Реферат: Теория вероятностей

Министерствообразования и науки Российской Федерации

Бузулукскийгуманитарно-технологический институт (филиал) государственного образовательногоучреждения высшего профессионального образования

«Оренбургскийгосударственный университет»

Факультетзаочного обучения

Кафедра физики,информатики, математики

Контрольная работа

подисциплине Математика

Руководитель работы:

Шабалина Л.Г.

Исполнитель:

Студент з-09 ПГС группы

Сушков Е.А.

Бузулук 2010

Задание 1

1. Рабочий обслуживаеттри станка, работающих независимо друг от друга. Вероятность того, что втечение часа 1-й станок не потребует внимания рабочего, равна 0,9; для второго- 0,8; для третьего – 0,85.

Какова вероятностьтого, что в течение часа:

а) ни один станок непотребует внимания рабочего;

б) все три станкапотребуют внимания рабочего;

в) какой-нибудь одинстанок потребует внимания рабочего;

г) хотя бы один станокпотребует внимания рабочего?

Решение: III III

P0,9 0, 8 0, 85

а) А (i=1,2,3) – не потребует внимания станок в течение часа

В – событие, где все 3станка не потребуют внимания рабочего в течение часа

Р (В) = Р (А1 ×А2 × А3) = Р(А1) × Р(А2) × Р(А3) = 0,9 × 0,8 ×0,85 = 0,612

б) А (i=1,2,3) – не потребует i-йвнимания станок

Ᾱ(i =1,2,3) – потребует i-йвнимания станок, независимое событие

Р (Ᾱ1) = 1 – 0,9 = 0,1

Р (Ᾱ2) = 1 – 0,8 = 0,2

Р (Ᾱ3) = 1 – 0,85 = 0,15

Р (Ᾱ1 × Ᾱ 2 × Ᾱ3) = (0,1 × 0,2 × 0,15) = 0,003

в) Ᾱ1 = 0,1; Ᾱ 2 = 0,2; Ᾱ3 = 0,85

Аi– один станок потребует внимания рабочего в течение часа

Р (В) = Р (А1 × Ᾱ2 × А3 + Ᾱ 1 × А2 ×А3 + А1 × А2 × Ᾱ 3) = (0,9×0,2 × 0,85 + 0,1 × 0,8 × 0,85 + 0,9 × 0,8 × 0,15)= 0,329

г) Найдём вероятностьчерез противоположное событие, т.е. ни один станок не потребует вниманиярабочего в течение часа

Р (А1 × А2 ×А3) = Р (А1) × Р (А2) × Р (А3) = 0,9 × 0,8 × 0,85 =0,612

Р ( С) = 1 – 0,612 =0,388

Ответ: а)вероятность равна 0,612, что в течение часа ни один станок не потребуетвнимания рабочего; б) вероятность равна 0,003, что в течение часа все тристанка потребуют внимания рабочего; в) вероятность равна 0,329, что в течениечаса какой-нибудь один станок потребует внимания рабочего; г) вероятность равна0,388, что в течение часа хотя бы один станок потребует внимания рабочего.

Задание 2

Ящик содержит 10 деталей,среди которых 3 стандартные. Найти вероятность того, что среди отобранных 5деталей окажутся: а) только 2 стандартные детали; б) все детали нестандартные;в) все детали стандартные; г) хотя бы одна деталь стандартная.

Решение:

а) число способов, гдевзяли 5 деталей из 10 детали, можно подсчитать по формуле:

С2 – число способов,где взяли 2 стандартные детали из 3-х нестандартных

С3 – число способов,где взяли 3 стандартные детали из 7-ми нестандартных

С5 – всего способов,где взяли 5 стандартных деталей из 10-ти

С2 =__3!___ = 3 С3 =__7!___ = 35 С5 = __10!___ = 252

2! × 1! 3!× 4! 5! × 5!

С3 × С7 = 3× 35 = 0,417

С5 252

б) С7 – число способоввыбора, где взяли 5 деталей из 7-ми

С5 = __7!__ = 21

5! ×2!

