Реферат: Математическая логика

Введение

Тема контрольной работы«Математическая логика».

БУЛЬ или БУЛ, а также БУУЛ,Джордж (1815-1864) – английский математик, который считается основоположником математическойлогики.

Математическая логика –это раздел математики, посвященный анализу методов рассуждений, при этом впервую очередь исследуются формы рассуждений, а не их содержание, т.е.исследуется формализация рассуждений.

Формализация рассужденийвосходит к Аристотелю. Современный вид аристотелева (формальная) логикаприобрела во второй половине XIX века в сочинении Джорджа Буля “Законы мысли”.

Интенсивно математическаялогика начала развиваться в 50-е годы XX века в связи с бурным развитиемцифровой техники.

1. Элементы математическойлогика

Основными разделами математическойлогики являются исчисление высказываний и исчисление предикатов.

Высказывание – есть предложение,которое может быть либо истинно, либо ложно.

Исчисление высказываний –вступительный раздел математической логики, в котором рассматриваются логическиеоперации над высказываниями.

Предикат – логическая функцияот п переменных, которая принимает значения истинности или ложности.

Исчисление предикатов –раздел математической логики, объектом которого является дальнейшее изучение иобобщение исчисления высказываний.

Теория булевых алгебр (булевыхфункций) положена в основу точных методов анализа и синтеза в теории переключательныхсхем при проектировании компьютерных систем.

1.1 Основные понятия алгебрылогики

Алгебра логики – раздел математическойлогики, изучающий логические операции над высказываниями.

В алгебре логики интересуютсялишь истинностным значением высказываний. Истинностные значения принято обозначать:

1 (истина) 0 (ложь).

Каждой логической операциисоответствует функция, принимающая значения 1 или 0, аргументы которой такжепринимают значения 1 или 0.

Такие функции называются логическимиили булевыми, или функциями алгебры логики (ФАЛ). При этом логическая (булева) переменнаяxможет принимать только два значения: />.

Таким образом, /> - логическая функция,у которой логи-ческие переменные /> являются высказываниями. Тогдасама логическая функция /> является сложным высказыванием.

В этом случае алгебрулогики можно определить, как совокупность множества логических функций с заданнымив нем всевозможными логическими операциями. Таким логическим операциям, как конъюнкция(читается И), дизъюнкция (ИЛИ), импликация, эквивалентность, отрицание(НЕ), соответствуют логические функции, для которых приняты обозначения />(&, ·), />~, – (/>), и имеет местотаблица истинности:

/>

/>

/>

/>

/>

/>

x~y

Это табличный способ заданияФАЛ. Наряду с ними применяется задание функций с помощью формул в языке,содержащем переменные x, y, …, z (возможно индексированные) и символы некоторыхконкретных функций – аналитический способ задания ФАЛ.

Наиболее употребительным являетсяязык, содержащий логические символы /> ~, –. Формулы этого языкаопределяются следующим образом:

1) все переменные есть формулы;

2) если Pи Q – формулы, то /> P ~ Q,/> -фор-мулы.

Например, выражение />~/> — формула. Если переменнымx, y, z придать значения из двоичного набора 0, 1 и провести вычисленияв соответствии с операциями, указанными в формуле, то получим значение 0 или 1.

Говорят, что формула реализуетфункцию. Так формула />~/>реализует функцию h(x, y, z):