Реферат: Пьер де Ферма

Пьерде Ферма

                                                     Аналитик, будь честен ! 

                                                      Иначеночью Эквидомид-мститель

                                                      Сожметтвое горло смертельной тоской..

                                               Луи Феррон,“Опыт мюидальной геометрии”

            “Пьер, сын Доминика Ферма, буржуа и второгоконсулата города Бомона, крещен 20 августа 1601 г.  Крестный отец — ПьерФерма, купец и брат названного Доминика, крестная мать — Жанна Казнюв, и я”.Подпись отсутствует, но предыдущая запись подписана: “Дюма, викарий”. Этот документискали полтора века и обнаружили лишь в 1846 г. благодаря усилиям адвокатаТопиака. До этого считалось, что Ферма родился и умер в Тулузе, где 34 (!) годаисправно служил чиновником кассационной палаты Тулузского парламента. Маленький городок Бомон на левом берегу Гаронны вблизи  Монтабане-на-Тарне (воФранции более 30 Бомонов) и все его пять тысяч жителей по сей день не в силахосознать значимость находки дотошного адвоката. Здесь родился великий Ферма,последний математик-алхимик,  решавший праздные задачи грядущих столетий,тишайший судейский крючок, лукавый сфинкс, замучивший человечество своимизагадками, осторожный и благонравный чинуша, подтасовщик, интриган, домосед,завистник, гениальный компилятор, один из четырех титанов математики новоговремени.

            Этот современник   Д’Артаньяна почти не выезжализ Тулузы, где осел после женитьбы на кузине своей матери Луизе де Лон, дочерисоветника того-самого парламента. Благодаря тестю он дослужился до званиясоветника и приобрел вожделенную приставку “де”. Сын третьего сословия,практичный отпрыск богатых кожевников, нашпигованный латынью и францисканскимблагочестием, он не ставил перед собой грандиозных задач в реальной жизни.  Онимел пятерых чад, в последствии ставших судейскими чиновниками и священниками.Две дочери Ферма приняли монашество.

            В свой бурный век он прожил основательно и тихо.Он не писал философских трактатов, как Декарт, не был наперсником французскихкоролей, как Виет, не воевал, не путешествовал, не создавал и не посещалматематические кружки, не имел учеников и почти не печатался при жизни. Чиновникампровинциальных судов предписывалось вести замкнутую жизнь, избегая любых проявленийпубличности. Вероятно Ферма, считая себя солидным человеком, стеснялся своейстрасти к досужим формальным играм.  На склоне лет наш герой пишет: “Так как,говоря откровенно, я считаю геометрию самым высоким упражнением для ума, но одновременностоль бесполезным, что я делаю мало различия между человеком, которыйзанимается только геометрией, и искусным ремесленником. Я называю геометриюсамой прекрасной профессией в мире, но все же только профессией, и я частоговорю, что она хороша для пробы сил, но не для того, чтобы вкладывать в неевсе силы...”. Он изменил себе лишь перед смертью, опубликовав в Тулузе далеконе самые блестящие из своих находок в небольшом трактате “О сравнении кривыхлиний прямыми”.  Не обнаружив никаких сознательных претензий на место вистории, Ферма неожиданно умирает в возрасте 64 лет во время поездки по деламслужбы.

            Его прижизненная известность основана на обильнойпереписке, в которой он донимал друзей и недругов необычными задачами. Егопосмертная слава разрослась благодаря скромным пометкам на полях “Арифметики”Диофанта. Обычно человечеству необходимо несколько десятков лет, чтобыразобраться с наследием очередного неуемного гения. Даже такой загадочный“избранник богов” как Эварист Галуа опередил свое время максимум на 60 лет. Наокончательное осмысление загадок Ферма понадобилось без малого четыре века. Ах,Ваша честь, добрейший господин Пьер, почему от Вас так пахнет серой ? 

            Интерес к математике обозначился у Ферма как-тонеожиданно и в достаточно зрелом возрасте. В 1629 г. в его руки попадаетлатинский перевод работы Паппа, содержащий краткую сводку результатов Аполлонияо свойствах конических сечений.  Ферма, полиглот,  знаток права и античнойфилологии, вдруг задается целью полностью восстановить ход рассужденийзнаменитого ученого.  С таким же успехом современный адвокат может попытаться самостоятельновоспроизвести все доказательства в монографии по алгебраической топологии.Однако, немыслимое предприятие увенчивается успехом. Более того, вникая вгеометрические построения древних, он совершает удивительное открытие:  длянахождения максимумов и минимумов площадей фигур не нужны хитроумные чертежи.Всегда можно составить и решить некое простое алгебраическое уравнение, корникоторого определяют экстремум. Он придумал алгоритм, который станет основойдифференциального исчисления. В обрывках писем, в незавершенных рукописях сквозь громоздкие вербальные обозначения на латыни отчетливо проступает нечтомучительно знакомое:

/> .

