Реферат: Основы теории вероятности
Цельпособия
Цельсоздания данного пособия – на разных задачах, имеющих вероятностный характер,показать наиболее типичные алгоритмы их решения. С тем, чтобы не стольконаучить студента решать подобные задачи, сколько пробудить в нём интерес ктеории вероятности.
Набазе этого материала можно решать более сложные задачи теории вероятности.
Пособиебудет полезным для самостоятельной работы студентов любых курсовспециальностей: экономика, менеджмент, психология.
Раздел1. Элементыкомбинаторики
Соединения – это группыэлементов некоторого конечного множества.
Вэлементарной алгебре рассматриваются 3 вида соединений: размещения,перестановки и сочетания [2]-[5]. Остановимся на вопросе о подсчёте числа такихкомбинаций.
Размещения –упорядоченные m-элементные подмножества данного множества из n элементов(m<n), отличающиеся друг от друга порядком следования элементов или хотя быодним элементом. Например, из 3-х цифр 7,8,9 можно составить 3 числа по однойцифре: 7, 8, 9, – шесть чисел по 2 цифры:
/>
Число всех возможныхкомбинаций из n элементов по m обозначается />(arrangement(фр.)- размещение) и вычисляется по формуле:
/> />
Перестановки – упорядоченныеn-элементные соединения из n элементов данного множества, отличающиеся лишьпорядком элементов. Число перестановок из n элементов
/> (1.2)
Например,
/>
/>/>
/> и т.д.
Сочетания –неупорядоченные m-элементные соединения из n элементов данного множества,отличающиеся хотя бы одним элементом. Число различных сочетаний из n элементовпо m обозначается символом /> (combinare(лат.) — соединять).
/> (1.3)
Например,
/>
/>Используя основное свойство числа сочетаний />, мы упростим вычисления
/>.
Кроме этого свойства числа сочетаний часто используется следующее:
/>.
Кроме того, принята, поопределению, запись:
/>
Задачи
Задача №1. В розыгрыше первенства страны пофутболу приняло участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределенызолотые и серебряные медали?
Решение. Золотую медаль может получить однаиз 16 команд. После чего одна из 15 команд может иметь серебряную медаль. Общеечисло способов, которыми могут быть распределены золотая и серебряная медали,равно /> (правило произведения).
Задача №2. В кафе предлагают 5 первых блюд, 6вторых и 4 третьих. Сколькими способами можно составить обед?
Решение. Согласно правилу произведения числоспособов равно
/>.
Задача №3. В классе изучают 10 предметов. Впонедельник 6 уроков (все уроки разные). Сколькими способами можно составитьрасписание на понедельник?
Решение. Здесь нужно воспользоваться формулойразмещения из 10 элементов по 6:
/>.
Задача №4. Сколькими способами можно разделить 6шоколадок 14 лицам? (1 место – 1 плитка).
Решение.
1.Все плитки различны.Число способов равно числу размещений из 14 по 6:
/>.
2.Все плитки одинаковы.Число способов равно числу сочетаний из 14 по 6:
/>
Задача №5. В группе 20 мальчиков и 20 девочек.Все умеют петь, танцевать, декламировать. Сколькими способами можно составитьдуэты из учащихся групп?
Решение. Число способов выбрать из 20мальчиков певца, танцора и декламатора равно числу размещений из 20 по 3 — />. Аналогично из 20 девочек:/>. Общее число способоввыбора дуэтов певцов, танцоров и декламаторов по правилу произведения равно /> способов.
Задача №6. Необходимо укомплектовать экипажкосмического корабля в составе: командир корабля, I его помощник, II егопомощник, 2 бортинженера, 1 врач. Командующая тройка может быть отобрана из 25готовящихся к полёту лётчиков; 2 бортинженера – из 20 специалистов, в совершенствезнающих устройство космического корабля; врач – из числа 8 медиков. Сколькимиспособами можно укомплектовать экипаж корабля?
Решение.
/>.
Задача №7. Из 30 последовательных натуральных чисел: 1, 2, 3,… 30 выбирают 3 числа так, чтобы их сумма была чётной. Сколько способов такоговыбора?
Решение. Сумма трёх чисел чётная, если все оничётные или из трёх 2 нечётные и 1 чётное. Например,
2 + 4 + 6 =12 и 3 + 5 + 2= 10.
Следовательно,число способов необходимого выбора равно сумме числа сочетаний из 15 чётныхчисел по 3 и числа сочетаний из 15 нечётных чисел по 2, умноженного на числочётных, т.е. 15.
/>.
Задача №8. Сколькими способами можно расположитьна шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?
Решение. Один из способов показан на рисунке,а общее число способов равно числу перестановок из восьми:
Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξ Ξрис.1
/>
Задача №9. На тренировках занимаются 12баскетболистов. Сколько разных стартовых пятёрок может образовать тренер?
Решение. Т.к. нас интересует только состав, тоимеем:
/>
Раздел 2. Классическое определение вероятности(теория урн)
Вероятностью Р(А) событияА называется отношение числа m результатов (исходов) эксперимента,благоприятствующих появлению события А, к числу n всех равновозможныхрезультатов эксперимента:
/> (2.1)
При этом />.
Например, вероятностьвыпадения числа при одном бросании правильной монеты равна 1/2.
Задачи
Используя формулы ирезультаты решения задач раздела 1, решим задачи на вычисление вероятностисобытия (по классическому определению).
Задача №10. В урне 3 синих, 8 красных и 9 белыхшаров, не различимых на ощупь. Шары тщательно перемешаны. Наудачу достают 1шар. Найти варианты событий: извлечённый шар красный (событие А), синий(событие B), белый (событие С).
Решение. Всего исходов эксперимента,состоящего в извлечении одного шара, 20=3+8+9, т.е. в формуле (2.1), n=20.Событию А благоприятствует 8 исходов, т.е. mА=8, аналогично mВ=3,mС=9.
По формуле(2.1) имеем:
/>
Примечание. Если сложить полученныевероятности, то получим 1, т.е. Р(А) + Р(В) + Р(С) = 1, что говорит о том, что А,В и С составляют полную группу событий (см. раздел 3).
Задача №11. В расписании 3 лекции по разнымпредметам. Всего на курсе изучается 10 предметов. Какова вероятность того, чтостудент, не знакомый с расписанием, угадает его, если все варианты составлениярасписания на день равновозможные.
Решение. Всего комбинаций из 3-х предметов, выбранныхиз 10 и отличающихся друг от друга хоть одним предметом или порядком ихследования, т.е. размещений из десяти элементов по три, можно получить:
/>.
Нам нужна только однакомбинация /> вероятность угадатьрасписание:
/>.
Задача №12. На 8-ми одинаковых карточках написаны2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13. Найти вероятность того, что образованная из 2-хчисел дробь сократима.
Решение. Всех исходов столько, сколько естьвариантов выбора двух карточек из 8 одинакового формата Þ />.Из них только /> карточек благоприятствуютсобытию А, т.к. только 5 чисел 2, 4, 6, 8, 12 сократимы Þ />.
/> .
Задача №13. Из 60 экзаменационных вопросовстудент подготовил 50. Найти вероятность того, что вытянутый билет из 2вопросов будет состоять из подготовленных вопросов.
