Реферат: Новый метод решения кубического уравнения

Автор: Фильчев Э.Г.

Решение кубического уравнения в системе mn параметров

Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы

— разложение левой части на линейные множители ( если возможно )

— с помощью формулы Кардана

— применение специальных таблиц

(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219).

В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!

Задача «Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.

Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ». Пусть а = 1.

Решение

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формулаmn преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид

(2 mn )2 + ( 3 x + b )(2 mn ) + 3 x 2 + 2 bx +с = 0 ( 1 )

где

x- любой из нулей ( корней) исходного уравнения

2mn — разность любой пары из трех нулей исходного уравнения

Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим

(2mn)6 +2( 3c – b2 )(2mn)4 +(3c – b2 )2 (2mn)2 + [ 4( 3c – b2 )3 + ( 2b3 – 9bc + 27d )2 ]/27 = 0 ( 2 )

Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение

Утверждение1 «Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения

3x2 + 2bx + c = — (2mn)1( 2mn)2

2(3c-b2) = — [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]

[4(3c-b2)3+(2b3 — 9bc+27d)2]/27 = — (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

где (2mn)j — разность любой пары корней исходного уравнения.

x — один ( любой ) из корней исходного уравнения. „

1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение

D1 = — = — (2mn)12 ∙( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32

2. Определяем значение

D 2 = — 2( 3c – b 2 ) = — [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32]

Из этих уравнений следует, что

— если выражение — 2(3c — ) — целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов

— и если при этом выполняется равенство D 1 = — (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32, то в результате получим решение для (2mn)1,( 2mn)2,( 2mn)3.

3. Определяем значение корней исходного уравнения

3 x 2 + 2 bx + c = — (2 mn )1( 2 mn )2

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c = — (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c = — (2mn)2( 2mn)3

3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )2( 2 mn )3

Задача решена !

Пример 1 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -9x2+ 23x — 15 = 0

где a =1, b = — 9, c = 23, d = -15

Решение

1. Определяем значение D1 = = —

-→ D1 = — [4(69-81)3+( — 1458 + 1863 — 405)2]/27= — [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162

Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0

2. Определяем значение D2 = — 2(3c — )

-→ D2 = — 2( 3∙23 — 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4

Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно

имеем (2mn)1 = 2, (2mn)2 = 4, (2mn)3 = 2.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = — (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 — 18x + 23 = — -> 3x2 — 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.

3.2 3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )1( 2 mn )2

-→ 3x2 — 18x + 23 = -> 3x2 — 18x + 15 = 0 -→ x2 — 6x + 5 = 0

-→ X 1 = 3 + 2 = 5, X 2 = 3 — 2 = 1

Здесь X 1 = 5 — одно из решений исходного уравнения.

Здесь X 2 = 1 второе решение исходного уравнения.

3.3 3x2 + 2bx + c = — (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 — 18x + 23 = — -> 3x2 — 18x + 27 = 0 -→ x2 — 6x + 9 = 0

-→ X2 = 3

Здесь X = 3 — последнее из решений исходного уравнения.

3.4 3 x 2 + 2 bx + c = (2 mn )1( 2 mn )3

-→ 3x2 — 18x + 23 = 2∙2-→ 3x2 — 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.

Задача решена!

Пример 2 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -20x2+ 113x — 154 = 0

где a =1, b = — 20, c =113, d = -154

Решение

1. Определяем значение D1 = —

-→D1 = — [4(339-400)3+( — 16000 + 20340 — 4158)2]/27= — [- 907924+33124]/27=32400

2. Определяем значение D2 = — 2(3c — )

-→ D2 = — 2( — 400 ) = 122 = 32 + 72 + 82 = 42 + 52 + 92

Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.

Поэтому, проверяем на соответствие с числом D1 = 32400.

2.1 32 ∙ 72 ∙ 82 = 28224 ≠ 32400

2.2 42 ∙ 52 ∙ 92 = 32400. Этот вариант подходит!

-→ (2mn)11 = 4, (2mn)12 = — 4,

(2mn)21 = 5, (2mn)22 = — 5,

(2mn)31 = 9, (2mn)32 = — 9.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = — (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 — 40x + 113 = — 4∙5-> 3x2 — 40x + 133 = 0.

-→ X 1 = 7, X2 =

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 7, и кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)11 = 4 = (X 1 — X 2 ) -→ X 2 = X 1 – 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).

