Реферат: Аналитическая геометрия

МИНИСТЕРСТВООБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙФЕДЕРАЦИИ

Институтбизнеса, информационных технологий и финансов

Кафедра«Гуманитарных и естественнонаучных дисциплин»

УТВЕРЖДАЮ:

 Первый проректор МИБИФ

_______ С.Б. Лапшинов

«__»__________20___ г.

 

УЧЕБНОЕПОСОБИЕ

АНАЛИТИЧЕСКАЯГЕОМЕТРИЯ

Дисциплина – Математика

Составитель — к.ф.-м.н. Н.А. Соколов

Данное учебное пособиепредназначено для студентов МИБИФ всех специальностей. Рекомендовано к изучениюкафедрой ГиЕН МИБИФ

Иваново 2010


Содержание

1.      МЕТОД КООРДИНАТ. ОСОНОВНЫЕЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ

1.1    Задачи на прямой линии

Ось координат

Направленный отрезок

Величина отрезка

Длина отрезка

Основное геометрическое тождество

Координата точки на прямой

Расстояние между точками на прямой

Пример 1 (расстояние между точками напрямой)

1.2 Задачи на плоскости

Прямоугольная декартова системакоординат        

Расстояние между точками на плоскости

Полярные координаты и их связь сдекартовыми координатами

Таблица взаимосвязи ПДСК и полярнойсистемы координат

Пример 2 (нахожденние расстояниямежду двумя точками)

Вычисление площади произвольноготреугольника в ПДСК

Деление отрезка в данном отношении

Координаты точки, делящей отрезок вданном отношении      

Пример 3 (о нахождении координатточки, делящей

отрезок в данном отношении)

Пример 4 (о координатах точкипересечения медиан)     

Уравнение линии

Линия

Пример 5 (о получении уравнениятраектории)     

Классификация плоских линий

Плоская линия

Алгебраические линии

Линия порядка n (линия n-го порядка)

Трансцендентная линия

1.3 Уравнение прямой на плоскости

Угловой коэффициент

1.3.1 Уравнение прямой с угловымкоэффициентом

Пример 6 (уравнение прямой с угловымкоэффициентом)

Пример 7 (сравнение скоростивозрастания функций)

1.3.2 Методы получения уравненияпрямой

Уравнение прямой, проходящей черездве данные точки

Пример 8 (получение уравнения прямой)      

Угол между двумя прямыми

Условие параллельности двух прямых

Условие перпендикулярности двухпрямых

Уравнение прямой, проходящей черезданную точку с данным угловым коэффициентом

Пример 9 (о нахождении проекции точкина прямую)

1.3.3 Другие формы уравнения прямой

Общее уравнение прямой

Уравнение прямой в отрезках

Нормальное уравнение прямой

Отклонение и расстояние точки отпрямой

Теорема об отклонении точки от прямой

Приведение прямой к нормальному виду(нормализация уравнения  прямой)

Пример 10 (нахождение длины сторонытреугольника)

Пример 11 (нахождение уравнениястороны треугольника)     

Пример 12 (нахождение уравнениястороны треугольника)     

Пример 13 (нахождение угла между прямыми)

Пример 14 (нахождение уравненияпрямой, перпендикулярной данной)

Пример 16 (длина высоты)

2. ОСНОВНЫЕ ЛИНИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

2.1 Окружность

Определение окружности

Пример 17 (координаты центра и радиусокружности)

2.2 Эллипс

Определение эллипса

Связь между полуосями и координатамифокусов эллипса      

Каноническое уравнение эллипса

Замечание о каноничности уравнения

Эксцентриситет эллипса

Связь между фокальными радиусами иэксцентриситетом эллипса

Пример 18 (получение уравненияэллипса)

2.3 Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы

Связь между полуосями и координатамифокусов гиперболы

Эксцентриситет гиперболы

Пример 19 (о нахождении уравнениягиперболы)

Пример 20 (прямая и гипербола)

3.      ВЕКТОРЫ

3.1  Алгебраическая интерпретациявекторов

Пример 21 (алгебраический вектор)

Скалярное произведение векторов

Замечание к определению скалярногопроизведения

Угол между векторами

Пример 22 (скалярное произведение иобщая цена выпущенной продукции)

Пример 23 (о количестве сырья,необходимого для выпуска продукции)

3.2 Геометрическая интерпретациявекторов

Ортононормированный базис в ПДСК

Разложение вектора поортонормированному базису     

Нахождение координат вектора

Пример 24(координаты вектора наплоскости)       

Свободные векторы

Пример 25 (свободные векторы)

3.3 Основные арифметические действиянад векторами

Длина вектора

Скалярное произведение (координатнаяформа)

Угол между векторами

Условие ортогональности векторов      

Сумма (разность) векторов

3.4 Векторное произведение векторов

Правило буравчика

Условие коллинеарности векторов

Геометрический смысл векторногопроизведения

Свойства векторного произведения      

Пример 26 (раскрытие скобок ввыражении с векторами)

Пример 27 (вычисление площадипараллелограмма)      

3.5 Векторные произведения ортов       

Векторное произведение в координатнойформе

Пример 28 (площадь  треугольника)

3.6 Смешанное произведение векторов

Правая тройка векторов

Смешанное произведение векторов

Геометрическое свойство смешанногопроизведения векторов

Условие компланарности векторов       

Смешанное произведение для векторов,заданных в координатной форме

Условие компланарности для векторов,заданных в координатной форме

Пример 29 (вычисление объемапирамиды)

4 УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЕЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ

Поверхность

Линия в пространстве

4.1 Плоскость, как поверхностьпервого порядка

Уравнение плоскости, проходящей черезданную точку и перпендикулярной данному вектору

Пример 30 (получение уравненияплоскости)

Общее уравнение плоскости

Неполные уравнения плоскости

Уравнение плоскости в отрезках

Угол между двумя плоскостями

Условие перпендикулярности двухплоскостей

Условие параллельности двухплоскостей


1. МЕТОДКООРДИНАТ. ОСОНОВНЫЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ1.1  Задачи на прямой линииОсь координат

Прямую линию с указаниемначала отсчета, положительного направления отсчета и масштаба назовем осьюкоординат.

/>

Рис.1

координатыпрямая плоскость векторНаправленный отрезок

Отрезок на оси называетсянаправленным, если известно, какая из точек отрезка является началом, а какаяконцом отрезка.

С каждым направленнымотрезком связаны две числовые характеристики: длина отрезка и величина (разницумежду этими характеристиками необходимо четко представлять, посколькунепонимание имеющейся разниы приводит к путанице и ошибкам при решении задач).

/>/> Величина отрезка

Величина отрезка можетбыть как положительной, так и отрицательной: если направление отрезка противоположно положительномунаправлению оси, то его величина отрицательна; если направление отрезка сонаправленос положительным направлением оси, то его величина положительна.


Длина отрезка

Длина отрезка всегдаположительна и равно абсолютному значению (модулю) величины отрезка.