Число выбора деталейсчитается в сочетании С5 = 1

С7 – число способов,где взяли 5 деталей из 7-ми

С10 – всего способов,где взяли 5 деталей из 10-ти

Искомая вероятность Р (Д):

Р (Д) = С7 × С3 =21 × 1 = 0,083

С10 252

в) Событие, где взяли 5стандартных деталей из 3-х стандартных деталей невозможно. Вероятность равнанулю.

г) Найдём искомуювероятность через противоположное событие:

С7 – число способов,где взяли 5 нестандартных деталей из 7-ми

С3 – число способоввыбора из 3-х

С10 – всего способов,где взяли 5 деталей из 10-ти

С7 × С3 = 0,083 — искомая вероятность равна результату под пунктом б). С10

Ответ: а)Если среди отобранных 5 деталей окажутся только 2 стандартные детали, товероятность равна 0,417; б) если среди отобранных 5 деталей окажутся все деталинестандартные, то вероятность равна 0,083;в) если среди отобранных 5 деталей окажутся все детали стандартные, товероятность равна 0; г) если среди отобранных 5 деталей окажется, хотя бы однадеталь стандартная, то вероятность равна 0,083.

Задание 3

Имеется 2 ящикаизделий, причем в одном ящике все изделия доброкачественны, а во втором — только половина. Изделие, взятое наудачу из выбранного ящика, оказалосьдоброкачественным. На сколько отличаются вероятности того, что изделиепринадлежит первому и второму ящику, если количество изделий в ящикаходинаково?

Решение: Iящик II ящик

Доброкачественные 50 ×50 изделия Н1 – взяли из Iящика с доброкачественными изделиями, то Р ( Н1) = 0,5

Н2 – взяли из IIящика, то Р ( Н2) = 0,5

Событие А, где взялидоброкачественную деталь, Р ( А ǀН1) = 1

Событие А ǀН1 – доброкачественная деталь из Iящика

Событие А ǀН2 – из II ящика, Р ( А ǀН2) = 0,5

Тогда искомаявероятность Р ( А ) =Р ( Н1 ) × Р ( А ǀН1 ) + Р ( Н2 ) × Р (А ǀ Н2)

Р ( А) = 0,5 × 1+ 0,5 × 0,5 = 0,5 + 0,25 = 0,75

Р ( Н1 ) × Р ( А ǀН1 ) ˃Р ( Н2 ) × Р ( А ǀ Н2)

Ответ: Еслиизделие принадлежит первому и второму ящику, и количество изделий в ящикаходинаково, то вероятности отличаются на 0,75.

Задание 4

В ящике находятсяизделия, сделанные на трех станках: 20 – на первом станке, 18 — на втором и 14- на третьем. Вероятности того, что изделия, изготовленные на первом, втором итретьем станках, отличного качества, соответственно, равны 0,7; 0,85; 0,9.Взятое наудачу изделие оказалось отличного качества. Какова вероятность того,что оно изготовлено на втором станке?

Решение: III III

20 18 14

0,7 0,85 0,9

Р ( А ǀН1 ) = 0,7 Р ( А ǀ Н2 ) = 0,85 Р ( А ǀН3 ) = 0,9

Р ( А) = 0,7 ×0,85 × 0,9 = 0,536

А – взятое изделиеотличного качества из IIстанка

Искомая вероятностьравна:

Р ( Н2 ǀА ) = ________ Р ( Н2 ) × Р ( А ǀН2)

Р ( Н1 ) × Р ( А ǀН1 ) + Р ( Н2 ) × Р ( А ǀ Н2 ) + Р ( А ǀН3)

Где Н1, Н2, Н3 –соответственно изготовлено изделий на станках I,II и III.

