Реферат: Определитель матрицы

Дисциплина: Высшая математика

Тема: Определитель матрицы


1. Понятие определителя

Матрица — это прямоугольная таблица, составленная из чисел. Особоеместо среди матриц занимают квадратные матрицы. Рассмотрим произвольнуюквадратную матрицу порядка /> илипросто />:

/>.

Оказывается, что с такой матрицей всегда можно связатьвполне определенную числовую характеристику.

Определение 1. Численная характеристика квадратнойматрицы называется ее определителем.

Рассмотрим матрицу первого порядка />.

Определение 2. Численной характеристикой матрицы первогопорядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента/>.

Обозначается определитель одним из символов />.

Определение 3. Определителем второго порядка,соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное />.

Обозначается определитель одним из символов

/>.

Очевидно, что для составления определителя второго порядка,необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагоналиматрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.

Поскольку одна из форм обозначения определителя иобозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то также, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.

После того как рассмотрены определители 1-го и 2-гопорядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этимвведем понятие минора.

Определение 4. Минором любого элемента /> квадратной матрицы порядка/> называется определительпорядка />, соответствующий тойматрице, которая получается из первоначальной матрицы в результате вычеркивания/>-ой строки и />-го столбца, на пересечениикоторых стоит элемент />.

Обычно минор элемента /> обозначается/>.

Определение 5. Определителем порядка />, соответствующим матрицепорядка />, называется число, равное

 

/>.

Обозначается определитель одним из символов

/>.

Приведенное выражение представляет собой правило вычисленияопределителя />-го порядка по элементампервой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов этой строки,которые являются определителями порядка />.Для /> это правило дает:

/>.

В приведенном правиле вычисления определителя фигурируетлишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель,используя элементы других строк?

Теорема 1. Каков бы ни был номер строки /> (/>), для определителя />-го порядка справедливаформула

 

/>,

 

называемая разложением этого определителя по />-ой строке.

Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равнасумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент />.

Докажем сначала эту теорему для />.В этом случае /> может быть равнотолько 2, так как /> входит восновное определение величины определителя. Итак:

/>.

Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано вопределении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.

Для произвольного /> даннаятеорема доказывается методом математической индукции.

Итак, показано, что определитель может быть разложен полюбой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовавпроизвольный столбец.

Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца /> (/>), для определителя />-го порядка справедливаформула

 

 />,

 

называемая разложением этого определителя по />-му столбцу.

Докажем теорему для />:

/>.

Данное выражение равно величине определителя, введенной поопределению.

Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисленияопределителя />-го порядка необходимо егоразложить по произвольной строке или столбцу.

2. Свойства определителей

Рассмотрим ряд свойств, которыми обладают определители.

1. Равноправность строк и столбцов.

Определение 1. Транспонированием определителя называетсяоперация, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранениемпорядка их следования.

Определитель, полученный в результате транспонирования,называется транспонированным по отношению к исходному и обозначается />.

Свойство 1. При транспонировании величина определителясохраняется, то есть />.

Доказательство этого свойства вытекает из того, чторазложение определителя по первой строке тождественно совпадает с разложениемпо первому столбцу. Данное свойство указывает на равноправность строк истолбцов, поэтому все дальнейшие свойства можно рассматривать лишь для строк.

2. Антисимметрия при перестановке двух строк.

Свойство При перестановке местами двух строк определительсохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный.

Докажем для определителя второго порядка. Действительно,

/>; />.

Для определителя />-гопорядка докажем это свойство по индукции. Пусть свойство справедливо дляопределителя />-го порядка. Разложимопределитель />-го порядка по любойстроке, отличной от переставленных. Тогда переставленные строки входят во всеминоры, на которые умножаются элементы />,но эти миноры являются определителями />-гопорядка и меняют свой знак при перестановке строк. Следовательно, иопределитель />-го порядка также меняетсвой знак.

3. Линейное свойство определителя.

Определение Некоторая строка (/>)является линейной комбинацией строк (/>) и (/>) с коэффициентами /> и />, если />.

Пользуясь этим определением, перейдем к самому свойству.

Свойство 3. Если в определителе />-го порядка /> некоторая строка /> (/>) является линейнойкомбинацией двух строк (/>) и (/>) с коэффициентами /> и />, то />, где /> - определитель, у которого/>-ая строка равна (/>), а все остальные — те же,что и у />, а /> - определитель, у которого/>-ая строка равна (/>), а все остальные — те же,что и у />.

Для доказательства разложим каждый из определителей по />-ой строке. Очевидно, что увсех разложений миноры /> соответствующихэлементов будут одинаковы. Вычислим />:

/>

Итак, свойство доказано. Очевидно, оно справедливо и длястолбцов.

Приведенные три свойства называются основными. Остальныеявляются их следствиями.

Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки илистолбца определителя на число /> равносильноумножению определителя на число />.

Для доказательства положим в свойстве 3 />, тогда получим />. Значит, общий множительвсех элементов некоторого ряда можно выносить за определитель.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки илистолбца определителя равны 0, то и сам определитель равен 0.

Для доказательства разложим определитель по нулевому ряду.

Свойство 6. Определитель с двумя равными строками илистолбцами равен 0.

Действительно, переставив местами равные строки или столбцы,получим тот же определитель, но по свойству 2 его знак изменится напротивоположный. Итак, с одной стороны />,а с другой />. Следовательно, />.

Свойство 7. Если соответствующие элементы двух строк илистолбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, согласно свойству 4 общий множитель можновыносить за определитель, и мы получим определитель с двумя равными строками,который по свойству 6 равен нулю.

Свойство 8. Если к элементам некоторой строки или столбцаопределителя прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца,умноженные на произвольный множитель />, товеличина определителя не изменится.

Доказательство. Рассмотрим определитель />. Прибавим к элементамвторой строки элементы первой с коэффициентом />:

/>.

Тогда, по свойству 3 получим:

/>.

После перечисления всех свойств определителей введем ещеодно определение.

Определение 3. Алгебраическим дополнением данногоэлемента /> определителя />-го порядка называетсячисло, равное />, котороеобозначается />.

Значит, алгебраическое дополнение отличается отсоответствующего минора только лишь знаком. Теперь величину определителя можновычислить с помощью формул:

/>.

Пользуясь свойствами, любой определитель можно вычислить нена основании основного правила, а предварительно упростив его (приводя,например, к треугольному виду).


Литература

1. Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во:Факториал, Факториал Пресс, 2007. — 128с.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Том 1Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е издание. Издательство: ДРОФА,2006. — 284с.

3. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Индивидуальныезадания по высшей математике. В 4 частях. Часть 1. Линейная и векторная алгебра.Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Минск:Высшая школа, 2007.

4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА,2003.

5. Шипачев В.С. Высшая математика изд.7 Изд-во: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 2005. — 479с.

еще рефераты
Еще работы по математике