Обозначения: величина — />; длина — />.

 Основное геометрическое тождество

При любом взаимномрасположении несовпадающих точек А, В и С выполняется тождество

/>

 Координата точки на прямой

Если всю ось обозначитьОх, а через x1 – величину отрезка Оx1, то точка А, находящаяся в точке x1, (Рис.2) будет иметь координату x1: А(x1).

/>

Рис.2

 

В аналитическойгеометрии точка считается заданной, если заданы ее координаты.

Расстояние междуточками на прямой

Пусть заданы точки М(x1) и М(x2), тогда расстояние между нимиопределяется как

/>

Из координат конца вычитаютсякоординаты начала отрезка, а результат берется по абсолютной величине.

Пример 1 (расстояниемежду точками на прямой)

Найти расстояние между точкамиМ1(- 2) и М2(3) (Рис.3).

/>

Рис.3

 

Решение:

В нашем случае x1 = — 2, x2 = 3, откуда

/>

Т.е. длина отрезка />Обратите внимание: здесь идалее длины и площади измеряются или в единицах, или в единицах в квадрате(аналитическая геометрия знает, что такое единица длины и понятия не имеет ни ометрах, ни о дюймах!).

 1.2 Задачи на плоскости Прямоугольная декартова системакоординат

Если на плоскости заданыдве взаимно перпендикулярные оси координат, точкой пересечения которых являетсяточка начала отсчета  и определено, какая из осей является первой, а какаявторой, то говорят, что в пространстве задана прямоугольная системакоординат (далее для ее названия будем использовать аббревиатуру – ПДСК)

/>

Рис.4

/>/> Расстояние между точками на плоскости

Пусть на плоскости заданыточки М1(x1; y1) и  М2(x2; y2), найти расстояние между ними, т.е. найти />

/>

Рис.4

Т.к. треугольник М1М2Впрямоугольный, то из теоремы Пифагора следует, что

/>,

а т.к.

/>

то окончательно получаем,что

/>

 Полярные координаты и их связь сдекартовыми координатами

Пусть точка М наплоскости задана так, что (см. Рис.5)

/>

Рис.5

Где точка  0 – полюс, луч0А – полярная ось, /> - полярныйрадиус, φ – полярный угол (полярный угол, как и во всей математикеотсчитывается против часовой стрелки от положительного направления оси – внашем случае от направления полярной оси).

Если совместить двесистемы координат (полярную и ПДСК) так, чтобы: они имели общее начало – точку0, положительное направление полярной оси совпало с положительным направлениемоси 0x (см. Рис.6), то будет понятно – каксвязаны ПДСК и полярная системы координат.

/>

Рис.6

/>/>

Для большего удобствапереходов ПДСК-полярная и обратно сформируем таблицу.

 Таблица взаимосвязи ПДСК и полярнойсистемы координат

Выражение декартовых координат

через полярные

Выражение полярных координат

через декартовы

/>

/>

/>

/>

Пример 2 (нахожденниерасстояния между двумя точками)

Найти расстояние междуточками  />


Решение:

Координаты точек заданы вполярных координатах, а выражение для нахождения получено для точек, заданных вПДСК, а потому, прежде всего, необходимо выразить координаты точек в ПДСК.

Из таблицы взаимосвязиполярных и декартовых координат получаем, что для точки />

/>,

или, координаты точки М вПДСК — />.

Аналогично находим икоординаты точки N:

/>,

или, координаты точки N в ПДСК — />.

А вот теперь,окончательно, используя результат «расстояние между двумя точками на плоскости»,получаем, что

/>

 Вычисление площади произвольноготреугольника в ПДСК

Пусть в ПДСК заданпроизвольный треугольник ABC: А(x1, y1), B(x2, y2) и C(x3, y3), тогда площадь треугольника SABC определяется выражением

/>

Поскольку точки могутбыть пронумерованы в произвольном порядке, знак определителя может изменяться.В силу чего существует правило: результат берется по абсолютной величине(по модулю).

Деление отрезка вданном отношении

Прежде всего, о смыслевыражения «деление отрезка в данном отношении».

Пусть точка В делитотрезок А1А2 (см. Рис.7)

/>

Рис.7

Тогда />, т.е., если  />, то />. Но если отрезок«прочитать» по-другому: не А1А2, а А2А1,то />

Откуда важный вывод:при разбиении отрезка в отношении λ, важно как устроена дробь

 

/>

т.е. важно, в какомнаправлении  читается отрезок:  А1А2, или А2А1.


Координаты точки, делящей отрезок в данном отношении

Пусть точка В(x; y) делит отрезок А1А2 [A1(x1; y1) и A2(x2; y2)] в отношении λ, тогда

/>.

Следствие: если точка В делит отрезок А1А2пополам, т.е. λ = 1 (почему?), то

/>.

 Пример 3 (о нахождении координат точки,делящейотрезок в данном отношении)

Известно, что точки А(-2; 5) и В(4; 17) – концы отрезка АВ. Внутри этого отрезка находится точка С,расстояние которой от А в два раза больше расстояния от В. Найти координатыточки С(x; y).

 

Решение:

По условию задачи />, откуда

/>.

Тогда

/>,

или, окончательно,

Ответ: С(2; 13).

 Пример 4 (о координатах точкипересечения медиан)

Треугольник  АВС  задан координатами вершин: А(x1; y1), B(x2; y2) и C(x3; y3). Найти координаты точки пересечения медиан треугольника.

/>

Рис.8

 

Решение:

Для нахождения координатточки М использует свойство точки пересечения медиан: эта точка разбиваетотрезок СD в отношении 2:1, считая от вершины С,

 Уравнение линии

Уравнением данной линииназовем такое уравнение F(x; y) = 0, которому удовлетворяют координаты x и y любой точки,  принадлежащей этой линии, и непринадлежат точки, не удовлетворяющие уравнению (удовлетворяетуравнению – значит координаты, точки, будучи подставленными в уравнение,обращают уравнение в тождество).

 Линия

Линия, определяемаяданным уравнением, есть геометрическое место точек, координаты которыхудовлетворяют данному уравнению.

Замечание

 Уравнение F(x; y) = 0 показываеттакже, что величины x и y зависимы: выбор некоторого значения x тут же определяет соответствующееему значение y.

Пример 5 (о полученииуравнения траектории)

Получить уравнениетраектории точки М, которая в любой момент движения находится вдвое ближе кточке А(2; 0), чем к точке В(8; 0).

 

Решение

При выведении уравнениялинии (или, что то же самое, уравнения траектории движения точки) прежде всего вводимточку М с «бегущими» координатами x и y (M(x; y) такую, что в любой момент времениточка М: во-первых, принадлежит искомой линии; во-вторых, удовлетворяетусловиям сохранения расстояний до фиксированных точек с заданными координатами.

Тогда, по условию задачи

/>

Т.о. траекторией движенияточки (искомой линией) является окружность радиуса 4 с центром в точке (0; 0).