4.2 Пусть (2mn)12 = — 4 = (X 1 — X 2 ) -→ X 2 = X 1 + 4 = 7 + 4 = 11. Это второй корень.

4.3 Пусть (2mn)21 = 5 = (X 2 — X 3 ) -→ X 3 = X 2 — 5 = 7 — 5 = 2. Это третий корень.

Решением исходного уравнения будет X1= 7, X2= 2, X3= 11.

Расчет закончен !

Пример 3 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -10x2 — 49x + 130 = 0

где a =1, b = — 10, c = — 49, d = 130

Решение

1. Определяем значение D1 = —

-→D1 = — [4( -147 — 100)3+( 2000 + 4410 — 3510)2]/27= — [- 60276892+8410000]/27= 1920996

2. Определяем значение D2 = — 2( 3c — )

-→ D2 = — 2( — 147 — 100 ) = 494 = 12 + 32 + 222 = 22 + 72 + 212 = 72 + 112 + 182

Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант, т.к. 72 ∙ 112 182 = 1920996

-→ (2mn)11 = 7, (2mn)12 = — 7,

(2mn)21 = 11, (2mn)22 = — 11,

(2mn)31 = 18, (2mn)32 = — 18.

3. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1 3x2 + 2bx + c = — (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 — 20x — 49 = 7∙11-> 3x2 — 20x — 126 = 0. Эти значения X не подходят!

3.2 3x2 + 2bx + c = (2mn)11( 2mn)22

-→ 3x2 — 20x — 49 =- 77 -→ 3x2 — 20x + 28 = 0.

-→ X1 = , X2= 2 – это один из корней исходного уравнения!

4. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 2, и кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1 Пусть (2mn)11 = 7 = (X 1 — X 2 ) -→ X 2 = X 1 – 7 = 2 – 7 = — 5. Это второй корень!

4.2 Пусть (2mn)12 = — 7 = (X 1 — X 2 ) -→ X 2 = X 1 +7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.

4.3 Пусть (2mn)21 = 11 = (X 1 — X 3 ) -→ X 3 = X 1 — 11= 2 — 11 = — 9. Это не корень.

4.4 Пусть (2mn)21 = -11 = (X 1 — X 3 ) -→ X 3 = X 1 + 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1= 2, X2= — 5, X3= 13.

Расчет закончен !

Пример 4 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0

где a =1, b = — 6.85, c = 13.425, d = — 8.1

В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.

Решение

1. Определяем значение D1 = —

-→D1 = — [4( 40.275 – 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27

-→D1 = — [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500

2. Определяем значение D2 = — 2( 3c — )

-→ D2 = — 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950

В этом случае имеют место дробные значения для D1 и D2. Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10k .

При этом значение степени k должно определяться

— для D2 числом знаков в мантиссе ( для данного примера k2 = 4 )

— для D1 =3∙ (число знаков в мантиссе для D2 ). -→ k1 = 3∙ k2 ( для данного примера k1 = 12 ).

Для дальнейшего рассмотрения используем два числа

— D11 = 987539062500

— D21 = 132950.

3. Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел ( А, Б, Д), при которых выполняются равенства D 21 = А2 + Б2 + Д2 и D 11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

Для нахождения значений чисел А, Б, Д можно использовать две методики

— найти все варианты представления числа D21 в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D 21 = А2 + Б2 + Д2 и D 11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

— найти все варианты представления числа D11 в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D 21 = А2 + Б2 + Д2 и D 11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 .

Вариант D 11 = А2 ∙ Б2 ∙ Д2 следует считать более удобным.

Для рассматриваемого примера

D11 = 987539062500 = 2502 ∙ 2652 ∙ 152

D21 = 132950 = 2502 + 2652 + 152 .

4. В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k1 и k2. Совершая обратную операцию, получим

(2mn)11 = 2.5, (2mn)12 = — 2.5,

(2mn)21 = 2.65, (2mn)22 = — 2.65,

(2mn)31 = 0.15, (2mn)32 = — 0.15.

5. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

5.1 3 x 2 + 2 bx + c = — (2 mn )11( 2 mn )21

-→ 3x2 — 2∙(6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙(2.65)-> 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.

-→ X1= 4 – это один из корней исходного уравнения!

6. Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1= 4, и

кроме того, известны значения (2mn)11 ÷ (2mn)32. Этих данных достаточно для

определения двух остальных корней.

