Реферат: Основные понятия математического анализа

1. Определение неопред . интеграла . Если ф-ия F(x) – первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], то мн-о ф-ий F(x)+C, где С =const, назыв неопред интегр от ф-и f(x) на этом промежутке: ∫f(x)dx=F(x)+C При этом ф-я f(x) назыв подынтегр ф-ей, f(x)dx – подынтегр выр-ем, х – переменной интегр-я.

2. Опред-ие первообр от непрерыв ф-ии . Ф-ия F(x) назыв первообр для ф-ии f(x) на промежутке [a,b], если для всех значений х из этого промежутка вып- я F’(x)=f(x). Если ф-ия f(x), хЄ[a,b] – непрерыв, то для нее сущ-ет первообразная (неопред. Интеграл)

4. Выр-ие (∫ f ( x ) dx ) . Производная неопред интеграла = подынтегр ф-ии. (∫f(x)dx)’=f(x). Док-во: (∫f(x)dx)’= =(F(x)+C)’= F’(x)= f(x)dx

5. Выр. ∫ dF ( x ) Неопред интеграл от дифф-ла некоторой ф-ии = сумме этой ф-ии и произвольной постоянной ∫dF(x)=F(x)+C.Так как ∫dF(x)= F’(x)dx, то ∫F’(x)dx=F(x)+C. Теорема: Если ф-я F(x) является первообр ф-ии f(x) на отрезке [a,b], то мн-во всех первообр ф-ии f(x) задается формулойF(x)+C, С=const.

Док-во: F ( x )+ C – первообр, тогда ( F ( x )+ C )’= F ’( x )+ C ’= F ’( x )= f ( x ) Ф(х) – -тоже первообразная: Ф’(х)=f(x), xЄ[a,b]. (Ф(х)-F(x))’= Ф’(х)-F’(x)=f(x)- f(x)=0 =>Ф(х)-F(x)=C, С-const. Таким образом Ф(х)=F(x)+С. Ф-ия, производ которой на некотором промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежут-ке. φ’(x)=0 => φ(x)=C, для каждого хЄ[a,b], тогда для каждого х1, х2 Є [a,b], х1<х2. По теореме Лангранжа: φ(x2)- φ(x1)=0, φ(x)=С

6. Если k - const , ненулевое число, то ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx –k можно вынести из-под знака интеграла. Пусть F(x) – первообр для ф-ии f(x), т.е. F’(x)=f(x), тогда kF(x)-первообр для ф-ии kf(x): (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). -k∫f(x)dx=k[C+(x)F]=kF(x)+C1=∫kf(x)dx, где С1=kC7. Если ∫ f ( x ) dx = F ( x )+ C , то и ∫ f ( u ) du = F ( u )+ C , u =φ( x ) – произвольная ф-ия, непрерывн, дифферен-я. f(x)-непрерыв. => ∫f(x)dx=F(x)+C, u=φ(x)-непрерыв. дифферен.ф-я. F(u)=F(φ(x)) –согласно инвариантности первого дифф-ла. Инвариантность первого дифф-ла: y=f(x) dy=f’(x)dxy=f(u), u=φ(x)– непрерыв, диф-я dy=f’(x)dudF(u)=F’(u)du= =f(u)du ∫f(u)du=∫d(F(u))=F(u)+C

8. Выражение d (∫ f ( x ) dx )= f ( x ) dx — Дифференциал от неопред интегр = подынтегр выр-ю. d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C) =dF(x)+dC=F’(x)dx+0=f(x)dx

9. Интеграл ∫[ f ( x )± g ( x )] dx = ∫ f ( x ) dx ±∫ g ( x ) dx –неопред интеграл от алгебраической суммы двух ф-ий равен алгебраической суммe интегр от этих

ф-ийвотдельности: Пусть F(x) и G(x) – первообразныедляф-ий f(x) и g(x): ∫[f(x)+g(x)]dx=∫(F’(x)+G’(x))dx=∫(F(x)+G(x))’dx=∫d(F(x)+G(x))= F(x)+G(x)+C= F(x)+G(x)+C1+C2=F(x)+C1+G(x)+C2 =∫f(x)dx+∫g(x)dx.

