Реферат: Конечные группы с заданными системами слабо нормальных подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра ТВ и матстатистики
Курсовая работа
КОНЕЧНЫЕ ГРУППЫ С ЗАДАННЫМИ СИСТЕМАМИ СЛАБО НОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП
Исполнитель:
Студент группы М-32 Макарченко А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Малинковский М.Т.
Гомель 2007
Содержание
ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ВВЕДЕНИЕ
1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными.
Будем различать знак включения множеств и знак строгого включения ;
и — соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
— пустое множество;
— множество всех для которых выполняется условие ;
— множество всех натуральных чисел;
— множество всех простых чисел;
— некоторое множество простых чисел, т.е. ;
— дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число — любое число вида ;
Пусть — группа. Тогда:
— порядок группы ;
— порядок элемента группы ;
— единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
— множество всех простых делителей порядка группы ;
— множество всех различных простых делителей натурального числа ;
-группа — группа , для которой ;
-группа — группа , для которой ;
— подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
— подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
— наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
— коммутант группы , т.е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
— -ый коммутант группы ;
— наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
— -холловская подгруппа группы ;
— силовская -подгруппа группы ;
— дополнение к силовской -подгруппе в группе , т.е. -холловская подгруппа группы ;
— группа всех автоморфизмов группы ;
— является подгруппой группы ;
— является собственной подгруппой группы ;
— является максимальной подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа — неединичная собственная подгруппа;
— является нормальной подгруппой группы ;
— подгруппа характеристична в группе , т.е. для любого автоморфизма ;
— индекс подгруппы в группе ;
;
— централизатор подгруппы в группе ;
— нормализатор подгруппы в группе ;
— центр группы ;
— циклическая группа порядка ;
— ядро подгруппы в группе , т.е. пересечение всех подгрупп, сопряжённых с в .
Если и — подгруппы группы , то:
— прямое произведение подгрупп и ;
— полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
— и изоморфны.
Группа называется:
примарной, если ;
бипримарной, если .
Скобки применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
— подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
, где .
Группу называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной, если -холловская подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
метанильпотентной, если существует нормальная нильпотентная подгруппа группы такая, что нильпотентна.
разрешимой, если существует номер такой, что ;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Группа Шмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .
Минимальная нормальная подгруппа группы — неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы .
Цоколь группы — произведение всех минимальных нормальных подгрупп группы .
— цоколь группы .
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Также обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
— класс всех групп;
— класс всех абелевых групп;
— класс всех нильпотентных групп;
— класс всех разрешимых групп;
— класс всех -групп;
— класс всех сверхразрешимых групп;
Формации — это классы конечных групп, замкнутые относительно взятия гомоморфных образов и конечных подпрямых произведений.
Пусть — некоторый класс групп и — группа, тогда:
— -корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп из , для которых . Если — формация, то является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если — формация всех сверхразрешимых групп, то называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация называется насыщенной, если всегда из следует, что и .
Класс групп называется наследственным или замкнутым относительно подгрупп, если из того, что следует, что и каждая подгруппа группы также принадлежит .
Произведение формаций и состоит из всех групп , для которых , т.е. .
Пусть — некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа группы называется -абнормальной, если .
Подгруппы и группы называются перестановочными, если .
Пусть — максимальная подгруппа группы . Нормальным индексом подгруппы называют порядок главного фактора , где и , и обозначают символом .
Пусть — группа и — различные простые делители порядка группы . Тогда группа называется дисперсивной по Оре, если существуют подгруппы , такие что — силовская -подгруппа группы и подгруппа нормальна в для всех .
Введение
В своей работе Оре рассмотрел два обобщения нормальности, оба из которых вызывают неослабевающий интерес у исследователей и в наши дни. Во-первых, в работе были впервые введены в математическую практику квазинормальные подгруппы: следуя, мы говорим, что подгруппа группы квазинормальна в , если перестановочна с любой подгруппой из (т.е. для всех подгрупп из ). Оказалось, что квазинормальные подгруппы обладают рядом интересных свойств и что фактически они мало отличаются от нормальных подгрупп. Отметим, в частности, что согласно, для любой квазинормальной подгруппы имеет место , а согласно, квазинормальные подгруппы — это в точности те субнормальные подгруппы группы , которые являются модулярными элементами в решетке всех подгрупп группы .