Классификация плоскихлинийПлоская линия

Линия, каждая, из точеккоторой принадлежит некоторой (общей для всех) плоскости называется плоскойлинией (плоской кривой.

Алгебраические линии

Линия называетсяалгебраической, если в некоторой ПДСК она определяется уравнением

F(x; y) = 0,

в котором функция F(x; y) = 0представлена алгебраическим полиномом, т.е. суммой слагаемых вида akvxkyv, где k и vцелые неотрицательные числа, akv – постоянные.

Линия порядка n(линия n-го порядка)

Алгебраическая линияназывается линией порядка n,если в некоторой ПДСК она определяется уравнением, являющимся полиномом порядкаn.

Трансцендентная линия

Всякая неалгебраическаялиния называется трансцендентной (например все тригонометрические функции,функции показательные и т.д.)

 1.3 Уравнение прямой на плоскости Угловой коэффициент

Угловым коэффициентом k для прямой назовем тангенсугла наклона этой прямой по отношению к оси Ox (см. Рис.9)

/>

Рис.9

Напомним правило отсчетауглов в аналитической геометрии: все углы отсчитываются от положительногонаправления оси Ox против  часовой стрелки.

С учетом сказанного

k = tg(α),

или, если прямая проходитчерез точки M1(x1; y1) и  M2(x2; y2)

/>

откуда может бытьполучено

 1.3.1 Уравнение прямой с угловымкоэффициентом

Пусть точка M(x; y) принадлежит прямой,а b – величина отрезка,отсекаемого прямой на оси Ox(Рис. 10), тогда из определения углового коэффициента получаем (убедитесьсамостоятельно) уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = b + k∙x.

/>

Рис.10

Эта форма уравненияпрямой, очевидно, наиболее часто употребляется в различных приложениях,поскольку она очень наглядна и легко анализируема.

 Пример 6 (уравнение прямой с угловымкоэффициентом)

Представить эскизыпрямых:

1) y = 2+ 3x;

2) y = — 2 + 3x:

3) y = — 2 – 3x:

4) y = 2– 3x.

 

Решение:

Прямая №1 пересекает ось Oy в точке 2, коэффициент при x (он равен +3)– больше нуля,следовательно, эта прямая является функцией возрастающей.

Прямая № 2 пересекает осьOy в точке  — 2,  коэффициент при x (он равен +3)– больше нуля,следовательно, эта прямая является функцией возрастающей.

Прямая № 3 пересекает осьOy в точке  — 2,  коэффициент при x (он равен — 3) – меньше нуля,следовательно, эта прямая является функцией убывающей.

Прямая № 4 пересекает осьOy в точке 2, коэффициент при x (он равен — 3) – меньше нуля,следовательно, эта прямая является функцией убывающей. (см. Рис. 11)

/>

Рис.11

Как видно из примера,уравнение прямой с угловым коэффициентом позволяет мгновенно сказать возрастаетили убывает данная функция. Если угловой коэффициент больше нуля (положителен),то функция возрастает, если меньше нуля (отрицателен), то убывает. Более того,эта форма уравнения прямой сказать, какая функция возрастает быстрее: чембольше значение углового коэффициента, тем быстрее функция возрастает – см.Пример 7.

 Пример 7 (сравнение скорости возрастанияфункций)

Две прямые заданы своими уравнениями:

1) y = 3 + 10x     и    2) y = 3+ 2x.

Какая из данных прямыхвозрастает быстрее и почему? Представить эскиз обеих прямых.

 

Решение: быстрее возрастает прямая № 1,потому что ее угловой коэффициент (10) больше, чем угловой коэффициент примой №2 (2).

Эскиз прямых представленна рисунке 12.

/>

Рис.12

 1.3.2 Методы получения уравнения прямой/>/>Уравнение прямой,проходящей через две данные точки

Пусть прямая проходитчерез две данные точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2), тогда для нахождения уравнения прямой используетсявыражение

/>

 Пример 8 (получение уравнения прямой)

Получить уравнениепрямой, проходящей через точки M1(3; 1) и M2(5; 4). Представить эскиз.

Решение:

Итак, имея ввидупоследний результат, определяемся со значениями входящих в него величин:

x1= 3; y1 = 1;

x2= 5; y2 = 4,

тогда

/>

Т.е. ответ на первуючасть задачи – уравнение прямой имеет вид

/>

В силу чего, эскизполучается мгновенно: ось Oyпересекается в точке />, а эскиз– на рисунке 13

/>

Рис.13

/>/>Угол между двумя прямыми

Пусть две прямые заданысвоими уравнениями с угловыми коэффициентами:

y = b1 + k1∙x    и     y = b2 + k2∙x ,

(см. рисунок 14)

/>

Рис.14

тогда угол α междуними определяется выражением

/>

 

Замечание: при этом находится значениенаименьшего из четырех углов, образованных пересекающимися прямыми.

Из приведенного выражениясуществует два весьма важных следствия: условия параллельности иперпендикулярности прямых.

 Условие параллельности двух прямых

Две прямые, определенныеуравнениями с угловым коэффициентом

y = b1 + k1∙x    и     y = b2 + k2∙x,

параллельны при условии

k1 = k2.

(Что для нас неудивительно – см. пример 11: прямые 1,2 и 3.4).

/>/> Условие перпендикулярности двух прямых

Две прямые, определенныеуравнениями с угловым коэффициентом

y = b1 + k1∙x    и     y = b2 + k2∙x,

перпендикулярны приусловии

k1∙k2 = -1 или  />.

/>/> Уравнение прямой, проходящей черезданную точку с данным угловым коэффициентом

Если известно, что прямаяпроходит через данную точку M(x1; y1) c данным угловым коэффициентом k, то для нахождения уравнения этой прямой используетсявыражение

y = y1 + k∙(x – x1).

 Пример 9 (о нахождении проекции точки напрямую)

Найти   проекцию   точки Р(4; 9) на прямую, проходящую через точки А(3; 1) и В(5; 2).

 

Решение:

Прежде всего: найтипроекцию точки, это значит найти координаты «тени» этой точки на прямую.

Задача решается в тришага:

— находится уравнениепрямой, проходящей через точки А и В;

— находится уравнениепрямой, проходящей через точку Р, перпендикулярно прямой АВ;

— находятся координатыточки пересечения прямой, проходящей через   точку Р и прямую АВ.

Шаг 1

Уравнение прямой АВ ищемпосредством выражения для нахожденияуравнения прямой, проходящей через две данные точки:

/>

Шаг 2

Искомая прямая проходитчерез точку Р(4; 9) с угловым коэффициентом, определяемым из условияперпендикулярности прямых (поскольку точка, являющаяся проекцией точки  Р напрямую АВ есть результат пересечения прямой перпендикулярной прямой АВ,проходящей через точку Р).

