Реферат: Теория вероятности

Индивидуальныезадания по математике

Задача 1

В урне 6 белых шаров, 11– черных. Одновременно наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, чтооба шара будут:

1) белыми, 2) одногоцвета, 3) разных цветов.

Решение

1) Вероятность того, чтоодин из вытащенных шаров будет белым равна количеству шансов вытащить белый шариз всей суммы шаров, находящихся в урне. Этих шансов ровно столько сколькобелых шаров в урне, а сумма всех шансов равна сумме белых и черных шаров.

Вероятность того, чтовторой из вытащенных шаров также будет белым равна

Так как один из белыхшаров уже вытащен.

Таким образом,вероятность того, что оба вытащенных из урны шара будут белыми равнапроизведению этих вероятностей, так как эти возможности независимы:

/>.

2) Вероятность того, чтооба вытащенных шара будут одного цвета это – вероятность того, что оба шарабудут либо белыми, либо черными. Она равна сумме вероятностей — вытащить двабелых шара или два черных шара:

/>.

3) Вероятность того, чтооба вытащенных шара будут разных цветов это – вероятность того, что первый шарбудет белым, а второй черными или того, что первый шар будет черным, авторой – белым. Она равна сумме соответствующих вероятностей.

/>.

Ответ: 1) /> 2)/> 3) />.

Задача 2

В первой урне 6 белыхшаров, 11 – черных, во второй – 5 белых и 2 – черных. Из каждой из урн наугадвынимают по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут:

1) белыми, 2) одногоцвета, 3) разных цветов.

Решение

1) Вероятность того, чтооба шара будут белыми равна произведению вероятности того, что шар вытащенныйиз первой урны будет белым на вероятность того, что шар вытащенный из второйурны также окажется белым:

/>.

3) Вероятность того, чтошар, вытащенный из первой урны будет белым, а шар, вытащенный из второй урны –черным, или наоборот – первый шар будет черным, а второй – белым, равнасумме соответствующих вероятностей:

Ответ: 1) /> 2)/> 3) />.

Задача 3

Среди 24 лотерейныхбилетов – 11 выигрышных. Найти вероятность того, что по крайней мере один из2-х купленных билетов будет выигрышным.

Решение

Вероятность того, чтохотя бы один из 24-х купленных билетов окажется выигрышным, равна разностимежду единицей и вероятностью того, что ни один из купленных билетов не будетвыигрышным. А вероятность того, что ни один из купленных билетов не будетвыигрышным равна произведению вероятности того, что первый из билетов не будетвыигрышным на вероятность того, что и второй билет не будет выигрышным:

Отсюда, вероятность того,что хотя бы один из 24-х купленных билетов окажется выигрышным:

Ответ: />

Задача 4

В ящике 6 деталей первогосорта, 5 – второго и 2 – третьего. Наугад берутся две детали. Каковавероятность того, что они обе будут одного сорта?

Решение

Искомая вероятность это –вероятность того, что обе детали будут или 1-го или 2-го или 3-го сорта и равнасумме соответствующих вероятностей:

Вероятность, что обевзятые детали окажутся первого сорта:

Вероятность, что обевзятые детали окажутся второго сорта:

Вероятность, что обевзятые детали окажутся третьего сорта:

Отсюда вероятностьвытащить 2 детали одного сорта равна:

Ответ: />

Задача 5

В течение часа 0 ≤ t ≤ 1 (t –время в часах) на остановку прибывает один и только один автобус.

Решение

Автобус может прибыть влюбой момент t, где 0 ≤ t ≤ 1 (где t –время в часах) или, что то же самое, 0 ≤ t ≤ 60 (где t – время в минутах).

Пассажир прибывает вмомент t = 0 и ожидает не более 28 минут.

Возможности прибытияавтобуса на станцию в течение этого времени или в течение остальных 32 минутравновероятны, поэтому вероятность того, что пассажиру, прибывшему на этуостановку в момент времени t = 0,придётся ожидать автобус не более 28 минут равна />.

Ответ: />

Задача 8

Вероятность попаданияпервым стрелком в мишень равна 0,2, вторым – 0,2 и третьим – 0,2. Все тристрелка одновременно произвели выстрел. Найти вероятность того, что:

1) только один стрелокпопадёт в мишень;

2) два стрелка попадут вмишень;

3) хотя бы один попадет вмишень.

Решение

1) Вероятность того, чтотолько один стрелок попадёт в мишень равна вероятности попадания в мишеньпервым стрелком и промаха вторым и третьим или попадания в мишень вторымстрелком и промаха первым и третьим или попадания в мишень третьимстрелком и промаха первым и вторым, а значит равна сумме соответствующихвероятностей.

Вероятность того, чтопервый стрелок попадёт в мишень, а второй и третий – промахнутся равнапроизведению этих вероятностей:

/>.