Понятно, что если подгруппа группы нормальна в , то в всегда найдется такая подгруппа , что выполнено следующее условие:
Таким образом, условие является еще одним обобщением нормальности. Такая идея также была впервые рассмотрена в работе, где в частности, было доказано, что: Группа является разрешимой тогда и только тогда, когда все ее максимальные подгруппы удовлетворяют условию . В дальнейшем, в работе подгруппы, удовлетворяющие условию были названы -нормальными. В этой же работе была построена красивая теория -нормальных подгрупп и даны некоторые ее приложения в вопросах классификации групп с заданными системами подгрупп.
В данной диссертационной работе мы анализируем следующее понятие, которое одновременно обобщает как условие квазинормальности, так и условие -нормальности для подгрупп.
Определение. Подгруппа группы называется слабо квазинормальной в подгруппой, если существует такая подгруппа группы , что и , — квазинормальные в подгруппы.
Следующий простой пример показывает, что в общем случае слабо квазинормальная подгруппа не является ни квазинормальной, ни -нормальной.
Пример. Пусть
,
где . И пусть , . Тогда и . Пусть — группа простого порядка 3 и , где — база регулярного сплетения . Поскольку , и — модулярная группа, то квазинормальна в и поэтому подгруппа слабо квазинормальна в . Значит, подгруппа является слабо квазинормальной в , но не квазинормальной и не -нормальной в .
В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам, что говорит о несомненной актуальности данного направления. Следует отметить, что многими авторами (Асаад, Бакли, Баллестер-Болинше, Ванг, Вей, Ли, Педра-Агуэла, Рамадан, А.Н. Скиба, Сринивазан и др.) получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны. Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов независимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе такой параллелизм устраняется на основе введенного выше понятия слабой квазинормальности.
Таким образом, задача изучения групп с заданной системой слабо квазинормальных подгрупп вполне актуальна, ее реализации посвящена данная работа.
1. Определение и общие свойства слабо нормальных подгрупп
Определение. Подгруппа группы называется слабо нормальной в подгруппой, если существует такая квазинормальная подгруппа группы , что и .
Докажем ряд общих свойств слабо нормальных подгрупп.
Пусть — группа и . Тогда справедливы следующие утверждения:
(1) Пусть — нормальная в подгруппа. Тогда слабо нормальная подгруппа в группе тогда и только тогда, когда — слабо нормальная подгруппа в группе .
(2) Если — слабо нормальная в подгруппа, то — слабо нормальная в подгруппа.
(3) Пусть — нормальная в подгруппа. Тогда для всех слабо нормальных в подгрупп таких, что , — слабо нормальная подгруппа в группе .
Доказательство. (1) Пусть — слабо нормальная в подгруппа и — такая квазинормальная в подгруппа, что
Тогда , — квазинормальная в подгруппа и . Значит, — слабо нормальная в подгруппа.
Пусть теперь, для некоторой квазинормальной в подгруппы мы имеем и
Ясно, что
Поскольку
то
и — квазинормальные в подгруппы. Следовательно, — слабо нормальная в подгруппа.
Утверждение (2) очевидно.
(3) Пусть — слабо нормальная подгруппа в группе и — квазинормальная в подгруппа такая, что и . Ясно, что и
Значит, слабо нормальна в и ввиду (1), — слабо нормальная в подгруппа.
2. Конечные группы со слабо нормальными подгруппами
В данном разделе мы докажем некоторые критерии разрешимых, метанильпотентных, дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Следующая теорема доказывается аналогично теореме 3.5.1.
Группа разрешима тогда и только тогда, когда , где , — подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .
Пусть — группа тогда следующие утверждения эквивалентны:
(1) — разрешима;
(2) , где , — подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо квазинормальны в ;
(3) , где , — подгруппы группы такие, что каждая максимальная подгруппа из и каждая максимальная подгруппа из слабо нормальны в .
Группа метанильпотентна тогда и только тогда, когда , где подгруппа -квазинормальна в , — нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .
Доказательство. Допустим, что , где — -квазинормальна в , — нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Покажем, что группа метанильпотентна. Предположим, что это не верно и пусть — контрпример минимального порядка. Тогда справедливы следующие утверждения.
(1) не является нильпотентной группой .
Предположим, что нильпотентна. Так как ввиду леммы (3), субнормальна, то содержится в некоторой нильпотентной нормальной подгруппе из по лемме (2). Тогда
нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (1).
(2) .
Допустим, что . Тогда ввиду леммы, нильпотентна, что противоречит (1). Значит, мы имеем (2).