10. Вывод формулы замены переменного в неопред интегр (подстановка).Пусть ф-я x=φ(t) опред-на и диф-ма на некотором промежутке Т и Х-мн-во значений этой ф-ии, на кот. определена ф-я f(x). Тогда, если на мн-е Х ф-я f(x) имеет первообр, то на мн-ве Т справедлива фор-ла: ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt Док: Пусть F(x)-первообр для f(x) на мн-ве Х. Рассмотрим на мн-ве Т сложную ф-ю F[φ(t)]: (F[φ(t)])’= Fx ’[φ(t)]φ’(t) =f[φ(t)]φ’(t), т.е. ф-я f[φ(t)]φ’(t) имеет на мн-ве Т первообр F[φ(t)] >∫f[φ(t)]φ’(t)dt=F[φ(t)]+C, Замечая что F[φ(t)]+C=F(x)+C= ∫f(x)dx, =>получаем ∫f(x)dx= ∫f[φ(t)]φ’(t)dt.

Дарбу : Mn =sup (f(x)); mn =inf (f(x)), xÎ(xi-1; xi ) Sρ =å Mn∆ xi – верхний; Sρ =å mn∆ xi — нижний; СВ - ВА :

1, «верхняя сумма >=нижней; 2, при изменеии разбиения верхняя не увел, нижняя не умень.; 3, измельчение разбиения-добовлене нескольких точек0=< Sρ -I<e -для верх и ниж — Лемма.

11. Вывод формулы интегрир по частям. Пусть ф-ии u(x) и v(x) определены и диф-мы нанекотором пром-ке Х и пусть ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на этом пром-ке. Тогда на пром-ке Х ф-я u(x)v’(x) также имеет перво-ю и справедлива формула: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Док-во: [u(x)v(x)]’= u’(x)v(x)+u(x)v’(x) -u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x)Первообр ф-ии [u(x)v(x)]’ на пром-ке Х является ф-я u(x)v(x). Ф-я u’(x)v(x) имеет первообр на Х по условию теор. -, и ф-я u(x)v’(x) имеет пер-ю на Х.Интегр-уя последнее рав-во получаем: ∫u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u’(x)dx. Так как v’(x)dx=dv,u’(x)dx=du, то ее можно записать в виде: ∫udv=uv-∫vdu По лекциям: d ( uv )= udv + vdu ;∫ d ( uv )= ∫udv+vdu => ∫udv=∫d(uv)-∫vdu=uv-∫vdu Теорема о существовании конечного.

12. Определение дробно рациональной ф-ии. Понятие правильной и неправильной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида Pn (x)=an xn + an-1 xn-1 +…+ a1 x1 +a0, n – натуральное число. ai, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-й (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отношению 2-х мн-нов: f(x)= Pm (x)/ Qn (x), Pm (x)-мн-eн степени m, Qn (x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a)

2) A/(x-a)k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x2 +px+q) x2 +px+q=0, D<0

4) ( Mx + n )/( x 2 + px + q ) k k >=2

предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий: Пусть сущ f.

13. Если х=а – действит корень кратности k знамен-ля Qn ( x ) прав-ой рацион дроби, т.е. Qn ( x )=(х-а) k Õ n - k ( x ) Тогда дробь будет представляться в виде суммы 2 правильных дробей: Pm (x)/Qn (x)=A/(х-а)k +Rs(x)/(х-а)k-1 Õn-k (x) A-некоторая постоянная, s<n-1 Док-во: Pm (x)/Qn (x)=[A Õn-k (x)+ Pm (x)-AQn-k (x)]/[(х-а)k Õn-k (x)]=[ A Õn-k (x)]/ [(х-а)k Õn-k (x)]+[ Pm (x)-AQn-k (x)]/ [(х-а)k Õn-k (x)]=A/(х-а)k +[Pm (x)-AQn-k (x)]/ [(х-а)k Õn-k (x)], для каждого А. х=а – корень ура-я Pm (x)- A Õn-k (x)=0; Pm (а)- A Õn-k (а)=0; Pm (а)≠0 и A Õn-k (а)≠0; A= Pm (а)/A Õn-k (а); Pm (x)- A Õn-k (x)=(x-a) Rs(x); Pm (x)/Qn (x)= A/(х-а)k +[(x-a) Rs(x)]/[(x-a) Õn-k (x)]= A/(х-а)k + Rs(x)/[(х-а)k-1 Õn-k (x)]; A= Pm (а)/Õn-1 (а).

