Реферат: Доказательство великой теоремы Ферма для четных показателей степени
Файл : FERMA-2mPF-for
© Н . М . Козий , 2007
Авторские права защищены свидетельствами Украины
№ 27312 и № 28607
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ
Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение(http://soluvel.okis.ru/evrika.html):
А n + В n = С n /1/
где n — целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.
Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:
А n = С n -В n /2/
Пусть показатель степени n =2 m. Тогда уравнение /2/ запишется следующим образом:
А2 m = С2 m –В2 m /3/
Для доказательства великой теоремы Ферма используем алгебраическое доказательство теоремы Пифагора.
АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА (Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах)
Теорема Пифагора формулируется следующим образом: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
С2 =А2 + В2 , /4/
где: С – гипотенуза; А и В – катеты.
Существуют прямоугольные треугольники, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами. Такие числа называются пифагоровыми.
Рассматривая уравнение теоремы Пифагора как алгебраическое уравнение, докажем, что существует бесконечное количество прямоугольных треугольников, в которых их стороны выражаются целыми числами или, что одно и тоже, уравнение /4/ имеет бесконечное количество решений в целых числах.
Суть теоремы Пифагора не изменится, если уравнение /4/ запишем следующим образом:
А2 = С2 –В2 /5/
Для доказательства теоремы Пифагора методами элементарной алгебры используем два известные в математике метода решения алгебраических уравнений: метод решения параметрических уравнений и метод замены переменных.
Уравнение /5/ рассматриваем как параметрическое уравнение с параметром A и переменными B иС. Уравнение /5/ в соответствии с известной зависимостью для разности квадратов двух чисел запишем в виде:
А2 =( C - B )∙( C + B ) /6/
Используя метод замены переменных, обозначим:
C - B = M /7/
Из уравнения /7/ имеем:
C = B + M /8/
Из уравнений /6/, /7/ и /8/ имеем:
А2 = M ∙ ( B + M + B )= M ∙(2 B + M ) = 2 BM + M 2 /9/
Из уравнения /9/ имеем:
А2 — M 2 =2 BM /10/
Отсюда: B = /11/
Из уравнений /8/ и /11/ имеем:
C= /12/
Таким образом: B =/ 13/
C /14/
Из уравнений /11/ и /12/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В иС были целыми, является делимость числа A 2 на число M, т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А или A 2 .
Числа А и M должны иметь одинаковую четность .
По формулам /13/ и /14/ определяются числа B иC как переменные, зависящие от значения числа А как параметра и значения числа M .
Из изложенного следует: 1. Квадрат простого числа A равен разности квадратов одной пары чисел B иC ( приM =1). 2. Квадрат составного числа A равен разности квадратов одной пары или нескольких пар чисел B иC . 3. Квадрат числа Am равен разности квадратов нескольких пар чисел. 4. Все числа A > 2 являются пифагоровыми.
Таким образом, существует бесконечное количество троек пифагоровых чисел А, В и С и, следовательно, бесконечное количество прямоугольных треугольников, у которых стороны А, В и С выражаются целыми числами.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Вариант 1
Уравнение /3/ с учетом уравнений /5/ и /6/ запишем следующим образом:
А2 m = С2 m –В2 m =(С m –В m )∙(С m +В m ) /15/
Тогда в соответствии с уравнениями /13/ и /14/ запишем:
Bm = /16/
Cm /17/
Из уравнений /16/ и /17/ следует, что необходимым условием для того чтобы числа В иС были целыми, является делимость числа A 2 m на число M, т. е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа А или A 2 m.Следовательно, число A 2 m должно быть равно:
A 2 m = M · D , /18/
где D – целое число.
Тогда: Bm = /19/
А число Cm с учетом уравнения /8/ равно:
Cm = Bm + M = /20/
Тогда из уравнений /19/ и /20/ следует:
B = /21/
C /22/
Если допустить, что В – целое число, то из уравнения /22/ следует, что число С не может быть целым числом, так как сомножители в скобках в подкоренных выражениях в уравнениях /21/ и /22/ отличаются всего на 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА
Вариант 2
Выше в доказательстве теоремы Пифагора доказано, что все натуральные числа являются пифагоровыми. Следовательно, все натуральные числа распределяются на тройки пифагоровых чисел и, следовательно, все тройки пифагоровых чисел удовлетворяют уравнению /4/:
С2 =А2 + В2 /23/
Пифагоровы числа (А, В, С) могут быть истолкованы как длины сторон прямоугольного треугольника, а их квадраты могут быть истолкованы как площади квадратов, построенных на гипотенузе и катетах этого треугольника. Умножив приведенное уравнение на С, получим:
С3 =А2 ∙ С+ В2 · С /24/
Из уравнения /24/ следует, что объем куба раскладывается на два объема двух параллелепипедов. Поскольку очевидно, что в уравнении /23/ А< C иВ< C , то из уравнения/24/ следует:
С3 >А3 + В3 /25/
На всем множестве троек пифагоровых чисел ( а все натуральные числа образуют тройки пифагоровых чисел) при показателе степени n =3 не может быть ни одного решения уравнения /1/:
А n + В n = С n
Следовательно, на всем множестве натуральных чисел невозможно куб разложить на два куба.
Умножив уравнение /23/ на С2, получим:
С2 ∙С2 =А2 ·С2 + В2 ∙С2 /26/
Все члены этого уравнения представляют собой объемы параллелепипедов:
параллелепипед С2 ∙С2 имеет в основании квадрат со стороной С и высоту С2 ;
параллелепипед А2 ∙С2 имеет в основании квадрат со стороной А и высоту С2 ;
параллелепипедВ2 ∙С2 имеет в основании квадрат со стороной В и высоту С2 .
Следовательно, в соответствии с уравнением /26/ объем одного параллелепипеда разложился на сумму объемов двух параллелепипедов.
Поскольку, как показано выше, А< C иВ< C , то из уравнения/26/ следует:
С4 >А4 + В4 /27/
В общем случае уравнение /26/ можно записать следующим образом:
С2 ∙С n -2 =А2 ·С n -2 + В2 ∙С n -2 /28/
С n =А2 ·С n -2 + В2 ∙С n -2 /29/
Следовательно, в соответствии с уравнениями /28/ и /29/ объем одного параллелепипеда разложился на сумму объемов двух параллелепипедов. Поскольку, как показано выше, А< C иВ< C , то из уравнения/29/ следует:
С n >А n + В n /30/
Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при четных показателях степени.