Реферат: Теория вероятностей
Министерствовысшего образования Российской Федерации
ИжевскийГосударственный Университет
Кафедра ВТ
Курсоваяработа
Вариант Ж — 5
Выполнил: студент гр. 462Проверил: Веркиенко Ю. В.
2006 г.
Содержание
Цель работы
Задание
1. Генерирование выборок
2. Поиск оценок для выборок
3. Построение доверительных интервалов математическогоожидания и дисперсии
4. Построение доверительного интервала для коэффициентакорреляции
5. Построение эмпирической интегральной функции распределенияи теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)
6. Построение эмпирической кривой плотности распределения итеоретической
7. Проверка гипотезы о величине среднего (),дисперсии (2), о нормальном законе распределения (по 2 и поКолмогорову)
8. Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковойдисперсии в выборках
9. Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценкикоэффициентов регрессии
10. Построение доверительных интервалов для коэффициентоврегрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза
11. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам
Выводы
Цель работы
Выполнить все одиннадцатьпунктов работы по заданию и сделать выводы.
Задание
На ЭВМ по программеслучайных нормальных чисел с законом N(m,s2) генерировать две выборки объема n
x1,¼,xn (1)
y1,¼,yn (2)
Для выборок (1), (2)найти оценки /> /> /> /> Ex, Sx, />/> wx, wy.
Для (1) построитьдоверительные интервалы для математического ожидания (считая s2 известной и неизвестной) и дисперсии.
Для (1), (2) построитьдоверительный интервал для коэффициента корреляции.
Для (1) построитьэмпирическую интегральную функцию распределения /> и теоретическую (для нормальногозакона с оценками среднего и дисперсии)
Для (1) построитьэмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (x(1), x(n)) на 5-6интервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.
Проверить гипотезы: овеличине среднего (m),дисперсии (s2), онормальном законе распределения (по c2 и по Колмогорову).
Проверить гипотезу онезависимости выборок (1), (2), об одинаковой дисперсии в выборках.
Для уравнения (модели) /> с заданнымикоэффициентами biсоставить систему условных уравнений, считая /> и найти по МНК оценкикоэффициентов регрессии. Значения брать из равномерного закона /> или с равномерным шагомна отрезке [–1, 1].
Построить доверительныеинтервалы для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза вточках x=-1, 0, 1.
По доверительныминтервалам />оценитьзначимость факторов xi=xi. Фактор считается незначимым, еслидоверительный интервал накрывает значение, равное нулю.
При выполнении курсовойработы использовать значения: среднее выборок Х и У равно 3, дисперсия выборокравна 1. Уровень значимости a = 0.05. С.к.о. ошибки измерений в задаче регрессии 0.2.
1. Генерирование выборок
На ЭВМ по программеслучайных нормальных чисел с законом N(m,s2) генерируем две выборки объема n = 17, где m = 3 и s2 = 1
x1,¼,xn (1)
y1,¼,yn (2)
Вариационные ряды:
/> (1) />(2)
2. Поиск оценок для выборок
Для найденных выборок(1), (2) находим оценки /> /> /> /> Ex, Sx, />/> wx, wy.
Выборочное среднее:
/> />
Квадрат средне –квадратичного отклонения:
/> />
Оценка центральногомомента 3-го порядка:
/> />
Оценка центральногомомента 4-го порядка:
/> />
Коэффициент эксцесса:
/> />
Коэффициент асимметрии:
/> />
Оценка корреляционногомомента:
/> />
Оценка коэффициентакорреляции:
/> />
Размах выборки:
/> />
3. Построение доверительных интерваловматематического ожидания и дисперсии
Для (1) строимдоверительные интервалы для математического ожидания (считая s2 известной и неизвестной) и дисперсии.
Считаем s2 известной.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Считаем s2 неизвестной.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Таким образом, приразличных вариантах μmin,μmax имеют почти одинаковые значения.
/>
Подставляем табличныезначения 24,7 и 5,01 в знаменатели подкоренного выражения и получаем, что
/>, />
/>, />
4. Построениедоверительного интервала для коэффициента корреляции
Для (1), (2) строимдоверительный интервал для коэффициента корреляции.
/>
U = 1,96
Так как />, то пусть />, отсюда z = 0,693
/>
То есть |z| ≤ 0,693.
Если z = –0,693 и z = 0,693, то получим доверительный интервал для коэффициентакорреляции –0,6 < Rxy < 0,6.
5. Построениеэмпирической интегральной функции распределения и теоретической (длянормального закона с оценками среднего и дисперсии)
Создание ступенчатойфункции, при скачке высотой 1/n.
/>
Построение эмпирических Fx(u), Fy(u) и теоретических интегральныхфункций распределения. В последних средние и с. к. о. Взяты равными вычисленнымоценкам математического ожидания и с. к. о.
Пусть u = 0, 0.001…6, тогда
/>, />
/>
— — — — теоретическаяфункция распределения.