Решение.
/>
Задача №14. Из 30 карточек с буквами русскогоалфавита наудачу выбирают 4 карточки. Чему равна вероятность того, что эти 4карточки в порядке выхода составят слово «небо»?
Решение.
/>/>/>15/>.
Задача №15. На полке расставлено наудачу 10 книг.Определить вероятность того, что 3 определённые книги окажутся рядом.
Решение.
/>.
Пояснение. При вычислении m три указанные книгипринимаем за одну.
Задача №16. В лотерее 1000 билетов. Из них 500выигрывают, 500 проигрывают. Куплено 2 билета. Найти вероятность того, что обабилета выиграют.
Решение. Пусть случайноесобытие А={2 билетавыигрывают}, тогда:
/>
Задача №17. Наудачу выбирается 5-тизначное число.Какова вероятность события:
А = {число симметричноотносительно центральной цифры};
В = {число кратно 5};
С = {число состоит изнечётных цифр}.
Решение. Всего пятизначных чисел: /> (правило произведения).
/>
Задача №18. В коробке 15 одинаковых изделий, 5 изних окрашены. Наугад извлекают 3 изделия. Найти вероятность того, что
a) все 3 изделияокрашены;
b) одно изделиеокрашено.
Решение. Рассмотрим события:
А1 = {все 3изделия окрашены};
А2 = {из всех3 изделий только 1 окрашено}.
/>
/>
/>
Задача №19. Среди 12-ти студентов, 7 из которыхдевушки, раздают 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателейбилетов будут 3 девушки (событие А).
Решение.
/>
Задача №20. Из колоды карт (36 штук) наудачуизвлекают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется туз.
Решение.
/>.
Задача №21. Из 10 изделий, из которых 3бракованные, наудачу извлекают три изделия для контроля. Найти вероятностьтого, что:
a)в полученной выборкевсе изделия бракованные;
b)в полученной выборке 2изделия бракованные.
Решение.
А={в полученной выборке все изделия бракованные};
B={в полученной выборке 2изделия бракованные};
/>.
Задача №22. Дано пять отрезков, длины которыхсоставляют соответственно 1, 3, 5, 7, 9. Определить вероятность того, что извзятых наудачу 3-х отрезков из данных пяти можно построить треугольник (событиеА).
Решение. Всего отобрать 3 отрезка из заданных5-ти можно /> вариантами, т.е. />; благоприятных (a/>b>c или a-b<c) только3: (3,5,7), (3,7,9), (5,7,9) />
/>.
Задача №23. Кандидаты в студенческий совет: 3 –от I-го курса, 5 – от II-го, 7 – от III-го. Выбираются наудачу 5 человек наконференцию. Найти вероятность того, что делегация будет состоять из 1-го первокурсника,2-х второкурсников, 2-х третьекурсников.
Решение. Пусть А = {делегация состоит из 1-гопервокурсника, 2-х второкурсников, 2-х третьекурсников}.
Тогда:
/>
Задача №24. Наугад выбирают 6 клеток из 49(спортлото). Найти вероятность того, что будет правильно угадано 3 клетки(событие А), 6 клеток (событие В).
Решение.
/>
Раздел 3. Алгебра событий
Исходя из определениясуммы и произведения событий, совместных и несовместных событий, зависимых инезависимых событий, основных теорем алгебры событий [1],[2] запишем основныеформулы, связанные с ними.
Пусть рассматриваютсясобытия А и В, которые могут произойти в данном эксперименте с вероятностью Р(А)и Р(В) соответственно.
Если эти событиянесовместны, то имеет место формула:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (3.1)
Если события А и Всовместные, то:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ). (3.2)
Если события А и В независимые,то:
/>, (3.3)
в противном случае
/> (3.4)
Здесь Р(В/А) и Р(А/В) –условные вероятности.
Задачи
Задача №25. Вероятность попадания стрелком в I-юобласть мишени равна 0,45, во II-ю – 0,35, в III-ю – 0,15. Найти вероятностьтого, что при одном выстреле стрелок попадёт в I-ю или во II-ю область мишени(рис.2).
/>
Рис.2
Решение. Пусть:
А1 ={попаданиев I-ю область},
А2 ={попаданиево II-ю область}.
События А1<sub/>и А2 несовместны при одном выстреле. Поэтому
/>
Задача №26. Из 10 тыс. лотерейных билетов:
10 – по 200 грн., 100 –по 100 грн.,
500 – по 25 грн., 1000 –по 5 грн. выигрыша.
Найти вероятность того,что купленный билет будет содержать выигрыш не менее 25 грн.
Решение. Пусть события:
А = {выигрыш в случайнокупленном билете не менее 25 грн.};
А1 ={выигрышсоставил 25 грн.};
А2 ={выигрышсоставил 100 грн.};
А3 ={выигрышсоставил 200 грн.};
Тогда вероятность выигрыша 25 грн.
/>.Аналогично, />/>
Очевидно, что событие Апредставляет собой сумму событий А1, А2, А3,несовместных между собой, поэтому:
Р(А) = Р(А1) + Р(А2)+ Р(А3) = 0,061.
Задача №27. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров. Во втором ящике 8белых и 4 чёрных шара. Из каждого вынули по шару. Найти вероятность того, чтооба шара белые.
Решение. Пусть:
А={белый шар из 1го ящика};
В={белый шар из 2гоящика}.
Тогда:
/>
События A и В независимы />
/> .
Задача №28. Три стрелка стреляют по цели.Вероятность попадания для 1-го стрелка (событие А) равна 0,75, для 2-го(событие В) – 0,8, для 3-го (событие С) – 0,9. Определить вероятность того, чтовсе три стрелка одновременно попадут в цель (событие D).
Решение. События A, B, C – независимы />
/>
Задача №29. В условиях задачи №28 найтивероятность того, что в цель попадёт хотя бы один стрелок (событие R).
Решение. Найдём вероятность того, что в цельне попадёт ни один стрелок (событие/> ).
Т.к. /> - событие,противоположенное событию R, оно равно />
/>
Задача №30. Найти вероятность попадания стрелкомв цель при одном выстреле (событие В), если вероятность события
А={хотя бы одно попаданиев цель при 4-х выстрелах}=0,9984
Решение />=0,9984, />= {ни одного попадания вцель при 4-х выстрелах} />Вероятность непопаданияпри одном выстреле равна:
/>
Окончательно получаем:
/>= />
Задача №31. Студент обходит 3 библиотеки.Вероятность того, что книга есть в каждой из 3-х библиотек равна р1,вероятность того, что имеющаяся книга не выдана, равна р2. Каковавероятность того, что студент достанет книгу хотя бы в одной из библиотек.
Решение.
А1 = {достанеткнигу в 1-ой библиотеке};
А2 = {достанеткнигу во 2-ой библиотеке};
А3 = {достанеткнигу в 3-й библиотеке};
В1 = {книгаесть};
В2 = {книга невыдана};
/>= {не достанет ни в однойбиблиотеке}.
/> – вероятность того, что студент достанеткнигу хотя бы в одной библиотеке.