1 4 . Если Qn ( x )= ( x 2 + px + q )µ Т n -µ ( x ), где p 2 -4 q <0, Т n -µ ( x ) мн-ен не делится на x 2 + px + q , то правильную рацион дробь Pm ( x )/ Qn ( x ) можно представить в виде суммы 2 правильных: Pm (x)/Qn (x) =(Mx+N)/ (x2 +px+q)µ +Фs(x)/[ (x2 +px+q)µ-1. Тn-µ (x)],µ,N-нек постоянные, s<n-1 Док-во: Pm (x)/Qn (x) =[(Mx+N) Тn-µ (x)+ Pm (x)-(Mx+N) Тn-µ (x)]//(x2 +px+q)µ Тn-µ (x)]= (Mx+N)/(x2 +px+q)µ + [Pm (x)-(Mx +N) Тn-µ (x)]/[ (x2 +px+q)µ Тn-µ (x)] для люб µ и N. x2 +px+q=0, D<0, x12 =α±iβ, µ и N: Pm (α+iβ)-[ µ (α+iβ)+N]*Tn-µ (α+iβ)=0. µ (α+iβ)+N=[ Pm (α+iβ)] /[ Tn-µ (α+iβ)]=k + il . Система{ µ α+N =k=> N=k- α(L/b) µb=L=> m=L/bPm (x)/Qn (x)=(Mx+N)/(x2 +px+q)µ +Ф s ( x )/[ ( x 2 + px + q )µ-1 Т n -µ ( x )] конечному пределу при ранге разбиения — 0.

1 5 . Разложение рацион дроби на простейшие. Если рацион ф-я R(x)/Q(x) имеет степень мн-на в числ-ле < степени мн-на в знамен-ле, а мн-н Q(x) представлен в виде Q(x)= A(x-a)r (x-b)s …(x2 +2px+q)t (x2 +2ux+v)z …, где a,b,.., p,q,u,v,…-вещественные числа, то эту ф-ю можно единств образом представить в виде:R(x)/Q(x) =A1/(x-a)+A2/(x-a)2 +…. An/(x-a)n +…. (M1x+N1) / (x2 +2px+q)+ (M2x+N2)/ /(x2 +2px+q)2 +…+(Mkx+Nk)/(x2 +2px+q)k +, где А1, А2,.М1..N1-вещест числа

1 6 . Определение дробно рацион фун-ии. Понятие правильной и неправ-ной рациональной фун-ии. Простейшие дроби вида 1-4. Фун-ия вида Pn (x)=an xn + an-1 xn-1 ++ a1 x1 +a0, n– натуральное число. ai, i=0, n=const называется мн-ном n-ой степени.

Определение: Дробно рацион фун-uей (рациональной дробью) назыв фун-ия равная отн-ю 2-х мн-нов:f(x)= Pm (x)/ Qn (x), Pm (x)-мн-eн степени m, Qn (x)-многочлен степени n. Рацион дробь назыв правильной, если m<n. Иначе неправильной. P(x)/Q(x)= S(x)+R(x)/Q(x).Пример(деление дроби). Простейшие дроби 4 вида

1) A/(x-a) 2) A/(x-a)k k>=2 целое

3) (Mx+n)/(x2 +px+q) x2 +px+q=0, D<0

4) (Mx+n)/(x2 +px+q)k k>=2

17. Вычисление интегралов от тригонометрических ф-ий.

1) ∫R(sinx, cosx)dx Замена перем-ных tg(x/2)=t (универ. тригонометр замена)sinx=2t/(1+t2 ) cosx=(1-t2 )/ /(1+t2 )dx=2/(1+t2 )dt;∫R(2t/(1+t2 ), (1-t2 )/ /(1+t2 )) 2/(1+t2 )dt=∫Ř(t)dt

2) ∫R(sinx) cosxdx=|sinx=t, cosxdx=dt|=∫R(t)dt

3) ∫R sinx(cosx)dx=|cosx=t, -sinxdx=dt|=-∫R(t)dt

4) ∫R(tgx)dx=|t=tgx, x=arctgt, dx=dt/(1+t2 )|= ∫R(t)dt/(1+t2 )5) R(sinx, cosx)= R(-sinx, -cosx)

∫R(sinx, cosx)dx=|t=tgx, dx = dt/(1+ t2 )| =∫Ř(t)dt

6) ∫sin m x cos n xdx

a)m=2k+1 ∫sin 2k x cos n x sinxdx=∫(1-cos 2 x)k cos n x sinxdx=|t=cosx, dt=-sinxdx|=-∫(1-t 2 )k t n dt

b)n=2k+1 ∫sin m x cos 2k x cosxdx= ∫sin m x (1-sin 2 x)k dsinx

7) ∫sin 2p x cos 2a xdx sin2 x=(1-cos2x)/2

cos2 x=(1+cos2x)/2 sinxcosx=(1/2)sin2x

8) m=-µ n=-ν замена t=tgx

1/ sin2 x=1+ ctg2 x 1/ cos2 x=1+tg2 x

9) ∫tgm xdx; ∫ctgm xdx, m-целое >0ое tg2 x=1/ cos2 x-1

сtg2 x=1/ sin2 x-1

10) ∫sinmxcosnxdx ∫sinmxsinnxdx

∫cosmxcosnxdxsinmxcosnx=(1/2)(sin(m+n)x+sin(m-n)x)

sinmxsinnx=(1/2)(cos(m-n)x-cos(m+n)x)

Теорема о существовании конечного предела интегральных сумм для непрерывных ф-ий

Пусть существует f определенная на замкнутом интервале [a,b] => ее интегр суммы стремяться к конечному пределу при ранге разбиения — 0.

ax2 +bx+c=a(x+b/2a)+(4ac-b2 )/(4a2 ) x+b/2a=t; (ax+b)/(cx+d)=tk =>

ax+b= cx tk + dtk =>x=…; dx=(…)dt

Заменапеременной: ∫f(x)dx=|x=φ(t); t=g(x); dx= φ’(t)dt|=∫f(φ(t)) φ’(t)dt

Поднесение по знак дифф-ла: Если ∫f(x)dx=F(x)+C, то ∫f(n)dx=F(n)+C

интегрир по частям: ∫udv=uv-∫vdu

∫xsinxdx=|u=x; du=dx; dv=sinxdx; v= -cosx|=-xcosx-∫-cosxdx= -xcosx+sinx.

Ф-цию вида R(x,m Ö(ax+b)/(cx+d) –называют дробно линейной ирр-тью. С помощью замены t=m Ö(ax+b)/(cx+d) рационализируем интеграл. tm = (ax+b)/(cx+d); x=(b-dtm )/(ctm -a) –рацион ф-ция от t; dx=(mtm-1 (ad-bc)dt)/(ctm -a)²ÞòR(x,m Ö(ax+b)/ (cx+d))dx=òR((b-dtm )/ (ctm -a),t) (mtm-1 (ad-bc)dt)/(ctm -a)²= òR1(t)dt. R1(t)-рацион-ая. Вида òR(x,Öax²+bx+c)dx, -квадр-ая ирр-ть где а, b, c=const. Если трёхчлен ax²+bx+c имеет действит корни х1 х2 то ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2) и R(x,Öax²+bx+c)=R(x,(x-x1)Ö(x-x2)a/(x-x1)=R1(x,Ö(x-x2)/(x-x1); пусть ax²+bx+c не имеет действит корней и а>0. Тогда подстановка (Эйлера) t=Ö(ax²+bx+c) +xÖaÞax²+bx+c=t²-2xtÖa+ax²; x=(t²-c)/2t(Öa)+b –рацион функ-ция от t Ч.Т.Д; Если а<0 с>0 (ax²+bx+c)>=0) то можно сделать замену Öax²+bx+c=xt+Öc {}{}Опред интеграл. Ограниченность интегрируемой ф-ии. {O}Разбиением t[a,b] называется произвольное мн-во точек xi, I=0,1,…,it удовлетворяющее условию x0=a<x1<x2<…<xit-1<xit{} Каждый из отрезков [xi-1,xi] назыв отрезком разбиения t{} Пусть ф-ция y=f(x) определена на [a,b] и t произвольное разбиение этого отрезка, в каждом отрезке разбиения в произвольном образе выберем (.) xiÎ[xi-1,xi] I=1,..,it и рассмотрим сумму st (f,x1,…,xit)= åI=1ix f(xI)Dx; -интегральная сумма {Определение} Число I –называется опред ò ф-ции y=f(x) на отр[a;b] и обозначается a òb f(x)dx Если „E>0 $dE =d(E)>0 | при любом разбиении s мелкости |t|<dE и любом выборе (.) xiÎ[xi-1,xi], I=1,…,it | åI=1it f(xi)Dx-I | <E При этом пишут I=lim s t | t | ® . {T}Если ф-ция интегрируема на отр. [a,b] то она ограничина на этом отрезке {Док-во} Пусть ф-ция y=f(x) интегрируема на [a,b] но не является ограниченным. на этом отрезке. На этом отрезке рассмотрим произвольное разбиение t отрезка [a,b] то она ограничена хотя бы на одном на одном отр. разбиения. Пусть это будет отр.[xj0-1 ,xj0] Тогда на этом отрезке существует последов-ть точек $ {xnjo }>0 | limn®¥ f(xnjo )=¥ Рассмотрим сумму st =åI=1it f(xI)Dxi=f(xio)Dxjo +åI=1it f(x)Dxi=f(xjo)Dxjo+B Зафиксируем произвольным образом xiÎ[xi-1,xi] i¹jolimst (f,x1,…,x0n ,..,xit) =lim(f(xjo)Dxjo+B)=¥m>0 существует n0 | st (f,x1,…,xjo(n) ,…,xit )>m Отсюда Þ, что интегр сумма при мелкости разбеения |t|®0 не могут стремится ни к какому конечному результату. Предположим, что $I=lim|t|®0st Þ“E>0 $dE >0 | „t, |t|<dE и любой выбор точек xi вып-ся нер-во |dt -I|<EÞ|dt |=|dt -I+I|<|dt -I|+|I| <E+|I|; M=E+|I| при любом разбиении t в частности при при |t|<dE можно выбрать точки x1,..,xit такие, что |st |>MÞф-ция не может быть не ограничена на отр[a,b]. Ч.Т.Д.Ф-ла Ньтона-Лейбница a òb f(x)dx=Ф(b)-Ф(а)=Ф(х)|аb –(1) {T} (основная теорема интегрального исчисления) Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на [a,b] и Ф(х)-какая либо из её первообразных. Þ (1) {Док-во} F(x)=a òx f(t)dtтогда ф-ции F(x) и Ф(x) первообразные для f(x) на [a,b] $F(x)=Ф(х)+С; a òx f(t)dt=Ф(х)+С Если x=a то a òа f(t)dt=0 Þ 0=Ф(а)+СÞ С=-Ф(а)Þa òx f(t)dt=Ф(х)-Ф(а) Поллагая в равенстве x=b приходим к вормуле (1) Ч.Т.Д.

18.Равномерная сх-сть ф-ых послед-стей и рядов.Признак Вейерштрасса.Ф-циональную посл-сть {fn)x)} xÎE наз. равномерно сходящейся ф-цией f на м-ж Е, если для Îe >0, сущ номер N, такой, что для “ т х ÎE и „n >N вып-ся: |fn(x)-f(x)|<e. Если м-ж {fn)x)} равномерно сх-ся на м-ж Е, то она и просто сх-ся в ф-ции f на м-ж. Е тогда пишут: fn-f.

наз. равномерно сх-ся рядом, если на м-ж Е равномерно сх-ся посл-сть его частичной суммы., т. е. равномерная сх-сть ряда означает:Sn(x) -f(x) Не всякий сходящийся ряд является равномерно сх-ся, но всякий равномерно сх-ся – есть сх-ся Т. (Признак Вейерштрасса равномерной сх-ти ряда): Если числовой ряд: (7), где a >=0 сх-ся и для “xÎE и „n = 1,2… если выполняется нер-во un(x)|<=an(8), ряд (9) наз абс-но и равномерно сх-ся на м-ж Е.

Док-ва:

Абсолютная сх-сть в каждой т. х следует из неравенства (8) и сх-ти ряда (7). Пусть S(x) – сумма ряда (9), а Sn(x) – его частичная сумма.

Зафиксируем произвольное e >0 В силу сх-ти ряда (7) сущ. номера N, “n >N и вып. нерво . Следовательно: |S(x)-Sn(x)| = . Это означает, что Sn(x) -S(x) что означает равномерную сх-сть ряда..

19. Степенные ряды. Теорема Абеля. Степенным рядом наз ф-ный ряд вида: a0+a1 x+a2 x2 +… + an xn =(1) xÎR членами которого Степенным рядом наз также ряд: a0+a1 (x-x0)+a2 (x-x0)2 … + an (x-x0)n = (2)Степенной ряд (1) сх-ся абс-но по крайней мере в т. х = 0, а ряд (2) в т х = х0, т.е в этих случаях все кроме 1 равны 0. являются степенные ф-ции. Числа anÎR, наз коэффициентами ряда(1). Ряд (2) сводится к ряду (1) по ф-ле у = х-х0.Т Абеля: 1Если степенной ряд (1) сх-ся в т. х0 ¹ 0, то он сх-ся абсолютно при любом х, для которого |x|<|x0|, Если степеннгой ряд (1) расх-ся в т. х0, то он расх-ся в любой т. х, для которой |x|>|x0|