6.1 Пусть (2mn)11 = 2.5 = (X 1 — X 2 ) -→ X 2 = X 1 – 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5 . Это второй корень!

6.2 Пусть (2mn)12 = — 2.5 = (X 1 — X 2 ) -→ X 2 = X 1 +2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.

6.3 Пусть (2mn)21 = 2.65 = (X 1 — X 3 ) -→ X 3 = X 1 – 2.65= 4 – 2.65 = 1.35. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1= 4, X2= 1.5, X3= 1.35.

Расчет закончен !

Неприводимый случай формулы Кардана

Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.

Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.

Задача “Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня. Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ».

Пусть а = 1.

Решение

Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы

D1 = — (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

D2 = — [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32 ],

где

— (2mn) j — разность любой пары корней исходного уравнения

— D1 = —

— D2 = — 2( 3c – b 2 )

— ( b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.

По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два сопряженных мнимых корня X 2 = ( g 2 — hi ), X 3 = ( g 2 + hi ). Тогда

(2 mn )1 = ( X 1 — X 2 ) = (g 1 — g 2 ) + hi

(2 mn )2 = ( X 1 — X 3 ) = (g 1 — g 2 ) – hi

(2mn)3 = ( X2 — X3 ) = g2 — hi — g2 – hi = — 2hi

-→ D1 = — ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = — [(g1 — g2 ) + hi]2 ∙ [(g1 — g2 ) — hi]2 ∙ [2 hi]2

-→ D 1 = [( g 1 — g 2 )2 + h 2 ]2 ∙ 4 h 2

Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место

— знак “ + “

— только действительные числа.

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем

1. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам

D 1 = —

D 2 = — 2( 3c — b 2 )

определяются значения D 1 и D 2 .

2. Определяются D 1 — как произведение двух квадратов

D 2 — как удвоенная сумма двух квадратов.

3. Определяются значения g 1 , g 2 , h .

4. Определяются значения (2mn)11, (2mn)21, (2mn)31

5. Определяются значения корней исходного уравнения.

Пример 5 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -9x2 + 73x – 265 = 0

где a =1, b = — 9, c = 73, d = — 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D1 = —

-→D1 = — [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = — [ 10512288 + 7290000]/27= — 659344

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ — “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.

-→D1 = [( g 1 — g 2 )2 + h 2 ]2 ∙ 4 h 2 = 659344 = 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29= 4∙72 ∙ 582

Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [( g 1 — g 2 )2 + h 2 ]2 ∙ 4 h 2. Тогда можно записать

h = 7, (g1 — g2 )2 + h2 = 58 -→ (g1 — g2 )2 = 58 – 49 = 9 -→( g1 — g2 ) = ± 3

3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения

— b = X1 +X2 +X3 -→ — ( — 9) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2 -→ 9 = g1 + 2g2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g1 — g2 )= ± 3 и (g1 + 2 g2 ) = 9, можно определить значения g1 и g2

Пусть ( g1 — g2 )= 3 -→ g2 = g1 – 3 -→ g1 + 2(g1 – 3) = 9 -→ 3g1 = 15 -→ g 1 = 5 -→g 2 = 2.

-→ X 1 = 5, X 2 = 2 + 7 i , X 3 = 2 – 7 i

Расчет закончен !

Пример 6 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -30x2 + 322x – 1168 = 0

где a =1, b = — 30, c = 322, d = — 1168

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение D1 = —

-→D1 = — [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = — [ 1149984 + 1971216]/27= — 115600

2. Для дальнейших расчетов общий знак “ — “ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1 как положительную величину.

-→D1 = [( g 1 — g 2 )2 + h 2 ]2 ∙ 4 h 2 = 115600 = 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17= 4∙ 52 ∙342

Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [( g 1 — g 2 )2 + h 2 ]2 ∙ 4 h 2. Тогда можно записать

h = 5, (g1 — g2 )2 + h2 = 34 -→ (g1 — g2 )2 = 34 – 25 = 9 -→( g1 — g2 ) = ± 3

3. Для определения g1 и g2 воспользуемся свойством корней исходного уравнения

— b = X1 +X2 +X3 -→ — ( — 30) = g1 + g2 + hi + g2 – hi = g1 + 2 g2 -→ 30 = g1 + 2g2.

