Реферат: Простейшие способы обработки опытных данных

Министерство Образования РоссийскойФедерации

ВятскийГосударственный Гуманитарный Университет

Математический факультет

Кафедра математического анализа и МПМ

Выпускнаяквалификационная работа

Простейшиеспособы обработки опытных данных.

 

Выполниластудентка 5курса

математическогофакультета

О.И.Окуловская                           

   /подпись/

/>


Научныйруководитель:

Старшийпреподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Л.В.Ончукова                             

 /подпись/

/>


Рецензент:

Старшийпреподаватель кафедры математического анализа и МПМ

Л.В.Караулова                           

  /подпись/

/>


Допущена к защите в ГАК

/>Зав.кафедрой                              М.В. Крутихина

/>/>                            /подпись/                 <<       >>

Декан факультета                               В.И.Варанкина

/>/>/>                                   /подпись/           <<        >>

Киров

2003

Оглавление.

 

Введение….….… 3

 

§1.Простейшиеспособы обработки опытных данных… 4

     1.1.Подбор параметровспособом средних… 4

    

     1.2.Подборпараметров способом наименьших

          квадратов….… 5

§2.Применениепростейших способов обработки опытных

    данных к конкретным процессам….. 8

     2.1.Применение простейших способов обработкиопытных              данных к математической модели….… 8

 

 2.2. Применение простейших способов обработки

       опытных данных к физической модели… . … 10

 

  2.3. Применение простейших способов обработкиопытных              данных к реальному процессу….… 15

 

Заключение….… 22

 

Литература….… 23

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

Данная тема не достаточно широко освещена в математической литературе.Вматематической статистике при обработке опытных данных чаще всего применяютсяспособ средних и способ наименьших квадратов.

В настоящее время эти способы широко применяются при обработкеколичественных результатов естественно-научных опытов, технических данных,астрономических и геодезически наблюдений и измерений.

Также возможно применение этих способов при обработке полученных практическимпутем данных физических процессов. Например, изучая силу тока в проводниках спостоянным сопротивлением, мы можем зафиксировать значение силы тока приопределенном напряжении, то есть не во всех точках, а в небольшом количестве.Применяя способ средних и способ наименьших квадратов, мы имеем возможность спомощью полученных точек подобрать такую функцию, которая бы наиболее близкопроходила через эти точки. Это позволяет более полно использовать информацию изнаблюдений.

Цели данной работы:

1.  Овладениепростейшими способами обработки опытных данных.

2.  С помощью способасредних и способа наименьших квадратов для   экспериментально найденныхфункционально зависимых величин подобрать функцию, которая наиболее точноописывала бы данный процесс.

3.  Применить описанныеметоды для описания реальных процессов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


§ 1. Простейшиеспособы обработки опытных данных.

1.1.Подбор параметров способом средних.

Способ средних основывается на допущении, что наи­более подходящейлинией служит та, для которой алгебраическая сумма укло­нений равна нулю. Длятого чтобы найти этим способом неизвестные постоян­ные в эмпирическойформуле, сначала подставляем в эту формулу все пары наблюдавшихся илизамеренных значений xи yи получаем столько уклонений, сколько пар значений (x; y)втаблице (уклонения—вертикальные расстояния отданных точек до графика функции). Затем распределяем эти уклонения по группам, составляя столько групп, скольконеизвестных параметров эмпи­рическойформулы надо найти. Наконец, приравнивая нулю сумму уклонений по каждой группе, получим систему линейныхуравнений относительно пара­метров.

a)  Частный случай.S = A*tq.

t

t1

t2

t3

t4

 … .  … .

tn

S

S1

S2

S3

S4

 … .  … .

Sn

Уклонения имеют вид d = A*tq – S. Подставляя значения S и t, взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получимсистему урав­нений относительно параметров Aи q:

/>/>                                (l<n)

Решение этой системызатруднительно. Поэтому  без большей потери в точности, можно приравнять нулю сумму  уклонений логарифма S, то есть

                           d’ = lg A + q * lg T – lg S.

Тогда система приметвид

/>/>            (l<n)     

Из системы иопределяют q и S.

b)  Частный случай. S = a0+ a1*t + a2 *t2.


t

t1

t2

t3

t4

 … .  … .

tn

S

S1

S2

S3

S4

 … .  … .

Sn

Уклонения имеют вид d = a0+ a1 * t + a2 * t2 — S. Подставляя значения S и  t, взятые из таблицы, и приравнивая уклонения нулю, получимсистему

урав­ненийотносительно параметров  a0, a1, a2 :

/>/>                  (l<m<n)

Из системы иопределяют  a0, a1, a2./>

1.2.Подбор параметров способом наименьшихквадратов.

На практике часто приходится решать такую задачу. Пусть для двух функциональносвязанных величин xи yизвестны nпар соответствующихзначений, которые могут быть представлены в виде таблицы

x

x1

x2

x3

   .  .  .

xn

y

y1

y2

y3

   .  .  .

yn

 Требуется в напередзаданной формуле y = f(x,a1, a2, …,am) определить mпараметров a1, a2, …,am (m < n)так, чтобы в эту формулу наилучшим образом«укладывались» бы известные n пар значений x и y.            

    Оценки параметровa1, a2, …,am  определяются из условия, чтобы сумма  квадратов отклонений значений y, вычисленных поформуле, от заданных, то есть     

                            L = å [f (xk,a1, a2, …,am)– yk ] 2

 принималанаименьшее значение. Поэтому сам способ получил название способа наименьшихквадратов.

Это условие даетсистему m уравнений,   из  которых   определяются  a1, a2, …,am:

/>                  ∂L/∂a1=0,

                  ∂L/∂a2=0,                                                  (1)

                  .  .  .  .  .  .

                  ∂L/∂am=0.

Напрактике заданную формулу y = f(x,a1, a2, …,am) иногда прихо­дится (вущерб строгости полученного решения) преобразовывать к такому виду, чтобы систему (1) было проще решать (приподборе параметров в формулах y=A*ect и y=A*tq).

a) Частный случай. y = A ect.

Для упрощения системы (1) эту формулу, связывающую xи y, предвари­тельно логарифмируюти заменяют формулой

                                     lg y = lg A + c*lge*x .

Продифференцировав величину L по A и c и приравняв нулю, получим систему из двухуравнений с двумя неизвестными A и c.

/>/>                            (2)

Система (2) примет следующий вид:

/>/>                     />  (2’)

Для определениякоэффициентов (2’) удобно составить вспомогательную таблицу:

k

xk

xk2

lg yk

xk*lg yk

1

x1

x12

lg y1

x1*lg y1

2

x2

x22

lg y2

x2*lg y2

… … … … … n

xn

xn2

lg yn

xn*lg yn

å

Из системы (2’)определяют c и A .

б) Частный случай.  y=A*xq.

Эту формулу такжепредварительно логарифмируют и заменяют следующей:

                       lg y = lg A + q * lg x.

Система (1) теперьпримет вид

/>/>                    (4)

Вспомогательнаятаблица имеет вид

k

lg xk

lg2 xk

lg yk

lg xk * lg yk

1

lg x1

lg2 x1

lg y1

lg x1 * lg y1

2

lg x2

lg2 x2

lg y2

lg x2 * lg y2

… … … … … n

lg xn

lg2 xn

lg yn

lg xn * lg yn

Изсистемы (3) определяют A и q.

еще рефераты
Еще работы по математике