Реферат: Геометрия Лобачевского

Геометрия Лобачевского

Оглавление

Введение

Глава I. История возникновения неевклидовой геометрии

1.1 V постулат Евклида, попытки егодоказательства

1.2 Постулатыпараллельности Евклида и Лобачевского

Глава II. Геометрия Лобачевского

2.1 Основные понятия

2.2 Непротиворечивость геометрииЛобачевского

2.3 Модели геометрии Лобачевского

2.4 Дефект треугольника имногоугольника

2.5 Абсолютная единица длины вгеометрии Лобачевского

2.6 Определение параллельной прямой.Функция П(х)

2.7 Модель Пуанкаре

Практическая часть

1. Сумма углов треугольника

2. Вопрос о существовании подобныхфигур

3. Основное свойство параллелизма

4. Свойства функции П(х)

Заключение. Выводы

Приложения

Список использованной литературы

Введение

Данная работа показываетсходство и различия двух геометрий на примере доказательства одного изпостулатов Евклида и продолжение этих понятий в геометрии Лобачевского с учетомдостижений науки на тот момент.

Любая теория современнойнауки считается верной, пока не создана следующая. Это своеобразная аксиомаразвития науки. Этот факт многократно подтверждался.

Физика Ньютона перерослав релятивисткую, а та — в квантовую. Теория флогистона стала химией. Таковасудьба всех наук. Участь эта не обошла геометрию. Традиционная геометрияЕвклида переросла в геометрии. Лобачевского. Именно этому разделу наукипосвящена эта работа.

Цель данной работы:рассмотреть отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида.

Задачи данной работы:сравнить теоремы геометрии Евклида с аналогичными теоремами геометрииЛобачевского;

посредством решения задачвывести положения геометрии Лобачевского.

Выводы: 1. ГеометрияЛобачевского построена на отказе от пятого постулата Евклида.

2. В геометрииЛобачевского:

не существует подобныхтреугольников, которые не равны;

два треугольника равны,если их углы равны;

сумма углов треугольникане равна 1800, а меньше (сумма углов треугольника зависит от егоразмеров: чем больше площадь, тем сильнее отличается сумма от 1800;и наоборот, чем меньше площадь, тем ближе сумма его углов к 1800 );

через точку вне прямойможно провести более одной прямой, параллельной данной.

Рекомендации: Я предлагаюиспользовать эту работу как дополнительную литературу в классах с углубленнымизучением математики.

Глава 1. Историявозникновения неевклидовой геометрии

1.1 V постулат Евклида, попытки егодоказательства

Евклид – автор первогодошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с моментапоявления его труда «Начала» оно было единственным руководством для изучающихгеометрию.

«Начала» состоят из 13книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.

Каждая книга «Начал»начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Вслед заопределениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемыебез доказательства.

V постулат Евклида гласит: и чтобывсякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует сними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, этипрямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Важнейшим недостаткомсистемы евклидовых аксиом, включая и его постулаты, является ее неполнота, тоесть недостаточность их для строго логического построения геометрии, прикотором каждое предложение, если оно не фигурирует в списке аксиом, должно бытьлогически выведено их последних. Поэтому Евклид при доказательстве теорем невсегда основывался на аксиомах, а прибегали в интуиции, к наглядности и«чувственным» восприятиям. Например, понятию «между» он приписывал чисто наглядныйхарактер; он молчаливо предполагал, что прямая, проходящая через внутреннююточку окружности, непременно должна пересечь ее в двух торчках. При этом оносновывался только на наглядности, а не на логике; доказательства этого фактаон нигде не дал, и дать не мог, так как у него отсутствовали аксиомынепрерывности. Нет у него и некоторых других аксиом, без которых строгологическое доказательство теорем не возможно.

Но никто не сомневался вистинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже в древности именно постулат опараллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавшихнеестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано сотносительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимостьлюбых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, котороеобнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Сам Евклид и многиеученые пытались доказать постулат о параллельных. Одни старались доказатьпостулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которыеможно вывести из последних, не используя сам V постулат. Все такие попытки оказались неудачными. Их общийнедостаток в том, что в доказательстве неявно применялось какое-нибудьпредположение, равносильное доказываемому постулату. Другие предлагалипо-новому определить параллельные прямые или же заменить V постулат каким-либо, по их мнению,более очевидным предложением.

Но многовековые попыткидоказательства пятого постулата Евклида привели в конце концов к появлениюновой геометрии, отличающейся тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называетсянеевклидовой, а в России носит имя Лобачевского, который впервые опубликовалработу с ее изложением.

И одной из предпосылокгеометрических открытий Н.И Лобачевского (1792-1856) был как раз егоматериалистический подход к проблемам познания. Лобачевский он был твердоуверен в объективном и не зависящим от человеческого сознания существованииматериального мира и возможности его познания. В речи «О важнейших предметах воспитания»(Казань, 1828) Лобачевский сочувственно приводит слова Ф.Бэкона: «оставьтетрудиться напрасно, стараясь извлечь их одного разума всю мудрость; спрашивайтеприроду, она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вамнепременно и удовлетворительно». В своем сочинении «О началах геометрии»,являющимся первой публикацией открытой им геометрии, Лобачевский писал: «первыепонятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведенык самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточнымоснованием учения. Такие понятия приобретаются чувствами; врожденным – недолжно верить».

