Реферат: Эрмитовы операторы
Эрмитовы операторы
Содержание
Линейные операторы
Линейные уравнения
Эрмитовы операторы
Пусть M и N — линейные множества. Оператор L , преобразующий элементы множества M в элементы множества N , называется линейным, если для любых элементов f и g из M и комплексных чисел λ и μ справедливо равенство
L(λ+ μ g ) = λLf + μ Lg (1)
При этом множество M = ML называется областью определения оператора L . Если Lf = f при всех f Є M , то оператор L называется тождественным (единичным) оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.
Линейные уравнения
Пусть L — линейный оператор с областью определения ML . Уравнение
Lu = F (2)
называется линейным неоднородным уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F называется свободным членом (или правой частью), а неизвестный элемент и из ML — решением этого уравнения.
Если в уравнении (2) свободный член F положить равным нулю, то полученное уравнение
Lu = 0 (3)
называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению (2).
В силу линейности оператора L совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и = 0 всегда является решением этого уравнения.
Всякое решение и линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения ио этого уравнения и общего решения ŭ, соответствующего линейного однородного уравнения (3)
и = ио + ŭ .
Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в ML , необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в ML . Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в ML . Обозначим через Rl область значений оператора L , т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf }, где f пробегает ML . Тогда для любого F Є Rl уравнение (2) имеет единственное решение и Є ML , и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из Rl соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к оператору L и обозначается через L -1, так что
и = L -1F . (4)
Оператор L-1, очевидно, является линейным и отображает Rl на ML. Непосредственно из определения оператора L -1 , а также из соотношений (2) и (4) вытекает:
L L -1F = F , F Є Rl ; L -1Lu = u , и Є ML ,
т.е. L L -1= I , L -1L = I .
Если линейный оператор L имеет обратный L - 1, то системы функций {φ k } и { L φ k} одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φ k принадлежат ML . )
Рассмотрим линейное однородное уравнение
Lu = λu, (5)
где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из ML. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из ML , называются собственными значениями оператора L , а соответствующие решения — собственными элементами (функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r, 1 ≤ r ≤ ∞, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью этого собственного значения; если кратность r = 1, то λ называется простым собственным значением.
Если кратность r собственного значения λ оператора L конечна и u 1 ,..., и2 — соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация
u = c 1 u 1 + c 2 u 2 +… + cr ur
также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения
Lu = λ u + f (6)
существует, то его общее решение представляется формулой
и = и* +∑с k и k , (7)
где и* — частное решение (6) и с k, k = l,2,...,r, — произвольные постоянные.
Эрмитовы операторы
Линейный оператор L , переводящий ML СL 2 ( G ) в L2 (G), называется эрмитовым, если его область определения ML плотна в L2 (G) и для любых f и g из Ml справедливо равенство
( Lf , g ) = ( f , Lg ).
Выражения ( Lf , g ) и ( Lf , f ) называются соответственно билинейной и квадратичной формами, порожденными оператором L .
Для того чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма ( Lf , f ), f Є Ml , где Ml плотна в L2 (G), принимала только вещественные значения.
Линейный оператор L , переводящий Ml С L2 (G) в L2 (G), называется положительным, если Ml плотна в L2 (G) и
(Lf , f ) ≥ 0, f Є Ml .
В частности, всякий положительный оператор эрмитов.
Теорема. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны .
Доказательство. Пусть λ0— собственное значение, u 0— соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L , L u 0= λ0u 0. Умножая скалярно это равенство на u 0, получим
( L u 0, u 0) = ( λ0u 0, u 0) = λ0(u 0, u 0) λ0|| u 0||2 = λ0. (8)
Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма ( Lf , f ) принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ0— вещественное (неотрицательное) число.
Докажем, что любые собственные функции и 1 и и 2, соответствующие различным собственным значениям λ1 и λ2, ортогональны. Действительно, из соотношений
Lu 1= λ1и 1, Lu 2= λ2и 2,
из вещественности λ1 и λ2 и из эрмитовости оператора L получаем цепочку равенств
λ1(и 1, и 2) = ( λи 1, и 2) = ( L и 1, и 2) = (и 1, Lu 2) = (и 1,λ 2и 2) = =λ 2(и 1, и 2),
т.е. λ1(и 1, и 2) = λ 2(и 1, и 2). Отсюда, поскольку λ1 ≠ λ 2, вытекает, что скалярное произведение (и 1, и 2) равно нулю. Теорема доказана.
Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ1 ,λ2 ,..., повтори λk столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и 1, и 2 ,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и k :
Lu k = λk ,и k, k = 1,2,...
Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φ k } состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ 1 ,ψ 2 ,… линейно независимых функций из L2 (G) преобразуется в ортонормальную систему φ 1 ,φ 2, — следующим процессом ортогонализации Шмидта:
φ 1 = ψ 1 /||ψ 2 ||, φ 2 = ψ 2 – (ψ 2, φ 1 )φ 1 / || ψ 2 – (ψ 2, φ 1 )φ 1 ||
φ k = ψ k – (ψ k, φ k-1 )φ k-1 – … – (ψ k,φ 1 )φ 1 / ||ψ k – (ψ k, φ k-1 )φ k-1 – … – – (ψ k,φ 1 )φ 1 ||
При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Таким образом, если система собственных функций {ик } эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:
( Lu k, u i) = λ k(и k, u i) = λ k δki
Список литературы
1. Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.
3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.