/>
Задача №32. Охотник выстрелил 3 раза по удалённойцели. Вероятность попадания в цель в начале стрельбы равна 0,8. Вероятностьпопадания в цель после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятностьпопадания в цель 2 раза (событие D).
Решение. Пусть
A= {попадание в цель при1-ом выстреле};
B= {попадание в цель при2-ом выстреле};
C={попадание в цель при3-ем выстреле}.
Тогда
P {A} = 0,8; P {B} = 0,7;P {С} = 0,6.
/>
/>.
Задача №33. Вероятность того, что первый из 3-хчеловек придет, равна 0,8. Вероятность того, что второй придет, равна 0,4.Вероятность того, что придёт третий, равна 0,7. Найти вероятность того, чтовстреча состоится, если для этого нужно, чтобы пришли хотя бы двое из трёх.
Решение. Пусть
A={придёт первый};
B={придёт второй};
C={придёт третий};
D={придут хотя бы двое из трёх}.Тогда:
/>Ответ: 0,488.
Задача №34. В зависимости от наличия сырья предприятие можетотправить заказчикам в сутки определённое количество продукции от 1 до 100 ед.Найти вероятность того, что полученное количество продукции можно распределитьбез остатка:
a) 3-м заказчикам(событие А);
b) 4-м заказчикам(событие В);
c) 12-ти заказчикам(событие С);
d) 3-м или 4-мзаказчикам (событие D).
Решение.
/> /> />
C=A/>B, D=A/>B.
/>
События А и В совместные />
/>
Задача №35. Рабочий обслуживает 2 станка. Втечение 8-ми часов каждый из станков приостанавливается по разным причинам.Получасовые остановки равновероятны. Найти вероятность того, что в данныймомент времени только 1 станок работает. Найти вероятность того, что работаютоба станка.
Решение.
С={в данный моментработает только один станок};
D={в данный моментработают оба станка};
A1={работаетпервый станок};
A2={работаетвторой станок}.
/>
Задача №36. В читальном зале 6 учебников потеории вероятностей (т.в.). Из них 3 – в переплете. Библиотекарь наудачу взял 2учебника. Найти вероятность того, что оба учебника в переплете.
Решение. Пусть события:
A<sub/>= {I-ыйучебник в переплете}
B={II-ой учебник впереплете}
С={оба учебника впереплете}.
Тогда:
/>
Иначе:
/>
Задача №37. В ящике детали 3-х сортов: 5 – I-госорта, 4 – II-го, 3 – III-го. Из ящика наудачу извлекается 1 деталь и невозвращается в ящик. Найти вероятность того, что при первом испытании появитсядеталь I-го сорта (событие А), при втором испытании – II-го сорта (событие В),при третьем – третьего сорта (событие С).
Решение.
/> (всего деталей 12)
/>
/>
Задача №38. Вероятность попадания в 1-ю мишень (событие А)для данного стрелка равно 2/3. Если стрелок попал в первый раз, то он получаетправо на второй выстрел по другой мишени. Вероятность поражения обеих мишенейпри 2-х выстрелах равна 0,5. Найти вероятность поражения второй мишени.
Решение. Пусть:
А={поражение 1-й мишени};
В={поражение 2-й мишени};
С={поражение обеихмишеней}.
/>, но т.к. А и В – события зависимые,то:
По условию,
/>
Задача №39. 4% всей продукции – брак. 75% небракованныхизделий удовлетворяют требованиям первого сорта. Найти вероятность того, чтовыбранное изделие первого сорта.
Решение.
Пусть:
A={изделие первогосорта};
В={изделиенебракованное};
Тогда:
/>
Задача №40. Абонент набирает наугад последнююцифру телефона. Определите вероятность того, что:
a) В1={придется звонить не более 3-x раз};
b) В2={то же, но при условии, что неизвестная цифра нечётная}.
Решение. А1={в 1 раз набрал нужную цифру};
А2 ={во 2-й раз набрал нужную цифру};
А3 ={в 3-й раз набрал нужную цифру}.
Вероятностьтого, что за 3 раза он не набрал нужную цифру, равна:
/>
Вероятность того, что в течениеэтих 3-х раз набрал хотя бы один раз нужную цифру, равна:
/>
При условии,что набираемая цифра нечётная, имеем:
/>
Задача №41. В лотерее имеются 10 билетов, из них5 билетов стоимостью по 1 грн, 3 билета – по 3 грн, 2 билета – по 5 грн.Наудачу берут 3 билета. Найти вероятность того, что хотя бы 2 из этих билетовимеют одинаковую стоимость.
Решение. Всего способов выбрать 3 билета из10-ти
/>.
Обозначим A={все 3 билетаразные}.
Тогда: />Событие />{хотя бы 2 билетаодинаковой стоимости} является противоположным событию А, поэтому:
/>
Задача №42. Спортсмены на соревнованиях делают 1упражнение с 3-х попыток. Вероятность успешного выполнения 1-й попытки равна0,8. Вероятность успешного выполнения 2-й попытки равна 0,7. Вероятностьуспешного выполнения 3-й попытки равна 0,4. Найти вероятность того, чтоспортсмен успешно выполнить это упражнение (событие А).
Решение.
А1 = {успех в1-й попытке};
А2 = {успех во2-й попытке};
А3 = {успех в3-й попытке}.
/>
/>
Иначе:
/>
Задача №43. 68% мужчин, достигших 60-летия,достигают и 70-летия. Найти вероятность того, что 60-летний мужчина недостигнет своего 70-летия.
Решение. Пусть: событие А={60-летний мужчинадостигнет своего 70- летия}, тогда: />{60-летний мужчина не достигнет своего70-летия}.
Р(/>)/>Р(А)=/> =0,32.
Задача №44. В лотерее n билетов, из которых m –выигрышные. Вы приобрели k билетов. Найти вероятность того, что:
а) среди k билетов ровно lвыигрышные (событие А);
б) среди k билетов хотябы 1 выигрышный (событие В).
Решение.
а) />
б) />{среди k билетов ни одноговыигрышного}
/>
вероятность того, чтосреди k билетов хотя бы один выигрышный, равна:
/>
Задача №45. В некотором обществе 70% людей – курят, 40% – сбольными лёгкими, 25% – и курят, и болеют. Найти вероятность того, что наудачувзятый человек из этого общества:
a) не курит, но с больными лёгкими;
b) курит, но не болеет;
c) не курит и не болеет;
d) курит и болеет;
e) или курит, или болеет.
Решение.
Пусть А={человек курит};
В={человек с больнымилёгкими}.
Тогда:
P(A)=0,7; P(B)=0,4; P(/>=0,25.
Имеем:
/> />
а) />
b) />
c) />
d) />
e) />
Задача №46 (олегкомысленном члене жюри).
В жюри из 3-х человек 2члена независимо друг от друга принимают правильное решение с вероятностью р, атретий для вынесения решения бросает монету. Окончательное решение выноситсябольшинством голосов.
Жюри из одного человекавыносит справедливое решение с вероятностью р. Какое из этих жюри вынесетсправедливое решение с большей вероятностью?
/>Решение. Пусть оба (из 3-х) членов жюрисходятся во мнениях, тогда вероятность справедливого решения равна />. При этом результатголосования 3-го жюри несущественен. Если судьи расходятся во мнениях, товероятность справедливого решения 2-х судей – />.Полная вероятность вынесения справедливого решения жюри из 3х членов равна:
2р(1-р)/>р2/>р-р2/>р.
Вывод: Оба типа жюриимеют одинаковую вероятность вынести справедливое решение.
Раздел 4. Основныетеоремы теории вероятности
4.1 Формула полнойвероятности
Группа гипотез – полная группа несовместных событий(пусть это будет Н1, Н2, …, Нn). Пустьсобытие А может наступить лишь при появлении одного из них. Тогда вероятностьсобытия А вычисляется по формуле:
/> (4.1)
которая называется формулойполной вероятности.
Здесь: /> — вероятности гипотез;
/> -условные вероятности события А.
Задачи
Задача №47. В группе спортсменов 20 лыжников, 6велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнения квалификационной нормы равна:для лыжников – 0,9, для велосипедистов – 0,8, для бегунов – 0,75.
Найти вероятность того,что спортсмен, вызванный наудачу, выполнит норму.
Решение.
А = {спортсмен выполнилнорму};
Н1 = {выполниллыжник};
Н2 = {выполнилвелосипедист};
Н3 = {выполнилбегун}.
/>
Задача №48. Стрельба производилась по 3-ммишеням. По 1-ой – 5 раз, по 2-ой – 3 раза, по 3-ей – 2 раза. Вероятностьпопадания по 1-ой мишени равна 0,4, по 2-ой мишени – 0,1, по 3-ей – 0,12. Найтивероятность одного попадания в мишень.
Решение. Пусть A = {попадание в мишень приодном выстреле}
H1 = {стрелялив 1-ю мишень} P(H1) = 0,5
H2 = {стрелялив 2-ю мишень} P(H2) = 0,3
H3 = {стрелялив 3-ю мишень} P(H3) = 0,2
P(A/H1) = 0,4P(A/H2) = 0,1P(A/H3) = 0,12
/>По формуле (4.1) имеем: />.
Задача №49. В лаборатории 3 одинаковых клетки. В1-й — 3 белых и 7 коричневых мыши, во 2-й – 5 белых и 6 коричневых. В 3-й – 7белых и 2 коричневых. Случайным образом берут из одной клетки мышь. Найтивероятность того, что выбрана белая мышь (событие А).
Решение. Пусть имеется 3 гипотезы:
Н1 = {выбранамышь из 1-й клетки};
Н2 = {выбранамышь из 2-й клетки};
Н3 = {выбранамышь из 3-й клетки};
Р(Н1)= Р(Н2)=Р(Н3)=1/3
Условные вероятности события А будут равны:
Р(А/Н1)= 3/10;Р(А/Н2)=5/11; Р(А/Н3)=7/9.
По формуле (4.1) имеем:
/>
Задача №50. Судостроительный завод получает от 3-хпредприятий детали: от предприятия В – 60%, от С – 30%, от D – 10%. При этом накаждом из этих предприятий допускается брак, соответственно на В – 4%, на С –5%, и на D – 6%. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь будетбракованной (событие А), если известно, от какого предприятия она поступила.
Решение. В качестве гипотез событий примем:
Н1 = {детальпоступила от предприятия В};
Н2 = {детальпоступила от предприятия С};
Н3 = {детальпоступила от предприятия D}.
Р(Н1) = 0,6;Р(Н2) = 0,3; Р(Н3) = 0,1
/>
Условные вероятности события А равны соответственно:
Р(А/Н1)=0,04; Р(А/Н2)=0,05; Р(А/Н3)=0,06.
По формуле (4.1) имеем:
/>
Задача №51. В магазин поступили телевизоры от5-ти фирм в следующем количестве:
Фирма 1 2 3 4 5 Количество телевизоров 5 10 6 8 11Рi
0,98 0,8 0,6 0,3 0,1Рi –вероятности того, что телевизоры исправны.
Найти вероятности того, что купленный наугад телевизор исправно работает(событие А)
Решение.
1) В качестве гипотезвыберем события:
/>{телевизор i-йфирмы}, (i=/>).
2) Найдём вероятностигипотез, учитывая, что п=40:
Р(Н1) = 5/40;Р(Н2) = 10/40; Р(Н3) = 6/40; Р(Н4) = 8/40; Р(Н5)= 11/40.
3) Условные вероятностиравны:
Р(А/Н1) =0,98; Р(А/Н2) = 0,8; Р(А/Н3) = 0,6; Р(А/Н4) =0,3; Р(А/Н5) = 0,1.
4) По формуле (4.1)имеем:
/>
Задача №52. Имеются 3 одинаковых ящика, в каждомиз которых по 20 однотипных деталей. Определить вероятность того, чтоизвлечённая из наугад выбранного ящика деталь стандартная (событие А), еслиизвестно, что в 1-м ящике 18 стандартных деталей, во 2-м – 17, в 3-м – 16.
Решение. Если в качестве i-й гипотезы (i =1,2,3) выбрать событие
Нi = {детальиз i-го ящика}, то Р(Нi)=1/3.
Р(А/Н1) = 18/20;
Р(А/Н2) = 17/20;
Р(А/Н3) = 16/20.
По формуле (4.1) имеем:
/>
4.2 Формула Байеса (формула переоценки вероятностигипотез)
Пусть событие А можетнаступить лишь при условии появления одной из гипотез /> (см п.4.1). Если событие Ауже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формуле Байеса:
/> (4.2)
Задачи
Задача №53. 70% населения обследуемого регионаимеет только среднее образование, среди которых 10% безработных, 30% населения– с высшим образованием, среди них 2% безработных. Если выбранный наугадчеловек является безработным, то какова вероятность того, что он закончил ВУЗ?
Решение. В качестве гипотезы примем:
Н1 ={выбранный наугад человек со средним образованием};
Н2 = {выбранный наугад человек со высшим образованием }.
Р(Н1) = 0,7; Р(Н2) = 0,3.
Пусть соб. А = {выбранный наудачу человекбезработный}, тогда
P(A/H1) = 0,1,P(A/H2) = 0,02.
Нужно определить P(/> )по формуле (4.2).
Имеем:
/>
Задача №54. На сборочный конвейер поступилидетали с 3-х станков, производительность которых неодинакова: I-го – 50% плана,II-го – 30% плана, III-го – 20% плана. Вероятность получения годного узла равна0,92, если деталь I-го станка, 0,95, если деталь со II-го станка, 0,82, еслидеталь с III-го станка. Определить вероятность того, что в сборку попалидетали, изготовленные на первом станке, если узел годный.
Решение. А = { узел годный};
Н1 = {деталь сI-го станка};
Н2 = {детальсо II-го станка};
Н3 = {деталь сIII-го станка};
Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,3;Р(Н3)=0,2.
Р(А/Н1)=0,92;Р(А/Н2)=0,95; Р(А/Н3)=0,82.
/>
Задача №55. 30% приборов собирают специалисты высокойквалификации, 70% — средней квалификации. Надёжность работы прибора, собранногоспециалистом высокой квалификации – 0,9, а специалистом средней квалификации –0,8. Взятый наугад прибор оказался надёжным. Определить вероятность того, чтоприбор собран специалистом высокой квалификации.
Решение.
Пусть событие А = {прибор работает безотказно}.
До проверки приборавозможны 2 гипотезы:
Н1 = {приборсобран специалистом высокой квалификации};
Н2 = { приборсобран специалистом средней квалификации }.
Р(Н1) = 0,3, Р(Н2)= 0,7.
Условные вероятностисобытия А равны:
P(A/H1) = 0,9,P(A/H2) = 0,8.
Пусть событие А произошло, тогда
/>.
Задача №56. Из 10 учащихся, которые пришли наэкзамен по математике (нужно было подготовить 20 вопросов), трое подготовилисьна отлично (выучив по 20 вопросов), четверо – на хорошо, выучив по 16 вопросов,двое – на удовлетворительно, выучив по 10 вопросов, один не готовился и можетответить на 5 вопросов из 20. В билете 3 вопроса. Первый ученик ответил на все3 вопроса своего билета. Какова вероятность того, что этот ученик подготовилсяна отлично?
Решение. Пусть событие А = {1-й ученик ответил на 3 вопроса}и гипотезы:
Н1 = {1-йученик подготовлен на 5};
Н2 = {1-йученик подготовлен на 4};
Н3 = {1-йученик подготовлен на 3};
Н4 = {1-йученик подготовлен на 2}.
P(H1) = 0,3; P(H2)= 0,4; P(H3) = 0,2; P(H4) = 0,1
P(А/H1) = 1(событие {1-й ученик ответил на 3 вопроса, при условии, что он выучил 20 из 20},является достоверным).
/> (вероятность правильного ответа на 1-й вопрос равна16/20, на 2-й – 15/19, на 3-й – 14/18).
/>
/>
По формуле (4.2) имеем:
/>
Вывод: учителю придётся предложить ученику ещё дополнительные вопросы.
Раздел 5. Случайные величины (с.в.)
5.1 Дискретные случайные величины
Дискретной случайной величиной называют случайную величину, возможныезначения которой есть изолированные числа (число их может быть конечным илибесконечным для счетного множества).
/>Зависимость вероятностей отвозможных значений с.в. есть закон распределения дискретной с.в., который можетбыть представлен в виде ряда распределения, многоугольника распределения,функции распределения с.в.
При этом название закона распределения диктует формула, по которойвычисляются вероятности, соответствующие возможным значениям С.В. Нижеприведены наиболее часто встречающиеся на практике:
— биномиальный законраспределения дискретной с.в. X – числа появлений события в n независимыхиспытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p.Вероятность возможного значения Х= k по формуле Бернулли равна:
/> (5.1)
— если n велико, а p в каждомиспытании очень мало, то используется приближённая формула (распределениеПуассона):
/>, />np (5.2)
Здесь
/>.
— если вероятность появлениясобытия А в каждом испытании p (/>), а Х –число испытаний до появления события А в серии независимых повторных испытаний,то пользуются формулой:
/> (5.3)
Ряд вероятностей этого распределения будет бесконечной геометрическойпрогрессией со знаменателем q<1 и суммой, равной единице. Такоераспределение называется геометрическим;
— в задачах статистическогоконтроля качества часто используется гипергеометрический закон распределениядискретной с.в. При этом применяется формула:
/> (5.4)
Здесь из совокупности n элементов, которая содержит m элементовопределённого свойства (напр., среди n деталей ровно m бракованных), отбираютсяслучайным образом k элементов. P(X=l) – это вероятность того, что среди kотобранных элементов ровно l элементов с определённым свойством.
— Кроме указанных законовраспределения, на практике используются числовые характеристики с.в.:
- математическое ожидание M(X);
- дисперсия D(X);
- среднее квадратическое отклонение />X).
/> (5.5)
/> (5.6)
/> (5.7)
/> (5.8)
Для биномиального распределения (формула (5.1)) имеем:
M(X)=np (5.9)
D(X)=npq (5.10)
Для распределения Пуассона (формула (5.2)):
M(Х)=D(Х)=np=/> (5.11)
Задачи
Задача №57. В партии из 6-ти деталей 4стандартных. Наудачу отобраны три детали. Составить закон распределениядискретной с.в. Х – числа стандартных деталей среди отобранных. Найти числовыехарактеристики с.в. Х.
Решение. Имеем гипергеометрическийзакон распределения с.в. Х:
Возможные значения Х:
/>/> /> />
Соответствующиевероятности вычисляются по формуле (5.4):
/>=/>
/>
/>
Имеем ряд распределения:
Х:/>
1 2 3/>
/>
/>
/>
/>
Многоугольникраспределения.
/>
рис.3
Функцией распределенияF(х) называетсявероятность того, что с.в. Х в результате испытаний примет значение, меньшее х:F(x)=P(X<x)
В нашем случае имеем:
если х/>1, то F(x)=0,
если 1<x/>2, то F(x)=/>,
если 2<x/>3, то F(x)=/>
если х>3, то F(x)=/>.
График этой функции нарис.4.
/>
рис.4
Математическое ожидание(по формуле (5.5)):
/>
Дисперсия (по формуле (5.7)):
/>
Среднее квадратическоеотклонение (по формуле (5.8 )):
/>
Задача №58. В денежной лотерее 100 билетов, из них 1 составляет выигрыш в50 грн, 10 – в 1 грн. Составить закон распределения с.в. Х – стоимостивозможного выигрыша для владельца одного лотерейного билета.
Решение. Вероятность выигрыша 1 грн равна
/>,
аналогично получим
/>, />.
Имеем ряд распределения с.в. Х:
/>
1 50/>
0,89 0,1 0,01Многоугольник распределения с.в. Х:
/>
рис.5
Функция распределения.
/>
рис.6
Задача №59. Среди 20-ти изделий 5 бракованных.Случайным образом выбираются 3 изделия для проверки их качества. С.в. Х – числобракованных изделий. Построить ряд распределения Х, найти М(Х), D(X), еслиХ=0,1,2,3.
Решение.
/>
/>
/>
/>
/>
Имеем ряд распределения с.в. Х.
/>
1 2 3/>
/>
/>
/>
/>
Х:
/>
Задача №60. Вероятность того, что расход воды нанекотором предприятии окажется нормальным (не более определённого числа литровв сутки), равна />. Найтивероятности того, что в ближайшие 6 дней расход воды будет нормальным в течение1-го, 2-х, 3-х, 4-х, 5-ти, 6-ти дней.
Решение. Пусть с.в. Х – число дней, в течениекоторых расход воды будет нормальным. Тогда вероятности, соответствующиевозможным значениям Х (от 1 до 6), будут вычисляться по формуле Бернулли(5.1) и распределение с.в. Х будет биномиальным.
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Примечание:при вычислениях вероятностей удобно использовать формулу
/>
Строим рядраспределения с.в. Х.
Х/>
1 2 3 4 5 6/>
0,004 0,033 0,132 0,297 0,356 0,178Строиммногоугольник распределения с.в.Х.
/>
рис.7
Очевидно, что наиболее вероятен перерасход воды в течение одного или двухдней из 6-ти.
