Реферат: Комплексные числа

Содержание

§ 1.Комплексныечисла: определения, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической,тригонометрической и показательной формах

Определениекомплексного числа

Комплексныеравенства

Геометрическоеизображение комплексных чисел

Модуль и аргументкомплексного числа

Алгебраическая итригонометрическая формы комплексного числа

Арифметическиедействия над комплексными числами

Показательная формакомплексного числа

Формулы Эйлера

§ 2.Целые функции(многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений намножестве комплексных чисел

Определениеалгебраического уравнения  -й степени

Основные свойствамногочленов

Примеры решенияалгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Вопросы длясамопроверки

Глоссарий

§ 1. Комплексные числа: определения,геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической ипоказательной формах Определение комплексного числа (Сформулируйтеопределение комплексного числа)

 

Комплексным числом z называется выражение следующего вида:

/> Комплексное число в алгебраической форме,(1)

Где x, yÎ;

i — это мнимая единица, определяемая равенством i2 = –1.

Основные термины:

x = Re z — действительная частькомплексного числа z;

y = Im z — мнимая часть комплексногочисла z;

/> — комплексносопряженное число числу z;

/> — противоположноечисло числу z;

/> — комплексныйноль;

/> – так обозначаетсямножество комплексных чисел.

Примеры

1)z = 1 + i Þ Re z = 1, Im z = 1,/> = 1 – i,/> = –1 – i;

2)z = –1 + />i Þ Re z = –1, Imz = />, /> = –1 – />i, /> = –1 –/>i;

3)z = 5 + 0i = 5 Þ Re z = 5,Im z = 0, /> = 5 – 0i = 5,/> = –5 –0i = –5

Þесли Im z = 0, то z = x — действительное число;

4)z = 0 + 3i = 3iÞ Re z = 0, Im z = 3,/> = 0 – 3i = –3i,/> = –0 –3i = – 3i

Þесли Re z = 0, то z = iy — чисто мнимое число.

/>/>/>/>Комплексные равенства (Сформулируйте смысл комплексного равенства)

1) />;

2)/>.

Одно комплексное равенстворавносильно системе двух действительных равенств. Эти действительные равенстваполучаются из комплексного равенства разделением действительных и мнимыхчастей.

/>/>/>Примеры

1)/> /> />;

2)/> /> /> /> />.

 Геометрическое изображение комплексных чисел (Вчём состоит геометрическое изображение комплексных чисел?)

/>

/>

Комплексное число zизображается точкой (x, y) на комплексной плоскости или радиус-векторомэтой точки.

/>Знак z во второйчетверти означает, что система декартовых координат /> будет использоваться каккомплексная плоскость.

Модуль и аргументкомплексного числа (Что такое модуль и аргумент комплексного числа?)

 

Модулем комплексного числа/> называется неотрицательное действительноечисло

/>.(2)

Геометрически модуль комплексного числа — этодлина вектора, изображающего число z, или полярный радиус точки (x, y).

Аргументкомплексного числа z— это угол междуположительным направлением действительной оси и вектором z(геометрически – это полярный угол точки (x, y)).

Обозначение />, причем />, или />.

Для вычисления аргументакомплексного числа используется формула

/> Аргумент комплексного числа ,(3)

причем, при определенииугла /> поего тангенсу обязательно нужно учитывать, в какой четверти на комплекснойплоскости расположено число z:

/>

Алгебраическая итригонометрическая формы комплексного числа (Что такоеалгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа?)

Так как геометрическиочевидно, что /> и />, то

/> Тригонометрическая форма комплексного числа .(4)

Запись z = x + iy называетсяалгебраическойформой комплексного числа z;запись z = r(cosj + i sinj) называется тригонометрическойформой комплексного числа z.

Примеры

Изобразить на комплекснойплоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме.

1)z = 1 + iÞ

/>,

/> Þ /> 

Þ/>;

/>

2)/>Þ

/>,

/> Þ /> 

Þ/>;

/>

3)/>Þ

/>,

/> Þ

/> Þ

/>;

/>

4)/>,

/>;

/>

5)/>,

/>;

/>

6)/>,

тоесть для z = 0 будет

/>, j не определен.