(3) Если — абелева минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в , то метанильпотентна .
Пусть — -группа и — силовская -подгруппа в . Тогда и поэтому по лемме каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Поскольку по лемме, -квазинормальна в ,
то условия теоремы справедливы для . Так как , то ввиду выбора группы , метанильпотентна.
(4) Условия теоремы справедливы для (это проямо следует из леммы ).
(5) разрешима .
Если , то метанильпотентна по (4)и выбору группы . Пусть теперь . Предположим, что для некоторой силовской подгруппы из мы имеем . Тогда ввиду (3), разрешима. Пусть теперь для каждой силовской подгруппы группы . Тогда по условию каждая силовская подгруппа из имеет квазинормальной дополнение в и поэтому нильпотентна. Полученное противоречие в выбором группы доказывает (5).
(6) В группе имеется в точности одна минимальная нормальная подгруппа , содержащаяся в .
Пусть — минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Тогда абелева согласно (5), и поэтому ввиду (3), метанильпотентна. Так как класс всех метанильпотентных групп. Кроме того, так как класс всех метанильпотентных групп является насыщенной формацией (см. ), то — единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в .
(7) Если -группа, то каждая силовская -подгруппа из , где , имеет квазинормальное дополнение в .
Пусть — силовская -подгруппа в , где . Тогда ввиду (6), . По условию, слабо нормальна в и поэтому имеет квазинормальную подгруппу , такую что и
Заключительное противоречие .
Пусть — силовская -подгруппа в и . Тогда
По условию имеет квазинормальную подгруппу , такую что и
Тогда
и поэтому — дополнение для в , которое является квазинормальной в подгруппой. Если — -подгруппа из , где , то ввиду (7), имеет дополнение в , которое является квазинормальной подгруппой (см. доказательство утверждения (3) леммы ). Тогда по лемме, нильпотентна и поэтому метанильпотентна. Полученное противоречие доказывает метанильпотентность группы .
Обратно, предположим, что метанильпотентна. Покажем, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в . Предположим, что это не верно и пусть — контрпример минимального порядка. Тогда имеет силовскую подгруппу , которая не является слабо нормальной в . Пусть — произвольная минимальная нормальная подгруппа в и — подгруппа Фиттинга группы . Предположим, что . Тогда слабо нормальна в и поэтому по лемме (1), слабо нормальна в , противоречие. Значит, и поэтому
Так как по условию метанильпотентна и — силовская подгруппа в , то имеет нормальное дополнение в . Но поскольку и — -группы, то — нормальное дополнение для в . Следовательно, слабо нормальна в . Полученное противоречие показывает, что каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .
Пусть — группа тогда следующие утверждения эквивалентны:
(1) — метанильпотентна;
(2) , где подгруппа субнормальна в , — абелева холлова подгруппа в и каждая силовская подгруппа из слабо квазинормальна в ;
(3) , где подгруппа -квазинормальна в , — нильпотентна и каждая силовская подгруппа из слабо нормальна в .
Пусть , где подгруппа -квазинормальна в , нильпотентна. Предположим, что любая максимальная подгруппа каждой нециклической подгруппы из слабо нормальна в . Тогда сверхразрешима.
Доказательство. Предположим, что эта теорема не верна и пусть — контрпример минимального порядка. Тогда:
(1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , сверхразрешима .
Пусть , где . Тогда
где нильпотентна и -квазинормальна в . Так как по лемме (2), любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1).
(2) Пусть — неединичная нормальная подгруппа в . Предположим, что -группа. Допустим, что содержит силовскую -подгруппу из , или циклична, или . Тогда сверхразрешима.
Если , то
нильпотентна. Пусть теперь . Так как , то нам только нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что
где -квазинормальна в и нильпотентна. Пусть силовская -подгруппа из и — произвольная максимальная подгруппа в . Пусть — силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что — силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы. Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что — максимальная в подгруппа. Так как и , то
Предположим, что для некоторой подгруппы из мы имеем
где
Тогда
Так как — максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то
что противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем
противоречие. Следовательно, — максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,
слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для .
(3) и сверхразрешима .
По выбору группы , и поэтому сверхразрешима согласно (1).
(4) — разрешимая группа .
По условию -квазинормальна в и поэтому по лемме (3), содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как группа нильпотентна, то разрешима.
(5) Если — простое число и , то .