Наиболее вероятнымявляется нормальный расход воды в течение 5-ти дней:
Р(Х=5)=0,356.
/> называется модой (/>) с.в. Х.
Строимфункцию F(x) распределения с.в. Х.
/>
рис.8
/>
Функцияраспределения аналитически может быть записана так:
F(x) />
Задача №61. Игральнаякость брошена три раза. Построить ряд и функцию распределения с.в. Х –возможного числа появления шестёрок.
Решение. Имеемсхему Бернулли с
/>, />, n=3.
/> />; />.
/>
Рядраспределения Х имеет вид:
/>
1 2 3/>
/>
/>
/>
/>
Функция F(х)распределения с.в. Х имеет вид:
F(х)=/>
Строимграфик:
/>
рис.9
Задача №62. Подлежатисследованию 1200 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла вкаждой пробе равна р=0,09. Найти математическое ожидание и дисперсию числа пробс промышленным содержанием металла.
Решение. Пустьс.в. Х – число проб с промышленным содержанием металла, тогда c.в. Храспределена по биномиальному закону.
Математическоеожидание вычисляем по формуле (5.9), дисперсию, соответственно, по формуле(5.10 ):
/>
/>.
Задача №63. Тиражучебников составляет /> экземпляров.Вероятность неверного брошюрования учебника равна /> Записатьряд бракованных учебников среди данного тиража для возможных значений Х от 1 до5.
Решение. Здесь
/> /> />
По формуле(5.2) мы получим все интересующие нас вероятности:/>
/> /> />
/> /> />
Имеем рядраспределения с.в. Х (закон Пуассона).
/>
1 2 3 4 5 6/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Так, /> (принимаем />).
Математическоеожидание числа бракованных экземпляров среди 10 книг при /> равно:
/>
Задача №64. Вероятностьтого, что с конвейера сойдёт k бракованных деталей равна />. Построить рядраспределения для с.в. k и найти её математическое ожидание.
Замечание.для решения этой задачи понадобятся первоначальные сведения из теории рядов,или, по крайней мере, знание бесконечной убывающей прогрессии.
Решение.
1. Строимряд распределения с.в. k – числа бракованных деталей с конвейера (геометрическийзакон).
K:/>
1 2 3 4 … n …/>
0,3/>
/>
/>
…/>
…
2. />
Мы получим М(Х),если бесконечная сумма – ряд сходится.
Воспользуемсяпризнаком Даламбера для знакоположительных рядов.
/> /> /> />
/>ряд сходится и М(Х)– его сумма.
Для еёнахождения применим искусственный приём:
/> />
+ /> … ./>
/>
Примечание. Каждаябесконечная сумма в скобках в правой части равенства для М(Х) вычисляется поформуле для суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии (/>).
Задача №65. Мишеньвращается вокруг оси Ох. При достаточно большой угловой скорости вращениястрелок не в состоянии различить цифры. Стреляет наугад. Секторы одинаковы.Выигрыш соответствует номеру сектора.
Стоит ли емуучаствовать в такой игре, если за право стрелять один раз надо платить 5 грн?
Решение.
/>
рис.10
Х:
/>
1 2 3 4 5 6 7 8/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Вероятностивсех возможных значений Х равны между собой и равны />
Найдём
/>.
Стоимостьвыстрела 5 грн. Очевидно, стрелять много раз невыгодно.
Задача №66. Дискретнаяс.в. Х принимает только 3 возможных значения: 1,
/>, />. (/>). /> />
Найти законраспределения с.в. Х, если
М(Х)=2,2 иD(X)=0,76.
Решение.
1. Запишем ряд распределения для Х, найдя предварительно
2. />
Х:/>
1/>
/>
/>
0,3 0,2 0,52. Запишемравенства для математического ожидания М(Х) и дисперсии D(X):
/>
Получимнелинейную систему двух уравнений с двумя неизвестными /> и />. Решим её.
/> /> />
/> />
Х:/>
1 2 3/>
0,3 0,2 0,5/> />
5.2Непрерывные случайные величины
Непрерывнойслучайной величиной называют величину, которая может принимать любое числовоезначение из некоторого конечного (a,b) или бесконечного интервала.
Множествовозможных значений такой величины бесконечно.
Примеромтаких величин являются: величина ошибки при измерении расстояний, веса и др.;время бессбойной работы прибора, размеры детали, рост человека при обследованииопределённой группы людей и др.
Закон распределениянепрерывной с.в. имеет две формы:
интегральнаяфункция распределения F(x) и дифференциальная функция распределения f(x).
— Как и в случае с дискретной с.в., интегральная функцияраспределения F(x) имеет вид:
F(x)=P(X<x)(5.12)
Но в отличиеот ступенчатой линии для F(x) в случае с дискретной с.в. для непрерывной с.в.имеем непрерывную кривую для F(x).
СвойстваF(x):
1) 0/>F(x)/>1;
2) если />>/>, то F(/>)/>F(/>);
3) P(a<X<b)=F(b)-F(a); (5.13)
4) P(X=/>)=0;
5) если Х/> (a,b), то /> ;
6) /> />.
— Дифференциальная функция распределения f(x) (плотностьвероятности) есть производная от интегральной функции:
f(x)= />
P(a<x<b)=/> (5.14)
(f(x)dxназывается элементом вероятности)
F(x)=/> (5.15)
Свойства f(x):
1) f(x)/>;
2) /> (5.16)
3) /> (/>
Наиболееупотребимыми являются следующие законы распределения непрерывной с.в. (задаютсяони формулой для f(x)):
— равномерное распределение вероятностей
Пусть [a,b]– шкала некоторого прибора. Вероятность p попадания указателя в некоторыйотрезок шкалы [/>,/>] равна p=k(/>-/>), (k>0).
Тогда, таккак
p(a<x<b)=1,то k(b-a)=1 />k=/> />
/> p(/><x</>)=/>/> F(x)=p(a<X<x)=/> (5.17)
График F(x)на рисунке 11.
/>
рис.11
f (x)=/> (5.18)
/>
рис.12
— показательное распределение
/> (5.19)
F(x)=/> (5.20)
— нормальное распределение
/> (5.21)
F(x)=/> (5.22)
Здесьa=M(x), /> - параметры распределенияс.в.Х.
График f(x)представлен на рис.13 и называется нормальной кривой (кривой Гаусса).
/>
рис.13
При a=0, /> имеемплотность нормированного распределения:
/>
Эта функция табулирована (см. приложение 1), график её нарис.14.
/>
рис.14
В этом случае интегральная функция распределения с.в.Х естьфункция Лапласа:
/> (5.23)
График функции Лапласа Ф(х) на рис.15.
/>
рис.15
Из него видно, что:
1) Ф(0)=0,
2) Ф(-х)=-Ф(х),
3) />
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащееинтервалу (c,d), находим по формуле:
/> (5.24)
Вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньшеположительного числа, равна:
/>,(5.25)
(/>)
При а=0 справедливо равенство:
/> (5.25а)
— Числовые характеристики непрерывной с.в.:
— математическое ожидание M(X)
/> (5.26)
/> (5.27)
— дисперсияD(X)
/> (5.28)
/> (5.29)
Этиравенства можно заменить равносильными равенствами:
/> (5.30)
/> (5.31)
— среднееквадратическое отклонение />
/> (5.32)
При этом дляравномерного распределения:
/> (5.33)
/> (5.34)
/> (5.35)
Дляпоказательного распределения
/>:
/> (5.36); /> (5.37); /> (5.38).
Длянормального распределения:
M(X)=a (5.39);/> (5.40); /> (5.41).
Задачи
Задача №67. Автобусынекоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 мин. Найтивероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ждать очереднойавтобус менее 3-х минут.
Решение. Пустьс.в. Т –время ожидания очередного автобуса – непрерывная случайная величина.Она распределена по равномерному закону с плотностью:
/> (см. формулу (5.18) )
В нашемслучае
0<t<5 /> />
По формуле(5.14) имеем:
/>
Искомаявероятность
p=0,6.
Задача №68. Ценаделения шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округлены доближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчёте будетсделана ошибка, не превышающая 0,04 (событие А).
Решение. Ошибкуокругления отсчёта можно рассматривать как с.в. Х, которая распределена равномернов интервале между 2-мя соседними целыми делениями с плотностью
/> , />
Ошибкаотсчёта не превысит 0,04, если она будет заключена в (0; 0,04) или в(0,16;0,2).По формуле (5.14) имеем:
/>
Искомаявероятность
р=0,4.
Задача №69. Найтиматематическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичское отклонение с.в. Х,распределённой равномерно в интервале (2,8).
Решение. Поформулам (5.32)-(5.34) получим:
/>
/>
/>.
Задача №70. Непрерывнаяс.в. Х распределена по показательному закону, заданному при /> дифференциальной функцией />; при х<0 /> Найти вероятность того,что в результате испытания Х попадёт в интервал (0,3; 1).
Решение. Исходяиз формулы (5.19), />
Пользуясьформулой (5.14), получим:
/>
/>/>.
Искомаявероятность приближённо равна 0,414.
Задача №71. Непрерывнаяс.в. Х распределена по показательному закону
/>.
Найтичисловые характеристики с.в. Х и вероятность того, что в результате испытания Хпопадёт в интервал (2,5).
Решение.
1) Из формул (5.36)-(5.38) получим:
/> /> />
2) Из формулы (5.14) следует, что:
/>
/>.
Задача №72. Заданаплотность распределения количества прибыли Х:
/>
Найтикоэффициент a и вероятность получения величины прибыли Х из отрезка [0,5; 1]млн.гр
Решение.
1) Всоответствии с определением модуля х:
/>
– имеем:
/>
3) Используя формулу (5.16) и свойство аддитивности несобственногоинтеграла, получаем:
/>
рис.16
/> />.
4) Используя формулу (5.14), получим:
/>
/>
Примечание.Подынтегральная функция />, т.к.отрезок [0,5; 1] принадлежит положительной части оси Ох.
Ответ:
/> />
Задача №73. Математическоеожидание и среднее квадратическое отклонение нормального распределенияслучайной величины Х соответственно равны 20 и 5. Найти вероятность того, что врезультате испытания Х примет значение, заключённое в интервале (15,25).
Решение. Воспользуемсяформулой (5.24). Подставив
c=15, d=25, a=20,/>,
получим:
/>
По таблице(приложение 2) находим Ф(1)=0,3413/>
/>
Ответ:
/>
Задача №74. Контролируетсядлина Х выпускаемой детали, которая распределена нормально сматематическим ожиданием (проектная длина), равным 50 мм. Фактическая длинадетали не менее 32 мм и не более 68 мм.
Найтивероятность того, что длина наудачу взятой детали:
а) больше 55мм;
б) меньше 40мм.
Решение.
1) Событие /> является достоверным />/>
С другойстороны, по формуле (5.24):
/>
Приравниваемправые части равенств для />
/>=1 />
Теперьимеем: математическое ожидание с.в. Х а=50, среднее квадратическое отклонение />
2) Найдём
/>
/>0,0823.
3) />
/>
Задача №75. В каких пределах должна изменяться случайная величина,подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы выполнялось равенство: />?
Решение. Согласно формуле (5.25) имеем:
/> />
Из таблицы Ф(х) (приложение 2) находим:
/>
Мы получили «правило 3-х сигм»: вероятность того, чтоабсолютная величина отклонения нормально распределённой случайной величиныбудет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.
Ответ: (а-3/>, а+3/>).
Задача№76. Станок автомат изготавливает детали, длина которых постандарту может отклоняться от 125 мм не более, чем на 0,5 мм. Среди продукциистанка 7% нестандартной.
Считая, что длины деталей имеют нормальное распределение, найти ихдисперсию.
Решение. Пусть с.в. Х – длина детали, а=М(Х)=125.
Из условия:
/>
Согласно формуле (5.24) имеем:
/>
Так как станок даёт 7% нестандартной продукции, то:
/>/>
/> />
Искомая дисперсия
/>/>D(X)=/>
Задача №77 («из жизни хищников»).
Для некоторого хищника вероятность удачной охоты равна 0,4 при каждомстолкновении с жертвой.
Найти математическое ожидание с.в. Х – числа пойманных жертв при 20-тистолкновениях.
Решение. Случайная величина Х распределена по биномиальному законупри п=20, р=0,4.