            Он быстро продвинулся дальше. Он нашелдостаточные условия существования максимумов, научился определять точкиперегиба, провел касательные ко всем известным кривым второго и третьегопорядка. Еще несколько лет, и  он находит новый чисто алгебраический методнахождения квадратур для  парабол и гипербол произвольного порядка (то естьинтегралов от функций вида yp = Cxq и ypxq= С ), вычисляет площади, объемы, моменты инерции тел вращения.  Этобыл настоящий прорыв. Чувствуя это, Ферма начинает искать общения сматематическими авторитетами того времени. Он уверен в себе и жаждет признания.

            В 1636 г. он пишет первое письмо Его преподобиюМарену Мерсенну: ”Святой отец! Я Вам чрезвычайно признателен за честь, которуюВы мне оказали, подав надежду на то, что мы сможем беседовать письменно;… Ябуду очень рад узнать от Вас о всех новых трактатах и книгах по Математике,которые появилась за последние пять-шесть лет.… Я нашел также многоаналитических методов для различных проблем, как числовых, так игеометрических, для решения которых анализ Виета недостаточен. Всем этим яподелюсь с Вами, когда Вы захотите, и притом без всякого высокомерия, откоторого я более свободен и более далек, чем любой другой человек на свете.”

            Кто такой отец Мерсенн?  Это францисканскиймонах, ученый скромных дарований и замечательный организатор, в течении 30 летвозглавлявший парижский математический кружок, который стал подлинным центромфранцузской науки. В последствии кружок Мерсенна указом Людовика XIV будетпреобразован в Парижскую академию наук. Мерсенн неустанно вел огромную переписку,и его келья в монастыре ордена минимов на Королевской площади была своего рода“почтамтом для всех ученых Европы, начиная от Галилея и кончая Гоббсом”. Переписка заменяла тогда научные журналы, которые появились значительно позже.Сборища у Мерсенна происходили еженедельно. Ядро кружка составляли самыеблестящие естествоиспытатели того времен: Робервиль, Паскаль-отец, Дезарг,Мидорж, Арди и конечно же знаменитый и повсеместно признанный Декарт. Рене дюПеррон Декарт (Картезий), дворянская мантия, два родовых поместья, основоположниккартезианства, “отец” аналитической геометрии, один из основателей новойматематики, а так же друг и товарищ Мерсенна по иезуитскому колледжу.  Этотзамечательный человек станет кошмаром для Ферма.

            Мерсенн счел результаты Ферма достаточноинтересными, чтобы ввести провинциала в свой элитный клуб. Ферма тут жезавязывает переписку со многими членами кружка и буквально засыпает письмамисамого Мерсенна.  Кроме того он отсылает на суд ученых мужей законченные рукописи:“Введение к плоским и телесным местам”, а год спустя — “Способ отысканиямаксимумов и минимумов” и “Ответы на вопросы Б. Кавальери”. То, что излагалФерма была абсолютная новь, однако сенсация не состоялась. Современники несодрогнулись.  Они мало, что поняли, но зато нашли однозначные указание на то,что идея алгоритма максимизации Ферма заимствовал из трактата Иоханнеса Кеплерас забавным названием “Новая стереометрия винных бочек”. Действительно, в рассужденияКеплера встречаются фразы типа “Объем фигуры наибольший, если по обе стороны отместа наибольшего значения убывание сначала нечувствительно”. Но идея малостиприращения функции вблизи  экстремума вовсе не носилась в воздухе. Лучшиеаналитические умы того времени были не готовы к манипуляциям с малыми величинами. Дело в том, что в то время алгебра считалась разновидностью арифметики, то естьматематикой второго сорта, примитивным подручным средством, разработанным длянужд низменной практики (“хорошо считают только торговцы”).  Традицияпредписывала придерживаться сугубо геометрических методов доказательств, восходящихк античной математике. Ферма первый понял, что бесконечно малые величины  можноскладывать и сокращать, но довольно затруднительно изображать в виде отрезков.

            Понадобилось почти столетие, чтобы Жан д’Аламберв знаменитой  “Энциклопедии” признал: “Ферма был изобретателем новыхисчислений.  Именно у него мы встречаем первое приложение дифференциалов длянахождения касательных”.  В конце XVIII века еще более определенно выскажется Жозеф Луи граф де Лагранж: “Но геометры — современники  Ферма — не поняли этогонового рода исчисления. Они усмотрели лишь частные случаи. И это изобретение,которое появилось незадолго перед “Геометрией” Декарта, оставалось бесплодным втечении сорока лет”. Лагранж имеет в виду 1674 г., когда вышли в свет “Лекции”Исаака Барроу, подробно освещавшие метод Ферма.