Первые попыткиЛобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. К 1826 году онпришел к убеждению в том, что Vпостулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826года сделал на заседании факультета казанского университета доклад «Сжатоеизложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллельных», вкотором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии», как онназывал систему, позднее получившую название неевклидовой геометрии. Доклад1826 г. вошел в состав первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии– статьи «О началах геометрии», напечатанной в журнале Казанского университета«Казанский вестник» в 1829-1830гг. дальнейшему развитию и приложениям открытойим геометрии были посвящены мемуары «Воображаемая геометрия», «применениевоображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии сполной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках» соответственнов 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Переработанный текст «Воображаемой геометрии»появился во французском переводе в Берлине, там же в 1840г. вышли отдельнойкнигой на немецком языке «Геометрические исследования по теории параллельныхлиний» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он издал в Казани на русском ифранцузском языках «Пангеометрию». Высоко оценил «Геометрические исследования»Гаусс, который провел Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенскогоученого общества, бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства.Однако в печати с оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил.

1.2 Постулаты параллельностиЕвклида и Лобачевского

Основным пунктом, откуданачинается разделение геометрии на обычную евклидову (употребительную) инеевклидову (воображаемую геометрию или «пангеометрию») является, как известно,постулат о параллельных линиях.

В основе обычнойгеометрии лежит предположение, что через точку, не лежащую на данной прямой,можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой, не более однойпрямой, не пересекающей данную прямую. Тот факт, что через точку, не лежащую наданной прямой, проходит по крайней мере одна прямая, не пересекающая эту прямую,относится к «абсолютной геометрии», т.е. может быть доказан без помощипостулата о параллельных линиях.

Прямая ВВ, проходящаячерез Р под прямым углом к перпендикуляру РQ, опущенному на АА1, не пересекает прямой АА1;эта прямая в евклидовой геометрии называется параллельной к АА1.

В противоположностьпостулату Евклида, Лобачевский принимает в основу построения теориипараллельных линий следующую аксиому:

Через точку, не лежащуюна данной прямой, можно провести в плоскости, определяемой этой точкой и прямой,более одной прямой, не пересекающей данную прямую.

Отсюда непосредственновытекает существование бесконечно множества прямых, проходящих через одну и туже точку и не пересекающих данную прямую. Пусть прямая СС1 непересекает АА1; тогда все прямые, проходящие внутри двухвертикальных углов ВРС и В1РС1, также не пересекаются спрямой АА1.

Глава 2. ГеометрияЛобачевского.

2.1 Основные понятия

В мемуарах «О началахгеометрии» (1829) Лобачевский прежде всего воспроизвел свой доклад 1826г.

Он определяет основныепонятия геометрии, не зависящие от V постулата, и заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника неможет быть >, как это имеет место у сферических треугольников, Лобачевскийзаявляет: «Мы видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть>. Остается предполагать эту сумму = или <. То и другое может бытьпринято без всякого противоречия впоследствии, от чего и происходит двеГеометрии: одна, употребительная доныне по своей простоте, соглашается со всемиизмерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая и потомузатруднительная в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий отуглов».

/>

Лобачевский указывает,что в «воображаемой геометрии» сумма углов треугольника всегда < и двепрямые могут не пересекаться в случае, когда они образуют с секущей углы, всумме меньше. Параллельные прямые определяются как такие, которые непересекаются, но могут быть получены предельным переходом из пересекающихся. Черезкаждую точку плоскости

проходят две прямые,параллельные данной прямой, лежащей в этой плоскости; эти прямые делят пучокпрямых, проходящих через данную точку, на четыре области, в двух из которыхпроходят прямые, пересекающие данную прямую, а в двух – прямые, которые непересекают эту прямую не могут быть получены предельным переходом изпересекающихся – такие прямые называются расходящимися; параллельные прямыеразграничивают пересекающие прямые от расходящихся ( на рис. Условно изображеныпрямые r и r1, проведенные через точку А параллельно прямой p, прямые q и q1, проведенные через точку А ипересекающие прямую p, и прямые s и s1, расходящиеся с прямой p ). Угол между прямой, проведенной через точку А параллельнопрямой р, и перпендикуляром, опущенным из А на р, Лобачевский называет « угломпараллельности» и показывает, что функция, выражающая зависимость этого угла отдлины а перпендикуляра, может быть (в современных обозначениях) записана в виде

П(а)=2arctg e-a/q,                                                                             (1)

где q – некоторая постоянная. При а=0 уголпараллельности всегда острый, причем он стремится при а=0, постоянная же q может служить на плоскости Лобачевского абсолютной единицейдлины, аналогичной абсолютной единицей длины, аналогичной единице угла вевклидовом пространстве. Лобачевский устанавливает также, что расходящиесяпрямые обладают общим перпендикуляром и удаляются друг от друга по обе стороныот него, а две параллельные прямые приближаются друг к другу и расстояния точекодной из них от другой стремится к 0 при неограниченном удалении этих точек.Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского всегда меньше, и если — «угловой дефект» треугольника, то есть разность между и суммой его углов, топлощадь треугольника S равна

S=q2,                                                                                                        (2)

где q – та же постоянная, что и в формуле(1).