4. Теперь, имея два уравнения ( g1 — g2 )= ± 3 и (g1 + 2 g2 ) = 30, можно определить значения g1 и g2

Пусть ( g1 — g2 )= — 3 -→ g2 = g1 – 3 -→ g1 + 2(g1 – 3) = 30 -→ 3g1 = 24 -→ g 1 = 8 -→g 2 = 11.

-→ X 1 = 8, X 2 = 11 + 5 i , X 3 = 2 – 5 i

Расчет закончен !

Новый метод решения кубических уравнений

Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений… Для корней кубического уравнения могут

иметь место следующие случаи

— три корня имеют одинаковые действительные значения

— три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X1 = g + h, то X2 = g – hили X1 =(g + h), то X2 = (g – h), Наличие множителя обусловлено численным значением коэффициента b при X для X3 + bX2 + cX + d = ( X – X1 )∙( X2 + b X + c ) = 0.

— один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X1 = g + ih, то X2 = g – ih.

Первый случай – тривиальный. (x – a )3 = x3 – 3ax2 +3a2 x – a3 = 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.

Три разных действительных корня

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X – g1 ), то получим квадратное уравнение вида

[ X – (g2 + h)]∙[ X – (g2 — h)] = 0

-→ X2 – 2g2 X + (g22 – h2 ) = 0

-→ X1 = g1, X2,3 = g2 ± h -→ X2 = ( g2 — h), X3 = ( g2 + h)

-→(2mn)1 = ( X1 — X2 ) = (g1 — g2 ) + h

(2mn)2 = ( X1 — X3 ) = (g1 — g2 ) – h

(2mn)3 = ( X2 — X3 ) = g2 — h — g2 – h = — 2h

-→ D1 = — ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = — [(g1 — g2 ) + h]2 ∙ [(g1 — g2 ) — h]2 ∙ [2h]2

-→ D1 = [(g1 — g2 )2 — h2 ]2 ∙ 4h2 (3)

-→ D2 = — [ (2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ] = — [(g1 — g2 ) + h]2 + [(g1 — g2 ) — h]2 + 4h2

→ D2 = — [(g1 — g2 )2 + 2(g1 — g2 )∙ h + h2 + (g1 — g2 )2 — 2(g1 — g2 )∙ h + h2 + 4h2 ]

→ D 2 = — [ 2( g 1 — g 2 )2 + 6 h 2 ] = — 2 [( g 1 — g 2 )2 +3 h 2 ] (8)

На основании формул системы mn параметров имеем

D 1 = — (4)

D 2 = — 2( 3c — b 2 ), (5)

где b , c , d — коэффициенты исходного кубического уравнения.

Три действительных корня и два одинаковых

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два равных действительных корня. Тогда имеем h =0 и (2 mn ) I = 0

При (2 mn ) I = 0 на основании уравнения (1) будем иметь

3 x 2 + 2 bx +с = 0 (6)

→ X 2 = ( g 2 — h ), X 3 = ( g 2 + h ) → X 2 = X 3 = g 2

→ (2mn)1 = ( X1 — X2 ) = (g1 — g2 )

(2mn)2 = ( X1 — X3 ) = (g1 — g2 )

(2mn)3 = ( X2 — X3 ) = g2 — g2 = 0

→ D1 = — ( 2mn)12 ∙ ( 2mn)22 ∙ ( 2mn)32 = 0

→ D2 = — [ (2mn)12 + (2mn)22 + (2mn)32 ] = — [ (2mn)12 + (2mn)22 ]

→ D2 = 2 (2mn)12 = 2 (g1 — g2 )2 = — 2( 3c – b2 ) = 2( b2 – 3c )

→ (g1 — g2 )2 = ( b2 — 3c )

На основании свойств корней исходного уравнения можно записать — b = X 1 + 2 X 2

→ g 1 + 2 g 2 = — b

Решая систему из двух уравнений будем иметь g 2 = —

→X11,12 = g11,12 = [ — b ± ]

→ X 21,22 = g 21,22 = [ — b ± ]

Расчет закончен !

Пример 7 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -41x2 + 475x – 1083 = 0

где a =1, b = — 41, c = 475, d = — 1083

1. X11,12 = g11,12 = [ — b ± ] → X11,12 = [ 41 ± ] = [ 41 ± ]

→ X11 = , X1 = 3

X21,22 = g21,22 = [ — b ± ] → g21,22 = [ 41 ± ]= [ 41 ± ]

→ X21 = 19, X22 = → X 2 = X 3 = 19

Расчет закончен !