/>/>/>/>Арифметические действия над комплексными числами (Дайтеопределения и перечислите основные свойства арифметических действий надкомплексными числами.)Сложение(вычитание) комплексных чисел

 

z1 ± z2 = (x1 + iy1)± (x2 + iy2) = (x1 ± x2) + i(y1 ± y2),(5)

то есть при сложении(вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные имнимые части.

Примеры

1)(1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2–3i = 3 – 2i;

2)(1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i.

Основныесвойства сложения

1)z1 + z2 = z2 + z1;

2)z1 + z2 + z3 = (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3);

3)z1 – z2 = z1 + (–z2);

4)z + (–z) = 0;

5)/>.

Умножение комплексных чиселв алгебраической форме

 

z1∙z2 = (x1 + iy1)∙(x2 + iy2) = x1x2 + x1iy2 + iy1x2 + i2y1y2 = (6)

 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + y1x2),

то естьумножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилуалгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой /> и приведениемподобных по действительным и мнимым слагаемым.

Примеры

1)(1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i2 = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i;

2)(1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 42 i2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + i)2 = 22 + 4i + i2 = 3 + 4i.

Умножение комплексныхчисел тригонометрической форме

 

z1∙z2 = r1(cosj1 + isinj1)×r2(cosj2 + isinj2) =

=r1r2(cosj1cosj2 + icosj1sinj2 + isinj1cosj2 + i2 sinj1sinj2) =

=r1r2((cosj1cosj2 – sinj1sinj2) + i(cosj1sinj2 + sinj1cosj2))

Þ/>

Произведениекомплексных чисел в тригонометрической форме, то есть при умножении комплексных чисел втригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Пример

/>

Основныесвойства умножения

1)z1×z2 = z2×z1 — коммутативность;

2)z1×z2×z3 = (z1×z2)×z3 = z1×(z2×z3) — ассоциативность;

3)z1×(z2 + z3) = z1×z2 + z1×z3 — дистрибутивностьотносительно сложения;

4)z×0 = 0; z×1 = z;

5)/>.

Деление комплексных чисел

Деление — это обратнаяумножению операция, поэтому

если z×z2 = z1 и z2 ¹ 0, то />.

При выполнении деления валгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число,комплексно сопряженное знаменателю:

/> Деление комплексных чисел в алгебраической форме .(7)

При выполнении деления втригонометрической форме модули делятся, а аргументывычитаются:

/> Деление комплексных чисел в тригонометрической форме .(8)

Примеры

1)/>;

2)/>.

Возведение комплексногочисла в натуральную степень

Возведение в натуральнуюстепень удобнее выполнять в тригонометрической форме:

/>

/>

/>

Врезультате получается формула Муавра:

/> Формула Муавра,(9)

то есть при возведениикомплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, ааргумент умножается на показатель степени.

Пример

Вычислить(1 + i)10.

Решение:

/>

Замечания

1. Привыполнении операций умножения и возведения в натуральную степень втригонометрической форме могут получаться значения углов /> за пределами одногополного оборота. Но их всегда можно свести к углам /> или /> сбрасыванием целого числа полныхоборотов по свойствам периодичности функций /> и />.

2. Значение/> называютглавным значением аргумента комплексного числа />;

приэтом значения всех возможных углов /> обозначают />;

очевидно,что />, />.

Извлечение корнянатуральной степени из комплексного числа

Корнемстепени n из комплексного числа z, где />N, называется комплексное число w, такое что wn = z />

/>.

Примеры

/>, так как />;

/>, так как />;

/> или />, так как /> и />.

Из определенияочевидно следует, что операция извлечения корня из комплексного числа являетсямногозначной.

Еслииспользовать формулу Муавра, то нетрудно доказать следующее утверждение:

/> существует при "z и если z ¹ 0, то /> имеет n различныхзначений, вычисляемых поформуле

/>Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа ,(10)

где/>,

/> — арифметический корень на />.

Все значения /> расположены регулярнымобразом на окружности радиусом /> с начальным углом /> и углом регулярности />.

Примеры

1) />

/>, k = 0,1, 2 Þ

Þ/>,

/>,

/>.