            Кроме всего прочего быстро обнаружилось, чтоФерма более склонен формулировать новые проблемы, нежели, чем смиренно решатьзадачи, предложенные метрами. В эпоху дуэлей обмен задачами между ученымимужами был общепринят, как форма выяснения проблем, связанных с субординацией.Однако Ферма явно не знает меры. Каждое его письмо — это вызов, содержащий десяткисложных нерешенных задач, причем на самые неожиданные темы. Вот образчик егостиля (адресовано Френиклю де Бесси): “Item, каков наименьший квадрат, которыйпри уменьшении на 109 и прибавлении единицы даст квадрат? Если Вы не пришлетемне общего решения, то пришлите частное для этих двух чисел, которые я выбрал небольшими,чтобы Вас не очень затруднить. После того как Я получу от  Вас ответ, япредложу Вам некоторые другие вещи. Ясно без особых оговорок, что в моемпредложении требуется найти целые числа, поскольку в случае дробных чисел самыйнезначительный арифметик смог бы прийти к цели.” Ферма часто повторялся,формулируя одни и те же вопросы по несколько раз,  и откровенно блефовал,утверждая, что располагает необыкновенно изящным решением предложенной задачи.Не обходилось и без прямых ошибок. Некоторые из них были замеченысовременниками, а кое какие коварные утверждения вводили в заблуждениечитателей в течении столетий.

            Кружок Мерсенна прореагировал адекватно.  ЛишьРобервиль, единственный член кружка, имевший проблемы с происхождением,сохраняет дружеский тон писем. Добрый пастырь отец Мерсенн пытался вразумить“тулузского нахала”. Но Ферма не намерен оправдываться: ”Преподобный отец! Вымне пишете, что постановка моих невозможных проблем рассердила и охладилагоспод Сен-Мартена и Френикля и что это послужило причиной прекращения ихписем. Однако я хочу возразить им, что то, что кажется сначала невозможным, насамом деле не является таковым и что есть много проблем, о которых, как сказалАрхимед… ” и т.д…

            Однако Ферма лукавит. Именно Френиклю он послалзадачу о нахождении прямоугольного треугольника с целочисленными сторонами,площадь которого равна квадрату целого числа. Послал, хотя знал, что задачазаведомо не имеет решения. 

            Самую враждебную позицию по отношению к Фермазанял Декарт. В его письме Мерсенну от 1938 г. читаем: “так как я узнал, чтоэто тот самый человек который перед тем пытался опровергнуть мою “Диоптрику”, итак как Вы сообщили мне, что он послал это после того, как прочел мою “Геометрию”и в удивлении, что я не нашел ту же вещь, т. е. (как имею основание егоистолковать) послал это с целью вступить в соперничество и показать, что в этомон знает больше, чем я, и так как еще из ваших писем я узнал, что за нимчислится репутация весьма сведущего геометра, то я считаю себя обязанным емуответить.”  Свой ответ Декарт в последствии торжественно обозначит как “малыйпроцесс Математики против г. Ферма”.

            Легко понять, что привело в ярость именитогоученого. Во-первых, в рассуждениях Ферма постоянно фигурируют координатные осии представление чисел отрезками — прием, который Декарт всесторонне развивает всвоей только что изданной “Геометрии”. Ферма приходит к идее замены чертежавычислениями совершенно самостоятельно, в чем-то он даже более последователен,чем Декарт. Во-вторых, Ферма блестяще демонстрирует эффективность своего методанахождения минимумов на примере задачи о кратчайшем пути светового луча,уточняя и дополняя Декарта с его “Диоптрикой”. 

            Заслуги Декарта как мыслителя и новатора огромны,но откроем современную “Математическую энциклопедию” и просмотрим  списоктерминов связанных с его именем: “Декартовы координаты” (Лейбниц, 1692),“Декартов лист”, “Декарта овалы ”. Ни одно из его рассуждений не вошло висторию как “Теорема Декарта”. Декарт в первую очередь идеолог: он основательфилософской школы, он формирует понятия, совершенствует систему буквенныхобозначений,  но в его творческом наследии мало новых конкретных приемов. Впротивоположность ему Пьер Ферма мало пишет, но по любому поводу можетпридумать массу остроумных математических трюков (см. там же “Теорема Ферма”,”Принцип Ферма”, ”Метод бесконечного спуска Ферма”). Вероятно, они вполнесправедливо завидовали друг другу. Столкновение было неизбежно. При иезуитскомпосредничестве Мерсенна разгорается война, длившаяся два года. Впрочем, Мерсенни здесь оказался прав перед историей: яростная схватка двух титанов, ихнапряженная, мягко говоря, полемика способствовала осмыслению ключевых понятийматематического анализа. 