Круг при стремлении егорадиуса к бесконечности переходит в системе Лобачевского не в прямую, а вособого рода кривую «предельного круга» — в настоящее время такие кривыеназывают орициклами. Сфера при тех же обстоятельствах переходит не в плоскость,а в кривую поверхность, которую Лобачевский назвал «предельной сферой», а внастоящее время именуют орисферой. Лобачевский отмечает, что на орисфере имеетместо евклидова геометрия, причем роль прямых на ней играют орициклы. Этопозволяет Лобачевскому, опираясь на евклидову тригонометрию на орисфере,вывести тригонометрию на плоскости в его геометрической системе. Название«воображаемая геометрия» подчеркивает, что эта геометрия относится кевклидовой, «употребительной», по терминологии Лобачевского, как мнимые числа,«воображаемые», по его терминологии, к действительным.

Лобачевский сразу жепоставил вопрос об экспериментальной проверке того, какая геометрия имеет местов реальном мире – «употребительная» или «воображаемая», для чего он решилизмерить сумму углов треугольника, образованного двумя диаметральнопротивоположными положениями Земли на ее орбите и Сириусом и считая один изуглов этого треугольника прямым, а другой – равным углу параллельности,Лобачевский нашел, что эта сумма отличается от на разность, меньшую ошибкиугломерных инструментов в его время. «После того, — пишет Лобачевский, — можновообразить, сколько эта разность, на которой основана наша теория параллельных,оправдывает точность всех вычислений обыкновенной геометрии и дозволяетпринятые начала рассматривать как бы строго доказанными».

Это объясняет, что под«строгим доказательством теоремы параллельных» в докладе 1826г. Лобачевскийпонимал невозможность установить экспериментальным путем, какая из двухгеометрий имеет место в реальном мире, откуда вытекает, что на практике можнопользоваться «употребительной геометрией», не рискуя впасть в ошибку.

Наиболее полно изложенасистема Лобачевского в его «Новых началах с полной теорией параллельных»(1835-1838). Изложение геометрии у Лобачевского основывается на чистотопологических свойствах прикосновения и сечения, конгруэнтность тел иравенство отрезков определяются по существу с помощью движения.

В позднейших работах Лобачевскийввел координаты и вычислил из геометрических соображений целый ряд новыхопределенных интегралов, которым он специально посвятил работу «Применениевоображаемой геометрии к некоторым интегралам», многие из которых были включеныв дальнейшие справочники.

2.2 Непротиворечивостьгеометрии Лобачевского

Выведя уже в своей первойработе «О началах геометрии» формулы тригонометрии своей новой системы,Лобачевский заметил, что «эти уравнения переменяются в … (уравнения)сферической Тригонометрии, как скоро вместо боков а, b, c ставим в а -1, b -1, с -1, но в обыкновенной Геометрии и сферическойТригонометрии везде входят одни содержания ( то есть отношения ) линий:следовательно, обыкновенная Геометрия, Тригонометрия и эта новая геометриявсегда будут согласованы между собой». Это означает, что если мы запишемтеорему косинусов, теорему синусов и двойственную теорему косинусов сферическойтригонометрии для сферы радиуса r ввиде

sinA sinB sinC,

sin(a/r) sin(b/r)sin(c/r)

cos(a/r)=cos(b/r)*cos(c/r)+sin(b/r)*sin(c/r)*cosA,

cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos(a/r),

то формулы тригонометрииЛобачевского можно записать в том же виде, заменив стороны а,b,c треугольника произведениями ai, bi, ci; так как умножение сторон а,b,c на i равносильноумножению на i радиуса сферы, то, полагая r=qi и воспользовавшись известными соотношениями

cos(ix) = chx, sin(ix) = i sh x,

мы можем переписатьсоответственные формулы тригонометрии Лобачевского в виде

ch(a/q)=ch(b/q)*ch(c/q)-sh(b/q)*sh(c/q)*cosA,

sinA sinB sinC,

sh(a/q) sh(b/q)sh(c/q)

cosA = -cosBcosC+ sinBsinCcos(a/q).

Сам Лобачевскийпользовался не функциями ch x и sh x, а комбинациями введенной им функции П(х) стригонометрическими функциями; постоянная q в этих формулах – та же, что и в формулах (1) и (2).

Фактически Лобачевскийдоказал непротиворечивость своей системы тем, что ввел как на плоскости, так ив пространстве координаты и таким образом построил арифметическую модельплоскости и пространства Лобачевского. Однако сам Лобачевский виделсвидетельство непротиворечивость открытой им геометрии в указанной связи формулего тригонометрии с формулами сферической тригонометрии. Этот вывод Лобачевскогонеправомерен. В своих мемуарах он доказал, что формулы сферическойтригонометрии вытекают из его геометрии, между тем, чтобы утверждать, что изнепротиворечивости тригонометрических формул вытекает непротиворечивостьгеометрии Лобачевского, надо было доказать, что все предложения последней можновывести из ее тригонометрических формул и «абсолютной геометрии» — предложений,не зависящих от пятого постулата. Лобачевский попытался провести такоедоказательство, но в его рассуждения вкралась ошибка.

2.3 Модели геометрииЛобачевского

Первой, по времени явиласьмодель планиметрии Лобачевского на некоторых поверхностях (именно наповерхностях постоянной отрицательной кривизны). На этих поверхностях в смыслеих внутренней геометрии, когда расстоянии между точками определяются пократчайшим линиям на самой поверхности, выполняется геометрия Лобачевского.Только не на всей плоскости, а на той ее части, которая может быть представленаданной поверхностью. Вместе с тем доказано, что не существует (в трехмерномевклидовом пространстве) никакой поверхности, которая своей внутреннейгеометрией представляла бы плоскость Лобачевского.

Реализацию геометрииЛобачевского на поверхностях установил итальянский математик Бельтрами в 1868г.

