Реферат: Теорія ймовірностей та математична статистика
Міністерство освіти інауки України
Донбаський державнийтехнічний університет
Кафедра Вищої Математики
КОНТРОЛЬНА РОБОТАПо дисципліні “Теоріяймовірностей та математична статистика”
Варіант №26
(завдання №14, 2, 4,12, 11, 15, 2, 14, 3, 6)
Виконала:студентка групи
Перевірила:доцент кафедри вищ. мат.
Алчевськ 2009
РОЗДІЛI “ТЕОРІЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ”
ЗАВДАННЯ№1
14)В урні 2 білі і 3 чорні кульки. Двоє по черзі беруть навмання по одній кульці.Яка імовірність того, що з них перша біла, а друга чорна?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
Для білої:
/>
/>
/>
Для чорної:
/>
/>
/>
Загальна вірогідність:
/>
або
/>
ЗАВДАННЯ№2
2)В першій урні 3 білих і 2 чорних кульки, а в другій 4 білих і 4 чорних кульки.З першої урни в другу навмання перекладають одну кульку, потім з другої урнивзяли одну кульку. Яка імовірність, що вона біла?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
Вірогідність того, що з першої урнипереклали білу кульку:
/>
Вірогідність того, що з другої урниузяли білу кульку:
/>
ЗАВДАННЯ№3
4) 4.1Обчислити ймовірність того, що деяка подія не відбудеться, якщо відомо, що при /> випробуваннях вона всередньому відбувається в /> випадках.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
/>
4.2 З 60 питань, що входять доекзаменаційних білетів, студент підготував 50. Яка ймовірність того, що взятийнавмання студентом білет, який містить два питання, буде складатися зпідготовлених ним питань?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
/>
4.3 Яка ймовірність того, що середвийнятих навмання 4 карт з повної колоди (52 карти), дві виявляться піковоїмасті?
РОЗВ’ЯЗАННЯ
/>
ЗАВДАННЯ№4
12)Проведено /> незалежних випробувань, вкожному з яких може відбутися подія /> зімовірністю />.
I)за локальною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подіявідбудеться рівно /> разів;
II)за інтегральною теоремою Муавра-Лапласа знайти імовірність того, що подіявідбудеться від 700 разів до /> разів.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I)/>
1) Скористуємосьформулою Муавра-Лапласа:
/>
2) Знайдемо />:
/>
3) Знайдемо />:
/>
4) Шуканаймовірність:
/>
II)/>
За інтегральноютеоремою Лапласа:
/>
1) Знайдемо межі інтеграла /> і />:
/>
/>
2) Знайдемофункції Лапласа /> і />:
/>
/>
3) Шукана ймовірність:
/>
ЗАВДАННЯ№5
11) Дискретна випадкова величина заданарядом розподілу. Знайти функцію розподілу і побудувати її графік. Знайтиматематичне сподівання і дисперсію випадкової величини.
Х 2 4 5 Р 0,2 0,6 0,2РОЗВ’ЯЗАННЯ
1)Математичне сподівання знайдемо за формулою:
/>
2) Складемо закон розподілу для />:
Х 4 16 25 Р 0,2 0,6 0,2/>
/>
3) Дисперсію знайдемо за формулою:
/>
4) Середнє квадратичне відхиленнязнайдемо за формулою:
/>
5) Знайдемо функцію розподілу:
/>
6) Графік цієї функції має вигляд:
/>
ЗАВДАННЯ№6
15) Випадкова величина /> задана функцієюрозподілу:
/>
Знайти:
I)щільність розподілу ймовірності;
II) математичнесподівання;
III)дисперсію випадкової величини;
IV)імовірність попадання випадкової величини в інтервал />;
V)Накреслити графіки функцій /> і />.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I)щільність розподілу ймовірностей:
/>
II)математичне сподівання:
/>
III)дисперсія:
/>
/>
IV)імовірність того, що випадкова величина прийме значення з інтервалу/>
/>
V)Графіки функцій /> і />:
/> />
ЗАВДАННЯ№7
2)Відоме математичне сподівання />і дисперсія/> випадкової величини />.