Тогда угловой коэффициентискомой прямой k:

/>

и, используя выражениедля нахождения уравнения прямой, проходящейчерез данную точку с данным угловым коэффициентом

y – 9 = -2∙(x – 4) → y = — 2∙x + 17.

Т.о., искомая прямаяопределяется уравнением

y = — 2∙x + 17.

Шаг 3

Проекцию точки Р напрямую АВ находим как результата пересечения найденной прямой и прямой АВ

/>,

Решая полученную системуокончательно находим ответ:

координаты точкипересечения (7; 3).

1.3.3 Другие формыуравнения прямой/>/>Общее уравнение прямой

Общим уравнением прямойназывается уравнение вида

A∙x + B∙y + C = 0.

«Общим» это уравнениеназывается потому, что из него можно получить все три формы уравненияпрямой.

Так, например можнополучить уравнение прямой с угловым коэффициентом:

/>

т.е., в этом случаеугловой коэффициент /> .

Общее уравнение прямойпотому и называется «общим», что из него можно получить не только уравнение сугловым коэффициентом, но и еще две формы уравнения прямой, каждая из которыхоказывается полезной при решении своего класса задач.

Итак, пусть дано общееуравнение прямой

A∙x + B∙y + C = 0,

причем />, тогда

/>

вводя обозначения

/>

откуда окончательнополучаем

 Уравнение прямой в отрезках

/>

где a и b – величины отрезков (откуда и название!), отсекаемых прямойсоответственно на оси Ox иоси Oy (cм. Рис.15).

/>

Рис.15

 Нормальное уравнение прямой

Рассмотрим рисунок 16

/>

Рис.16

На рисунке – отрезок ОР –нормаль (откуда и название – «нормальное уравнение прямой») проведенная изначала координат до пересечения  с прямой (угол ОРВ – прямой); угол αобразован нормалью к прямой и положительным направлением оси Ox; длина отрезка ОР = р.

Тогда нормальноеуравнение прямой имеет вид

/>

 Отклонение и расстояние точки от прямой

Если точка, топодстановка ее координат в общее уравнение прямой

A∙x + B∙y + C = 0,

не даст нам верногоравенства:              

A∙x* + B∙y* + C /> 0.

И это все, а вотподстановка тех же координат в нормальное уравнение прямой

/>

Величина />называется отклонениемточки от прямой, причем (что очень важно) имеет место

/>/> Теорема об отклонении точки от прямой

 Если точка М*(x*; y*) прямой не принадлежит, то ееотклонение />от прямойопределяется выражением

/>

Причем

— /> — расстояние от точки допрямой;

если /> то точка М*и начало координат расположены по разные стороны прямой;

— если />, то точка М* иначало координат расположены по одну сторону от прямой.

 Приведение прямой к нормальному виду(нормализация уравнения прямой)

Для приведения общегоуравнения прямой

A∙x + B∙y + C = 0

к нормальному видуиспользуется процедура нормализации:

Шаг 1

Вычисление нормирующегомножителя

/>

Правило выбора знака нормирующего множителя:

-знак нормирующегомножителя противоположен знаку свободного члена в общем уравнении прямой.

Шаг 2

Умножение общегоуравнения прямой на нормирующий множитель:

/>

Замечание: после Шага 2 получили нормальное уравнениепрямой, т.е. множители при x и y — это значения косинуса исинуса соответственно, а потому они не могут быть больше единицые(по абсолютной величине).

     Пример 10(нахождение длины стороны треугольника)

 Треугольник АВС задансвоими вершинами А(- 4; 8), В(5; — 4) и С(10; 6) (рис.17). Найти длину стороныАВ.

/>

Рис.17


Решение

Для вычисления длиныстороны используем выражение для нахождения расстояния между двумя точками

/>

Ответ: длина стороны треугольника АВСравна 15 ед.

 Пример 11 (нахождение уравнения сторонытреугольника)

Для треугольника изПримера 10 найти уравнение стороны АВ.

 

Решение

«Уравнение стороны» — этоуравнение прямой, проходящей через точки А и В. Для его создания используем выражение для нахождения уравнения прямой, проходящей черездве данные точки:

/>

Тогда

/>,

откуда общее уравнениеискомой прямой

/>.

Ответ: уравнение стороны АВ имеет вид />.

 Пример 12 (нахождение уравнения сторонытреугольника)

Для треугольника изПримера 10 найти уравнение стороны АС.


Решение

Рассуждая так же, как и впримере 10.2 получаем, что

/>

откуда общее уравнениеискомой прямой

/>

 Пример 13 (нахождение угла междупрямыми)

Используя данные Примера10 найти величину внутреннего угла А треугольника АВС.

 

Решение

Найти величинувнутреннего угла А треугольника АВС – это значит найти угол между прямыми АВ иАС, а для этого мы имеем выражение для нахождения угла φ между прямыми

/>

Для нахождения искомойвеличины нам необходимо представить уравнения прямых АВ и АС в виде уравненийпрямой с угловым коэффициентом (имея общее уравнение это всегда можно сделать).

Итак, общее уравнениепрямой АВ

/>;

уравнение прямой АС

/>

Откуда, разрешая обауравнения относительно y,получаем, что

— прямая АВ:/>

— прямая АС: />

Т.о.

/>

Используем приведенныйвыше результат, получаем ответ

/>

Откуда

/>

Ответ

Угол между прямыми АВ иАС равен /> радиан, или 45градусов.

 Пример 14 (нахождение уравнения прямой,перпендикулярной данной)

Используя данные Примера10 найти уравнение высоты СD.

Решение

Как видно из рисунка 17«найти уравнение высоты СD»означает – найти уравнение прямой, проходящей через точку С перпендикулярнопрямой АВ. Для решения поставленной задачи используем

1) выражение для нахождения прямой, проходящей через даннуюточку с данным угловым коэффициентом;

2) условиеперпендикулярности двух прямых:

1) y = yС + kCD∙(x – xС);

2) kAB∙kСD = -1 или  />.      


Откуда

/>

Ответ

Уравнение высоты СD имеет вид

/>

 Пример 16 (длина высоты)

Используя данные Примера10 найти длину высоты СD.

Решение

Для решения поставленнойзадачи существует два метода, рассмотрим оба.

Первый метод решения

Метод состоит из двухшагов:

1) нахождение точки D – точки пересечения прямых  CD  и АВ;

2) нахождение длиныотрезка CD.

Итак,

Шаг 1

т.к. точка D принадлежит одновременно и прямойАВ, и прямой CD ее координаты удовлетворяют обоимуравнениям прямых, и, следовательно,  являются решением системы уравнений

/>.

Решаем полученную системулюбым понятным способом, находим, что

/>

Шаг 2

Находим длину отрезка СD

/>

Второй метод решения

Метод основан назамечательном свойстве нормального уравнения прямой: при подстановке в этоуравнение координат точки, не принадлежащей прямой, получаем результат поабсолютной величине равный расстоянию от точки до прямой (см. нормальноеуравнение прямой).