Аналогичные вероятностипопадания вторым стрелком в мишень и промаха первым и третьим, а такжепопадания третьим и промаха первым и вторым:

/>,

/>.

Отсюда, искомаявероятность:

/>.

2) Вероятность того, чтодва стрелка попадут в мишень равна вероятности попадания в мишень первым ивторым стрелком и промаха третьим или попадания в мишень первым итретьим стрелком и промаха вторым или попадания в мишень вторым и третьимстрелком и промаха первым, а значит равна сумме соответствующих вероятностей.

Вероятность того, чтопервый и второй стрелки попадут в мишень, а третий – промахнётся равнапроизведению этих вероятностей:

/>.

Аналогичные вероятностипопадания первым и третьим стрелком в мишень и промаха вторым, а такжепопадания вторым и третьим и промаха первым:

/>,

/>.

Отсюда, искомаявероятность:

/>.

3) Вероятность того, чтохотя бы один стрелок попадет в мишень равна разности между единицей ивероятностью того, что ни один стрелок не попадёт в мишень. Вероятность того,что ни один стрелок не попадёт в мишень равна произведению этих вероятностей:

/>.

Отсюда,

/>.

Ответ: 1) />,2) />, 3) />.

Задача 9

Студент знает 11 вопросовиз 24 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса.Найти вероятность того, что: 1) студент знает все три вопроса; 2) только двавопроса; 3) только один вопрос экзаменационного билета.

Решение

1) Вероятность того, чтостудент знает все три вопроса билета равна произведению вероятностей знаниякаждого из них. Так как все три вопроса разные и не повторяются, то:

/>.

2) Вероятность того, чтостудент знает только два вопроса билета равна вероятности того, что он знаетпервый и второй вопрос, а третий – не знает, или, что он знает первый и третийвопрос, а второй – не знает, или, что он знает второй и третий вопрос, а первый– не знает. То есть, эта вероятность равна сумме всех этих вероятностей.

Первое слагаемое этойсуммы:

/>.

Второе слагаемое этойсуммы:

/>.

И третье слагаемое этойсуммы:

/>.

Отсюда искомаявероятность:

/>.

3) Вероятность того, чтостудент знает только один вопрос из трёх равна разности единицы и вероятноститого что он не знает ни одного вопроса:

/>.

Ответ: 1) /> ,2) />, 3) />.

Задача 12

В первой урне 6 белыхшаров и 11 – черных, во второй – 5 белых и 2 – черных. Из первой урныпереложили во вторую один шар, затем из второй урны извлекли один шар. Найтивероятность того, что взятый из второй урны шар оказался: 1) белым, 2) чёрным.

Решение

1) Вероятность того, чтонаугад взятый из первой урны шар и переложенный во вторую окажется белым:

/>.

Если шар, переложенный изпервой урны во вторую, оказался белым, то белых шаров во второй урне станетшесть. Тогда, вероятность того, что взятый из второй урны шар окажется белым:

А вероятность обоих этихсобытий равна произведению этих вероятностей:

/>.

Вероятность того, чтонаугад взятый из первой урны шар и переложенный во вторую окажется чёрным:

/>.

Если шар, переложенный изпервой урны во вторую, оказался чёрным, то чёрных шаров во второй урне станеттри.

Тогда, вероятность того,что взятый из второй урны шар окажется чёрным:

/>.

А вероятность обоих этихсобытий равна произведению этих вероятностей:

/>.

Ответ: 1) />,2) /> .

Задача 13

В первой урне 6 белых и11 – черных шаров, во второй – 5 белых и 2 – черных, в третьей 7 белых шаров. Произвольновыбирают урну и из неё наугад вынимают шар. Найти вероятность того, что вынутыйшар оказался:

1) белым, 2) чёрным.

Решение

1) Вероятность выбораодной из трёх урн равна 1/3.

Вероятность вынуть белыйшар из первой урны:

Значит, вероятностьвыбрать первую урну и вытащить из неё белый шар:

/>.

Аналогично, вероятностьвыбрать вторую урну и вытащить из неё белый шар:

/>.

Вероятность выбрать третьюурну и вытащить из неё белый шар:

/>,

так как в третьей урневсе шары – белые.

Вероятность вытащитьбелый шар из наугад выбранной урны равна сумме этих вероятностей:

/>.

Вероятность выбратьпервую урну и вытащить из неё чёрный шар:

/>.

Аналогично, вероятностьвыбрать вторую урну и вытащить из неё чёрный шар:

/>.

Вероятность выбратьтретью урну и вытащить из неё чёрный шар:

/>,

так как в третьей урневсе шары – белые.

Вероятность вытащить чёрныйшар из наугад выбранной урны равна сумме этих вероятностей:

Ответ: 1) />,2) /> .