Знайти:
I)імовірність попадання цієї величини в заданий інтервал />;
II) імовірністьтого, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свогоматематичного сподівання менша за число />.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
I)Імовірність влучення випадкової величини /> уінтервал />:
/>
/>
/>
II) Імовірністьтого, що абсолютна величина відхилення випадкової величини від свогоматематичного сподівання буде менше 2, можна обчислити за формулою:
/>
РОЗДІЛII
14)РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №1 “СТАТИСТИЧНИЙ РОЗПОДІЛ ВИБІРКИ”
23 26 31 35 38 43 48 39 36 27 43 39 37 34 31 27 21 33 32 44 24 28 30 35 33 39 40 41 46 36 42 39 35 32 27 29 33 35 38 41 25 30 30 31 32 34 36 37 38 40першийінтервал 21-25
Представити кожнувибірку у вигляді таблиці частот згрупованої вибірки, побудувати гістограму іполігон частот, записати емпіричну функцію розподілу і побудувати їх графік.
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Складемо таблицю частот згрупованоївибірки:
Межі інтервалу
xi />xi+1
Середина інтервалу
xi0
Частота
ni
Накопичувальна частота
Σni
Відносна частота
ni/n
Накопичувальна відносна частота
Σni/n
/> />21 /> 25
23 4 4 0,08 0,08 />25 /> 29
27 6 10 0,12 0,20 />29 /> 33
31 12 22 0,24 0,44 />33 /> 37
35 11 33 0,22 0,66 />37 /> 41
39 11 44 0,22 0,88 />41 /> 45
43 4 48 0,08 0,96 />45 /> 49
47 2 50 0,04 1 />2) Побудуємо гістограму частот:
/>
3)Побудуємо полігон частот:
/>
4) Емпірична функціярозподілу визначається значеннями накопичувальних відносних частот:
/>
5) Графік розподілу емпіричної функції:
/>
6) Знайдемо методомтворів вибіркову середню і вибіркову дисперсію по заданому розподілу вибіркиоб'єму n=50:
Середина інтервалу xi0
23 27 31 35 39 43 47Частота ni
4 6 12 11 11 4 26.1) Складемо заповнимо таблицю:
хi0
ni
Ui
ni×Ui
ni×Ui2
ni×(Ui+1)2
23 4 -2 -8 16 4 27 6 -1 -6 6 31 12 12 35 11 1 11 11 44 39 11 2 22 44 99 43 4 3 12 36 64 47 2 4 8 32 50 39 145 2736.2) Обчислимо умовні моменти 1-го і2-го порядку:
/> />
6.3) Знайдемо крок h (різниця міжсусідніми інтервалами): />.
6.4) Обчислимо шукані, вибіркові,середню дисперсію, враховуючи що помилковий нуль />:
/>
/>
/>
3)РОЗРАХУНКОВАРОБОТА №2
“МЕТОДНАЙМЕНЬШИХ КВАДРАТІВ”
За наданими статистичнимиданими підібрати емпіричну функцію, якщо вона не задана,та:
1. Побудувати діаграмурозсіювання.
2. Записати емпіричну функцію.
3. Записати системунормальних рівнянь.
4. Скласти розрахунковутаблицю.
5. Вирішити отриману системуй записати емпіричну функцію зі знайденими параметрами.
Уважаючи, що залежність міжзмінними /> й />має вигляд />, знайти оцінки параметрівпо наступних вибірках:
/>
1 3 4 2 5 7 8 9/>
80 90 120 100 110 150 160 130РОЗВ’ЯЗАННЯ
По вибірці спостереженьпобудуємов системі координат /> и/> діаграму розсіювання,тобто побудуємо крапки:
/>
/>
Аналіздослідницьких даних показує, що в якості емпіричної (підібраної) функції можнавикористати функцію />. Необхіднознайти параметри а й b, для чого застосуємо МНК. Тоді для визначення параметріва й b будемо мати систему нормальних рівнянь:
/>
Для зручності обчислень складемонаступну розрахункову таблицю (/>):
/>
/>
/>
/>
/>
1 1 80 1 80 2 3 90 9 270 3 4 120 16 480 4 2 100 4 200 5 5 110 25 550 6 7 150 49 1050 7 8 160 64 1280 8 9 130 81 1170/>
/>
/>
/>
/>
Підставимо дані останнього рядка таблиців нормальну систему рівнянь:
/>
Вирішуючисистему, одержимо />.
5)Підставляючи ці значення параметрів, одержимо емпіричну функцію:
/>
6)РОЗРАХУНКОВА РОБОТА №3
“ЗНАХОДЖЕННЯ ВИБІРКОВОГО КОЕФІЦІЕНТАКОРЕЛЯЦІЇ ТА ПРЯМИХ ЛІНІЙ РЕГРЕСІЇ”
Розподіл 40заводів кольорової металургії за середньодобовим виробленням металу /> (тис.т) та затратамиелектроенергії на 1т. />(тис. кВт×год) дано у таблиці: />/>
/>
10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 2,0-2,5 6 6 2,5-3,0 6 6 12 3,0-3,5 6 4 10 3,5-4,0 2 4 2 8 4,0-4,5 4 4/>
6 4 8 10 12 40За відповідним рівнянням регресіїоцінити середні затрати електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у якихсередньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., та порівняти їх з відповіднимгруповим середнім.
Наданотаблицю, яка визначає деякий неперервний розподіл. За цим розподілом требаутворити дискретний розподіл, взявши значеннями /> і/> середини відповіднихінтервалів і припускаючи, що між /> і /> існує лінійна кореляційназалежність, виконати таку роботу:
1.Обчислити коефіцієнт кореляції та проаналізувати тісноту та напрям зв'язку між /> і />.
2. Скластирівняння прямих регресії /> на /> та /> на />.
3. Обчислити дляданого значення однієї змінної відповідне значення іншої, використавши дляцього одне з одержаних рівнянь регресії (підхоже) та порівняти це значення звідповідним груповим середнім (це останнє завдання подано разом з кореляційноютаблицею).
РОЗВ’ЯЗАННЯ
1) Перейдемо до дискретних розподілів,тобто значення змінних Х и Y приймемо середини відповідних інтервалів:
/>/>
/>
12,5 17,5 22,5 27,5 32,5 2,25 6 6 2,75 6 6 12 3,25 6 4 10 3,75 2 4 2 8 4,25 4 4/>
6 4 8 10 12 40
2) Для обчислення вибірковогокоефіцієнта кореляції потрібно обчислити вираження />,для чого скласти кореляційну таблицю в умовних варіантах.
За хибний нуль /> узята варіанта />, а за хибний нуль /> узята варіанта />, які розташовані приблизнов серединах відповідних варіаційних рядів.
3) У кожній клітці, у якій частота />, записуємо в правомуверхньому куті добуток частоти /> на />.
4) Знаходимо суму всіх чисел, щокоштують у правих кутах кліток одного рядка й записуємо її в клітку стовпця />.
5) Множимо варіанту /> на /> й отриманий добутокзаписуємо в останню клітку того ж рядка.
6) З метою контролю аналогічніобчислення робимо по стовпцях, причому добуток /> записуємов лівому нижньому куті кожної клітки із частотами />,після чого їх складаємо й отриману суму записуємо в рядок />.
Потім множимо варіанту и на /> й результат записуємо востанньому рядку.
/>
/>
-2 -1 1 2/>
/>
-2-12
612
6 12 -24 -1-6
66
-6
612
12 18 -18 6 44
10 4 12
2-4
4
4-4
2
2 8 -8 -8 28
4-8
4 -8 -16/>
6 4 8 10 12 40/>
10 4 2 -6 -18/>
-20 -4 -6 -36 -667) Обчислюємо /> й />:
/>
/>
8) Обчислюємо допоміжні величини /> й />:
/>
/>
9) Обчислимо /> й/>:
/>
/>
10) Шуканий вибірковий коефіцієнткореляції:
/>
Тому що />,цей зв'язок зворотній.
11) Вибіркове рівняння прямої лініїрегресії Y на Х має вигляд:
/>.
Обчислимо />,/>, />, /> />:
/>
/>
/>
/>
12) Рівняння прямої лінії регресії Y на Х:
/>
/>
13) Рівняння прямої лінії регресії Х наY:
/>
/>
/>
14) За відповідним рівнянням регресії середнєзначення затрат електроенергії на 1 тн. металу тих заводів, у якихсередньодобове вироблення металу складає 22,5 тис.т., складає:
/>
/>
Якщо скористатися безпосередньотаблицею, то/>Яквидно, узгодження розрахункового і спостережуваного умовних середніх –задовільне.