Реферат: Численные методы

ЛЕКЦИЯ № 12

ТИПОВЫЕСПОСОБЫПРИБЛИЖЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ МНК НЕЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ В ЛИНЕЙНЫЕ

Подавляющее большинствопроцессов реального мира носит линейный характер,поэтому область, использования линейных моделей весьма ограничена, в то жевремя для построения нелинейных моделей хорошо разработан математическийаппарат. Рассмотрим некоторое преобразование, позволяющее при построениинелинейными функциями воспользоваться методом МНК для линейной функции.

Аппроксимируемая Линейная Замена

функция функция

/> />/> />

Вообще полиномы выше 6-ойстепени при помощи МНК никогда не строят, т.к. появляются серьёзные ошибкиокруглений и раскачивания. На практике ограничиваются квадратическойзависимостью.

МНК для системылинейно- независимых функций.

Пусть задана системалинейно-независимых функций одной переменной />.Под линейно-независимой функцией понимаем такую систему, в которой ни одна изфункций не может быть представлена в виде линейной комбинации остальныхфункций.

Задана f(x) таблично на [a;b] по системе узлов xj<sub/>,yj=f(xj)

Рассмотрим приближение f(x) при помощи обобщенного многочлена:

/> (12.1)

Необходимо найтинеизвестные коэффициенты из (12.1)

/> (12.2)

Критерий (12.2)представляет собой квадратичную функцию относительно параметров bi.

Запишем

/> (12.3)

Получим

/> (12.4)

Система(12.4) представляет собой СЛАУ относительно параметров bi и может быть решенаодним из известных методов.

Рассмотримодин из частных случаев этой системы, когда функции /> являютсяортогональными.

Введемпонятие скалярного произведения функции.

/> (12.5)

Линейно-независимаясистема функций /> являетсяортогональной если

Для системыортогональных функций решение системы (12.4) получается элементарно.

/> (12.6)

Коэффициенты (12.6)называются коэффициентами Фурье, а многочлен (12.1) называется обобщенныммногочленом Фурье.

Тригонометрическиеряды и полиномы Фурье в использовании МНК

Для приближениятригонометрических функций в анализе используют тригонометрические ряды Фурье.

Периодической называетсяфункция, для которой выполняется равенство:

f(x+KP)=f(x)

P-наименьший положительный период.

Пусть g(x) имеет P,тогда f(x)=g(Px/2π) будет иметь период 2π.

Пусть f(x) –функция, имеющая период 2π, тогда она может бытьпредставлена рядом:

/> (12.7)

/> (12.8)

(12.8)тригонометрический ряд Фурье.

/> (12.9)

Коэффициенты Фурье могутбыть получены также методом МНК для системы ортогональных линейно-независимыхфункций.

Пусть значениятаблично-заданной функции известны в точках

Тригонометрическиеполиномы используются для тригонометрических процессов.

ЛЕКЦИЯ №13

ЧИСЛЕННЫЕ ДИФФИРИНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Численноедифференцирование

1.1 Расчетпроизводных аналитически заданной функции

1.2 Нахождениепроизводных таблично заданной функции

Численное интегрирование

2.1 Формулы прямоугольников

2.2 Формулы Ньютона — Котеса

Формулы Симпсонаи Ньютона

2.3 Формулы Чебышеваи Гаусса

Численноедифференцирование применяется в случаях, когда аналитическое нахождениепроизводных приводит к громоздким вычислениям, (особенно при необходимостииметь одинаковый алгоритм для вычисления производных заданных функций, а такжетогда, когда функция задана таблично).

§1.1 Для аналитическизаданных функций рассмотрим следующие способы численного дифференцирования:

1.) предел отношения приращений;

2.) при помощи центрированных разностях;

Предел отношенияприращений

Строим последовательности{hk}так, чтобы hk→0 вычисляем пределпоследовательности {Dk},где

Dk= /> k=1,2..n

Вычисления проводят донекоторого n, при котором выполняется условие:

|Dn+1-Dn|≥|Dn-Dn-1|

Шаг выбираем сами(обосновать).

Центрированныеразности

Пусть наша функция триждынепрерывно дифференцируема на [a;b]:

f/>c3[a;b] x-h, h,x/>[a;b]

тогда />

Эта приближенная формулаимеет 2-ой порядок точности.

Ошибка: 0(h2). Разложим функцию в ряд Тейлора:

Вычтем из первогоравенства второе:

f(x+h)-f(x-h)

ЛЕКЦИЯ №14

В случае, когда нельзя выразить, либо функция задана таблично,нахождение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница невозможно.

Используют приближенные формулы, которые называют квадратурными, либоформулами численного интегрирования.

1) Формулы прямоугольника

Пусть y=f(x) непрерывна на [a,b]. Требуется вычислить /> .

Разобьем отрезок интегрирования на n равныхчастей, точками xi, i=0,n

xi=a-i*h

/> шаг разбиения

На отрезке [xi-1;xi] возьмем произвольную точку xi. Из определения наш интеграл равен /> (14.1)

общая формапрямоугольника.

/>Геометрическаяинтерпритация формулы прямоугольника.

Площадьограничена графиком функции y=f(x) на отрезкеосью абцис и заменяется площадью прямоугольника с высотой равной f(xi). Отметим частный случай формулы прямоугольника.

1) Пусть xi это xi. Из формулы 14.1 видно />.

Точность 0(h) порядка один. Формула левыхпрямоугольников

/>2) xi=xi. /> формулаправых прямоугольников 0(h).

3) xi=1/2 (xi-1+ xi). Получилась формула среднихпрямоугольников. />. Точностьпорядка два 0(h2).