            Первым теряет интерес к дискуссии Ферма.По-видимому, он напрямую объяснился с Декартом и больше никогда не задевалсоперника. В одной из своих последних работ “Синтез для рефракции”, рукописькоторой он послал де ла Шамбру, Ферма через слово поминает “ученейшего Декарта”и всячески подчеркивает его приоритет в вопросах оптики.  Между тем именно этарукопись содержала описание знаменитого “принципа Ферма”, который обеспечиваетисчерпывающее объяснение законов отражения и преломления света.  Реверансы всторону Декарта в работе такого уровня были совершенно излишни.

            Что же произошло? Почему Ферма, отложив в сторонусамолюбие, пошел на примирение? Читая письма Ферма тех лет (1638 — 1640 гг.),можно предположить самое простое: в этот период его научные интересы резкоизменились.  Он забрасывает модную циклоиду, перестает интересоватьсякасательными и площадями, и на долгие 20 лет забывает о своем методе нахождениямаксимума. Имея огромные заслуги в математике непрерывного, Ферма целикомпогружается в математику дискретного, оставив опостылевшие геометрические чертежисвоим оппонентам. Его новой страстью становятся числа. Собственно говоря, вся“Теория чисел”, как самостоятельная математическая дисциплина, своим появлениемна свет целиком обязана жизни и творчеству Ферма. 

            В трудах древних, с их культом чертежа, мынаходим удивительно мало исследований по теории чисел. Евклид отмечаеткое-какие правила делимости и доказывает бесконечность множества простых чисел.Можно также припомнить cribrum Eratosthenis (решето Эратосфена) — методвыделения простых чисел из натурального ряда. Вот, пожалуй, и все. Особнякомстоят сочинения Диофанта (III век до н. э.), который рассматривал задачи опредставлении чисел и решал неопределенные уравнения в целых числах. Изтринадцати книг его “Арифметики” до наших дней дошло лишь шесть. В Европепереводы сочинений Диофанта на латинский и французский языки появились лишь вначале XVII в. Баше де Мезириак в 1621 г. издал перевод  “Арифметики” ссобственными подробными комментариями и дополнениями. Именно это издание,попавшись в руки Ферма, сыграет выдающуюся роль в истории математики.

            Ферма внимательнейшим образом штудирует“Арифметику” и помещает на полях книги 46 замечаний к тексту. Кроме этихпометок, положения из теории чисел (в основном без доказательств)  рассеяны вписьмах Ферма. Этого вполне хватило для возникновения нового направления вматематике. После смерти Ферма его сын Самюэль издал в 1670 г. принадлежащийотцу экземпляр “Арифметики” под названием “Шесть книг арифметики александрийцаДиофанта с комментариями Л. Г. Баше и замечаниями П. де Ферма, тулузскогосенатора”. В книгу были включены также некоторые письма Декарта и полный текстсочинения Жака де Бильи “Новое открытие в искусстве анализа”, написанное наоснове писем Ферма. Издание имело невероятный успех. Перед изумленными специалистамиоткрылся невиданный яркий мир. Неожиданность, а главное доступность, демократичностьтеоретико-числовых результатов Ферма породили массу подражаний.  В то времямало кто понимал как вычисляется площадь параболы, но каждый школяр мог осознатьформулировку Великой теоремы Ферма. Началась настоящая охота за неизвестными иутерянными письмами ученого. До конца XVII в. было издано и переиздано каждоенайденное его слово. Но бурная история развития идей Ферма только начиналась.

            В последствии Ферма объяснит свое увлечениечислами в письме английским математикам             Дигби и Броункеру. Этописьмо имеет специальный подзаголовок: “Второй вызов Ферма математикам”.  Фермапишет: “Едва ли кто-нибудь может предложить или даже понять чисто арифметическиезадачи. Ибо разве Арифметика не толковалась скорее геометрически, чемарифметически. Это подтверждает большинство трудов древних и новых авторов;подтверждают это и труды самого Диофанта. Он несколько более других отдалилсяот геометрии, когда начал излагать Аналитику в рациональных числах; однако иэта часть не совсем лишена геометрии, что вполне доказали книги Виета“Зететика”, где метод Диофанта переносится на непрерывные величины, а значит, ина геометрию.… Лишь я, словно идущий впереди факелоносец, предлагаю вам длядоказательства или построения следующую теорему или задачу. Если вы ее решите,то поймете, что задачи такого рода ни тонкостью, ни трудностью, ни способомдоказательства не уступают знаменитейшим проблемам геометрии”.

            Что же искал и что открыл Пьер Ферма, занимаясьчислами? Рискнем предположить, что более всего Ферма интересовали способыпостроения простых чисел. Он мечтал найти явную формулу, которая позволяетбыстро вычислять сколь угодно большие простые числа. На полях “Арифметики” онвысказал предположение, что таким “генератором” простых чисел будет формула

/>,            n =0,1,2,...

Действительно, при  n = 0, 1, 2, 3, 4 получаем простыечисла 3, 5, 17, 257, 65537. Ферма полагал, что при всех прочих n  числа F(n) — простые, и неоднократно предлагал своим корреспондентам доказать этотрезультат.