Метод состоит из двухшагов:

Шаг 1

Приводим уравнение прямой

/>

к нормальному виду:

— вычисляем нормирующиймножитель

/>

Т.к. свободный членвходит в общее уравнение прямой со знаком «+», у нормирующего множителявыбираем знак минус:

/>

Умножаем на него общееуравнение прямой АВ

/>

Обратите внимание: множители при xи yменьше единицы – это значениясинуса и косинуса угла между нормалью к прямой и положительным направлениемоси Ox.


Шаг 2

Подставляем в полученноенормальное уравнение прямой координаты точки С:

/>

Ответ

Ответ тот же: расстояниеот точки С до прямой АВ 10 единиц, но второй путь гораздо короче.


2. ОСНОВНЫЕ ЛИНИИВТОРОГО ПОРЯДКА

Ниже будут рассмотреныосновные линии второго порядка: окружность, эллипс и гипербола; а также задачи,связанные с этими линиями и прямой.

 2.1 Окружность Определение окружности

Окружностью называетсяплоская линия, каждая из точек которой равноудалена от данной, называемойцентром окружность.

Окружность описываетсяалгебраическим выражением второго порядка

/>

где точка С(a; b) – центр окружности, r – радиус окружности.

Вообще любое выражениевида

x2+ y2+ lx+ my+ n= 0,

определяет окружность,если

l = -2a, m = — 2b, n = a2 + b2 – r2.

При этом, если

l2 + m2 – 4n = 0, то указанное уравнение определяет точку />;

l2 + m2 – 4n < 0, то указанное уравнение не имеет геометрическогосмысла, поскольку определяет мнимую окружность.

 Пример 17 (координаты центра и радиусокружности)

Найти координаты центраокружности

2∙x2 + 2∙y2 — 8∙x + 5∙y – 4 = 0.


Решение

Для того, что бымножитель при x2 и y2 были равны единице, делим обе частиравенства на 2 и перегруппировываем члены выражения

/>

Достроим выражения вфигурных и квадратных скобках до полных квадратов, прибавив к фигурным скобкам4, а  квадратным />(одновременноприбавляя те же величины и справа):

/>

 Ответ

Исходное уравнениеопределяет окружность с центром в точке  />/>и радиусом />

 2.2 Эллипс

Проделаем мысленныйэксперимент (желающие могут попробовать проделать это реально): возьмите двагвоздя (кнопки) и вбейте их в ровную поверхность на некотором расстоянии,привяжите к ним нерастяжимую нить длиной больше расстояния между фокусами (см.Рис.18).

/>

Рис.18

А теперь возьмитекарандаш, натяните им нить и двигайте карандашом так, что бы нить всегда быланатянута, а карандаш оставлял след на поверхности. Попробовали?.. Чтополучилось? – Если то, что изображено на рис. 19, то это эллипс.

/>

Рис.19

 Определение эллипса

Эллипсом называетсягеометрическое место точек, для которых сумма расстоянийот данных двух фиксированных точек плоскости (вот они наши гвоздики изэксперимента!) есть величина постоянная. Причем необходимо, что бы этапостоянная была больше расстояний между фокусами (а вот и наша нерастяжимаянить!) – смотри рис.20

/>

Рис.20


На рисунке 20

—  точки F1(- c; 0)и F2(c; 0)– фокусы эллипса;

— /> и /> – соответственно левый иправый фокальные радиусы;

— 0a – большая полуось эллипса;

— 0b – малая полуось эллипса.

— точка М – «бегущая»точка, которая в любой момент движения принадлежит эллипсу.

При этом выполняетсяусловие

2∙a > 2∙c.

/>/> Связь между полуосями и координатамифокусов эллипса

/>

 Каноническое уравнение эллипса

Каноническим уравнениемэллипса называется алгебраическое выражение второго порядка

/>

/>/> Замечание о каноничности уравнения

Каноническим ононазывается потому, что описывает эллипс, расположенный каноническим образом:симметрично относительно и оси Ox, иоси Oy. Эллипс, расположенный любым другимспособом: или так, как на Рис. 21,

/>

Рис.21

или так, как на Рис.22,

/>

Рис.22

будет по-прежнемуописываться алгебраическим выражением второго порядка, но имеющем менее изящнуюформу.

 Эксцентриситет эллипса

Эксцентриситетом эллипсаназывается отношение половины расстояния между фокусами к длине его большойполуоси

/>

Определение не вполненаглядное и информативное, куда как более наглядным оно становится прииспользовании связи между полуосями и координатами фокусов:

/>

Тогда

/>

откуда получаем другуюформу вычисления эксцентриситета

/>

Откуда сразу же видно,что при равенстве большой и малой полуосей (a = b –при превращении эллипса в окружность) эксцентриситет равен нулю. Т.е. окружность– это эллипс с нулевым эксцентриситетом!!!

Или – эксцентриситетпоказывает степень «сплюснутости» эллипса: чем больше он отличается нуля, темболее он сплюснут!

/>/> Связь между фокальными радиусами иэксцентриситетом эллипса

r1 +r2 = 2∙a

r1= a + ε∙x

r2= a — ε∙x.

 Пример 18 (получение уравнения эллипса)

 Получить каноническоеуравнение эллипса, проходящего через точки />

 

Решение

В данном случае «получитьканоническое уравнение эллипса» — значит, найти конкретные значения a и b (большой и малой полуосей). Радует то, что точек у нас две инеизвестных то же две, т.е. может быть получена система алгебраическихуравнений: подставляем координаты первой точки в одно уравнение эллипса, авторой точки – во второе

/>

Т.о., искомоеканоническое уравнение эллипса

/>

 2.3 Гипербола

Гиперболой называетсягеометрическое место точек, для которых разностьрасстояний от двух фиксированных точек (называемых фокусами) есть величинапостоянная. Причем указанная разность берется по абсолютному значению инеобходимо, что бы она была меньше расстояния между фокусами и неравна нулю. (См. Рис.23)

/>

Рис.23

На рисунке:

— /> - левый фокальный радиус;

— /> — правый фокальный радиус;

— (- с; 0) – координатылевого фокуса (точки F1);

— (с; 0) — координатыправого фокуса (точки F2);

— /> - действительная полуось гиперболы;

— /> - мнимаяполуось гиперболы;

— точка (а; 0) – праваявершина гиперболы;

— точка (- а; 0) – леваявершина гиперболы;

— прямые /> - асимптоты гиперболы.

Названия полуосей неслучайны: точки /> гиперболепринадлежат, а точки />-гиперболе не принадлежат (потому и ось – мнимая), но мнимая полуось, хотя и неявляется частью гиперболы, вполне определяет ее форму, поскольку именно междуасимптотами гиперболы и располагаются ветви ее.

/>/> Каноническое уравнение гиперболы

/>

(смотри замечание о каноничности уравнения).