Вывод основных формул

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0. Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D 1 = —

2. Разделим

3. Представляем число в виде произведения двух квадратов = [( g 1 — g 2 )2 — h 2 ]2 ∙ h 2 .

4. Меньший множитель принимаем за h 2 → [( g 1 — g 2 )2 — h 2 ]2 =

→ ( g 1 — g 2 ) = (6)

5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = — (X1 + X2 + X3 ) → b = — (g1 + g2 — h + g2 +h )

→ b = — ( g 1 + 2 g 2 ) (7)

6. Решая систему из двух уравнений (26) и (27) в итоге получим

X1 = g1 = — b )

→ X11 = g11 = — b ) (8)

→ X12 = g12 = — b ) (9)

Таким образом получили значение одного из корней исходного уравнения.

7. → g2 = —

→ g21 = —

→ g 22 = —

8. Определяем два остальных корня

X21 = g21 + h

X22 = g22 + h

X31 = g21 – h

X32 = g22 – h

Этими формулами определены по два варианта каждого из трех корней. Среди этих вариантов имеют место и корни исходного кубического уравнения.

Задача решена!

Пример 8 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -33x2 + 311x – 663 = 0

где a =1, b = — 30, c = 322, d = — 1168

Решение

1. Определяем значение D1 = —

-→D1 = — [4(933 – 1089)3+(- 71874 + 92367 – 17901)2]/27 = — [- 15185664 +6718464 ]/27=313600

-→ D1 = [( g 1 — g 2 )2 — h 2 ]2 ∙ 4 h 2 = 313600 = 4∙42 ∙72 ∙102 = 4∙402 ∙72 = 4∙702 ∙42 = 4∙282 ∙102

313600 = 4∙1402 ∙22 = 4∙72 ∙402 = 4∙52 ∙562

-→ = 402 ∙72 = 702 ∙42 = 282 ∙102 = 1402 ∙22 =52 ∙562

2. Пусть h 1 2 = 72

→ X1 = g11 = — b ) = — b) =

→ g11 = X11 = 13, X12 = 9.

→ g21 = — = — = 10

→ X 2,3 = g 21 + h 1 = 10 ± 7 → X 2 = 17, X 3 = 3

Задача решена!

Неприводимый случай формулы Кардана

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X 1 = g 1 ) и два мнимых сопряженных корня

X 2 = ( g 2 — ih ), X 3 = ( g 2 + ih ).

-→(2 mn )1 = ( X 1 — X 2 ) = (g 1 — g 2 ) + ih

(2 mn )2 = ( X 1 — X 3 ) = (g 1 — g 2 ) – ih

(2 mn )3 = ( X 2 — X 3 ) = g 2 — ih — g 2 – ih = — 2 ih

Задано исходное уравнение x3 + bx2+ cx + d = 0. Необходимо найти значения корней.

1. Определяем значение D 1 = —

2. Разделим

3. Представляем число в виде произведения двух квадратов = [( g 1 — g 2 )2 + h 2 ]2 ∙ h 2 .

4. Меньший множитель принимаем за h 2 → [( g 1 — g 2 )2 + h 2 ]2 =

→ ( g 1 — g 2 ) =

5. Для получения второго уравнения используем свойство корней исходного уравнения

Из исходного уравнения b = — (X1 + X2 + X3 ) → b = — (g1 + g2 — ih + g2 + ih )

→ b = — ( g1 + 2g2 )

6. X1 = g1 = — b )

→ X11 = g11 = — b )

→ X12 = g12 = — b )

7. → g2 = —

→ g21 = —

→ g 22 = —

8. Определяем два остальных корня

X21 = g21 + h

X22 = g22 + h

X31 = g21 – h

X32 = g22 – h

Пример 9 Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -6x2 + 58x – 200 = 0

где a =1, b = — 6, c = 58, d = — 200

Решение

1. Определяем значение D1 = —

-→D1 = — [4(174 – 36)3+(- 432 + 3132 – 5400)2]/27 = — [ 10512288 + 7290000 ]/27= 659344

-→ D1 = [( g 1 — g 2 )2 — h 2 ]2 ∙ 4 h 2 = 659344 = 4∙22 ∙72 ∙292 = 4∙142 ∙292 = 4∙72 ∙582 = 4∙22 ∙2032

-→ = 2032 ∙22 = 582 ∙72 = 292 ∙142

Пусть h 1 2 = 72

→ X1 = g11 = — b ) = + 6) = = 4

→ X1 = 4

→g21 = — = — = 1

→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 7i → X2 = 1 — 7i, X3 = 1 + 7i

Задача решена !