Соответствующиеповерхности могут быть изготовлены, и тогда геометрия на кусках плоскостиЛобачевского представляется самым реальным способом.

Следующая по временипоявления геометрическая модель дается на обычной евклидовой плоскости. В нейвся плоскость Лобачевского представляется внутренностью круга, прямыепредставлены хордами (с исключенными концами).

Преобразования –отображения круга на себя, переводящие хорды в хорды, принимаются наложения(движения или перемещения), так что равными считаются фигуры внутри круга,которое отображаются одна на другую при таких преобразованиях круга. (Аксиомапараллельных не выполняется: через точку А на рис. проходит бесконечно много«прямых» — хорд, не пересекающих «прямую» а.)

Геометрия Лобачевского впространстве представляется аналогичной моделью. Пространством служитвнутренность шара, прямыми – хорды с исключенными концами, наложениями –отображения шара на себя, переводящие хорды в хорды. Плоскости представляютсявнутренностью кругов, являющихся плоскими сечениями шара.

Эта модель называетсямоделью Кэли – Клейна потому, что фактически построил в 1859 г. английскийматематик Кэли, хотя и не понял, что введенная им геометрия в круге и естьгеометрия Лобачевского. Это установил в 1871 г. немецкий математик Клейн.

Таким образом, можносказать, что геометрия Лобачевского оказывается не более как некоторымфрагментом геометрии Евклида, только изложенным особым образом. Если взятьобычный круг, внутренность его называть плоскостью, точки — точками, хорды –прямыми и объявить равными фигуры внутри круга, переводимые одна в другуюпреобразованиями, при которых круг переходит сам в себя и хорды — в хорды, тоэто и будет геометрия Лобачевского.

Так многовековые поискидоказательства аксиомы параллельных и немыслимость неевклидовой геометрииразрешились, можно сказать: в некотором пересказе некоторых элементов обычнойгеометрии внутри круга.

Третья геометрическая модельбыла дана в 1882 г. французским математиком Пуанкаре. В ней геометрияЛобачевского также представляется некоторым фрагментом геометрии Евклида,только изложенным особым образом (существенно отличным от модели Кэли-Клейна).

Но можно строитьаналитическую модель геометрии, представляя точки координатами и выражаярасстояние формулой в координатах.

Такую модель геометрииЛобачевского дал немецкий математик Риман в качестве частного случая общейопределенной им геометрии, называемой теперь римановой. Риман при вступлении надолжность в Геттингенский университет в 1854 г. прочел лекцию «О гипотезах,лежащих в основании геометрии», в которой в общих чертах определил общеепонятие пространства любого числа измерений и указал общий принцип введенияметрики – измерения расстояний бесконечно малыми шагами. Он также указалвозможное значение его теории для физики, как бы предвидя теорию тяготенияЭйнштейна.

Однако лекция осталасьнепонятой и была опубликована только в 1869 г., после смерти Римана.

Когда геометрияЛобачевского достаточно развита, можно на плоскости ввести координаты и датьформулу, выражающую расстояние между точками через их координаты. После этогостоит только перевернуть вывод, заявив: неевклидова геометрия – это теория, вкоторой точки задаются координатами и расстояния — соответствующей формулой.

2.4 Дефект треугольника имногоугольника

Учитывая, что в геометрииЛобачевского сумма углов треугольника меньше 2d, введем понятие о дефекте треугольника, который равенразности между 2d и суммой угловэтого треугольника:

DABC=2d-SABC.

Нетрудно видеть, что еслиотрезок BD разделяет АВС на треугольники ABD и DBC, то

DABC=DABD+DDBC.

Для n-угольника дефект вводится какразность между 2d(n-2) и суммой его углов. Можнодоказать вообще, что если многоугольник разбит ломаными на несколькомногоугольников, то дефект полного многоугольника равен сумме дефектов егочастей.

евклид лобачевский геометрия постулат

2.5 Абсолютная единицадлины в геометрии Лобачевского

Таким образом, вгеометрии Лобачевского подобных фигур не существует, а это связано смногочисленными осложнениями, которые кажутся очень странными для каждого,начинающего знакомиться с неевклидовой геометрией. В самом деле, из отсутствияподобия вытекает, что треугольник вполне определяется своими тремя углами (дватреугольника с попарно равными углами равны), что отрезок может быть определенпри помощи угла (например, как сторона равностороннего треугольника с заданнымуглом, меньше 2/3d ).

В геометрии Евклида дляопределения отрезка необходимо задать непременно некоторый другой отрезок (илисистему отрезков) и указать то геометрическое построение, при помощи которогопервый может быть получен из второго (чаще задается единица длины и число,выражающее длину определяемого отрезка). В геометрии Лобачевского дело обстоитпроще: для определения отрезка не надо задавать другого отрезка, достаточноуказать только геометрическое построение, при помощи которого может бытьполучен определяемый отрезок (например, как сторона равностороннеготреугольника с углом, получаемым из прямого угла при помощи того или иногопостроения).

Если реальноепространство подчиняется законам геометрии Евклида, эталон длины необходимодолжен быть реализован при помощи некоторого твердого тела; если же в реальномпространстве имеет место геометрия Лобачевского, то единица длины может бытьзадана некоторым геометрическим построением – в этом случае само пространствосвоими геометрическими свойствами определяет ту или иную единицу длины. Этофакт выражают, говоря, что в пространстве Лобачевского существуют «абсолютныеединицы длины», т.е. не зависящие от задания тех или иных отрезков.