Задача 14

В одной из трёх урн 6белых и 11 – черных шаров, во второй – 5 белых и 2 – черных, в третьей 7 белыхшаров. Наугад выбирают из трёх урн и из неё снова наугад выбирают один шар. Оноказался белым. Какова вероятность того, что: 1) шар вынут из первой урны, 2) шарвынут из второй урны, 3) шар вынут из третьей урны ?

Решение

Для решения данной задачиприменим формулу Бейеса, суть которой в следующем: если до опыта вероятностигипотез Н1, Н2, … Нn были равны Р(Н1), Р(Н2),…, Р(Нn), а в результате произошло событие А, то новые(условные) вероятности гипотез вычисляются по формуле:

Где Р(Нi) – вероятность гипотезыНi, Р(А|Нi) – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Обозначим гипотезы:

Н1 –выбор первой урны, Н2 – выбор второй урны, Н3– выбор третьей урны.

До начала действий всеэти гипотезы равновероятны:

/>.

После выбора оказалось,что вытащен белый шар. Найдем условные вероятности:

/>;

/>.

1) По формуле Бейесаапостериорная (после опыта) вероятность того, что шар был вынут из первой урны,равна:

/>.

2) Аналогично,вероятность того, что шар был вынут из второй урны, равна:

/>.

3) Аналогично,вероятность того, что шар был вынут из третьей урны, равна:

/>.

Ответ:

1) /> ,

2) />,

3) /> .

Задача 15

Из 24 студентов, которыепришли на экзамен по математике, 6 подготовлены отлично, 11 – хорошо, 5 –посредственно, 2 – плохо. В экзаменационных билетах 20 вопросов. Отличноподготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный– на 16, посредственно – на 10, плохо – на 5 вопросов. Вызванный наугад студентответил на все три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этотстудент подготовлен: 1) отлично, 2) плохо.

Решение

Для решения данной задачиприменим формулу Бейеса:

Где Р(Нi) – вероятность гипотезыНi,

Р(А|Нi) – условная вероятность события А при этой гипотезе.

Обозначим гипотезы:

Н1 –студент подготовлен отлично, Н2 – студент подготовлен хорошо,

Н3 –студент подготовлен посредственно, Н4 – студент подготовленплохо.

До начала экзамена априорныевероятности этих гипотез:

/>, />, />,

/>.

После экзаменационнойпроверки одного из студентов оказалось, что он ответил на все три вопроса.Найдем условные вероятности, то есть вероятности ответить на все три вопросастудентом из каждой группы успеваемости:

/>, />,

/>, />.

1) По формуле Бейесаапостериорная (после экзамена) вероятность того, что вызванный студент былподготовлен отлично, равна:

/>.

2) Аналогично, вероятностьтого, что вызванный студент был подготовлен плохо, равна:

/>.

Ответ:

1) Вероятность того, чтовызванный студент был подготовлен отлично:

/> ,

2) Вероятность того, чтовызванный студент был подготовлен плохо:

/>,

Задача 16

Монета подбрасывается 11раз. Найти вероятность того, что герб выпадет: 1) 2 раза, 2) не более 2-х раз, 3)не менее одного и не более 2-х раз.

Решение

Если опыт проводитсяn раз, а событие при этом каждый раз появляется свероятностью р (и, соответственно, не появляется с вероятностью 1– р = q ), то вероятность появления этогособытия m раз оценивается с помощью формулыбиномиального распределения:

/>,

Где

— число сочетаний из n элементов по m.

1) В данном случае р =0,5 (вероятность выпадения герба),

q = 1 – р =0,5 (вероятность выпадениярешки),

n = 11, m = 2.

Отсюда, вероятностьвыпадения герба 2 раза:

2) в данном случаесобытие (герб) может появится 0 раз, 1 раз или 2 раза, значит искомаявероятность:

3) в этом случае событие(герб) может появится 1 раз или 2 раза, значит искомая вероятность:

Ответ:

Вероятность того, чтогерб выпадет:

1) ровно 2 раза равна

/>,

2) не более 2-х раз:

/>,

3) не менее одного и неболее 2-х раз:

/>.

Задача 17

По каналу связи передаётся11 сообщений, каждое из которых независимо от других с вероятностью р = 0,2искажается помехами. Найти вероятность того, что: 1) из 11 сообщений ровно 2будет искажено помехами,

2) все сообщения будутприняты без искажений, 3) не менее двух сообщений будет искажено.

Решение

1) здесь р = 0,2(вероятность искажения),

q = 1 – р =0,8 (вероятностьнеискажения),

n = 11, m = 2.

Отсюда,

/>.

2) Вероятность принятиявсех 11 сообщений без искажения равна произведению всех вероятностей принятиякаждого из них без искажения:

/>.

3) Искажение не менеедвух сообщений означает, что искажены могут быть два или одно или ни одногосообщения:

Ответ:

Вероятность того, что: