Реферат: Предел и непрерывность функций нескольких переменных
Кафедра: Высшая математика
Реферат
по дисциплине «Высшая математика»
Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»
Тольятти, 2008
Введение
Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.
Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных
Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x , y , z , …, t ), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u.
Если переменная является функцией от двух переменных х и у, то функциональную зависимость обозначают
z = f ( x , y ).
Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у .
Так, для функции z = x 2 + 3xy
при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,
при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,
при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.
Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x , y , z , если дано правило, как по данной тройке значений x , y иz вычислить соответствующее значение u :
u = F ( x , y , z ).
Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u, соответствующего данным значениям x , y иz .
Так, для функции u = xy + 2xz – 3yz
прих = 1, у = 1 и z = 1 имеем u = 0,
прих = 1, у = -2 и z = 3 имеем u = 22,
прих = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.
Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x , y , z , …, t ) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u, то и u называется функцией от п переменных x , y , z , …, t, определенной на множестве Е, и обозначается
u = f (x , y , z , …, t ).
Переменные x , y , z , …, t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.
Частным значением функции называется значение функции в некоторой точке М 0(x 0, y 0, z 0, …, t 0) и обозначается f (М 0) = f (x 0, y 0, z 0, …, t 0).
Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.
Функция двух переменных z = f ( x , y ) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х, у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу, соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.
Функцию трех переменных u = F ( x , y , z ) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x , y , z , …, t ) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.
Предел функции нескольких переменных
Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у. По определению функция f ( x , y ) имеет предел в точке (х 0, у 0), равный числу А, обозначаемый так:
(1)
(пишут еще f ( x , y ) →А при ( x , y ) → (х 0, у 0)), если она определена в некоторой окрестности точки (х 0, у 0), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел
(2)
какова бы ни была стремящаяся к (х 0, у 0) последовательность точек (xk , yk ).
Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х 0, у 0) предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки (х 0, у 0) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
| f ( x , y ) – A | < ε(3)
для всех ( x , y ), удовлетворяющих неравенствам
0 < < δ. (4)
Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется δ-окрестность точки (х 0, у 0) такая, что для всех (x , y ) из этой окрестности, отличных от (х 0, у 0), выполняется неравенство (3).
Так как координаты произвольной точки (x , y ) окрестности точки (х 0, у 0) можно записать в виде х = х 0+ Δх, у = у 0+ Δу, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:
Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х 0, у 0), кроме, быть может, самой этой точки.
Пусть ω = (ωх, ωу ) – произвольный вектор длины единица (|ω|2 = ωх 2 + ωу 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида
(х 0+ t ωх, y 0+ t ωу ) (0 < t )
образуют луч, выходящий из (х 0, у 0) в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию
f (х 0+ t ωх, y 0+ t ωу ) (0 < t < δ)
от скалярной переменной t, где δ – достаточно малое число.
Предел этой функции (одной переменной t )
f (х 0+ t ωх, y 0+ t ωу ),
если он существует, естественно называть пределом f в точке (х 0, у 0) по направлению ω.
Пример 1. Функции
определены на плоскости (x , y ) за исключением точки х 0= 0, у 0= 0. Имеем (учесть, что и ):
Отсюда
(для ε > 0 полагаем δ = ε/2 и тогда |f ( x , y ) | < ε, если < δ).
Далее, считая, что k – постоянная, имеем для y = kx равенство
из которого видно, что предел φ в точке (0, 0) по разным направлениям вообще различен (единичный вектор луча y = kx, х > 0, имеет вид
).
Пример 2. Рассмотрим в R 2 функцию
(х 4 + у 2 ≠ 0).
Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx, проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:
при х → 0.
Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2
и
Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности точки (х 0, у 0), за исключением, быть может, самой точки (х 0, у 0) и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что
|f ( x , y ) | > N,
коль скоро 0 < < δ.
Можно также говорить о пределе f, когда х, у → ∞:
(5)
Например, в случае конечного числа А равенство (5) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 найдется такое N > 0, что для всех х, у, для которых |x | > N, |y | > N, функция f определена и имеет место неравенство
|f ( x , y ) – А | < ε.
Справедливы равенства
(6)
(7)
(8)
где может быть х → ∞, у → ∞. При этом, как обычно, пределы (конечные) в их левых частях существуют, если существуют пределы f и φ.
Докажем для примера (7).
Пусть (xk , yk ) → (х 0, у 0) ((xk , yk ) ≠ (х 0, у 0)); тогда
(9)
Таким образом, предел в левой части (9) существует и равен правой части (9), а так как последовательность (xk , yk ) стремится к (х 0, у 0) по любому закону, то этот предел равен пределу функции f ( x , y ) ∙φ( x , y ) в точке (х 0, у 0).
Теорема. если функция f ( x , y ) имеет предел, не равный нулю в точке (х 0, у 0), т.е.
то существует δ > 0 такое, что для всех х, у, удовлетворяющих неравенствам
0 < < δ, (10)
она удовлетворяет неравенству
(12)
Поэтому для таких ( x , y )
т.е. имеет место неравенство (11). Из неравенства (12) для указанных ( x , y ) следует откуда при A > 0 и при
A < 0 (сохранение знака).
По определению функция f ( x ) = f ( x 1, …, xn ) = A имеет предел в точке
x 0= , равный числу А, обозначаемый так:
(пишут еще f ( x ) → A (x → x 0)), если она определена на некоторой окрестности точки x 0, за исключением, быть может, ее самой, и если существует предел
какова бы ни была стремящаяся к x 0последовательность точек х k из указанной окрестности (k = 1, 2, ...), отличных от x 0.
Другое эквивалентное определение заключается в следующем: функция f имеет в точке x 0предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки x 0, за исключением, быть может, ее самой, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что
(13)
для всех х, удовлетворяющих неравенствам
0 < |x – x 0| < δ.
Это определение в свою очередь эквивалентно следующему: для любого ε > 0 найдется окрестность U ( x 0) точки x 0такая, что для всех х U ( x 0), х ≠ x 0, выполняется неравенство (13).
Очевидно, что если число А есть предел f ( x ) в x 0, то А есть предел функции f ( x 0 + h ) от h в нулевой точке:
и наоборот.
Рассмотрим некоторую функцию f, заданную во всех точках окрестности точки x 0, кроме, быть может, точки x 0; пусть ω = (ω1, ..., ωп ) – произвольный вектор длины единица (|ω| = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида x 0+ t ω (0 < t ) образуют выходящий из x 0луч в направлении вектора ω. Для каждого ω можно рассматривать функцию
(0 < t < δω )
от скалярной переменной t, где δω есть число, зависящее от ω. Предел этой функции (от одной переменной t )
если он существует, естественно называть пределом f в точке x 0по направлению вектора ω.
Будем писать , если функция f определена в некоторой окрестности x 0, за исключением, быть может, x 0, и для всякого N > 0 найдется δ > 0 такое, что |f ( x ) | >N, коль скоро 0 < |x – x 0| < δ.
Можно говорить о пределе f, когда х → ∞:
(14)
Например, в случае конечного числа А равенство (14) надо понимать в том смысле, что для всякого ε > 0 можно указать такое N > 0, что для точек х, для которых |x | > N, функция f определена и имеет место неравенство .
Итак, предел функции f ( x ) = f ( x 1, ..., хп ) от п переменных определяется по аналогии так же, как для функции от двух переменных.
Таким образом, перейдем к определению предела функции нескольких переменных.
Число А называется пределом функции f ( M ) при М → М 0, если для любого числа ε > 0 всегда найдется такое число δ > 0, что для любых точек М, отличных от М 0и удовлетворяющих условию |ММ 0| < δ, будет иметь место неравенство |f ( M ) – А | < ε.
Предел обозначают В случае функции двух переменных
Теоремы о пределах. Если функции f 1( M ) и f 2( M ) при М → М 0стремятся каждая к конечному пределу, то:
а)
б)
в)
Пример 1. Найти предел функции:
Решение. Преобразуем предел следующим образом:
Пусть y = kx, тогда
Пример 2. Найти предел функции:
Решение. Воспользуемся первым замечательным пределом Тогда
Пример 3. Найти предел функции:
Решение. Воспользуемся вторым замечательным пределом Тогда
Непрерывность функции нескольких переменных
По определению функция f ( x , y ) непрерывна в точке (х 0, у 0), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе в самой точке (х 0, у 0) и если предел f ( x , y ) в этой точке равен ее значению в ней:
(1)
Условие непрерывности f в точке (х 0, у 0) можно записать в эквивалентной форме:
(1')
т.е. функция f непрерывна в точке (х 0, у 0), если непрерывна функция f (х 0+ Δх, у 0+ Δу) от переменных Δх, Δу при Δх = Δу = 0.
Можно ввести приращение Δи функции и = f ( x , y ) в точке ( x , y ), соответствующее приращениям Δх, Δу аргументов
Δи = f (х + Δх, у + Δу) – f ( x , y )
и на этом языке определить непрерывность f в ( x , y ): функция f непрерывна в точке ( x , y ), если
(1'')
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке (х 0, у 0) функций f и φ есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0, у 0) ≠ 0.
Постоянную с можно рассматривать как функцию f ( x , y ) = с от переменных x , y. Она непрерывна по этим переменным, потому что
|f ( x , y ) – f (х 0, у 0) | = |с – с | = 0 0.
Следующими по сложности являются функции f ( x , y ) = х и f ( x , y ) = у. Их тоже можно рассматривать как функции от ( x , y ), и при этом они непрерывны. Например, функция f ( x , y ) = х приводит в соответствие каждой точке ( x , y ) число, равное х. Непрерывность этой функции в произвольной точке ( x , y ) может быть доказана так:
| f (х + Δх, у + Δу) – f ( x , y ) | = |f (х + Δх) – х | = | Δх | ≤ 0.
Если производить над функциями x , y и постоянными действия сложения, вычитания и умножения в конечном числе, то будем получать функции, называемые многочленами от x , y. На основании сформулированных выше свойств многочлены от переменных x , y – непрерывные функции от этих переменных для всех точек ( x , y ) R 2 .
Отношение P / Q двух многочленов от ( x , y ) есть рациональная функция от ( x , y ), очевидно, непрерывная всюду на R 2, за исключением точек ( x , y ), где Q ( x , y ) = 0.
Функция
Р ( x , y ) = х 3 – у 2 + х 2у – 4
может быть примером многочлена от ( x , y ) третьей степени, а функция
Р ( x , y ) = х 4 – 2х 2у 2 +у 4
есть пример многочлена от ( x , y ) четвертой степени.
Приведем пример теоремы, утверждающей непрерывность функции от непрерывных функций.
Теорема. Пусть функция f ( x , y , z ) непрерывна в точке ( x 0, y 0, z 0) пространства R 3 (точек ( x , y , z ) ), а функции
x = φ(u, v), y = ψ(u, v), z = χ(u, v)
непрерывны в точке ( u 0, v 0) пространства R 2 (точек ( u , v ) ). Пусть, кроме того,
x 0= φ ( u 0, v 0), y 0= ψ ( u 0, v 0), z 0= χ ( u 0, v 0) .
Тогда функция F ( u , v ) = f [ φ ( u , v ), ψ ( u , v ), χ ( u , v ) ] непрерывна (по
( u , v ) ) в точке ( u 0, v 0) .
Доказательство. Так как знак предела можно внести под знак характеристики непрерывной функции, то
Теорема. Функция f ( x , y ), непрерывная в точке (х 0, у 0) и не равная нулю в этой точке, сохраняет знак числа f (х 0, у 0) в некоторой окрестности точки (х 0, у 0).
По определению функция f ( x ) = f ( x 1, ..., хп ) непрерывна в точке х 0= (х 01, ..., х 0п ), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х 0, и если предел ее в точке х 0равен ее значению в ней:
(2)
Условие непрерывности f в точке х 0можно записать в эквивалентной форме:
(2')
т.е. функция f ( x ) непрерывна в точке х 0, если непрерывна функция f (х 0+ h ) от h в точкеh = 0.
Можно ввести приращение f в точке х 0, соответствующее приращению h = ( h 1, ..., h п ) ,
Δh f (х 0) = f (х 0+ h ) – f (х 0)
и на его языке определить непрерывность f в х 0: функция f непрерывна в х 0, если
(2'')
Теорема. Сумма, разность, произведение и частное непрерывных в точке х 0функций f ( x ) и φ ( x ) есть непрерывная функция в этой точке, если, конечно, в случае частного φ (х 0) ≠ 0.
Замечание. Приращение Δh f (х 0) называют также полным приращением функции f в точке х 0.
В пространстве Rn точек х = ( x 1, ..., хп ) зададим множество точек G .
По определению х 0= (х 01, ..., х 0п ) есть внутренняя точка множества G, если существует открытый шар с центром в нем, полностью принадлежащий к G .
Множество G Rn называется открытым, если все его точки внутренние.
Говорят, что функции
х 1 = φ1(t), ..., хп = φп (t) (a ≤ t ≤ b)
непрерывные на отрезке [a, b ], определяют непрерывную кривую в Rn, соединяющую точки х 1 = (х 11, ..., х 1п ) и х 2 = (х 21, ..., х 2п ), где х 11 = φ1(а), ..., х 1п = φп (а), х 21 = φ1( b ), ..., х 2п = φп ( b ). Букву t называют параметром кривой.
Множество G называется связным, если любые его две точки х 1, х 2 можно соединить непрерывной кривой, принадлежащей G .
Связное открытое множество называется областью.
Теорема. Пусть функция f ( x ) определена и непрерывна на Rn (во всех точках Rn ). Тогда множество G точек х, где она удовлетворяет неравенству
f ( x ) > с (или f ( x ) < с ), какова бы ни была постоянная с, есть открытое множество.
В самом деле, функция F ( x ) = f ( x ) – с непрерывна на Rn, и множество всех точек х, где F ( x ) > 0, совпадает с G. Пусть х 0G, тогда существует шар
| х –х 0| < δ,
на котором F ( x ) > 0, т.е. он принадлежит к G и точка х 0G – внутренняя для G .
Случай с f ( x ) < с доказывается аналогично.
Таким образом, функция нескольких переменных f (М) называется непрерывной в точке М 0, если она удовлетворяет следующим трем условиям:
а) функция f (М) определена в точке М 0и вблизи этой точки;
б) существует предел ;
в)
Если в точке М 0нарушено хотя бы одно из этих условий, то функция в этой точке терпит разрыв. Точки разрыв могут образовывать линии разрыва, поверхность разрыва и т. д. Функция f (М) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Пример 1. Найти точки разрыва функции: z = ln ( x 2 + y 2) .
Решение. Функция z = ln ( x 2 + y 2) терпит разрыв в точке х = 0, у = 0. Следовательно, точка О (0, 0) является точкой разрыва.
Пример 2. Найти точки разрыва функции:
Решение. Функция не определена в точках, в которых знаменатель обращается в нуль, т.е. x 2 + y 2 – z 2 = 0. Следовательно, поверхность конуса
x 2 + y 2 = z 2 является поверхностью разрыва.
Заключение
Начальные сведения о пределах и непрерывности встречаются в школьном курсе математики.
В курсе математического анализа понятие предела является одним из основных. С помощью предела вводятся производная и определенный интеграл; пределы же являются основным средством в построении теории рядов. Понятие предела, впервые появившееся в 17 веке в работах Ньютона, используется и получает дальнейшее развитие в теории рядов. В этом разделе анализа исследуются вопросы, связанные с суммой бесконечной последовательности величин (как постоянных, так и функций).
Непрерывность функции дает представление о ее графике. Это означает, что график есть сплошная линия, а не состоит из отдельных разрозненных участков. Это свойство функции находит широкое применение в сфере экономики.
Поэтому понятия предела и непрерывности играют важную роль в исследовании функций нескольких переменных.
Список использованной литературы
1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Учебник для вузов. Том 2: Дифференциальное и интегральное исчисление. Москва: Дрофа, 2004 год, 512 с.
2. Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 с.
3. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. Учебное пособие для вузов. Санкт-Петербург: Политехника, 2003 год, 703 с.