Пример 10 Дано уравнение

x3 -6x2 + 21x – 52 = 0

где a =1, b = — 6, c = 21, d = — 52

Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

Решение

1. Определяем значение D1 = —

-→D1 = — [4(63 – 36)3+(- 432 + 1134 – 1404)2]/27 = — [ 78732 + 492804 ]/27= 21168

→ D1 =[( g 1 — g 2 )2 — h 2 ]2 ∙ 4 h 2 = 21168 = 4∙22 ∙72 ∙ = 4∙142 ∙= 4∙

→ D1 =

Пусть h 1 2 =

→ X1 = g11 = — b ) = + 6) = = 4

→ X1 = 4

→g21 = — = — = 1

→ X2,3 = g21 + ih1 = 1 ± 2i→ X2 = 1 + 2i , X3 = 1 — 2i

Сравните метод решения и результат с первоисточником.

[И.Н.Бронштейн. К. А.Семендяев.Справочник по математике. М. Наука.1980. Стр. 220 ]

Вывод новых формул

Основные свойства корней квадратного и кубического уравнений выражаются известными формулами Виета. Использование системы mn параметров дает возможность получения новых, ранее неизвестных, формул отражающих свойства корней указанных уравнений.

Рассмотрим кубическое уравнение и проведем анализ формулы (1)

(2 mn )2 + ( 3 x + b )(2 mn ) + 3 x 2 + 2 bx +с = 0

Если в это уравнение подставить значение любого из корней исходного кубического уравнения, то получим

(2 mn )2 + ( 3 xi + b )(2 mn ) + 3 xi 2 + 2 bxi +с = 0

→ (2 mn )2 + ( 3 x 1 + b )(2 mn ) + 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0

→ (2 mn )2 + ( 3 x 2 + b )(2 mn ) + 3 x 2 2 + 2 bx 2 +с = 0

→ (2 mn )2 + ( 3 x 3 + b )(2 mn ) + 3 x 3 2 + 2 bx 3 +с = 0

Таким образом, исходное кубическое уравнение распадается на три квадратных уравнения. При этом для каждого положительного значения (2 mn ) I обязательно найдется отрицательное значение (2 mn ) j . Поэтому общая сумма всех корней вида (2 mn ) будет равна нулю.

→ ( 3 x 1 + b ) + ( 3 x 2 + b ) + ( 3 x 3 + b ) = 0 → 3( x 1 + x 2 + x 3 ) = — 3 b

→ ( x 1 + x 2 + x 3 ) = — b .

Таким образом получили строгое доказательство одного из уравнений Виета.

Рассмотрим любых два уравнения, например,

→ (2 mn )2 + ( 3 x 1 + b )(2 mn ) + 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0

(2 mn )2 + ( 3 x 2 + b )(2 mn ) + 3 x 2 2 + 2 bx 2 +с = 0.

Здесь в качестве свободных членов имеем 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с и 3 x 2 2 + 2 bx 2 +с. Их сумма равна

→ Σ = 3(x 1 2 + 3 x 2 2 ) + 2b ( x 1 + x 2 ) + 2 с. Расчеты показывают, что

3(x 1 2 +x 2 2 ) + 2b ( x 1 + x 2 ) + 2 с = ( x 1 — x 2 )2

→ (x 1 + x 2 )2 + b ( x 1 + x 2 ) + с — x 1 ∙ x 2 = 0

Тогда для трех корней исходного уравнения будем иметь

→ ( x 1 + x 2 )2 + b ( x 1 + x 2 ) + с — x 1 ∙ x 2 = 0

→ ( x 1 + x 3 )2 + b ( x 1 + x 3 ) + с — x 1 ∙ x 3 = 0

→ ( x 2 + x 3 )2 + b ( x 2 + x 3 ) + с — x 2 ∙ x 3 = 0

Это новые формулы, отражающие свойства корней исходного кубического уравнения!