/>/> Связь между полуосями и координатамифокусов гиперболы

При этом важным являетсявыражение, связывающее действительную, мнимую полуось и координату фокуса (сравнитес формой аналогичной связи для параметров эллипса)

/>.


Эксцентриситетгиперболы

/>

 Пример 19 (о нахождении уравнениягиперболы)

Эксцентриситет гиперболыравен />. Найтиканоническое уравнение гиперболы, если точка /> гиперболе принадлежит.

 

Решение

Прежде всего, что ищемконкретно? – Ищем значения a и b в каноническом уравнении гиперболы.Неизвестных величин две, следовательно, и уравнений для их нахождения должнобыть два.

Первое уравнение получимиз того факта, что нам известен эксцентриситет гиперболы и известна связь между полуосями и координатами фокуса гиперболы:

/>.

Это первое равенство, авторое получим, используя тот факт, что точка М гиперболе принадлежит, т.е., еекоординаты обращают каноническое уравнение гиперболы в тождество:

/>

и, окончательно, получаем

Ответ

Искомая гиперболаописывается каноническим уравнением

x2 — y2 = 1.

Пример 20 (прямая игипербола)

Через точку М(0; — 1) иправую вершину гиперболы

3∙x2 — 4∙y2 = 12

проведена прямая. Найтивторую точку пересечения прямой с гиперболой.

 

Решение

 Задачу будем решать вдва шага:

— найдем уравнениепрямой;

— найдем координату точкипересечения прямой и гиперболы.

Шаг 1

Для нахождения уравненияпрямой, проходящей через точку М(0; — 1) и правую вершину гиперболы необходимознать координаты правой вершины гиперболы. Найдем вторую точку из уравнениягиперболы, приведя данное уравнение к каноническому виду, зная при этом, что вканоническом уравнении важно все: равно выражение именно единице,а в самом выражении – значения действительной и мнимой полуоси – этознаменатели дробей, в которых числители x2 и y2.

/>

Откуда в уравнениигиперболы a = 2, b = />, иликоординаты правой вершины М2(2; 0). А вот теперь ищем уравнение прямой, проходящей через две данные точкиМ и М2

/>

Шаг 2

Ищем координаты точекпересечения найденной прямой и данной гиперболы. Эти координаты удовлетворяютобоим уравнениям, т.е. являются решением системы уравнений

/>

Решаем полученноеуравнение и находим, что x1 = — 4, x2 = 2.

Подставляем найденные x1 и x2 во второе уравнение системы инаходим координаты точек пересечения прямой с гиперболой N1(- 4; -3) и N2(2; 0).

Не трудно убедиться(проверьте самостоятельно) что точка М гиперболе не принадлежит, а значит,точек пересечения будет две.

Ответ

Точки пересечения прямойи гиперболы — N1(- 4; -3) и N2(2; 0).


3. ВЕКТОРЫ

Представление о векторахкак о направленном отрезке на много менее эффективно и продуктивно, чем алгебраическаяинтерпретация векторов.

 3.1 Алгебраическая интерпретация векторов

Упорядоченный одномерный упорядоченыймассив из n чисел x1, x2, x3…xnназывается n-мерным вектором, сами числа x1, x2, x3…xn приэтом называются координатами вектора.

Пример 21(алгебраический вектор)

 Некоторое предприятиеспециализируется на выпуске nвидов продукции. За некоторый период выпущено x1 единиц продукции первого типа, x2 единиц второго типа и т.д. Т.о. образован вектор

X = (x1, x2, x3…xn).

Вектор X при этом называется векторомвыпуска продукции.

Как только мы определиливектор упорядоченный одномерный массив чисел, так сразу же мы дали себе праворассматривать вектор как матрицу размерности /> или />. А это дает нам правоприменять к ним всю мощь матричной алгебры: понятия равенства, суммы илиразности, произведение вектора на число и их свойства не надо рассматриватьвновь, достаточно вспомнить, как это делалось в разделе «Линейная алгебра».

Но операцию умноженияимеет смысл рассмотреть особо.

Скалярное произведениевекторов

Пусть векторы X и Y заданы в алгебраической форме, тогда их скалярнымпроизведением назовем число равное сумме произведенийсоответствующих координат, т.е. если

X = (x1,x2, x3…xn)

Y = (y1,y2, y3…yn),

т.о., скалярноепроизведение X∙Y определяется выражением

/>/>/>

 Замечание к определению скалярногопроизведения

Очень часто скалярноепроизведение векторов /> и />определяют как

/>,

где /> - длины векторов, а φугол между векторами, откуда, как следствие определяется угол между векторами.

 Угол между векторами

/>

Казалось бы, вполнесимпатичное определение, но… Такое определение работоспособно, как правило,только для векторов, определенных как «направленный отрезок»: длину измерилилинейкой, а угол – транспортиром. А как быть с алгебраическим вектором (чащевсего именно он используется в не инженерно-физических задачах), где координатможет быть много и никакой линейкой их длину не измерить?! Вот здесь-то истановится необходимым то определение скалярного произведения, которое дали мы.

 Пример 22 (скалярное произведение иобщая цена выпущенной продукции)

Пусть некотороепредприятие выпустило партию товара n видов в количествах x1, x2, x3,…, xn каждого вида. Цена единицы каждоговида товара равна y1, y2, y3,…,yn рублей. Какова цена всей партиитовара?


Решение

Идея решения понятна:умножить цену единицы каждого вида товара на количество этих единиц, а потомвсе эти произведения сложить. Но уже здесь видна продуктивность данного вышеопределения скалярного произведения векторов: сумма произведенийсоответствующих координат. А потому сформируем два вектора:

— вектор X = (x1, x2, x3,…, xn) – вектор выпуска продукции;

— вектор Y = (y1, y2, y3,…,yn) – вектор цен за единицу каждого вида товара.

Тогда цена всей партиитовара найдется как скалярное произведение X∙Y.

Ответ

Цена всей партии товараравна

/>

 Пример 23 (о количестве сырья,необходимого для выпуска  продукции)

Предположим, чтонекоторое сырье используется для производства n видов продукции так, что для выпуска продукции i-го вида требуется mi единиц данного сырья. Найти полнуюпотребность q предприятия в сырье в сырье данноговида.

 

Решение

Сформируем два вектора:

— вектор M = (m1, m2, …, mn) – вектор норм расхода на каждый видпродукции;

— вектор P = (p1, p2, …, pn) – вектор-план выпуска продукции.

Тогда q определится как скалярноепроизведение M∙P.


Ответ

Полная потребностьпроизводства в сырье данного вида определится как

/>

 3.2 Геометрическая интерпретация векторов Ортононормированный базис в ПДСК

Если заданы векторы />такие, что

— />

— все три имеют общимначалом начало координат;

— каждый из векторовсонаправлен — />

— />(см. Рис.24)

/>

Рис.24

Теперь понятно, чтозначит «ортонормированный»:

— «орто» — все тривектора взаимно перпендикулярны или, что тоже самое, ортогональны;

— «нормированный» — всеони «нормированы на единицу», т.е. имеют одинаковую, равную единице длину.       