Пусть . Тогда ввиду (2), сверхразрешима. Если — множество всех простых делителей порядка группы , то по лемме (1), , где — нормальная -подгруппа группы и поэтому
сверхразрешима. Но тогда
сверхразрешима. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (5).
(6) .
Допустим, что . Тогда по лемме, нильпотентна. Пусть — силовская -подгруппа из . Так как ввиду леммы (3) субнормальна в , то субнормальна в . Тогда , согласно лемме (1). Но тогда ввиду (2), сверхразершима и поэтому , по выбору группы . Так как и
нильпотентно, то — силовская -подгруппа из . Пусть — холлова -подгруппа из и . По лемме, нормальна в и поэтому . Допустим, что для некоторого простого делителя порядка , отличного от , мы имеем . Тогда нормальна в и поэтому — нормальная подгруппа в , поскольку . Но тогда , что противоречит (5). Следовательно, и поэтому . Согласно теореме, сверхразрешима и поэтому — абелева группа, экспонента которой делит , согласно леммы. Но тогда — абелева группа экспоненты, делящей и поэтому сверхразрешима, согласно леммы. Полученное противоречие с выбором группы доказывает (6).
Заключительное противоречие .
Пусть — минимальная нормальная подгруппа в , содержащаяся в . Пусть — -группа и — силовская -подгруппа группы . В силу (2), сверхразрешима и поэтому — единственная минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Ясно, что и . Значит, по лемме для некоторой максимальной подгруппы из мы имеем . Ясно, что и поэтому по условию имеет дополнение в , которое является квазинормальной в подгруппой. Тогда
и поэтому . Но тогда
и поэтому, ввиду минимальности , . Ввиду (5), имеет холлову -подгруппу. Так как в силу леммы (3), субнормальна в , то каждая холлова -подгруппа группы содержится в . Следовательно, — -группа. Отсюда следует, что
сверхразрешима. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Группа дисперсивна по Оре тогда и только тогда, когда , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в .
Доказательство. Пусть , где подгруппа квазинормальна в , дисперсивна по Оре и каждая максимальная подгруппа любой нециклической силовской подгруппы группы слабо нормальна в . Покажем, что группа дисперсивна по Оре. Предположим, что это не верно и пусть — контрпример минимального порядка. Тогда:
(1) Каждая собственная подгруппа группы , содержащая , дисперсивна по Оре .
Пусть , где . Тогда
где дисперсивна по Оре и квазинормальна в . Так как по лемме (2) любая максимальная подгруппа каждой нециклической силовской подгруппы из слабо нормальна в и , то по выбору группы мы имеем (1).
(2) Пусть — неединичная нормальная подгруппа в , являющаяся -группа для некоторого простого числа . Допустим, что либо содержит силовскую -подгруппу из , либо циклична, либо . Тогда дисперсивна по Оре.
Если , то
дисперсивна по Оре. Пусть теперь . Так как , то нам лишь нужно показать, что условия теоремы справедливы для . Ясно, что
где квазинормальна в и дисперсивна по Оре. Пусть силовская -подгруппа из и — произвольная максимальная подгруппа в . Пусть — силовская -подгруппа из , такая что . Ясно, что — силовская -подгруппа группы . Значит, для некоторой силовской -подгруппы из . Предположим, что не является циклической подгруппой. Тогда не циклична. Покажем, что слабо нормальна в . Если , то это прямо следует из леммы. Допустим, что либо силовская -подгруппа из циклическая, либо . Тогда . Покажем, что — максимальная в подгруппа. Так как и , то
Предположим, что для некоторой подгруппы из мы имеем
где
Тогда
Так как — максимальная в подгруппа, то либо , либо . Если , то , что противоречит выбору подгруппы . Значит, и поэтому мы имеем
противоречие. Следовательно, — максимальная в подгруппа и по условию слабо нормальна в . Значит,
слабо нормальна в . Следовательно, условия теоремы справедливы для .
(3) Если — простое число и , то .
Пусть
Тогда ввиду (2), дисперсивна по Оре. С другой стороны, если — множество всех простых делителей , то ввиду леммы (3) и леммы, , где — нормальная -подгруппа в и поэтому
дисперсивна по Оре. Но тогда
дисперсивна по Оре, противоречие. Значит, справедливо (3).
(4) разрешима.
По условию квазинормальна в и поэтому ввиду леммы (3) и леммы, содержится в некоторой разрешимой нормальной подгруппе группы . Так как
дисперсивна по Оре, то разрешима.
(5) .
Предположим, что . Тогда согласно лемме, нильпотентна. Пусть — силовская -подгруппа группы . Поскольку субнормальна в , то субнормальна в . Значит, по лемме, . Но ввиду (2), дисперсивна по Оре и поэтому по выбору группы , . Пусть — наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть — наибольший простой делитель , — силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Если , то — силовская -подгруппа группы и поэтому дисперсивна по Оре. Отсюда следует, что дисперсивна по Оре, противоречие. Следовательно, . Но тогда -группа. Пусть — силовская -подгруппа в . Тогда — силовская -подгруппа в . Поскольку — подгруппа группы и ввиду (1), дисперсивна по Оре, то . Так как дисперсивна по Оре, то и поэтому . Следовательно, группа дисперсивна по Оре. Полученное противоречие доказывает (5).
Заключительное противоречие .
Пусть — минимальная нормальная подгруппа группы , содержащаяся в . Пусть — -группа и — силовская -подгруппа группы . Ввиду (2), дисперсивна по Оре. Пусть — наименьший простой делитель . Тогда имеет нормальную максимальную подгруппу , такую что и . Пусть — наибольший простой делитель , — силовская -подгруппа группы . Тогда ввиду (1), нормальна в и поэтому . Рассуждая как выше видим, что . Но тогда -группа. Значит, и поэтому дисперсивна по Оре. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.
Заключение
В последние годы значительно возрос интерес к квазинормальным и -нормальным подгруппам. Следует отметить, что получено большое число теорем связанных с изучением групп, те или иные выделенные системы подгрупп которых -нормальны или квазинормальны в группе . Не смотря на тот факт, что квазинормальность и -нормальность являются вполне различными обобщениями нормальности, в настоящее время получено много аналогичных результатов не зависимо для квазинормальных и -нормальных подгрупп. В данной работе мы устраняем такой параллелизм на основе введенного понятия слабой квазинормальности.
Основные результаты данной работы:
— доказаны новые критерии принадлежности группы насыщенной формации;
— найдены описания разрешимых и метанильпотентных групп по свойствам их максимальных и силовских подгрупп;
— получены описания дисперсивных по Оре и сверхразрешимых групп по свойствам максимальных подгрупп силовских подгрупп;
— найдены критерии разрешимости и метанильпотентности групп в терминах слабо нормальных подгрупп.
Работа имеет теоретический характер. Результаты курсовой работы могут быть использованы при изучении слабо нормальных, квазинормальных и слабо квазинормальных подгрупп.
Литература
1.Боровиков, М.Т. Группы с перестановочными подгруппами взаимно простых порядков / М.Т. Боровиков // Вопросы алгебры. Выпуск 5. — Минск: Университетское, 1990. — С. 80-82.
2.Боровиков, М.Т. О -разрешимости конечной группы / М.Т. Боровиков // Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп / Под редакцией М.И. Салука. — Минск: Наука и техника, 1986. — С. 3-7.
3.Го Веньбинь. -накрывающие системы подгрупп для классов -сверхразрешимых и -нильпотентных конечных групп / Го Веньбинь, К.П. Шам, А.Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. — 2004. — Т. 45, № 3. — С. 75-92.
4.Пальчик, Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой / Э.М. Пальчик // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. — 1968. — № 1. — С. 45-48.
5.Пальчик, Э.М. О конечных группах с перестановочными подгруппами / Э.М. Пальчик // Докл. АН БССР. — 1967. — Т. 11, № 5. — С. 391-392.
6.Пальчик, Э.М. О группах, все -максимальные подгруппы которых перестановочны с силовской подгруппой. II / Э.М. Пальчик, Н.П. Конторович // ИАН БССР. Сер. физ.-матем. наук. — 1969. — № 3. — С. 51-57.
7.Подгорная, В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп / В.В. Подгорная // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.-матэм. навук. — 2000. — № 4. — С. 22-25.
8.Подгорная, В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхразрешимыми подгруппами / В.В. Подгорная // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. — 1999. — № 4(14). — С. 80-82.
9.Поляков, Л.Я. Конечные группы с перестановочными подгруппами / Л.Я. Поляков // Конечные группы. — Минск: Наука и техника, 1966. — С.75-88.
10.Самусенко (Подгорная), В.В. О конечных группах с заданными минимальными добавлениями к подгруппам / В.В. Самусенко // Вопросы алгебры. Выпуск 13. — 1998. — С. 177-182.