Реферат: Теория вероятностей

Министерствовысшего образования Российской Федерации

ИжевскийГосударственный Университет

Кафедра ВТ

Курсоваяработа

Вариант Ж — 5

Выполнил: студент гр. 462

Проверил: Веркиенко Ю. В.

2006 г.


Содержание

Цель работы

Задание

1. Генерирование выборок

2. Поиск оценок для выборок

3. Построение доверительных интервалов математическогоожидания и дисперсии

4. Построение доверительного интервала для коэффициентакорреляции

5. Построение эмпирической интегральной функции распределенияи теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)

6. Построение эмпирической кривой плотности распределения итеоретической

7. Проверка гипотезы о величине среднего (),дисперсии (2), о нормальном законе распределения (по 2 и поКолмогорову)

8. Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковойдисперсии в выборках

9. Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценкикоэффициентов регрессии

10. Построение доверительных интервалов для коэффициентоврегрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза

11. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам

Выводы


Цель работы

Выполнить все одиннадцатьпунктов работы по заданию и сделать выводы.

Задание

На ЭВМ по программеслучайных нормальных чисел с законом N(m,s2) генерировать две выборки объема n

x1,¼,xn       (1)

y1,¼,yn       (2)

Для выборок (1), (2)найти оценки /> /> /> /> Ex, Sx, />/> wx, wy.

Для (1) построитьдоверительные интервалы для математического ожидания (считая s2 известной и неизвестной) и дисперсии.

Для (1), (2) построитьдоверительный интервал для коэффициента корреляции.

Для (1) построитьэмпирическую интегральную функцию распределения /> и теоретическую (для нормальногозакона с оценками среднего и дисперсии)

Для (1) построитьэмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (x(1), x(n)) на 5-6интервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.

Проверить гипотезы: овеличине среднего (m),дисперсии (s2), онормальном законе распределения (по c2 и по Колмогорову).

Проверить гипотезу онезависимости выборок (1), (2), об одинаковой дисперсии в выборках.

Для уравнения (модели) /> с заданнымикоэффициентами biсоставить систему условных уравнений, считая /> и найти по МНК оценкикоэффициентов регрессии. Значения брать из равномерного закона /> или с равномерным шагомна отрезке [–1, 1].

Построить доверительныеинтервалы для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза вточках x=-1, 0, 1.

По доверительныминтервалам />оценитьзначимость факторов xi=xi. Фактор считается незначимым, еслидоверительный интервал накрывает значение, равное нулю.

При выполнении курсовойработы использовать значения: среднее выборок Х и У равно 3, дисперсия выборокравна 1. Уровень значимости a = 0.05. С.к.о. ошибки измерений в задаче регрессии 0.2.


1.  Генерирование выборок

На ЭВМ по программеслучайных нормальных чисел с законом N(m,s2) генерируем две выборки объема n = 17, где m = 3 и s2 = 1

x1,¼,xn       (1)

y1,¼,yn       (2)

Вариационные ряды:

/> (1) />(2)

2.  Поиск оценок для выборок

Для найденных выборок(1), (2) находим оценки /> /> /> /> Ex, Sx, />/> wx, wy.

Выборочное среднее:

/>                                         />


Квадрат средне –квадратичного отклонения:

/>                           />

Оценка центральногомомента 3-го порядка:

/>                         />

Оценка центральногомомента 4-го порядка:

/>                         />

Коэффициент эксцесса:

/>                                       />

Коэффициент асимметрии:

/>                                           />

Оценка корреляционногомомента:

/>                 />

Оценка коэффициентакорреляции:

/>                                           />

Размах выборки:

/>                                       />

3.  Построение доверительных интерваловматематического ожидания и дисперсии

Для (1) строимдоверительные интервалы для математического ожидания (считая s2 известной и неизвестной) и дисперсии.

Считаем s2 известной.

/>

/>

/>

/>

/>

/>


Считаем s2 неизвестной.

/>

/>

/>

/>

/>

/>

Таким образом, приразличных вариантах μmin,μmax имеют почти одинаковые значения.

/>

Подставляем табличныезначения 24,7 и 5,01 в знаменатели подкоренного выражения и получаем, что

/>, />

/>, />

4. Построениедоверительного интервала для коэффициента корреляции

Для (1), (2) строимдоверительный интервал для коэффициента корреляции.

/>

U = 1,96

Так как />, то пусть />, отсюда z = 0,693

/>

То есть |z| ≤ 0,693.

Если z = –0,693 и z = 0,693, то получим доверительный интервал для коэффициентакорреляции –0,6 < Rxy < 0,6.

5. Построениеэмпирической интегральной функции распределения и теоретической (длянормального закона с оценками среднего и дисперсии)

Создание ступенчатойфункции, при скачке высотой 1/n.

/>

Построение эмпирических Fx(u), Fy(u) и теоретических интегральныхфункций распределения. В последних средние и с. к. о. Взяты равными вычисленнымоценкам математического ожидания и с. к. о.

Пусть u = 0, 0.001…6, тогда

/>, />


/>

— — — — теоретическаяфункция распределения.