Ответ: />

/>

2) />, /> />/>

/>.

/>/>/>/>Показательная форма комплексного числа

 

Показательной формой комплексного числа /> называется форма

/> Показательная форма комплексного числа,(11)

где/>.

Примеры

1)/>;

2)/>;

3)/>.

Действия над комплекснымичислами в показательной форме выполняются по правилам действий со степенями:

/>,(12)

/>,(13)

/>,(14)

/>, />.(15)

/>/>/> 

Примеры

Пусть/>,

/>.

Тогда/>;

/>;

/>;

/>, />

/>/>/>

Числа/> являютсявершинами правильного пятиугольника, вписанного в окружность радиуса />.

 

Формулы Эйлера

Используем определение /> Þ />,

так как />, />.

Из этихравенств следуют формулы Эйлера

/> Формулы Эйлера(16)

по которымтригонометрические функции /> и /> действительной переменной /> выражаютсячерез показательную функцию (экспоненту) с чисто мнимым показателем.

§ 2. Целые функции (многочлены) и ихосновные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексныхчисел

 

Целой функцией или алгебраическим многочленом (полиномом) аргумента x называется функция вида

/>.(1)

Здесь n – степень многочлена (натуральное число или 0),

x – переменная(действительная или комплексная),

a0, a1, …, an – коэффициенты многочлена(действительныеили комплексные числа), причем, a0 ¹ 0

Примеры

/>;

/>;

/>, /> – квадратныйтрехчлен;

/>, />;

/>.

/>/>/>/> 

Определение алгебраического уравнения />-йстепени

Уравнение называется алгебраическим уравнениемn-й степени относительно неизвестной x, если его левая часть является многочленом степени n относительно переменнойx:

 

Pn(x) = 0,/>(2)

Число х0 такое, что Pn(x0)º 0, называется нулем функции Pn(x) или корнем уравнения />.

Примеры

1) /> –алгебраическое уравнение первой степени,

егокорень />;

2) /> –алгебраическое уравнение седьмой степени,

егокорни />, />, />.

3) числа/> и /> являютсянулями функции />, так как /> и />.

Замечание

Влитературе часто нули функции /> называются ее корнями. Например,числа /> и /> называютсякорнями квадратичной функции />.

/>/>/>/> 

Основные свойствамногочленов(Перечислитеосновные свойства многочленов)

/>/>/>/> 

Свойство 1 (о тождественном равенстве многочленов)

Два многочлена однойстепени n тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когдасовпадают их коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то есть

/>(3)

/>.

Доказательство

w Тождество (3)справедливо при «x Î /> (или „x Î />)

Þ оносправедливо при />; подставляя />, получим аn = bn.

Взаимноуничтожим в (3) слагаемые аn и bn и поделим обе части на x:

/>.(3’)

Этотождество тоже верно при “x, в томчисле при x = 0

Þ полагая x = 0, получим аn – 1 = bn – 1.

Взаимноуничтожим в (3') слагаемые аn – 1 и an – 1 и поделим обе части на x, в результате получим

/>.

Аналогичнопродолжая рассуждение, получим, что аn – 2 = bn –2,…, а0 = b0.

Таким образом,доказано, что из тождественного равенства 2-x многочленов следует совпадение их коэффициентов при одинаковыхстепенях x.

Обратное утверждениесправедливо очевидно, т.е. если два многочлена имеют одинаковыми всекоэффициенты, то они есть одинаковые функции, следовательно, их значениясовпадают при всех значениях аргумента, что и означает их тождественноеравенство. Свойство 1 доказано полностью. v

Пример

/> при /> /> />.

/>/>/>/>Свойство 2 (оделении многочлена на разность (x – х0))

/>/>/>/>/>Теорема Безу

При делении многочлена Pn(x) на разность (x – х0) получаетсяостаток, равный Pn(x0), то есть

/> Теорема Безу,(4)

гдеQn – 1(x) — целая часть отделения, является многочленом степени (n – 1).

Доказательство

w Запишемформулу деления с остатком:

 

Pn(x) = (x – х0)∙Qn – 1(x) + A,

гдеQn – 1(x)— многочлен степени (n – 1),

A — остаток,который является числом вследствие известного алгоритма деления многочлена надвучлен «в столбик».