Таким образом, вгеометрии Лобачевского мы имеем более тесную аналогию в вопросах измеренияотрезков и углов, чем в евклидовой геометрии (для углов в обеих геометрияхсуществуют абсолютные единицы меры, например прямой угол, получающийся припомощи геометрического построения независимо от задания тех или иных углов).

2.6 Определение параллельнойпрямой. Функция П(х)

Как мы видели, изпостулата Лобачевского непосредственно вытекает, что через луч Р, не лежащую наданной прямой АА1, в плоскости,<sup/>можно провестибесчисленное множество прямых, не пересекающих АА1. Применяя аксиомуДедекинда, можно показать что существуют две граничные прямые СС1 и DD1, разделяющие класс пересекающих прямых, лежащих вуглах CPD и C1PD1, от класса не пересекающих,проходящих внутри углов CPD1 и DPC1. нетрудно видеть, что эти граничные прямые непересекают прямую АА1 (если бы существовала точка пересечения S прямых АА1 и СС1,то, взяв на прямую АА1 точку Т правее S, мы получили бы прямую РТ, проходящую внутри углов CPD1 и DPC1 ипересекающую АА1 ). Эти граничные прямые СС1 DD1 Лобачевский называет параллельными прямой АА1в точке Р.

Таким образом, черезкаждую точку Р плоскости проходят две прямые, параллельные данной: прямая DD1, параллельная АА1 в направлении А1А,и прямая СС1, параллельная той же прямой в противоположномнаправлении АА1. Обе эти прямые расположены симметрично относительноперпендикуляра PQ, опущенного наАА1. Угол C1PQ Лобачевский называет угломпараллельности. Он является функцией длины перпендикуляра PQ, которую Лобачевский обозначает так:

C1PQ=П(PQ).

Можно сказать, чтопостулат Евклида соответствует предположению, что угол параллельности – прямой.Отметим, что достаточно предположить, что функция П(РQ) постоянна, чтобы отсюда вытекал постулат Евклида.

Необходимо дать себеясный отчет, насколько понятие параллелизма в неевклидовой геометрии сложнеесоответствующего понятия обычной геометрии. В самом деле, по самому определениюпараллелизма недостаточно сказать, что прямая СС1 параллельна АА1:необходимо при этом не только указать направление параллельности, но и ту точкуР, в которой имеет место факт параллелизма (т.е. в которой прямая СС1является граничной, отделяющей пересекающие прямые от не пересекающих). Поэтомукритерий параллельности выражается боле сложно, чем в евклидовой геометрии.Чтобы доказать, что прямая СС1 в точке Р параллельна АА1в направлении АА1, необходимо: 1) установить факт не пересеченияэтих прямых, 2) показать, что СС1 в точке Р является граничнойпрямой; это последнее устанавливается обычно так («критерий угла»): проводимпрямую PR, пересекающую АА1, ирассматриваем угол C1PR, который своим отверстием обращен всторону параллельности; если каждый луч, имеющий вершину в точке Р и проходящийвнутри этого угла, пересекает луч RА1, то прямая СС1 параллельна АА1 вточке Р в направлении АА1.

2.7 Модель Пуанкаре

Роль плоскостиЛобачевского играет в модели Пуанкаре открытая полуплоскость; роль прямыхвыполняют содержащиеся в ней полуокружности с центрами на ограничивающей еепрямой и лучи, перпендикулярные этой прямой. Роль наложений выполняюткомпозиции инверсий относительно этих полуокружностей и отражений лучах. Всеаксиомы евклидовой геометрии здесь выполняются, кроме аксиомы параллельных, темсамым в этой модели выполняется геометрия Лобачевского.

Практическая часть

1. Сумма угловтреугольника

Исследуем прежде всего связьпостулатов Евклида и Лобачевского с вопросом о сумме углов треугольника.Покажем, что постулат Евклида равносилен предположению, что сумма угловтреугольника равна двум прямым, а постулат Лобачевского — что сумма меньше двухпрямых.

Прежде всего исключимпредположение, что сумма углов треугольника может быть больше двух прямых.

Задача 1. Доказать, что суммауглов треугольника не может быть больше двух прямых.

Доказательство – отпротивного: предположим, что сумма углов треугольника АВС равна 2d. Пусть ВАС — наименьший угол этоготреугольника (в частном случае, если АВС – равносторонний треугольник илиравнобедренный треугольник, основание которого больше боковой стороны, то одиниз его равных углов). Проводим медиану AD противоположной стороны и откладываем отрезок DB1, равный этой медиане. из равенства треугольников ABD и B1DCвыводим, что DB1C= DAB, DCB1= DBA.Таким образом, в треугольнике АВ1С (назовем его первым выводнымтреугольником) сумма трех углов равна также 2d, сумма двух углов с вершинами в конечных точках удвоенноймедианы исходного треугольника равна, а наименьший угол. Из первого выводноготреугольника получаем аналогичным построением второй выводной: берем наименьшийугол, проводим медиану противолежащей стороны и т.д. В полученном таким образомвтором выводном треугольнике сумма трех углов равна 2d, сумма двух углов с вершинами в конечных точках удвоенноймедианы первого выводного треугольника, а наименьший угол. Продолжая этотпроцесс далее, получим ряд выводных треугольников; в n-м треугольнике сумма углов равна 2d, а сумма углов с вершинами в концах удвоенной медианы (n-1)-го выводного треугольника. Есливзять n достаточно большим, то можно сделатьменьше, т.е. третий угол этого треугольника будет больше 2d; мы получаем противоречие.