А вот «базис» означаетто, что любой вектор может быть представлен в виде суммы проекций насоответствующие оси, т.е. может быть произведено разложение вектора поортонормированному базису.

 Разложение вектора по ортонормированномубазису

Любой вектор в ПДСК можетбыть разложен на сумму его проекций на оси координат:

/>

где ax, ay, az – величины проекций вектора /> на соответствующие осикоординат. Уж, коль скоро, речь идет о «величине», то она, как и величинаотрезка, может быть и положительной и отрицательной. Наряду с термином«величина проекции» используется и термин «координата вектора». Второй терминвполне приемлем, но, в отличии от первого часто создает путаницу. Разберемся сэтой путаницей раз и (мы надеемся!) навсегда.

/>/> Нахождение координат вектора

Найти координаты вектора />, если M1(x1; y1; z1) и M2(x2; y2; z2). Для того, что бы найти величинупроекции на ось необходимо вычесть из координат конца координаты началавектора. В нашем случае

/>

Нагляднее всего этопродемонстрировать с вектором на плоскости.

 Пример 24(координаты вектора наплоскости)

Найти координаты вектора />, если он имеет своимначалом точку М1, а концом точку М2, если он изображен наРис.25.

/>

Рис.25

 

Решение

Из чертежа видно, чтоточка М1 имеет координаты x1 = 3, y1 =2, т.е. М1(3; 2) и точка М2(10;5), тогда вектор /> имееткоординаты

/>,

или, окончательно

 

Ответ

/>

/>/>Свободные векторы

Свободный вектор –вектор, который вполне определен своими координатами: он не привязан ни к какойточке пространства и при параллельном переносе (с сохранением направления идлины) его координаты не изменяются. Если вектор задан в координатной форме, тоникто не скажет, где он расположен.


Пример 25 (свободные векторы)

На рисунке 26представлены три вектора. Один из них – вектор /> уже был рассмотрен вПримере 24.

/>

Рис.26

Не трудно убедиться втом, что

/>

 3.3 Основные арифметические действия над векторами

Здесь и далеепредполагается, что векторы /> заданыв координатной форме

/>

/>/> Длина вектора

Длина вектора />определяется выражением

/>

Скалярное произведение(координатная форма)

/>

/>/> Угол между векторами

Если φ – угол междувекторами />, то

/>

/>/> Условие ортогональности векторов

Два вектора /> ортогональны при условииравенства нулю их скалярного произведения

/>

 Сумма (разность) векторов

/>

 3.4 Векторное произведение векторов

Векторным произведениемвекторов />называется вектор,обозначаемый символом />( или />), который определяетсяусловиями

1. />, где φ – угол междувекторами />;

2. вектор /> такой, что /> одновременно;

3. вектор /> ориентирован по отношениюк сомножителям по правилу буравчика.


/>/>Правило буравчика

Вектор />, как результат векторногопроизведения /> ориентирован поотношению к сомножителям так же, как координатная ось Oz по отношению к осям Ox и Oy (cм. Рис. 27). Т.е., при вращенииот первого сомножителя ко второму буравчик ввинчивается внаправлении вектора />.

/>

Рис.27

 Условие коллинеарности векторов

Если векторы />коллинеарны (лежат на однойпрямой или на параллельных прямых) т.е. угол между ними или 0, или 1800,то их векторное произведение равно нулю

/>

 Геометрический смысл векторногопроизведения

Если векторы />приведены к общему началу(что параллельным переносом возможно сделать всегда, поскольку мы работаемтолько со свободными векторами), то длина вектора/> равна площадипараллелограмма, построенного на перемножаемых векторах (см.Рис.28).

/>

Рис.28

/>/> Свойства векторного произведения

1. Свойство антикоммутативности

/>

2. Свойствоассоциативности по отношению к скалярному множителю λ

/>/>

4. Распределительноесвойство относительно операции сложения

/>

Пример 26 (раскрытиескобок в выражении с векторами)

Раскрыть скобки ввыражении

/>


Решение

/>

 Пример 27 (вычисление площадипараллелограмма)

Вычислить площадь параллелограмма,построенного на векторах />и/>, если />

/> ;

/>;

/>

Решение

Прежде всего, площадьпараллелограмма, построенного на векторах />и />, определяется как

/>.

Т.е. найдем векторноепроизведение векторов c и d, а потом длина полученного векторачисленно будет равна искомой площади параллелограмма.

Шаг 1

Ищем векторноепроизведение, при этом активно используем свойства векторного произведения

/>/>/>

Шаг 2

Ищем, собственно площадь />

/>

3.5 Векторные произведения ортов

При нахождении векторныхпроизведений ортов в ПДСК полезным окажется рисунок 29

/>

Рис.29

/>

Векторное произведениев координатной форме

Пусть векторы />заданы в координатной форме

/>

Тогда

/>

Вычисляя последнийопределитель методом разложения по элементам первой строки, получаем, что

/>

 Пример 28 (площадь треугольника)

Вычислить площадь треугольника,заданного своими вершинами А(2; 2; 2), В(4; 0; 3) и С(0; 1; 0).

Решение

Идея решения основана натом, что площадь треугольника АВС – это половина площади параллелограмма, аплощадь параллелограмма со сторонами АВ и АС – модуль векторного произведениявекторов АВ и АС. Коль скоро так, решение ищем в три шага

— находим векторы АВ иАС;

— находим векторноепроизведение найденных векторов;

— находим длинунайденного вектора;

— половина найденнойдлины – искомая площадь.

Шаг 1

«Найти вектор» — этозначит найти его координаты:

вектор АВ

/>

Шаг 2

Векторное произведениевекторов АВ и АС

/>

При нахождении площадипараллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, используем тот факт, чтонаши векторы – свободные векторы, а потому мы всегда параллельным переносомсможем свести их к общему началу.

Шаг 3

Находим площадьпараллелограмма, построенного на векторах АВ и АС, т.е. длину векторногопроизведения />, т.е., длинувектора

/>

/>

Шаг 4

Искомая площадь равнаполовине площади параллелограмма, построенного на векторах АВ и АС

/>

Ответ

Площадь треугольника АВСравна />

 3.6 Смешанное произведение векторов Правая тройка векторов

Правой тройкой векторовназовем тройку векторов, подчиняющуюся правилу буравчика, т.е., для трехвекторов /> имеют месторавенства

/>

Помочь запомнить этопоможет рисунок 30

/>

Рис.30

Т.е., вектор /> умножаем векторнона вектор /> — получаем вектор/>и т.д.

Не трудно убедиться втом, что и векторы ортонормированного базиса />в ПДСК образуют правуютройку векторов.

 Смешанное произведение векторов

Смешанным произведениемвекторов />назовем число,определяемое выражением

/>

Т.е., в одномпроизведении смешаны сразу два: векторное /> и скалярное – вектор-результатвекторного произведения умножается на вектор />скалярно (вот почему витоге получаем число).

