Реферат: Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики ифизики
1. Моменты и центры масс плоскихкривых. Если дугакривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1) />=/>(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и Oy равны
/>
моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох иОу вычисляются по формулам
/>
а координаты центра масс /> и /> — по формулам
/>
где l—масса дуги, т. е.
/>
Пример 1. Найти статические моменты и моментыинерции относительно осей Ох
и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.
1)Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однороднаи />=1.
◄ Имеем: />Следовательно,
/> ►
Пример 2. Найти координаты центра масс дугиокружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.
◄ Имеем: />
Отсюда получаем:
►
В приложениях часто оказывается полезной следующая
Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованнойвращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее непересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой еецентром масс.
Пример 3.Найти координаты центра масс полуокружности />
◄Вследствие симметрии />. При вращении полуокружности вокругоси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна />, а длина полуокружности равна па. По теореме Гульденаимеем />
Отсюда />, т.е. центр масс C имеет координаты C/>.
2. Физические задачи. Некоторые применения определенногоинтеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.
Пример 4. Скорость прямолинейного движениятела выражается формулой /> (м/с). Найти путь, пройденный теломза 5 секунд от начала движения.
◄ Так как путь, пройденныйтелом со скоростью />(t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом
/>
то имеем:
/> ►
Пример 5. Какую работу необходимо затратитьдля того, чтобы тело массы mподнять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i?Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?
<4| Работа переменной силы / (#),действующей вдоль оси Ох на отрезке [а, Ь], выражается интегралом