____ функция />для нормальногозакона с оценками среднего и дисперсии.

6. Построениеэмпирической кривой плотности распределения и теоретической

случайныйвыборка доверительный интервал

Для (1) построитьэмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (х(1), х(n)) нанесколько подинтервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.

k*sigx — ширина интервалов разбиения, k — коэффициент шага разбиния.взято симметрично от среднего значения по 4 интервала

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>


/>

— — — — теоретическаяфункция плотности распределения.

____ эмпирическая криваяплотности распределения.

7. Проверка гипотезыо величине среднего (m),дисперсии (s2), онормальном законе распределения (по c2 и по Колмогорову)

Проверка по критериюсогласия /> Пирсона:

По данным выборки найдемтеоретические частоты />, затем, сравнивая их снаблюдаемыми частотами />, рассмотрим статистику /> - случайнаяфизическая величина, имеющая распределение /> с k степенями свободы. Если сумма />, то выборочные данные согласуютсяс нормальным распределением и нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

/>

/>

/>

/>


Определим /> с /> степенями свободы:

/>

/>

Как видно условие /> выполняется.

Проверка по критериюсогласия Колмогорова:

Условие: />

где />, где />максимальное значениеразности между экспериментальным и теоретическим распределением нормального закона.

/>

/> при />для X, и при />для Y.

/>

/> - критическое значение квантиляраспределения Колмогорова.

Так как условие /> – выполняется,то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждена.

8. Проверка гипотезыо независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках

Чтобы из выборки хполучить вариационный ряд необходимо осуществить 18 инверсий (т. е. Q=18).


/> />

Проверим гипотезу онезависимости />: />

/>

Так как /> из нормального закона />, то />

/>

/>/>

/>

/>

Так как условие /> – выполняется,то выборки независимы.

Теперь нам необходимопроверить гипотезу об одинаковой дисперсии в выборках

/>: />

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

так как F</>, то нетоснований, отвергать нулевую гипотезу.

9. Составлениесистемы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии.

Для уравнения модели

/>

Генерируем выборку сшагом

h = 1/N, где N =100

Пусть даны коэффициентырегрессии:

β0 = 0; β1 = 1;β2 = 1; β3 = 0; β4 = 0; β5 = 1;

Значения матрицы плана

/>

/>

/>

/>

/>

/>

Сформируем элементыматрицы А вида:

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

Формирование правыхчастей нормальной системы

/>

/>

/>

/> 


/>

/>

/>

Где /> случайная величина,сгенерированная по нормальному закону с учётом коэффициентов регрессии.

/>

Информационная матрица

/>

/>

Решение относительнокоэффициентов регрессии.

Для нахождения видауравнения регрессии необходимо вычислить коэффициенты регрессии /> данного уравнения.

/>

/>

Уравнение регрессии :

/>

Графики уравнениярегрессии и результатов измерений, по которым определялись коэффициентырегрессии:

/>

— — — — уравнениерегрессии

____ случайная выборка изнормального закона

10. Построениедоверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии иошибок прогноза

Доверительные интервалыбудем находить для каждого элемента вектора оценок коэффициентов регрессии />.

В случае нормальныхошибок доверительные интервалы находятся из двойного неравенства:


/>

где /> - остаточная суммаквадратов; /> -диагональный элемент ковариационной матрицы вида />

/> так как слагаемых в уравнениирегрессии шесть.

/>              (1)

/>                            (2)

/>                            (3)

Строим интервал длякоэф-та регрессии:

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>


/>

/>

/>

Доверительный интервал />, где изтаблицы находим.

k = 6;

Тогда для r = [1…6] будем

брать соответствующийэлемент ковариационной матрицы, и находить доверительный интервал с учётом (1)(2) (3).

Нахождение доверительногоинтервала для /> (фактор />):

/>

-/>

Нахождение доверительногоинтервала для />(фактор />):

/>

/>

Нахождение доверительногоинтервала для />(фактор />):

/>

/>

Нахождение доверительногоинтервала для />(фактор />):

/>

/>

Нахождение доверительногоинтервала для />(фактор />):

/>

/>

Нахождение доверительногоинтервала для />(фактор />):

/>

/>

Доверительные интервалыдля />,/>,/>не накрывают значениеравное нулю, следовательно, факторы />,/>,/>являются значимыми, а факторы />,/>,/> — незначимыми.

11. Оценка значимостифакторов по доверительным интервалам

Исключив из уравнениярегрессии незначимые факторы, приходим к следующему виду:

/>

/>

Таким образом, из графикавидно, что при исключении из уравнения регрессии незначимых факторов график неизменился. Найдем доверительный интервал для остаточной дисперсии

/> при />. />

А доверительный интервалнайдём из следующего двойного неравенства:

/>

/>  />

Таким образом,доверительный интервал для остаточной дисперсии есть:

/>

/>

/>

/>

/>


Выводы

Таким образом, в даннойкурсовой работе были изучены методы обработки случайных выборок с нормальнымзаконом распределения. Так же найдены оценки коэффициентов регрессии ипостроены доверительные интервалы. В последнем пункте работы были оцененызначимости факторов по доверительным интервалам.

еще рефераты
Еще работы по математике