Согласно формуле (5.9), имеем:
/>
Приложение 1
Таблица значений функции />
1 2 3 4 5 6 7 8 90,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
0,3989
3970
3910
3814
3683
3521
3332
3123
2897
2661
0,2420
2179
1942
1714
1497
1295
1109
0940
0790
0656
0,0540
0440
0355
0283
0224
0175
0136
0104
0079
0060
0,0044
0033
0024
0017
0012
0009
0006
0004
0003
0002
3989
3965
3902
3802
3668
3503
3312
3101
2874
2637
2396
2155
1919
1691
1476
1276
1092
0925
0775
0644
0529
0431
0347
0277
0219
0171
0132
0101
0077
0058
0043
0032
0023
0017
0012
0008
0006
0004
0003
0002
3989
3961
3894
3790
3652
3485
3292
3079
2850
2613
2371
2131
1895
1669
1456
1257
1074
0909
0761
0632
0519
0422
0339
0270
0213
0167
0129
0099
0075
0056
0042
0031
0022
0016
0012
0008
0006
0004
0003
0002
3988
3956
3885
3778
3637
3467
3271
3056
2827
2589
2347
2107
1872
1647
1435
1238
1057
0893
0748
0620
0508
0413
0332
0264
0208
0163
0126
0096
0073
0055
0040
0030
0022
0016
0011
0008
0005
0004
0003
0002
3986
3951
3876
3765
3621
3448
3251
3034
2803
2565
2323
2083
1849
1626
1415
1219
1040
0878
0734
0608
0498
0404
0325
0258
0203
0158
0122
0093
0071
0053
0039
0029
0021
0015
0011
0008
0005
0004
0003
0002
3984
3945
3867
3752
3605
3429
3230
3011
2780
2541
2299
2059
1826
1604
1394
1200
1023
0863
0721
0596
0488
0396
0317
0252
0198
0154
0119
0091
0069
0051
0038
0028
0020
0015
0010
0007
0005
0004
0002
0002
3982
3939
3857
3739
3589
3410
3209
2989
2756
2516
2275
2036
1804
1582
1374
1182
1006
0848
0707
0584
0478
0387
0310
0246
0194
0151
0116
0088
0067
0050
0037
0027
0020
0014
0010
0007
0005
0003
0002
000
3980
3932
3847
3726
3572
3391
3187
2966
2732
2492
2251
2012
1781
1561
1354
1163
0989
0833
0694
0573
0468
0379
0303
0241
0189
0147
0113
0086
0065
0048
0036
0026
0019
0014
0010
0007
0005
0003
0002
0002
3977
3925
3836
3712
3555
3372
3166
2943
2709
2468
2227
1989
1756
1539
1334
1145
0973
0818
0681
0562
0459
0371
0297
0235
0184
0143
0110
0084
0063
0047
0035
0025
0018
0013
0009
0007
0005
0003
0002
0001
3973
3918
3825
3697
3538
3352
3144
2920
2685
2444
2203
1965
1736
1518
1315
1127
0957
0804
0669
0551
0449
0363
0290
0229
0180
0139
0107
0081
0061
0046
0034
0025
0018
0013
0009
0006
0004
0003
0002
0001
Приложение 2
Таблица значений функции />
х Ф(х) х Ф(х)/>х
Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,11
0,12
0,13
0,14
0,15
0,16
0,17
0,18
0,19
0,20
0,21
0,22
0,23
0,24
0,25
0,26
0,27
0,28
0,29
0,30
0,31
0,32
0,0000
0,0040
0,0080
0,0120
0,0160
0,0199
0,0239
0,0279
0,0319
0,0359
0,0398
0,0438
0,0478
0,0517
0,0557
0,0596
0,0636
0,0675
0,0714
0,0753
0,0793
0,0832
0,0871
0,0910
0,0948
0,0987
0,1026
0,1064
0,1103
0,1141
0,1179
0,1217
0,1255
0,33
0,34
0,35
0,36
0,37
0,38
0,39
0,40
0,41
0,42
0,43
0,44
0,45
0,46
0,47
0,48
0,49
0,50
0,51
0,52
0,53
0,54
0,55
0,56
0,57
0,58
0,59
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,65
0,1293
0,1331
0,1368
0,1406
0,1443
0,1480
0,1517
0,1554
0,1591
0,1628
0,1664
0,1700
0,1736
0,1772
0,1808
0,1844
0,1879
0,1915
0,1950
0,1985
0,2019
0,2054
0,2088
0,2123
0,2157
0,2190
0,2224
0,2257
0,2291
0,2324
0,2357
0,2389
0,2422
0,66
0,67
0,68
0,69
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,95
0,96
0,97
0,98
0,2454
0,2486
0,2517
0,2549
0,2580
0,2611
0,2642
0,2673
0,2703
0,2734
0,2764
0,2794
0,2823
0,2852
0,2881
0,2910
0,2939
0,2967
0,2995
0,3023
0,3051
0,3078
0,3106
0,3133
0,3159
0,3186
0,3212
0,3238
0,3264
0,3289
0,3315
0,3340
0,3365
0,99
1,00
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
1,20
1,21
1,22
1,23
1,24
1,25
1,26
1,27
1,28
1,29
1,30
1,31
0,3389
0,3413
0,3438
0,3461
0,3485
0,3508
0,3531
0,3554
0,3577
0,3599
0,3621
0,3643
0,3665
0,3686
0,3708
0,3729
0,3749
0,3770
0,3790
0,3810
0,3830
0,3849
0,3869
0,3883
0,3907
0,3925
0,3944
0,3962
0,3980
0,3997
0,4015
0,4032
0,4049
1,32
1,33
1,34
1,35
1,36
1,37
1,38
1,39
1,40
1,41
1,42
1,43
1,44
1,45
1,46
1,47
1,48
1,49
1,50
1,51
1,52
1,53
1,54
1,55
1,56
1,57
1,58
1,59
1,60
1,61
1,62
1,63
1,64
0,4066
0,4082
0,4099
0,4115
0,4131
0,4147
0,4162
0,4177
0,4192
0,4207
0,4222
0,4236
0,4251
0,4265
0,4279
0,4292
0,4306
0,4319
0,4332
0,4345
0,4357
0,4370
0,4382
0,4394
0,4406
0,4418
0,4429
0,4441
0,4452
0,4463
0,4474
0,4484
0,4495
х Ф(х) х Ф(х)
/>х
Ф(х) х Ф(х) х Ф(х)1,65
1,66
1,67
1,68
1,69
1,70
1,71
1,72
1,73
1,74
1,75
1,76
1,77
1,78
1,79
1,80
1,81
1,82
1,83
0,4505
0,4515
0,4525
0,4535
0,4545
0,4554
0,4564
0,4573
0,4582
0,4591
0,4599
0,4608
0,4616
0,4625
0,4633
0,4641
0,4649
0,4656
0,4664
1,84
1,85
1,86
1,87
1,88
1,89
1,90
1,91
1,92
1,93
1,94
1,95
1,96
1,97
1,98
1,99
2,00
2,02
2,04
0,4671
0,4678
0,4686
0,4693
0,4699
0,4706
0,4713
0,4719
0,4726
0,4732
0,4738
0,4744
0,4750
0,4756
0,4761
0,4767
0,4772
0,4783
0,4793
2,06
2,08
2,10
2,12
2,14
2,16
2,18
2,20
2,22
2,24
2,26
2,28
2,30
2,32
2,34
2,36
2,38
2,40
2,42
0,4803
0,4812
0,4821
0,4830
0,4838
0,4846
0,4854
0,4861
0,4868
0,4875
0,4881
0,4887
0,4893
0,4898
0,4904
0,4909
0,4913
0,4918
0,4922
2,44
2,46
2,48
2,50
2,52
2,54
2,56
2,58
2,60
2,62
2,64
2,66
2,68
2,70
2,72
2,74
2,76
2,78
2,80
0,4927
0,4931
0,4934
0,4938
0,4941
0,4945
0,4948
0,4951
0,4953
0,4956
0,4959
0,4961
0,4963
0,4965
0,4967
0,4969
0,4971
0,4973
0,4974
2,82
2,84
2,86
2,88
2,90
2,92
2,94
2,96
2,98
3,00
3,20
3,40
3,60
3,80
4,00
4,50
5,00
0,4976
0,4977
0,4979
0,4980
0,4981
0,4982
0,4984
0,4985
0,4986
0,49865
0,49931
0,49966
0,499841
0,499928
0,499968
0,499997
0,499997
Литература
1. Барковський В.В., Барковська Н.В., Лопатін О.К. Математика дляекономістів. Теорія імовірностей та математична статистика – К.: 1999 – 447с.
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности – М.: Наука – 1969 – 400с.
3. Ежов И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Элементы комбінаторики – М.:Наука – 1977.
4. Жалдак М.И., Квитко А.Н. Теория вероятностей с элементами информатики.Практикум – К.: «Выща школа» – 1989.
5. Жалдак М.І. початки теорії ймовірностей – К.: Рад.шк… – 1978 – 144с.