Эторавенство верно при „x, в томчисле при x = х0 Þ

 

Pn(x0) = (x0 – x0)×Qn – 1(x0) + AÞ

A = Pn(х0), ч.т.д.v

Следствие из теоремы Безу. О делении многочлена на двучлен безостатка

Если число х0 являетсянулем многочлена, то этот многочлен делится на разность (x – х0)без остатка, то есть

/> Þ />/>/>.(5)

Примеры

1) />, так как P3(1) º 0

Þ />.

2) />, так как P4(–2) º 0

Þ />.

3) />, так как P2(–1/2) º 0

Þ />.

Деление многочленов на двучлены «в столбик»:

_

/>

/>

_

/>

/>

/>

/>

/>

/>

_

/>

_

/>

/>

/>

_

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />

/>/>/>/> 

Свойство 3 (о существовании нуля многочлена)

/>/>/>/>/>Теорема алгебры основная

Всякий многочлен степени n ³ 1 имеет, по крайней мере, один нуль, действительный иликомплексный

Доказательство этой теоремывыходит за рамки нашего курса. Поэтому примем теорему без доказательства.

Поработаем по этой теоремеи по теореме Безу с многочленом Pn(x).

/>

После n-кратногоприменения этих теорем получим, что

/>,

гдеa0 — это коэффициент при xn в Pn(x).

Следствие из основной теоремы алгебры. О разложении многочлена налинейные множители

Любой многочлен степени /> на множествекомплексных чисел разлагается на n линейных сомножителей, то есть

/> Разложение многочлена на линейные множители ,(6)

гдех1, х2, … хn — это нули многочлена.

При этом если kчисел из набора х1, х2, … хn совпадают между собой и счислом a, то в произведении (6) получается множитель (x – a)k. Тогда число x = a называется k-кратным нулем многочлена Pn(x). Если k = 1,то нуль называется простым нулем многочлена Pn(x).

Примеры

1)P4(x) = (x – 2)(x – 4)3Þ x1 = 2 — простой нуль, x2 = 4— трехкратный нуль;

2)P4(x) = (x – i)4Þ x = i — нулькратности 4.

Свойство 4 (о количестве корнейалгебраического уравнения)

Любое алгебраическое уравнение Pn(x) = 0степени n имеет на множестве комплексных чиселровно n корней, если считать каждый кореньстолько раз, какова его кратность.

Примеры

1)x2 – 4x + 5 = 0— алгебраическое уравнение второй степени

Þ x1,2 = 2± /> = 2 ± i — два корня;

2)x3 + 1 = 0— алгебраическое уравнение третьей степени

Þ x1,2,3 = />— три корня;

3)P3(x) = x3 + x2 – x – 1 = 0Þ x1 = 1, т.к. P3(1) = 0.

Разделиммногочлен P3(x) на (x – 1):

x3

+

x2

–

x

– 1

x – 1

x3

–

x2

x2 + 2x +1

2x2

–

x

2x2

–

2x

 

x

– 1

 

x

– 1

Исходное уравнение

 

P3(x) = x3 + x2 – x – 1 = 0Û (x – 1)(x2 + 2x + 1) = 0Û (x – 1)(x + 1)2 = 0

Þ x1 = 1 — простой корень,x2 = –1 — двукратный корень.

/>/>/>/>Свойство5 (о комплексных корнях алгебраическогоуравнения  с действительными коэффициентами)

Если алгебраическоеуравнение с действительными коэффициентами имеет комплексные корни, то эти нуливсегда парные комплексно сопряженные, то есть если x0 = a + biявляется корнем уравнения Pn(x) = 0, то число /> также являетсякорнем этого уравнения.

Доказательство

w нужно использовать определение иследующие легко проверяемые свойства операции комплексного сопряжения:

если />, то />;

/>; />; />, />;

если /> – действительное число, то />.

Так как /> является корнемуравнения />,то /> />

/>, где />, /> – действительные числа.

