Реферат: Доказательство великой теоремы Ферма

Файл: FERMA-FIN © Н. М. Козий, 2008

СвидетельстваУкраины № 27312 и 28607

о регистрацииавторского права

ДОКАЗАТЕЛЬСТВОВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

ДОКАЗАТЕЛЬСТВОВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ НЕЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ

Великая теорема Фермаформулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

Аn+ Вn<sup/>= Сn*                                    /1/

где n- целое положительное число, большеедвух, не имеет решения в целых положительных числах A, B, С.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Доказательство строим,исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой оединственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения напростые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показателистепени n. Рассмотрим случай, когда показатель степени n- нечетное число. В этом случаевыражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

Аn + Вn = Сn = (A+B)[An-1-An-2·B +An-3·B2-…-A·Bn-2+Bn-1] /2/

Полагаем, что A и B – целыеположительные числа.

Из уравнения /2/ следует,что при заданных значениях чисел A и B множитель (A+B) имеетодно и тоже значение при любых значениях показателя степени n.

* Числа А, В и С должны быть взаимно простымичислами.

Уравнение /2/действительно при любом нечетном значении показателя степени n. Следовательно, из уравнения /1/ при n =1имеем:

А1 + В1 =С1

А + В<sup/>= С<sup/>/3/

Следовательно, число (А + В) является делителем числа С<sup/>.

Допустим, что число С — целое положительное число. Тогда с учетом принятыхусловий и основной теоремы арифметики должно выполнятьсяусловие:

Сn = An + Bn =(A+B)n∙Dn, /4/

где число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /4/ следует:

/> /5/

Из уравнения /4/ такжеследует, что число [Cn<sup/>= An<sup/>+ Bn] при условии, что число С – целоечисло, должно делиться на число (A+B)n<sup/>. Однако известно, что:

An<sup/>+ Bn < (A+B)n /6/

Следовательно:

/> — дробное число, меньшее единицы. /7/

/> — дробное число.

Отсюда следует, что принечетном значении показателя степени n уравнение/1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

Таким образом, великаятеорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетномпоказателе степени n >2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВОВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА ДЛЯ ЧЕТНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СТЕПЕНИ

Доказательство строиманалогично вышеизложенному доказательству для нечетных показателей степени.Любое четное число, за исключением числа p=2q, является произведением числа p на нечетные, простые или составные,числа. Следовательно, четный показатель степени можно записать следующимобразом:

n= pkm = 2q<sup/>∙km, /8/

где: p=2q;

q =1, 2, 3,…;

k =1,3,5,7,9,…;

m=3,5,7,9,11,…

Тогда уравнение /1/ можнозаписать следующим образом:

Сn = An + Bn =Apkm+ Bpkm= (Apk )m + (Bpk )m/9/

Поскольку показательстепени m – нечетное число, то алгебраическоевыражение /9/ преобразуется аналогично уравнению /2/ следующим образом:

Cn<sup/>= Cpkm<sup/>= (Apk<sup/>+ Bpk)∙[ (Apk<sup/>)m-1 — (Apk<sup/>)m-2 ∙Bpk<sup/>+

+ (Apk<sup/>)m-3 ∙(Bpk<sup/>)2 -…- Apk<sup/>∙(Bpk<sup/>)m-2 + (Bpk<sup/>)m-1 ] /10/

При этом уравнения /4/ и/5/ преобразуются следующим образом:

Cn = Cpkm<sup/>= (Apk<sup/>+ Bpk)m<sup/>∙ Dpkm /11/

Dpkm= (Apkm + Bpkm) / (Apk + Bpk )m /12/

В соответствии суравнением /6/:

(Apkm +Bpkm) < (Apk+ Bpk )m /13/

Следовательно, число Dpkm – дробное число, меньшее единицы.

Отсюда следует, что и причетном показателе степени n= 2q<sup/>∙km уравнение /1/ не имеет решения в целых положительных числах.

Таким образом, великаятеорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах, как при нечетном,так и при четном показателе степени n >2 и не равномn ≠2q.

Для показателя степени n =2q существует иное доказательство великой теоремы Ферма.

Автор: НиколайМихайлович Козий,

инженер-механик