2)ФормулаНьютона-Котеса

/>-общая формула

Н-коэффициент Котеса.

xk=a+b*h k=0,n

Пусть n=1 значит />/>

Пусть n=2 значит />/>

Применение формулыНьютона-Котеса высоких порядков может быть оправдана при достаточно высокойгладкости подинтегральной функции, поэтому промежуток интегрирования будемдробить на мелкие части, на каждой из которых можно применить формулу Н-Кневысокого порядка. Выведем формулу трапеции Симсона-Ньютона.

/>yi=f(xi), i=0,n. Точность порядка два 0(h2). Эта формула точна для многочленов первой степени.

Геометрическая интерпритация

На элементарном отрезке [xi-1;xi] площадь под кривой полагают равнойплощади трапеции с основаниями yi-1 и yi и высотой h. h= xi-xi-1

Формула Симсона

/>Пусть n=2m. Число разбиения отрезков четное. Тогда />точна для многочлена втретьей степени.

Геометрическая интерпритация

На отрезке [x2i-2;x2i] длиной 2h

Cтроится парабола, проходящая черезтри точки. Площадь под параболой, заключення между осью абцисс и прямыми x2i-2 и x2i и принимает равный интеграл.

Формула Ньютона – этоформула Симсона 3/8.

Пусть n=3m. Количество отрезков разбиения нечетное.

/>точна для полиномов третьей степени.

2) ФормулаЧебышева- Гаусса

Квадратуры Гаусса используют, если интегрируемая функция заданааналитически. Подинтегральную функцию апроксимируют полиномами различныхстепеней. Общий вид линейно-квадративной формулы />, где Ai-весовые функции.

Формула Гаусса: />точнадля многочленов N=2n-1 степени.Ai и ti<sub/>вычислены итабулированы

Формула Чебышева:/> точнадля многочлена степени n.

Точки ti вычисленыи табулированы для n=2,3…7,9. Для n=8 и больше 10 ti не сушествуют.

n=2 -ti=t2=0.577350

n=3 -ti=t3=0.707107 t2=0

n=4 -ti=t4=0.794654 -t2=t3=0.187592

Для вычисления интеграла по формулам 4 и 5 следует сделать заменупеременных />

Тогда наш интеграл равен />

Замечание: правило Рунге используется для оценкипогрешности.

Вычисляют интеграл по выбранной квадративной формуледважды, сначала сшагом h, затем h/2. Затем, еслиполученное значение >e, то полагают, что нашинтеграл равен I=I2n, иначе шаг h/4.

|In-I2n|<e

ЛЕКЦИЯ № 16

МЕТОД РУНГЕ-КУТТА(четвертого порядка)

Пусть поставлена задачаКоши, где функция f(x,y) 4 раза непрерывно дифференцируема. Необходимо найти решениеэтой задачи на [x0,b], xk=x0+k*h, k=0,n; h=(b-x0)/n.

/> (16.1)

Многошаговыеметоды. Метод прогноза и коррекции Адамса.

Идея многошаговых методовзаключается в том, что при расчете значения искомой функции к некоторойпоследующей точке xk+1 используют значение функции внескольких предыдущих точках xk-1 ,<sub/>xk-2….общая точность метода равнаколичеству испытаний точек. Все m–шаговые методы можно описать формулами:

/> 16.2

При b0=0 мы получаем явные методы, при b¹0 – неявные методы.

Обьединение идей явных инеявных методов, позволило получить методы прогноза и коррекции. Их суть в том,что на " шаге может быть получено значение отношения приближенного значения. у(х)от точного, и при необходимости, приближенное значение может быть исправлено,откорректировано на эту ошибку.

у(х0)-определяетсяиз условия задачи Коши

у(х1), у(х2), у(х3)…у(хm-1) находится при помощи явных методовРунге-Кутта. Многошаговые методы удобно применять на длинных отрезках [x0,b].

Рассмотрим методы погнозаи коррекции Адамса 4 порядка.

Пусть поставлена задачаКоши 15.3 необходимо найти значение у(х) на [x0,b] в т.xk

[x0,b]xk=x0+k*h k=0,n; h=(b-x0)/n

/> 16.3

Локальнаяточность

Известно, что на " шаге точное значение функции в т.хку̃(хк) отличается от приближенного значения хк навеличину.

/> 16.4

/> 16.5

/> где ε заданная точность

Решение задачи Кошидля систем дифференциальных уравнений

Наиболее и лучше всего иследованасистема дифференциальных уравнений

1-го порядка. Система из n уравнений имеет вид:

/> 16.6

В векторном виде система16.6 записывается так:

Начальные условия системы16.6 имеют вид:

/> 16.7

В общем виде система 16.6имеет множество решений, а с начальным условием может иметь единственноерешение.

Задачей Коши для системыиз n дифференциальных уравнений 1-гопорядка называются 16.6 с начальным условием 16.7.

Пример:

Пусть есть некоторыйпродукт. Известна скорость выпуска этого продукта (производительность).Необходимо составить модель, позволяющую прогнозировать колво продукции и общиезатраты предприятия на ее изготовление и хранение. Пусть V-объем.

Метод Эйлера. Решениезадач Коши для систем дифференциальных уравнений.

Пусть поставлена задача 16.6,16.7.

Необходимо найти значениефункций у1…уn<sub/>наотрезке [x0,b], xk=x0+k*h, k=0,m

/> 16.8

В векторном виде :/>

Локальная точностьпорядка h2

Общая точность порядка h.

Метод Рунге-Куттарешения задач Коши для систем дифференциальных уравнений.

Пусть поставлена задачаКоши 16.6,16.7. Необходимо найти значение функции на отрезке [x0,b] вт.хк…..

С этой целью исползуетсярекурентная формула

/> 16.9

Решениедифференциальных уравнений высших порядков.