В общем случае эта формула имеет вид

( xi + xj )2 + b ( xi + xj ) + с — xi ∙ xj = 0 ( 10 )

Пример 11 Проверить формулу ( 10 )

x3 -20x2+ 113x — 154 = 0

где a =1, b = — 20, c =113, d = -154

Здесь X 1 = 7, X 2 = 2, X 3 = 11.

→ ( x 1 + x 2 )2 + b ( x 1 + x 2 ) + с — x 1 ∙ x 2 = 0 → (7 + 2)2 — 20( 7 + 2 ) + 113 — 7∙ 2= 0

→ ( x 1 + x 3 )2 + b ( x 1 + x 3 ) + с — x 1 ∙ x 3 = 0 → (7 + 11)2 — 20( 7 + 11 ) + 113 — 7∙ 11= 0

→ ( x 2 + x 3 )2 + b ( x 2 + x 3 ) + с — x 2 ∙ x 3 = 0 → (2 + 11)2 — 20( 2 + 11 ) + 113 — 2∙ 11= 0

Расчет подтверждает верность формулы ( 10 ).

Три действительных корня и два одинаковых

При наличии двух одинаковых корней имеет место нулевая разность, т.е. (2 mn ) = 0.

Тогда из уравнения (2) следует 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0. Подставив значения коэффициентов b и с и решив это уравнение получим значение корня- дубля.

Пример 12 Пусть имеемв качестве исходногоуравнение x3 – 25x2 + 203x – 539 = 0. Необходимо найти решения данного уравнения.

Решение Допустим, что для данного уравнения имеют место два одинаковых корня. Тогда имеем 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0 → 3 x 1 2 — 50 x 1 + 203 = 0 → x 1,2 = ) → x 1 = , x 2 = 7.

Подставив значение x = 7 в исходное уравнение, убеждаемся, что это один из корней- дубля исходного уравнения. Определить третий корень исходного уравнения не представляет особого труда. Таким образом, решением заданного исходного уравнения является

X 1 = X 2 = 7, X 3 = 11

Три действительных и одинаковых корня

В этом случае имеем для всех (2 mn ) = 0. Из уравнений (46), (47), (48) получим 3 x 1 2 + 2 bx 1 +с = 0.

→ x 1,2 = ). При равенстве трех корней имеем = 0

→ x 1,2,3 = — .

Эту формулу можно получить и более просто. На основании формулы Виета

→ ( x 1 + x 2 + x 3 ) = — b . При x = x 1 = x 2 = x 3 → 3 x = — b → x = — .

Пример 12 Дано уравнение

x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 → b= — 24, с = 183, d = — 448

Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

Решение

1. Определяем значение D1 = —

-→D1 = — [4(549 – 576)3+(- 27648 + 39528 – 12096)2]/27 = — [- 78732 + 46656 ]/27= 1188

-→ 1188=4∙9∙33 = 4∙36∙

2. Пусть h 2 =

→ = [( g 1 — g 2 )2 — h 2 ]2 ∙ h 2 → [( g 1 — g 2 )2 + h 2 ]2 = 36 →[( g 1 — g 2 )2 — h 2 ] = ± 6

→ ( g 1 — g 2 )2 = — 6 + = → g 1 — g 2 = ± .

Второе уравнение ( x 1 + x 2 + x 3 ) = — b → (g 1 + g 2 + h + g 2 – h ) = — b → g 1 + 2 g 2 = 24

Таким образом, имеем два уравнения g 1 — g 2 = ± и g 1 = 24 — 2 g 2 .

→ 24 — 2 g 2 — g 2 = ± → g 2 = = →g 2 = →g 1 = 24 — 2 g 2 →g 1 = 24 – 17 →g 1 = 7

→ X 1 = 7, X 2 = ( 17 + ), X 3 = ( 17 — )

Задача решена!

Внимание! В данном примере имеет место множитель в значениях X 2 и X 3 . Этот случай обусловлен следующим

1. Разделим исходное уравнение x3 – 24x2 + 183x – 448 = 0 на (x – 7)

→ = — x2 + 17x – 64→ x3 – 24x2 + 183x – 448= (x – 7)∙( x2 — 17x + 64)=0.

кубическое уравнение формула кардан

2. В уравнении x2 — 17x + 64=0 при x имеем нечетный коэффициент равный 17. Поэтому ранее и принято значение 1188= 4∙36∙.

Автор с благодарностью примет конкретные предложения, замечания и оценки.

E- Mail: fgg-fil1@narod.ru