Задача 2. Доказать, что еслив каком-нибудь треугольнике сумма углов равна 2d, то это имеет место и во всяком другом треугольнике

Доказательство. Обозначимсумму углов треугольника АВС через SАВС. Пусть втреугольнике АВС сумма углов равна 2d; тогда два угла, например А и С, острые, и нетрудно показать, что высотаВD, опущенная из вершины В, пройдетвнутри этого треугольника, т.е. разобьет его на два прямоугольных треугольника.Учитывая, что

SABC=SABD+SDBC-2d,                                                                       (1)

и принимая во вниманиепредыдущую теорему, выводим, что SABC=SABD=2d.

Покажем теперь, что вкаждом прямоугольном треугольнике сумма углов равна 2d. Для этого возьмем треугольник ABD и дополним его до прямоугольника, пристроив к немуравный ему треугольник AEB спрямым углом в вершине Е и катетами АЕ=BD и EB=AD. В этом прямоугольнике AEBD сумма углов равна 4d. Откладывая сторону AD n раз прямой AY иприкладывая затем один к другому прямоугольники, равные AEBD, построим прямоугольник ALMK, составленный из n2 прямоугольников, равных AEBD. В прямоугольнике ALMK сумма углов равна 4d. Диагональ AMразбивает этот прямоугольник на два прямоугольных треугольника, в каждом изкоторых сумма углов равна 2d (наосновании теоремы 1). Принимая nдостаточно большим, получим прямоугольный треугольник AMK, у которого катеты будут больше некоторого заданногопрямоугольного треугольника PQR.Откладывая отрезки QT=KM, QS=AK, получимпрямоугольный треугольник STQ,равный прямоугольному треугольнику AMK и вмещающий в себе заданный прямоугольный треугольник PQR. Отрезок PT разбивает STQ надва треугольника, и так как SSQT=SSPT+SPTQ-2d, то SSPT+SPTQ=4d, откуда (на основаниитой же теоремы)

SSPT=SPTQ=2d.

Применяя тоже рассуждение к треугольнику PTQ и отрезку RP, устанавливаем, что SPQR=2d.

Итак, вкаждом прямоугольном треугольнике сумма углов равна 2d. Но мы видели выше, чтокаждый треугольник может быть разбит на два прямоугольных. Учитывая соотношение(1), получаем, что в любом треугольнике сумма углов равна 2d.

Итак,возможны только два предположения: или во всех треугольниках сумма углов равна2d, или же во всех меньше 2d.

Теперь мыустановим связь вопроса о сумме углов треугольника с постулатом параллельности.

Задача 3. Доказать,что если сумма углов треугольника равна 2d, то имеет место постулатЕвклида, если же она меньше 2d, то справедлив постулат Лобачевского.

Имеет место иобратное предложение.

Доказательство.Прежде всего покажем, что если сумма углов треугольника равна 2d, то через точку Р, нележащую на прямой АА1, можно провести прямую, образующую с прямой ВВ1(АА1и ВВ1 перпендикулярны к PQ) сколь угодно малый угол и пересекающую АА1.

Для этогопостроим отрезок QQ1=PQ; тогда угол B1PQ1=d/2. Откладываем отрезок Q1Q2=PQ1; B1PQ=d/22. затемпродолжаем этот процесс: смотрим отрезки Q2Q3=PQ2, Q3Q4=PQ3,......,Qn-1Qn=PQn-1. Получаем лучи PQ3, PQ4,......, PQn, образующие с лучом РВ1углы d/23, d/24,......, d/2n. При увеличении n мы можем, таким образом, получить угол, меньше любогозаданного.

Теперь уже простодоказать постулат Евклида. Пусть некоторый луч PR образует с PB1угол. Выбирая n достаточно большими ( так, чтобы (d/2n)<), мы получим треугольник PQQn, причем луч РR проходит внутри угла QPQn, т.е. пересекает сторону QQn.

Рассмотрим теперьпредположение, что сумма углов треугольника меньше 2d. Покажем, что имеются прямые, отличные от ВВ1,проходящие через точку Р и не пересекающие АА1.

Соединим некоторую точкуМ, лежащую на АА1, с Р и проведем луч PR так, чтобы МРR былравен РМQ. Из предположения о сумме угловтреугольника вытекает, что МРВ1>РМQ, т.е. луч РRпройдет внутри угла МРВ1; этот луч не пересекает АА1, таккак в противном случае получился треугольник, у которого внешний угол QMP равен внутреннему (МРR), с ним не смежному.

Таким образом, перваяполовина теоремы доказана, а из нее непосредственно вытекает обратноепредложение.

2. Вопрос о существованииподобных фигур

Перейдем к вопросу освязи постулатов параллельности с вопросом о существовании подобных фигур.Докажем, что существование подобных фигур возможно только в том случае, еслисправедлив постулат Евклида. Для этого докажем следующую теорему.

Задача 4. Доказать, что еслисуществуют два подобных треугольника, то справедлив постулат Евклида.

Доказательство. Пусть утреугольника АВС и А1В1С1 углы попарно равны:

А=А1, В=В1,С=С1, но сторона АВ>А1В1. На стороне АВотложим отрезок АВ=АВ и проведем прямую АМ под углом ВАМ=А. Так как АМ не можетпересекать прямую АС, то она пересечет отрезок ВС в некоторой точке С. Так как АВС=АВС,то в четырехугольнике ААСС сумма углов равна 4d. Разделяя его диагональю на два треугольника, получим, что вкаждом из них сумма углов равна 2d т.е.справедлив постулат Евклида.

3. Основное свойствопараллелизма

Лобачевский доказывает,что прямая, параллельная данной прямой в некоторой своей точке, параллельна ейво всех своих точках.

Задача 5. Доказать, что прямаясохраняет признак параллельности во всех своих точках.

Доказательство. Пустьпрямая ВВ параллельна в точке Р прямой АА. Рассмотрим точку Q, лежащую от точки Р в сторонупараллельности, т.е. по ту же сторону от прямой PR, соединяющей Р с некоторой точкой R на АА, что луч RA. Возьмем какой-нибудь луч QQ,проходящий внутри угла BQR,обращенного своим отверстием в сторону параллельности, и докажем, что онпересекает луч RA. Для этогосоединим какую-нибудь его точку Q c P; луч PQ пересечет RA в некоторой точке S ( так как прямая ВВ параллельна прямой АА в точке Р). Луч QQ, пересекающий сторону PS треугольника RPS, не может пересечь отрезка PR (так как тогда он проходил бы внутрисмежного угла PQR) и не проходит ни через одну извершин этого треугольника. Поэтому он должен пересечь отрезок PS. Таким образом, теорема доказана длятого случая, когда точка Qрасположена от точки Р в сторону параллельности.

Рассмотрим теперь тотслучай, когда Q лежит в обратном направлении от точкиР. Соединим луч QQ, проходящийвнутри угла BQR. Этот луч пересечет отрезок РR в некоторой точке S. Продолжая луч QQ по другую сторону точки Q, берем на этом продолжении точку Т.Прямая ТР проходит внутри угла RPB,т.е. пересекает RА в точке U. Итак, луч QQ пересекает сторону RP треугольника RPU, не пересекаетотрезок PU и не проходит ни через одну из еговершин, т.е. пересекает отрезок RU.Таким образом, признак параллельности имеется в точке Q.

После того как доказанаэта теорема, мы можем внести упрощение в терминологию теории параллельности:при указании. что прямая ВВ параллельна АА, не надо задавать той точки прямойВВ, в которой имеется факт параллелизма.

4. Свойства функции П(х)

Задача 6. Доказать, что длякаждого острого угла существует прямая, перпендикулярная к одной его стороне ипараллельна другой.

Доказательство.Рассмотрим перпендикуляры, поставленные к стороне OQ острого угла POQ;среди них, конечно, найдутся такие, которые пересекают сторону ОР ( достаточноопустить из какой-нибудь точки луча ОР перпендикуляр на OQ). Покажем, что существуетбесчисленное множество перпендикуляров, не пересекающих ОР.

Докажем это отпротивного, предполагая, что все перпендикуляры к стороне OQ пересекают ОР. Рассмотрим на луче OQ ряд точек А, А, А,…, Аn такой, что

АА =ОА, А А =ОА, А А =ОА,…, Аn-1An=OAn-1. Перпендикуляры, поставленные вточках А, А, …, Аnк стороне OQ, согласно предположению, пересекутлуч ОР в точках В, В, В, …, Вn.Обозначая дефект треугольника ОАВ через D, имеем

DOA<sub/>B<sub/>=DOBA<sub/>+DBA<sub/>B<sub/>=2DOAB+DBA<sub/>B>2D,

DOA B =DOBA +DB A B =2DOA B +DB A B >22D,

.....................................................................,

DOanBn=DOBn-1An+DBn-1AnBn=2DOAn-1Bn-1+DBn-1AnBn>2nD.

Таким образом, увеличиваяn, мы можем получить треугольник ОАnВn, у которого дефект превышает любое число, а этоневозможно, так как дефект любого треугольника <2d.

Среди перпендикуляров кстороне OQ существуют не пересекающие сторонуОР. Рассмотрим один из них – MN. Еслион параллелен ОР, теорема доказана. В противном случае разбиваем точки отрезкаОМ на два класса: к первому классу отнесем те точки, в которых перпендикулярыпересекают ОР, ко второму – те, в которых перпендикуляры не пересекают ОР. Ясно,что левее каждой точки первого класса лежат только точки первого же класса,т.е. классы лежат раздельно: второй класс лежит правее первого; таким образом,это – классы Дедекинда. Применяя аксиому Дедекинда, получаем точку D, разделяющие эти классы.

Покажем, что перпендикулярDE к OQ параллелен ОР. Прежде всего этот перпендикуляр не можетпересечь ОР, так как, если бы он пересекал ОР в точке F, то, опуская из точки G, лежащей на ОР правее F, перпендикуляр GJ на OQ, мы получили бы точку J первого класса, лежащую правее точкиD. Остается показать, что любой луч DK, проходящий внутри угла ODE, пересекает ОР. Опуская изкакой-нибудь точки К этого луча DK на OQ перпендикуляр KL, получим точку L первого класса, т.е. KL пересекает ОР в некоторой точке R. Прямая DK, пересекающая сторону LR треугольника ORL,должна пересечь отрезок OR.

Таким образом,перпендикуляр DE действительно параллелен ОР.

Задача 7. Доказать, что уголпараллельности П(р) является убывающей функцией длины р перпендикуляра,принимающей все значения между 0 и d.

Доказательство. Пусть РР параллельнаQQ, т.е. =П(РQ). Покажем, что эта функция убывающая.

В самом деле уменьшая ееаргумент, рассмотрим отрезок PR<PQ. Перпендикуляр RR к PQ пересекает РР, так как, проводя прямую QS, параллельную RR, мы получим треугольник PQT, одну из сторон которого пересекает RR, а так как RR параллельна QS онапересечет сторону РТ этого треугольника. Таким образом, П(PR)>П(PQ).

Заключение

Когда Евклид формулировалпятый постулат, вряд ли он знал, какую бурю тот вызовет. Когда Лобачевскийотказался от пятого постулата, он не знал, что его «воображаемая геометрия» напроверку окажется реальной.

Нельзя сказать, чтогеометрия Лобачевского единственно правильна. На данный момент к ней нетникаких претензий. Но, может быть, через много лет она устареет.

Список использованнойлитературы

1. Верченко А.И.,Научно-теоретический журнал. Москва, «Школа-Пресс» 1993г.

2. Ефимов Н.В.,Высшая геометрия, «Наука», М.,1971г.

3. Лаптев Б.Л.,Н.И.Лобачевский и его геометрия. Пособие для учащихся. М. «Просвещение», 1970г.

4. Широков П.А.,Краткий очерк основ геометрии Лобачевского. М. «Наука», 1983г.

5. Юшкевич А.П., Историяматематики в России. М., «Наука», 1968г.

Приложения

Биография Лобачевского

Николай ИвановичЛобачевский, второй сын мелкого чиновника, родился 1 декабря (20 ноября) 1792года в Нижнем Новгороде, в России. Когда Николаю было 7 лет, его мать,Прасковья Ивановна, осталась одна с тремя маленькими сыновьями. И до этогожалование отца с трудом хватало на содержание семьи; теперь она встретилась скрайней нищетой. Она переехала в Казань, где как могла, подготавливала детей кшколе, и они были приняты в гимназию на казенное содержание. Николай приступилк занятиям в 1802 году, в десятилетнем возрасте. Его успехи в математике и вдревних языках были феноменальны. В 14 лет он был подготовлен для университета.В 1807 году он поступил в Казанский университет, в котором ему предстоялопровести последующие 40 лет жизни – как студенту, экстраординарному профессору,профессору и, наконец, ректору.

В 1811 году, в возрасте18 лет, Лобачевский получил степень магистра, к тому же с отличием. В это жевремя его старший брат Алексей вел курсы элементарной математики по подготовкемладших правительственных чиновников, и, когда он получил отпуск по болезни,Николай заменил его. В апреле 1814 года он был утвержден адъюнктом чистойматематики, а 2 года спустя ему было присвоено звание профессора.

Назначение Лобачевскогоэкстраординарным профессором состоялось в 1816 году в необычно молодом возрасте23 лет. Его обязанности были многотрудными. Дополнительно к работе поматематике ему поручались лекционные курсы по астрономии и физике. Он блестящесправился с порученным заданием. Это послужило поводом для еще большейнагрузки.

Вскоре Лобачевский взялсяза переустройство университетской библиотеки и университетского музея,находившихся в хаотическом состоянии.

Со смертью Александра I дела обернулись к лучшему.Специальный уполномоченный правительства для преднамеренного преследованияКазанского был уволен. Нуждаясь в политической и моральной поддержке своейдеятельности университете, новый попечитель обеспечил назначение в 1827 годуЛобачевского ректором. Математик был теперь главой университета, но этадолжность отнюдь не была синекурой. Под его умелым руководством весь штат былреорганизован, были привлечены лучшие люди, преподавание было либерализовано,не смотря на официальные препятствия, была построена библиотека,соответствующая высшему уровню научных требований, были организованымеханические мастерские для изготовления научных инструментов, которыетребовались для исследований и преподавания, была основана и оборудованаобсерватория – любимое детище энергичного ректора.

Даже ректорскоедостоинство не удерживало Лобачевского от работы руками в библиотеке и музее,когда он чувствовал, что его помощь необходима. Университет был его жизнью, ион любил его.

Кажется невероятным, чтоЛобачевский, так сильно перегруженный преподавательскими и административнымиобязанностями, мог находить время для научной работы. Он создал один извеличайших шедевров всей математики – неевклидову геометрию и поставил веху вчеловеческом мышлении. Он трудился над этим с перерывами не менее 20 лет. Егопервое публичное сообщение по этой теме было сделано на физико-математическомфакультете Казанского университета в 1826 году.

В 1846 году его груболишили должностей профессора и ректора университета, хотя тогда он был полонфизических и умственных сил, более чем когда-либо он был способен продолжатьсвои математические исследования. Отвратительная неблагодарность властейсломила Лобачевского. Он оставил все надежды снова стать кем-то в университете,который своей научной славой почти целиком был обязан его усилиям, и послеэтого появлялся в нем только случайно, чтобы помочь на экзаменах. Хотя егозрение быстро ухудшалось, он был еще способен к интенсивному математическомумышлению.

Он все еще любилуниверситет. Его здоровье пошатнулось, когда умер его сын; но он все ещенадеялся, что сможет принести некоторую пользу. В 1855 году университетпраздновал свое пятидесятилетие. Лобачевский лично присутствовал на торжествах ипринес юбиляру экземпляр «Пангеометрии» — завершающей научной работы его жизни.Эта работа не была написана его собственной рукой: он диктовал ее, так как в товремя был уже слепым. Через несколько месяцев, 24 февраля 1856 года, 62-х летот роду, он умер

/>/> 

рис.

/>

/> 

рис.

/>

/> 

рис.

/>/> 

рис.

/> />

рис.

/> />

рис.

/> 

Рис.