            Понадобилось сто лет, чтобы Леонард Эйлер в 1733г. опроверг утверждение Ферма. Это произошло с подачи Христиана Гольдбаха,который в 1729 г. писал находившемуся в Петербурге Эйлеру:  “Известно ли тебезамечание Ферма о том, что все числа вида /> именно3, 5, 17 и т.д… суть простые, причем сам он, по его признанию, не смог этогодоказать и, насколько я знаю, после него никто не доказал”. Эйлер пару летподумал и показал, что уже при n = 5 числоF(5) делится на 641:

/> .

Для получения этого результата Эйлеру пришлось испытать 160делителей. Составными оказались и многие другие числа Ферма (при n =6,7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 16, 18, 23, 36, 38, 73). Наибольшее из известных внастоящий момент составных чисел Ферма F(452) состоит из 10135цифр и делится на 27×2455+1 ( показано с помощью ЭВМ). Справедливости ради следуетподчеркнуть, что Ферма, считая числа F(n)  простыми,никогда не утверждал, что располагает доказательством этого факта. С другойстороны к настоящему времени известно столько же простых чисел Ферма, сколькоиз знали во времена Ферма, а именно: 3, 5, 17, 257, 65537.

            Итак, Ферма ошибался. Его формула производила восновном составные, а не простые числа. Однако, идея “генерирования” простыхчисел была воспринята с энтузиазмом. Все тот же отнюдь не легкомысленный  Эйлерпредложил многочлен x2-x+41, который при всех целых x от 0 до 40 дает только простые числа. Эйлер не поленился проделать этивычисления, хотя прекрасно знал, что многочлен с целыми коэффициентами не можетпри всех натуральных значениях аргумента принимать только простые значения.Сегодня, несмотря на усилия сотен профессионалов и тысяч дилетантов,  мыпо-прежнему не умеем вычислять сколь угодно большие простые числа, хотя знаеммассу нюансов об их распределении. Один из самых ярких результатов этойобласти  принадлежит академику Пафнутию Львовичу Чебышеву (1850): числопростых чисел не превосходящих n  приблизительно равно />  при n ® ¥ .

            Ферма ошибся, но Ферма был бы не Ферма, если быпозволил хоть одной своей теореме бесславно кануть в лету. “Проклятые числа какоборотни” вылезали в самых далеких от теории чисел исследованиях. В 1796 г.19-летний студент Геттингенского университета Карл Фридрих Гаусс произвелсенсацию, доказав теорему: правильный многоугольник может быть построен спомощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда число его сторон равно 2ap1p2...pb, где все простые числа pi являются числами Ферма, т. е. имеют вид /> . То была месть Фермаспесивым геометрам. Теорема Гаусса подвела черту под многовековыми спорамиотносительно возможности построения правильных многоугольников и сэкономиламассу времени любителям математики. Из этой теоремы следует, что можнопостроить правильные 3-, 5-, 17-, 257-, 65537- и другие многоугольники и нельзяпостроить, например, правильные 7-, 11-, 13- угольники. Для неверующих  Гауссне поленился построить правильный 17-угольник.

            Занимаясь тайнами простых чисел Фермасформулировал много положений о представимости чисел квадратичными формами.Например, он обнаружил следующие удивительно простые и глубокие закономерности:

            1. Формой  x2+y2  представимывсе простые числа, которые лежат в прогрессии 4n+1, причем каждое изних представимо этой формой единственным образом. Ни одно простое число из прогрессии4n+3 не представимо суммою двух квадратов.

            2. Формойx2+2y2представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+3.Ни одно простое число из прогрессий  8n+5 и 8n+7 не представимо ввиде x2+2y2 .

            3. Формойx2-2y2представимы все простые числа, лежащие в прогрессиях 8n+1 и 8n+7.Ни одно простое число из прогрессий  8n+5 и 8n+3 не представимо ввиде x2-2y2 .

            4. Формамиx2+3y2и   x2+xy+y2 представимы все простыечисла, лежащие в прогрессии 3n+1. Ни одно простое число из прогрессии 3n+2 не представимо указанными формами.

            Ферма оставил крайне мало пояснений, дающихвозможность установить, как ему удалось получить эти в высшей степени общиерезультаты. Лишь перед смертью в письме к де Каркави Ферма частично обосновалположение (1) с помощью своего метода бесконечного спуска. Можно лишь пожалетьсовременников Ферма, которые регулярно получали вариации на тему утверждений(1) — (4) в качестве задач. Первые полные доказательства этих утвержденийудалось получить лишь Эйлеру. Попутно он сформулировал очень важную теорему оделимости — так называемой квадратичный закон взаимности, доказательствокоторого дал Гаусс. Через увлечение квадратичными формами прошли Лагранж,Лежандр, Чебышев, а в наше век — Вейль, Артин и многие другие блестящиематематики.  Как всегда идеи Ферма оказались чрезвычайно плодотворны в смыслепостроения далеко идущих обобщений и формирования новых понятий. Добраяполовина терминов современной абстрактной алгебры возникла из попыток доказатьутверждения Ферма.