Возьмем сопряжение от обеихчастей последнего равенства и используем перечисленные свойства операциисопряжения:

/> /> />, то есть число /> также удовлетворяетуравнению />,следовательно, является его корнем, ч.т.д. v

/>/>/>Примеры

1) /> /> /> – парные комплексносопряженные корни;

2) /> /> />.

Свойство 6 (о разложении многочлена с действительнымикоэффициентами на линейные и квадратичные множители)

Любой многочлен сдействительными коэффициентами разлагается на произведение линейных иквадратичных функций с действительными коэффициентами.

Доказательство

w Пусть x0 = a + bi — нуль многочлена Pn(x). Если все коэффициенты этого многочленаявляются действительными числами, то /> тоже является его нулем(по свойству 5).

Вычислимпроизведение двучленов />:

/>

/>

комплексныйчисло многочлен уравнение

Получили (x – a)2 + b2— квадратный трехчленс действительными коэффициентами.

Такимобразом, любая пара двучленов с комплексно сопряженными корнями в формуле (6)приводит к квадратному трехчлену с действительными коэффициентами. v

Примеры

1)P3(x) = x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1);

2)P4(x) = x4 – x3 + 4x2 – 4x = x(x–1)(x2 + 4).

 Примеры решения алгебраических уравнений на множестве комплексныхчисел (Приведите примеры решения алгебраических уравнений на множествекомплексных чисел)

1. Алгебраическиеуравнения первой степени:

/> /> />, /> />/> – единственный простой корень.

Пример

/> />/>.

Ответ: />.

2. Квадратные уравнения:

/> /> />, /> />/> – всегда имеет двакорня (различных или равных).

Примеры

1) /> /> />.

Ответ: />.

2) /> /> /> />/>.

Ответ: />.

3) />/>/>/>/>,/>.

Ответ: />, />.

3. Двучленные уравнениястепени />:

/>, /> />/> – всегда имеет /> различных корней.

Пример

/> />/>, />

/>/>;

/>;

/>.

Ответ: />, />.

4. Решить кубическоеуравнение />.

Решение.

Уравнениетретьей степени /> имеет три корня (действительныеили комплексные), при этом нужно считать каждый корень столько раз, какова егократность. Так как все коэффициенты данного уравнения являются действительнымичислами, то комплексные корни уравнения, если они есть, будут парнымикомплексно сопряженными.

Подборомнаходим первый корень уравнения />, так как />.

Последствию из теоремы Безу />. Вычисляем это деление «встолбик»:

_

/>

/>

/>

/>

_

/>

/>

_

/>

/>

/>

/> /> /> /> /> /> />

Представляятеперь многочлен /> в виде произведения линейно иквадратного множителя, получим:

/> />/>.

Другиекорни находим как корни квадратного уравнения: />

/> />.

Ответ: />, />.

5. Составитьалгебраическое уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами,если известно, что числа x1 = 3 и x2 = 1 + i являются его корнями, причем x1 является двукратным корнем, а x2 — простым.

Решение.

Число/> тожеявляется корнем уравнения, т.к. коэффициенты уравнения должны бытьдействительными.

Всегоискомое уравнение имеет 4 корня: x1, x1,x2, />. Поэтому егостепень равна 4. Составляем многочлен 4-й степени с нулями x1, x1,x2, /> поформуле (6):

/> Þ

/>

/>

/>

/>.

Искомоеуравнение имеет вид P4(x) = 0.

Ответ: />.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение комплексногочисла

2. Что называется комплексным числом?

3. Какое название или смысл имеет формула?

4. Поясните смысл обозначений в этойформуле:

5. ⌂ />.

6. Что такое мнимая единица?

7. Что такое действительная частькомплексного числа z?

8. Что такое мнимая часть комплексного числа z?

9. Что такое комплексно сопряженное число?

10. Что такое противоположное число?

11. Что такое комплексный ноль?

12. Что такое чисто мнимое число?

13. Сформулируйте смысл комплексногоравенства.

14. В чём состоит геометрическоеизображение комплексных чисел?

15. Что такое модуль и аргументкомплексного числа?

16. Что называется модулем комплексного числа?

17. Что такое аргумент комплексного числа?

18. Какое название или смысл имеет формула?

