосуществилось, и n-m результатов оказались «неудачными» — событие Aне произошло.

Вероятностью события A, или вероятностью «удачного»исхода единичной операции, называется среднее значение частости, т. е. среднеезначение отношения числа «удачных» исходов к числу всех проведенных единичныхопераций (испытаний).

Само собой разумеется, что если вероятность событияравна, то при n испытаниях событие A может наступить и более чем m раз, именее чем m раз; оно лишь в среднем наступает m раз, и в большинстве серий по nиспытаний число появлений события A будет близко к m, в особенности если n —большое число.

Таким образом, вероятность P(A) есть некоторое постоянноечисло, заключенное между нулем и единицей:

0 Ј P(A) Ј 1

Иногда ее выражают в процентах: Р(А)

100% есть средний процент числа появлений события A.Конечно, следует помнить, что речь идет о некоторой массовой операции, т. е.условия S производства испытаний — определенные; если их существенно изменить,то может измениться вероятность события A: то будет вероятность события A вдругой массовой операции, с другими условиями испытаний. В дальнейшем будемсчитать, не оговаривая это каждый раз, что речь идет об определенной массовойоперации; если же условия, при которых осуществляются испытания, меняются, тоэто будет специально отмечаться.

Два события A и B называются равносильными, если прикаждом испытании они либо оба наступают, либо оба не наступают.

В этом случае пишут

A = B

и не делают различия между этими событиями.Вероятности равно- сильных событии A = B, очевидно, одинаковы:

P(A) = P(B)

Обратное утверждение, конечно, неверно: из того, чтоP(A) = P(B), отнюдь не следует, что A = B.

Событие, которое обязательно наступает при каждомиспытании, называется достоверным.

Условимся обозначать его буквой D.

Для достоверного события число его наступлений m равночислу испытаний n, поэтому частость его всегда равна единице, т. е. вероятностьдостоверного события следует принять равной единице:

P(D) = 1

Событие, которое заведомо не может произойти,называется невозможным.

Условимся обозначать его буквой H.

Для невозможного события m = 0, следовательно,частость его всегда равна нулю, т. е. вероятность невозможного события следуетсчитать равной нулю:

P(H) = 0

Чем больше вероятность события, тем чаще ононаступает, и наоборот, чем меньше вероятность события, тем реже оно наступает.Когда вероятность события близка к единице или равна единице, то оно наступаетпочти при всех испытаниях. О таком событии говорят, что оно практическидостоверно, т. е. что можно наверняка рассчитывать на его наступление.

Наоборот, когда вероятность равна нулю или очень мала,то событие наступает крайне редко; о таком событии говорят, что оно практическиневозможно.

На сколько мала должна быть вероятность события, чтобыпрактически можно было считать его невозможным? Общего ответа здесь датьнельзя, так как все зависит от того, насколько важно это событие.

Например.Если, например, вероятность того, чтоэлектрическая лампочка окажется испорченной, равна 0, 01, то с этим можнопримириться. Но если 0, 01 есть вероятность того, что в банке консервовобразуется сильный яд ботулин, то с этим примириться нельзя, так как примерно иодном случае из ста будет происходить отравление людей и человеческие жизниокажутся под угрозой.

Основные категории теории вероятности.

Как и всякая наука, теория вероятности иматематическая статистика оперируют рядом основных категорий:

События;

Вероятность;

Случайность;

Распределение вероятностей и т.д.

События – называется произвольное множество некоторогомножества всех возможных исходов, могут быть:

Достоверные;

Невозможные;

Случайные.

Достоверным называется событие, которое заведомопроизойдет при соблюдении определенных условий.

Невозможным называется событие, которое заведомо непроизойдет при соблюдении определенных условий.

Случайным называют события, которые могут произойтилибо не произойти при соблюдении определенных условий.

События называют единственновозможными, еслинаступление одного из них это событие достоверное.

События называют равновозможными, если ни одно из нихне является более возможным, чем другие.

События называют несовместимыми, если появление одногоиз них исключает возможность появления другого в том же испытании.

Классическое и статистическое определение вероятности.

Вероятность – численная характеристика реальностипоявления того или иного события.

Классическое определение вероятности: если множествовозможных исходов конечное число, то вероятностью события Е считается отношениечисла исходов благоприятствующих этому событию к общему числуединственновозможных равновозможных исходов.

Множество возможных исходов в теории вероятностиназывается пространством элементарных событий.

/>

Пространство элементарных событий всегда можно описатьчислом nS=2, nS=6.

Если обозначить число исходов благоприятствующихсобытию n(E), то вероятность события Е будет выглядеть />. Для наших примеров />.

Исходя из классического определения вероятности, можновывести ее основные свойства:

Вероятность достоверного события равна 1.

/>

Вероятность невозможного события равна 0.

/>

Вероятность случайного события находится в пределах от0 до 1.

/>

Классическое определение вероятности связано снепосредственным подсчетом вероятности, требует точного знания числа всехвозможных исходов, и удобно для расчета вероятности достаточно простых событий.

Расчет вероятности более сложных событий — это сложнаязадача, требующая определения чисел всех возможных комбинаций появления этихсобытий. Подобными расчетами занимается специальная наука – комбинаторика.Поэтому на практике часто используется статистическое определение вероятности.

Доказано, что при многократном повторении опытачастости довольно устойчивы и колеблятся около некоторого постоянного числа,представляющего собой вероятность события.

Таким образом, в условиях массовых испытаний распределениечастостей превращается в распределение вероятности случайной перемены.

Достоинство статистического определения вероятности втом, что для ее расчета не обязательно знать конечное число исходов.

Если классическое определение вероятности осуществляетсяаприори (до опыта), то статистическое апосториори (после опыта по результатам).

Распределение частостей дискретного ряда, выраженныхконечными числами, называется дискретным распределением вероятности.

Если осуществляются исследования массовых событийчастостей, которые распределяются непрерывно и могут быть выражены какой-либофункцией, называются непрерывным распределением вероятности.

На графике такое распределение отражается непрерывнойплавной линией, а площадь ограниченная этой линией и осью абсцисс всегда равна1.

Заключение

Таким образом, рассмотрев теорию вероятности, ееисторию и положения и возможности, можно утверждать, что возникновение даннойтеории не было случайным явлением вы науке, а было вызвано необходимостьюдальнейшего развития технологии и кибернетики, поскольку существующеепрограммное управление не может помочь человеку в создании такихкибернетических машин, которые, подобно человеку, будут мыслить самостоятельно.

И именно теория вероятности может способствоватьпоявлению искусственного разума.

«Процессы управления, где бы они ни протекали – живыхорганизмах, машинах или обществе, — происходят по одним и тем же законам», — провозгласила кибернетика. А значит, и те, пусть еще не познанные до конца,процессы, что протекают в голове человека и позволяют ему гибкоприспосабливаться к изменяющейся обстановке, можно воспроизвести искусственно всложных автоматических устройствах.

Где же пределы, которых могут достичь кибернетическиемашины?

Список литературы

1.Г.И. Мишкевич «Доктор занимательных наук»

2.Е.П. Бударина «Теория вероятности и математическаястатистика»

3.И.В. Волков « Высшая математика»

4. Гнеденко Б. В. и Хинчин А. Я., «Элементарноевведение в теорию вероятностей»

Для подготовки данной работы были использованыматериалы с сайта referat.ru/

еще рефераты
Еще работы по математике