Р ( А ǀН1) = 0,7 – вероятность отличной детали Iстанка

Р ( А ǀН2) = 0,85 – вероятность отличной детали IIстанка

Р ( А ǀН3) = 0,9 – вероятность отличной детали IIIстанка

Р ( Н2 ǀА) = ________ 0,346 × 0,85 ______________ = 0,294 = 0,365

0,385 ×0,7 + 0,346 × 0,85 + 0,269 × 0,9 0,806

Ответ: Вероятностьравна 0,365, что взятое наудачу изделие оказалось отличногокачества изготовлено на втором станке.

Задание 5

Найти вероятность того,что событие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, есливероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6.

Решение:

Событие А произойдёт неменее 2-х раз в 4 независимых испытаниях

Р ( А ) = р Р ( А) = Сm× рm × qn- m

Р = 0,6

q= 1 – р = 1 – 0,6 = 0,4

– вероятностьпротивоположного события. Нет наступления события А в 1-ом испытании.

Найдём произведение npqи определим формулу вычисления:

вероятностьслучайный величина интегральный

n= 4 npq = 4 × 0,6× 0,4 = 0,96

Можно использоватьформулу Бернули:

Р ( А) = С2 × p2× q2 + С3 × р3× q1 + С4 × р4× q0

Найдём черезпротивоположное событие:

Р ( А) = 1 – С0 ×p0 × q4+ С1 × p1 × q3= 1 – 1 × 1 × (0,4)4 + 4 × 0,6 × (0,4)3 = 1 – 0,0256 +4 × 0,6 × 0,064 = 0,9744 + 0,1536 = 1,128

С4 = __4!__ = 4

1!× 3!

Ответ: Еслисобытие А произойдет не менее 2 раз в 4 независимых испытаниях, то вероятностьравна 1,128.

Задание 6

Вероятность того, чтопара обуви, наудачу из изготовленной партии, окажется 1-го сорта, равна 0,7.Определить вероятность того, что из 2100 пар, поступающих на контроль, числопар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500.

Решение:

Для решения задачииспользуем интегральную формулу Муавра – Лапласа.

Вероятность событий Рn(m1 ˂m ˂m2) = Ф (х2) – Ф (х1)

р = 0,7; n= 2100; m1 = 1000; m2= 1500; q = 0,3

х1 = _m1– np_ = 1000 – 2100 × 0,7 = 1000– 1470 = – 470 = – 22,38

√ npq√2100× 0,7 × 0,3 √441 21

х2 = _m2– np_ = 1500 – 2100 × 0,7 = 1500– 1470 = _30_ = 1,43

√ npq√2100× 0,7 × 0,3 √441 21

Ф ( – х) = – Ф (х) Ф (–22,38) = 0,5 Ф (– 22,38) = 0,4236

Ф (х2) – Ф (х1) = Ф (х2)+ Ф (х1) = 0,5 + 0,4236 = 0,9236

Ответ: Если числопар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500, то из 2100 пар,поступающих на контроль, равна вероятности 0,9236.

Задание 7

Случайная величина Хзадана интегральной функцией F(x).Требуется: а) найти дифференциальную функцию f(х)(плотность вероятности), б) найти математическое ожидание и дисперсию Х, в)построить графики интегральной и дифференциальной функций, г) вероятностьпопадания случайной величины Х в интервал />.

Решение:

По определению Fʹ(х) = f(х)

0, при х ≤ 0

f( х) = х2, при 0 ˂ х ≤ 2

1, при х ˃2

Fʹ( х ) = 0ʹ = 0 Fʹ( х ) = ( х2 ÷ 4 )ʹ = 0,5х Fʹ( х ) = 1ʹ = 0

в) Построение графиковинтегральной и дифференциальной функции.