19. Поясните смысл обозначений в этойформуле:

20. ⌂ />.

21. Что такое алгебраическая и тригонометрическаяформы комплексного числа?

22. Какое название или смысл имеет формула?

23. Поясните смысл обозначений в этойформуле:

24. ⌂ />.

25. Что называется алгебраической формойкомплексного числа?

26. Что называется тригонометрической формойкомплексного числа?

27. Дайте определения и перечислитеосновные свойства арифметических действий над комплексными числами.

28. Какое название или смысл имеет формула?

29. Поясните смысл обозначений в этойформуле:

/>

30. ⌂.

31. Какое название или смысл имеет формула?

32. Поясните смысл обозначений в этойформуле:

33. ⌂ />.

34. Какое название или смысл имеет формула?

35. Поясните смысл обозначений в этойформуле:

36. ⌂ />.

37. Что такое формула Муавра?

38. Какое название или смысл имеет формула?

39. Поясните смысл обозначений в этойформуле:

40. ⌂ />.

41. Что называется корнем степени n изкомплексного числа?

42. Какое название или смысл имеет формула?

43. Поясните смысл обозначений в этойформуле:

44. ⌂ />.

45. Что называется показательной формой комплексногочисла?

46. Какое название или смысл имеет формула?

47. Поясните смысл обозначений в этойформуле:

48. ⌂ />.

49. Что такое формулы Эйлера?

50. Какое название или смысл имеет формула?

51. Поясните смысл обозначений в этойформуле:

52. ⌂ />.

53. Что называется целой функцией?

54. Что называется алгебраическим многочленом?

55. Что называется полиномом?

56. Что такое степень многочлена?

57. Что такое коэффициенты многочлена?

58. Что называется алгебраическим уравнением n-йстепени?

59. Что называется нулем функции?

60. Что называется корнем уравнения?

61. Перечислите основные свойствамногочленов.

62. Сформулируйте свойство отождественном равенстве многочленов.

63. Сформулируйте свойство о делении многочленана разность (x – х0).

64. Сформулируйте теорему теоремаБезу.

65. Какое название или смысл имеет формула?

66. Поясните смысл обозначений в этойформуле:

67. ⌂ />.

68. Сформулируйте свойство осуществовании нуля многочлена.

69. Сформулируйте теорему теорема алгебрыосновная.

70. Какое название или смысл имеет формула?

71. Поясните смысл обозначений в этойформуле:

72. ⌂ />.

73. Что называется k-кратным нулеммногочлена?

74. Что называется простым нулем многочлена?

75. Сформулируйте свойство о количествекорней алгебраического уравнения.

76. Сформулируйте свойство окомплексных корнях алгебраического уравнения

77. сдействительными коэффициентами.

78. Сформулируйте свойство о разложениимногочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичныемножители.

79. Приведите примеры решенияалгебраических уравнений на множестве комплексных чисел

Глоссарий

k-кратным нулем многочлена называется… (стр.18)

алгебраическим многочленом называется… (стр.14)

алгебраическим уравнением n-й степениназывается… (стр. 14)

алгебраической формой комплексного числа называется… (стр. 5)

аргумент комплексного числа это… (стр. 4)

действительная часть комплексного числа zэто… (стр. 2)

комплексно сопряженное число это… (стр. 2)

комплексный ноль это… (стр. 2)

комплексным числом называется… (стр. 2)

корнем степени n из комплексного числаназывается… (стр. 10)

корнем уравнения называется… (стр. 14)

коэффициенты многочлена это… (стр. 14)

мнимая единица это… (стр. 2)

мнимая часть комплексного числа z это… (стр.2)

модулем комплексного числа называется… (стр.4)

нулем функции называется… (стр. 14)

показательной формой комплексного числаназывается… (стр. 11)

полиномом называется… (стр. 14)

простым нулем многочлена называется… (стр.18)

противоположное число это… (стр. 2)

степень многочлена это… (стр. 14)

тригонометрической формой комплексного числа называется… (стр. 5)

формула Муавра это… (стр. 9)

формулы Эйлера это… (стр. 13)

целой функцией называется… (стр. 14)

чисто мнимое число это… (стр. 2)