Реферат: Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной равна нулю, т.е..

□ Д о к а з а т е л ь с т в о.

При любых и имеем и. Отсюда при любом отношениеи, следовательно, ■

2. Производная аргумента равна единице, т.е. .

□ Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим функцию. При любых и имеем и. Отсюда при любом отношение и, следовательно, ■

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна алгебраической сумме производных этих функций, т.е.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

□ Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть и — дифференцируемые функции. Найдем производную функции по схеме:

1)Дадим аргументу приращение. Тогда функции и получат наращенные значения и, а функция — значение .

2)Найдем приращение функции: .

3)Составим отношение, которое представим в виде: .

4)Найдем предел этого отношения при, используя теоремы о пределах:

На основании определения производной получили, что:

или. ■

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной:

Следствие 2.Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например:

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле

(при условии, что).

□ Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Дадим аргументу х приращение. Тогда функции и получат наращенные значения и, а функция — значение .

2) Найдем приращение функции:

3) Составим отношение, которое представим в виде:

4) Найдем предел этого отношения при, используя теоремы о пределах:

17. производные основных элементарных функций

Производные основных элементарных функций (таблица производных)

1. Производная логарифмической функции.

А) . Воспользуемся схемой нахождения производных:

1) Дадим аргументу приращение и найдем наращение значений функции .

2) Находим приращение функции .

3) Составляем отношение .

4) Находим предел этого отношения при, т.е. .

Обозначив, найдем и .

В силу непрерывности логарифмической функции, используя 3 свойство функций непрерывных в точке. (Если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке- ), меняем местами символы предела и логарифма, а затем используем определение числа; получим:

Итак, и .

Б) . Найдем, т.е.

и .

2. Производная показательной функции.

А) — прологарифмируем обе части равенства по основанию:. Дифференцируем или, откуда, т.е.

и .

Б).. Итак,

3. Производная степенной функции.

, для любого. Прологарифмируем обе части равенства. Дифференцируем:, откуда, т.е:

4. Производная степенно-показательной функции.

.. Дифференцируем: .

5. Производная тригонометрических функций.