/>/>

б) М (Х) = х f(х) dx = 0 dx+х × _1_ dx + 0 dx=_ 1_ × х3 ÷ 3 = х3 ÷ 6 =

 2 2 =_ 23_ – _03 = 8 –0 = 4 = а

6 6 6 3

Д (Х) = (х – _4_)2 f(х) dx = 0 (х – _4)2 f(х) dx + (х – 4)2 1 х dx+

3 3 3 2

+ (х – 4_)2 f(х)dx = (1 х3 – 4 х2 + 8 х) dx= (1_× х4 — 4_× х3 + 8_× х2) =

3 2 3 9 2 3 9

= 1_ × 24 – 4× 23 + 8_ × 22 = 16 – 32 + 16 = 144 – 128 = 16 = _2_

2 4 3 3 9 2 8 9 9 72 729

г) Р ( 1 ˂Х ˂2) = F(в)– F (а)22 × 1 – 12 × 1 = _1 – _1 = _1_ ––

3 4 3 4 9 12 12

вероятность попадания вэтот промежуток.

Ответ: М (Х) = _4 = а;Д (Х) = _2; Р ( 1 ˂ Х ˂2) =_ 1_

3 9 12

Задание 8

Найти вероятностьпопадания в заданный интервал ( a,b) нормально распределенной случайной величины Х, если известны еематематическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение s.

a = 2, b= 13, а = 10, s = 4.

Решение:

Если случайная величинаХ нормально распределена, то она является непрерывной случайной величиной, и М(Х) вычисляется, как: (a + b) ÷ 2, а Д (Х) вычисляется,как: (b-a)÷ (в-а), и s связаны формулой √ Д.

Тогда вероятность: Р {Х ϵ[a,b]} будет вычисляться по формуле:

Ф ( (b–a) ÷ s) – Ф ( (a–b)÷ s ).

М (Х) = (a+ b)÷ 2 = (2 + 13) ÷ 2 = 7,5

Д (Х) = (b- a)2÷ 12 = 9 ÷ 12 = 0,75

s = √ Д = √0,75 = 0,87 × 100 = 87

То искомая вероятностьнаходится по формуле:

Р (a˂Х ˂b) = Ф( (b–a) ÷ s ) – Ф ( (a–b)÷ s ) = Ф ((13 – 10) ÷ 4) –

Ф ((2 – 10) ÷ 4)= Ф (0,75) – Ф (– 2) = Ф(0,75) + Ф (2) = 0,2734 + 0,5 =

=0,773

Где Фх – функция Лапласа,которую находим по таблице.

Ответ: Вероятностьпопадания в заданный интервал ( a,b) нормально распределенной случайной величины Х, равна 0,773.

Задание 9

Найти доверительныеинтервалы для оценки математического ожидания нормального распределения снадежностью 0,95, если выборочная средняя />, объем выборки nи среднее квадратическое отклонение s.

/>= 12, 15, n= 169 s= 5

Решение:

Находим доверительныеинтервалы: х – t γ ˂ а ˂х + t γ

√ n √ n

где Ф(t) = Ф (γ ÷ s)→ t= (γ ÷ s) = (0,95 ÷ 5) =0,19

х – t γ = 12,15 – 0,19× 0,95 = 12,15 – 0,01 = 12,14

√ n √ 169

х + t γ = 12,15 + 0,19× 0,95 = 12,15 + 0,01 = 12,16

√ n √ 169

Ответ: Доверительныеинтервалы 12,14 ˂ а ˂12,16.

Литература

1. СевастьяновБ.А., Чистяков В.П, Зубков А.М. Сборник задач по теории вероятностей – М.:Наука, 1980.

2. ШипачевВ.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2004.

3. ЧистяковВ.П. Курс теории вероятности, М.: 2001.

4. ГмурманВ.Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 2003.

5. ГмурманВ.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математическойстатистике.- М.: Высшая школа, 2003.

6. ДанкоП.Е и др. Высшая математика в упражнениях и задачах (Iи II часть).-М, 2005.

7. БогаровП.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей. Математическая статистика – М.: 1998.

8. ВенцельЕ.С. Теория вероятностей – М.: 1962.

9. СолодовниковА.С. Теория вероятностей М.: Просвещение, 1978.

10. ВиленкинН.Я., Потапов В.Т. Задачник-практикум по теории вероятности с элементамикомбинаторики и математической статистики.

11. КремерН.Ш.: «Теория вероятностей и математическая статистика»; М.ЮНИТИ – Дана, 2003.