 Геометрическое свойство смешанного произведениявекторов

Смешанное произведениевекторов /> равно объемупараллеле- пипеда, построенного на перемножаемых векторах, взятому со знаком«+», если эта тройка правая и со знаком « — », если эта тройка «левая» (неправая).

Условие компланарностивекторов

Векторы />компланарны (расположены водной плоскости), если их смешанное произведение равно нулю:

/>

 Смешанное произведение для векторов,заданныхв координатной форме

Для векторов

/>

смешанное произведениеопределяется выражением

/>

Откуда

 Условие компланарности для векторов,заданных в координатной форме

/>

 Пример 29 (вычисление объема пирамиды)

Найти объем треугольнойпирамиды с вершинами A(2;2; 2), B(4; 3; 3), C(4; 5; 4) и D(5;5; 6).


Решение

Идея задачи основана натом факте, что объем пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, а потомуалгоритм решения

— находим векторы AB, AC и AD;

— находим смешанноепроизведение найденных векторов (это будет объем параллелелепипеда);

— находим 1/6 отнайденного объема – это и будет искомый объем.

Шаг 1

Находим векторы AB, AC и AD

/>

Шаг 2

Вычисляем объемпараллелепипеда, построенного на векторах AB, AC и AD

/>

Шаг 3

Вычисляем Vпирамид. С учетом того, что /> получаем

/>

Ответ

Объем пирамиды ABCD равен />

4 УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИИ УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ Поверхность

Поверхность, определеннаянекоторым уравнением в данной системе координат есть геометрическое местоточек, координаты которых удовлетворяют данному уравнению F(x; y; z) = 0.

 Линия в пространстве

Если уравнения F(x; y; z) = 0 и Ф (x; y; z) = 0 определяют некоторуюповерхность, то линия L (x; y; z) = 0 может бытьопределена как геометрическое место точек общих для обеих поверхностей (линияпересечения поверхностей)

/>.

 4.1 Плоскость, как поверхность первого порядка

Существует, как минимум,три определения плоскости:

1) Плоскость естьповерхность, которая полностью каждую прямую, соединяющую любые две ее точки.

2) Плоскость естьмножество точек пространства, равноудаленных от данных двух точек.

А теперь об одной из формуравнения плоскости.

Во-первых, со школьныхвремен известно; «любые не совпадающие и не лежащие на одной прямой три точкиопределяют плоскость, причем единственную». Не случайно абсолютно устойчив(т.е. «не качается») стул на трех ножках и не устойчив («качается») стул надвух и более чем на трех ножках. Во-вторых, вектор нормали к плоскостиориентирует ее в пространстве (см. Рис.31)

/>

Рис.31

Пусть искомая плоскостьπ проходит через точку М0перпендикулярно вектору />, тогда

— во-первых, вектор /> есть результат векторногопроизведения вектора М0М2 на вектор М0М1

/>

— во-вторых, вектор /> перпендикулярен и векторуМ0М2, и вектору М1М2. Откуда, из условия ортогональности векторовполучаем, что скалярное произведение /> навектор М0М2 ( или на вектор М0М1)равно нулю. Если точка М2 имеет координаты (x; y; z), то скалярное произведение вектора /> на вектор М0М2должно быть равно нулю. С учетом того, что вектор М0М2определяется как

/>

получаем, что

/>

 Уравнение плоскости, проходящей через даннуюточку и перпендикулярной данному вектору

/>


Пример 30 (получение уравнения плоскости)

Найти уравнениеплоскости, проходящей через точку М0(1; 1; 1) перпендикулярновектору />

 

Решение

В нашем случае

А=1, В= 1 и С =1;

/>x0= 2, y0= 2, z0= 3,

следовательно, уравнениеплоскости имеет вид

/>

Или, окончательно,

Ответ

Искомая плоскостьопределяется уравнением

/>

 Общее уравнение плоскости

Вообще, любое уравнениевида

A∙x + B∙y + C∙z + D = 0

определяет плоскость (гдеА, В и С – координаты вектора-нормали к плоскости). Такая форма уравненияплоскости получила название «общее уравнение плоскости».

 Неполные уравнения плоскости

Пусть плоскость заданасвоим общим уравнением

A∙x + B∙y + C∙z + D = 0,      (*)

тогда

1)  если D = 0, то (*) определяет плоскость, проходящую через началокоординат;

2)  если А = 0, то B∙y + C∙z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Ox (т.к. />);

3)  если В = 0, то A∙x + C∙z + D = 0 и имеем плоскость, параллельную оси Oy (т.к. />);

4)  если C = 0, то A∙x + B∙y + D = 0 и имеем плоскость, параллельнуюоси Oz (т.к. />);

5)  А = 0; В = 0, то C∙z + D = 0и имеем плоскость, параллельную плоскости Oxy;

6)  A = 0; C = 0, то В∙y + D = 0 и имеем плоскость, параллельнуюплоскости Oxz;

7)  B = 0; C = 0, то A∙x + D = 0 и имеем плоскость, параллельную плоскости Oyz;

8)  A = 0, B = 0, D = 0,то С∙z = 0 – это плоскость Oxy;

9)  A = 0, C = 0, D = 0,то B∙y = 0 – это плоскость Oxz;

10) B = 0, C = 0, D = 0,то A∙z = 0 – это плоскость Oyz.

Точно так же, как былоранее с общим уравнением прямой на плоскости, из общего уравнения можнополучить и другие формы уравнения плоскости. Одна из этих форм уравнениеплоскости в отрезках.

Из общего уравненияплоскости

A∙x + B∙y + C∙z + D = 0

Получается уравнениеплоскости в отрезках

/>/>

Последнее выражениеполучило название «уравнение плоскости в отрезках»

 Уравнение плоскости в отрезках

/>

где a, b и с — величины отрезков, отсекаемых плоскостьюна осях Ox, Oy и Ozсоответственно.

Пусть две плоскостизаданы своими общими уравнениями

A1∙x+ B1∙y + C1∙z + D1 = 0 и

A2∙x+ B2∙y + C2∙z + D2 = 0.

Т.е., векторы-нормалиимеют координаты

— для плоскости />

— для плоскости />

И пусть плоскости несовпадают и не параллельны (см. Рис.32)

/>

Рис.32

Тогда

Угол между двумяплоскостями

Угол между плоскостямиопределяется углом между нормальными векторами />, а как найти угол междувекторами мы уже знаем:

если φ – угол междувекторами />, то это же иугол между плоскостями π1 и π2

/>

Откуда два важныхследствия (условия)

Условиеперпендикулярности двух плоскостей

Две плоскостиперпендикулярны при условии, что

A1∙A2 + B1∙B2 + C1∙C2 = 0.

 Условие параллельности двух плоскостей

Две плоскости параллельныпри условии, что

/>

еще рефераты
Еще работы по математике