____ функция />для нормальногозакона с оценками среднего и дисперсии.
6. Построениеэмпирической кривой плотности распределения и теоретической
случайныйвыборка доверительный интервал
Для (1) построитьэмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (х(1), х(n)) нанесколько подинтервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.
k*sigx — ширина интервалов разбиения, k — коэффициент шага разбиния.взято симметрично от среднего значения по 4 интервала
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
— — — — теоретическаяфункция плотности распределения.
____ эмпирическая криваяплотности распределения.
7. Проверка гипотезыо величине среднего (m),дисперсии (s2), онормальном законе распределения (по c2 и по Колмогорову)
Проверка по критериюсогласия /> Пирсона:
По данным выборки найдемтеоретические частоты />, затем, сравнивая их снаблюдаемыми частотами />, рассмотрим статистику /> - случайнаяфизическая величина, имеющая распределение /> с k степенями свободы. Если сумма />, то выборочные данные согласуютсяс нормальным распределением и нет оснований отвергать нулевую гипотезу.
/>
/>
/>
/>
Определим /> с /> степенями свободы:
/>
/>
Как видно условие /> выполняется.
Проверка по критериюсогласия Колмогорова:
Условие: />
где />, где />максимальное значениеразности между экспериментальным и теоретическим распределением нормального закона.
/>
/> при />для X, и при />для Y.
/>
/> - критическое значение квантиляраспределения Колмогорова.
Так как условие /> – выполняется,то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждена.
8. Проверка гипотезыо независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках
Чтобы из выборки хполучить вариационный ряд необходимо осуществить 18 инверсий (т. е. Q=18).
/> />
Проверим гипотезу онезависимости />: />
/>
Так как /> из нормального закона />, то />
/>
/>/>
/>
/>
Так как условие /> – выполняется,то выборки независимы.
Теперь нам необходимопроверить гипотезу об одинаковой дисперсии в выборках
/>: />
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
так как F</>, то нетоснований, отвергать нулевую гипотезу.
9. Составлениесистемы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии.
Для уравнения модели
/>
Генерируем выборку сшагом
h = 1/N, где N =100
Пусть даны коэффициентырегрессии:
β0 = 0; β1 = 1;β2 = 1; β3 = 0; β4 = 0; β5 = 1;
Значения матрицы плана
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Сформируем элементыматрицы А вида:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Формирование правыхчастей нормальной системы
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Где /> случайная величина,сгенерированная по нормальному закону с учётом коэффициентов регрессии.
/>
Информационная матрица
/>
/>
Решение относительнокоэффициентов регрессии.
Для нахождения видауравнения регрессии необходимо вычислить коэффициенты регрессии /> данного уравнения.
/>
/>
Уравнение регрессии :
/>
Графики уравнениярегрессии и результатов измерений, по которым определялись коэффициентырегрессии:
/>
— — — — уравнениерегрессии
____ случайная выборка изнормального закона
10. Построениедоверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии иошибок прогноза
Доверительные интервалыбудем находить для каждого элемента вектора оценок коэффициентов регрессии />.
В случае нормальныхошибок доверительные интервалы находятся из двойного неравенства:
/>
где /> - остаточная суммаквадратов; /> -диагональный элемент ковариационной матрицы вида />
/> так как слагаемых в уравнениирегрессии шесть.
/> (1)
/> (2)
/> (3)
Строим интервал длякоэф-та регрессии:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Доверительный интервал />, где изтаблицы находим.
k = 6;
Тогда для r = [1…6] будем
брать соответствующийэлемент ковариационной матрицы, и находить доверительный интервал с учётом (1)(2) (3).
Нахождение доверительногоинтервала для /> (фактор />):
/>
-/>
Нахождение доверительногоинтервала для />(фактор />):
/>
/>
Нахождение доверительногоинтервала для />(фактор />):
/>
/>
Нахождение доверительногоинтервала для />(фактор />):
/>
/>
Нахождение доверительногоинтервала для />(фактор />):
/>
/>
Нахождение доверительногоинтервала для />(фактор />):
/>
/>
Доверительные интервалыдля />,/>,/>не накрывают значениеравное нулю, следовательно, факторы />,/>,/>являются значимыми, а факторы />,/>,/> — незначимыми.
11. Оценка значимостифакторов по доверительным интервалам
Исключив из уравнениярегрессии незначимые факторы, приходим к следующему виду:
/>
/>
Таким образом, из графикавидно, что при исключении из уравнения регрессии незначимых факторов график неизменился. Найдем доверительный интервал для остаточной дисперсии
/> при />. />
А доверительный интервалнайдём из следующего двойного неравенства:
/>
/> />
Таким образом,доверительный интервал для остаточной дисперсии есть:
/>
/>
/>
/>
/>
Выводы
Таким образом, в даннойкурсовой работе были изучены методы обработки случайных выборок с нормальнымзаконом распределения. Так же найдены оценки коэффициентов регрессии ипостроены доверительные интервалы. В последнем пункте работы были оцененызначимости факторов по доверительным интервалам.