            Один из важнейших результатов Ферма получилспециальное название “Малая теорема Ферма”. Это фундаментальный факт теорииделимости на простые числа: для любого простого p  и любого a³1, которое не делится на p,разностьap -1-1 делится наp. Например,пусть a=5,

p=2, 3, 7, 11. Тогда 52-1-1=2×2,  53-1-1=3×8,  57-1-1=7×2232,  511-1-1=11×8878. Ферма высказал эту теорему вписьме Френиклю де Бесси в 1640 г. с обычным для него замечанием: “… я бы Вамприслал доказательство, если бы не опасался быть слишком длинным”.

            Первое доказательство “Малой теоремы Ферма” далЛейбниц. Затем Эйлер, начиная с 1736 г., публикует сразу три различныхдоказательства, которые показывают, что Ферма вполне мог уметь доказывать своютеорему. Потомки часто искали элементарные доказательства утверждений Ферма,пытаясь понять насколько лукавил великий тулузец. Проблемы Ферма волновалиЭйлера на протяжении всей жизни. В 1760 г. он получил существенное обобщениеего “Малой теоремы”: пусть j(m) — число натуральных чисел, не превосходящих m  ивзаимно простых с m. Тогда для любого m и любого a³1, взаимно простого с m,разностьaj(m)-1 делится наm. Эту терему Эйлер скромно опубликовалв качестве четвертого доказательства “Малой теоремы Ферма”

           Наконец, мы переходим к изложению самой знаменитойтеоремы в истории математики. Эта теорема получила известность как  “Великаятеорема Ферма” (она же “Большая”, она же “Последняя”).  На современном этоязыке звучит так:

            не существует отличных от нуля целых чиселx,y  и z,  для которых                     имеет месторавенство  

/>

приn>2.

            Разумеется, никакого уравнения у Ферма не было.Он вообще не знал знака равенства, а использовал латинское eq. Приводимутверждение Ферма в оригинальном виде:

            “Куб, однако, на два куба или квадроквадрат надва квадроквадрата и вообще никакую до бесконечности сверх квадрата степень вдве того же названия невозможно разделить”.  И не поставив точку, Фермаприписал: ”я открыл поистине удивительное доказательство этого предложения. Нооно не умещается на узких полях.“

            Этой фразой Ферма прокомментировал задачу изДиофанта: “Заданный квадрат разложить на два квадрата”. Данное замечаниеявляется вторым по счету из сделанных им на полях “Арифметики”. Первое касалосьжитейских тем.

            Неопределенные уравнения (т. е. уравнениями сдвумя неизвестными) вида  /> интересовалидревних греков в связи с теоремой Пифагора. Они искали (и находили) тройкицелых чисел, образующие стороны прямоугольного треугольника. Это означает, чтопри n =1, 2  уравнение в рамке имеет бесчисленное множество решений.Догадка Ферма заключалась в том, что при всех прочих n таких троек  несуществует.

            Вряд ли Ферма был первым, кто пришел к подобномувыводу. Например, около тысячи лет назад узбекский математик Хамид ал-Хадженди(что означает Хамид из Ленинабада) утверждал, что уравнение x3+y3=z3 не имеет решений в целых числах. Сегодня ясно, что Хамид не имел никакихшансов доказать это утверждение.

            В отношении Ферма достоверно известно, что ондоказал “Великую теорему” при n=4  на полях все той же “Арифметики”. Иэто единственное теоретико-числовое доказательство Ферма дошедшее до нашихдней. На протяжении 20 лет Ферма упорно старается привлечь внимание математиковк “Великой теореме”,  предлагая частные случаи в качестве задач.  Случай n=3он формулирует в пяти письмах, причем в последнем письме (от августа 1659 г.)пишет, что доказал теорему для n=3 методом спуска. Между тем “Великуютеорему” для общего случая  n>2  Ферма сформулировал только один разв упомянутом замечании на полях “Арифметики”. Он не формулирует ее ни разу ни водном из писем. Он предлагает только частные случаи (n=3, 4), вотношении которых уверенно говорит, что располагает доказательством.  Даже вписьме к де Каркави от 1659 г., в котором Ферма перечисляет свои основныедостижения, о “Великой теореме” в общем виде нет ни слова. Это может означатьтолько одно: Ферма обнаружил пробелы в своем “поистине удивительномдоказательстве”, которые так и не смог устранить.

            Разумеется, это не охладило потомков. Начиная сконца XVII в. началась невиданная по своей напряженности гонка за доказательством“Великой теоремы Ферма”. Обманчивая простота формулировки теоремы обреклатысячи поклонников математики на бесплодные поиски доказательства илиопровержения теоремы. Более ста лет никому из ученых не удавалось продвинутьсявперед даже при рассмотрении частных случаев конкретных значений показателя n.  

            Первый серьезный результат был получен конечно жеЭйлером (1768). Он показал, что случай n=4 уникален. Это единственныйчастный вариант “Великой теоремы ”, когда доказательство имеет вполне элементарныйхарактер. Уже при n=3 возникают значительные осложнения. Настолькосущественные, что появляется повод в очередной раз сомневаться в честностиФерма. Эйлер доказал теорему для случая n=3, рассматривая комплексныечисла вида /> , где a, b — целые числа.В XVII в. подобная ересь не могла придти в голову даже Ферма.

            Строго говоря, доказательство Эйлера былодефектным, поскольку он необоснованно перенес ряд свойств обычных чисел начисла вида />. В частности онпредполагал единственность разложения таких чисел на простые множители.  Дляустранения пробелов в доказательстве Эйлера понадобились принципиально новыеалгебраические абстракции: числовые кольца и поля. Реализацию этой программыначал Гаусс, которому принадлежит первое абсолютно строгое доказательство“Великой теоремы Ферма” для n=3.

            Доказательство для случая  n=5 предложили почти одновременно в атмосфере острого соперничества два француза:Лежен-Дирихле и Лежандр (1825). Оба доказательства были очень сложными. В 1839г. теорема Ферма была доказана для следующего простого показателя n=7.Это удалось благодаря титаническим усилиям Ламе. Он же в 1847 г. объявил, чтодоказал теорему для всех простых показателей n>3. Однако бдительныйЛиувиль сразу же обнаружил в рассуждениях Ламе ошибку сходную с той, которуюдопустил Эйлер. Ламе был вынужден признать свое поражение.

            Пока во Франции происходили эти события, вГермании молодой математик Куммер упорно занимается теоремой Ферма. Повториввсе ошибки Ламе, он пришел к понятию “идеальных чисел”, для которых разложениена простые множители единственно. Обобщение этого понятия привело к созданиюголовокружительных абстрактных конструкций, которые сегодня  изучаются вспециальном разделе алгебре под названием “Теория идеалов”. Куммер, посвятившийтеореме несколько десятков лет, к концу жизни умел доказывать “Великую теоремуФерма” для всех простых показателей n <100. В 1857 г. ему былавручена премия Французской академии наук в размере 3 тыс. франков. РаботыКуммера окончательно похоронили надежды на возможность доказательства теоремыФерма элементарными средствами. Стало ясно, что Ферма никогда не имел и не могиметь доказательства теоремы в общем виде.

            После Куммера серьезных сдвигов в доказательстветеоремы Ферма не происходило вплоть до 1929 г., когда Вандивер, используя методКуммера, получил в явном виде некие условия, позволяющие проверять истинностьтеоремы для любого простого показателя. С этого момента доказательство теоремыдля конкретного n свелось к чисто вычислительным проблемам, с которымилегко справляются современные ЭВМ. В результате к концу семидесятых годовнашего столетия “Великая теорема Ферма” была доказана для всех n <100000. Это очень большое число, но это еще не все n, а значит “Великаятеорема Ферма” не доказана и не опровергнута.

            “Верна или не верна?” — так назывался чудесныйнаучно-популярный игровой фильм, промелькнувший на экранах телевизоров в началесемидесятых. Современный яйцеголовый математик, разложив на пульте ЭВМстаринные фолианты, колдует над кипящей ретортой. Он решил обратиться кпоследнему средству. Произнесена магическая формула, раздается взрыв, и воблаке дыма появляется интеллигентного вида дьявол (его блестяще играет молодойКайдановский). Помахивая хвостом, нечистый вежливо спрашивает, что угодноклиенту в обмен на бессмертную душу. “Я хочу знать, верна или не верна теоремаФерма” — устало ответствует математик. “Простите, кто кому не верна?” — переспрашиваетошарашенный дьявол. “Великая или Последняя теорема Ферма. Это математическоеутверждение. Оно либо справедливо, либо ошибочно. Я должен это узнать любой ценой”.Дьявол осторожно интересуется насчет более традиционных пожеланий — земныеблага, вечная молодость и все такое. Но математик упрямо требует ответа напроклятый вопрос. Дьявол, обреченно вздыхая, соглашается вникнуть в сутьпроблемы. Математик пускается в объяснения: “Уравнение Ферма может быть решенов целых числах, если показатель равен двум. Например, три в квадрате плюсчетыре в квадрате равно пяти в квадрате. Но если показатель равен трем… ”

“Подождите, — перебивает его дьявол. — Как Вы сказали? Три вквадрате плюс четыре в квадрате… ”, и дьявол  рисует кончиком хвоста:

3

 4

               + 

Математик с изумлением взирает на посланника ада. Дьяволбезнадежно отстал и не знает элементарной алгебры! Придется начинать с самогоначала. Через несколько минут дьявол (а заодно и зритель) уясняет формулировкутеоремы и проникается ее интригующей историей. Он полон оптимизма, ему нетерпится приступить к  решению загадки: “Я всего лишь должен найти три числа?Три обычных числа, которые удовлетворяют уравнению г-на Ферма для некоторогопоказателя, например, для трех”. “Да, этого достаточно, чтобы отвергнутьтеорему” — отвечает математик, но дьявол уже исчез. Через несколько минут онвновь сидит в кресле: “Я перебрал биллионы чисел для тысячи показателей, нонужных цифр среди них не было” — заявляет он обиженно. Математик улыбается: “Зря старались. Известно, что теорема Ферма верна для всехпоказателей не превосходящих 100000. Попытайтесь доказать теорему, используязнания, накопленные людьми”.  Час спустя дьявол появляется вновь. Вид у негосамый озабоченный. Он в очках, на нем модная водолазка. “Да, Вы правы. Эташтучка жжет почище адского пламени. — говорит он задумчиво — Я полностьюовладел математическим анализом, я изучил теорию квадратичных вычетов, рядыДирихле, диофантовы уравнения, дзета-функции, поля классов и многое другое. И язнаю, что близок к цели. Я пришел просить отсрочки еще на час”. Он возвращаетсялишь поздно ночью, разбудив задремавшего математика. “Послушайте, — шепчетвозбужденно дьявол, -  а Вы пробовали рассматривать алгебраические кривые впроективной плоскости инвариантные относительно бирациональных преобразований вхаусдорфовой топологии. Шансов немного, но… ”. “Позвольте, — прерывает егоматематик, — разве это возможно в случае произвольных  полей”. Дьявол в ответраскрывает научный журнал: “Так Вы не видели свежей работы Серра покогомологиям Вейля? Вот, взгляните”. И они, забыв о сделке, углубляются вформулы, обмениваясь репликами на жутковатом профессиональном жаргоне.

            Забавный фильм вполне точно подмечаетинфернальный характер наследия Ферма. “Великая теорема” обернулась проклятиемдля десятков, может быть сотен тысяч людей, имевших несчастье вникнуть в ееформулировку и заразиться желанием испытать свои силы. Вступившие на эту стезюуже не внимали никаким доводам рассудка. Иллюстрацией может служить анекдотичнаятелеграмма, пришедшая в Президиум АН СССР: “Доказал теорему Ферма. Основнаяидея перенести игрек энной в правую часть. Подробности письмом”.

            Ведущие математики всех времен и народовнеоднократно объясняли, что элементарное доказательство теоремы Ферма во-первыхне существует, а во-вторых не будет иметь никакого значения для науки. Оновсего лишь закроет проблему.  Подлинное значение “Великой теоремы” в том, чтопри попытках ее доказательства были выкованы мощные средства, приведшие ксозданию новых обширных разделов математики.

            Движение “ферматистов” приняло невероятныйразмах, после того, как в 1908 г. немецкий любитель математики Вольфскельзавещал 100000 марок тому, кто докажет теорему Ферма. Право присуждения премиипредоставлялось Гетингенской академии Германии. Немедленно тысячи людей сталибомбардировать научные общества и редакции журналов рукописями, якобы содержащимидоказательство “Великой теоремы”. Только в Геттингенское математическоеобщество за первые три года после объявления завещания Вольфскеля пришло болеетысячи “доказательств”. Педантичные немцы даже заготовили бланки: “Вашедоказательство содержит ошибку на стр. ____, которая заключатся в том, что____________” 

После первой мировой войны во время инфляции премияВольфскеля обесценилась, но поток “ферматистских доказательств” не прекратился.

            Финал этой истории банален. В 1993 г. все ведущиеинформационные агентства передали сообщение о том, что двум американскимматематикам удалось доказать теорему Ферма в общем виде. Через полгода в нашейпрессе выступил крупнейший алгебраист акад. Фадеев, который подтвердил фактдоказательства .  XX век покончил с  “Великой теоремой Ферма” тихо и буднично.При помощи обычной теории идеалов.

Литература

1. П.Ферма. Исследования по теории чисел и диофантовуанализу. М., “Наука”, 1992.

2. М.М.Постников. Теорема Ферма.М., “Наука”, 1978.

3. В.А. Никифоровский, Л.С. Фрейман. Рождение новойматематики. М., “Наука”, 1976.

4.Р. Тиле. Леонард Эйлер.Киев, “Вища школа”, 1983.

5. В.Ф. Асмус. Декарт. М., Госполитиздат, 1956.

6. И. Г. Башмакова, Е.И. Славутин. История диофантова анализаот Диофанта до Ферма. М., “Наука”, 1984.