20. Радиус сх-ти и интервал сх-ти степенного ряда. Рассмотрим степенной ряд: (1) Число (конечное или бесконечное) R>=0 наз радиусом сх-ти ряда (1) если для любого х такого, что |x|<R ряд (1) сх-ся, а для » х таких. что |x|>R ряд расх-ся интервалом сх-ти.Т1 Для всякого степенного ряда (1) сущ-ет радиус сх-ти R 0<=R<=+¥ при этом, если |x|<R, то в этой т. х ряд сх-ся абс-но. Если вместо х взять у = х-х0, то получится: интервал сх-ти: |x-x0<R| будет: (x0-R, x0+R)При этом если |x-x0|<R, то ряд сх-ся в т. x абс-но иначе расх-ся. На концах интервала, т. е. при x = -R, x=+R для ряда (1) или x = x0-R, x=x0+R для ряда (3) вопрос о сх-ти решается индивидуально. У некоторых рядов интервал сх-ти может охватывать всю числовую прямую при R = +¥ или вырождаться в одну точку при R=0.Интервал на числовой оси состоящий из т. х для которых |x|<R, т. е. (-R, +R) наз. Т2 Если для степенного ряда (1) сущ-ет предел (конечный или бесконечный): , то радиус сх-ти будет равен этому пределу. Если сущ-ет предел степенного ряда, то радиус сх-ти равен 1/пределот ряда Если степенной ряд (1) имеет радиус сх-ти R>0, то на любом отрезке действительной оси вида |[-r,r] целиком лежащем внутри интервала сх-ти ряд (1) сх-ся равномерно.

На любом отрезке |x-x0|<=r сумма степенного ряда является непрерывной ф-цией.

Если ф-ция f(x) на интервале (x0-R, x0+R) является суммой ряда, то она дифференцируема на этом интервале и её производная f’(x) находится дифференцированием ряда. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке целиком принадлежащем интервалу сходимости при этом полученный степенной ряд имеет тот же радиус сходимости что и исходный ряд.

21. Разложение ф-ций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть(1) сх-ся при |x-x0|<R а его сумма является ф-лой f(x)= (2) В этом случае говорят, что ф-ция f(x) разложена в степенной ряд. (1). Т1 Если ф-ция f распространяется в некоторой окрестности т. х0 f(x)= , то и справедлива формула: (15) Если в некоторой окрестности заданной точки ф-ция распадается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Пусть дествит. ф-ция f определена в некоторой окрестности т. х0 и имеет в этой точке производные всех порядков, тогда ряд:(6) наз рядом Тейлора ф-ции f в т, х0 При х0=0 ряд Тейлора принимает вид:

(6’) и называется ряд Маклорена.

Ряд Тейлора может:

1 Расх-ся всюду, кроме х=х0

2 Сх-ся, но не к исходной ф-ции f(x), а к какой-нибудь другой.

3 Сх-ся к исходной ф-ции f(x)

Бесконечная дифференцируемость ф-ции f(x) в какой-то т. х0 является необходимым условием разложимости ф-ции в ряд Тейлора, но не является достаточным. Для введения доп-ных условий треб. ф-ла Тейлора.

Т2 Если ф-ция f(x) (n+1) дифф-ма на интервале (x0-h, x0+h) h>0, то для всех xÎ (x0-h, x0+h) имеет место ф-ла Тейлора:

где остаток rn (x) можно записать:

(8)

(9)

Формула (8) наз остаточным членом ф-лы Тейлора в интегральной форме. Ф-ла (9) – формулой Лагранжа.

Преобразуя ф-лу Тейлора при х0 = 0 получаем ф-лу Маклорена.

Т3 Если ф-ция f(x) имеет в окрестности т х0 производные любого порядка и все они ограниченны одним и тем же числом С, т е «xÎU(x0) |f(n) (x)|<=C, то ряд Тейлора этой ф-ции сх-ся в ф-ции f(x) для всех х из этой окрестности.

22. Разложение элементарных ф-ций в ряд Тейлора (Маклорена). 1 Разложение ф-ции ехряд Маклорена. радиус сх-ти: R=¥ следовательно ряд абсолютно сх-ся на всей числовой прямой. Разложение sinx и cosx В степенной ряд Маклорена сх-ся на всей числовой оси, сх-ся на всей числовой оси, f(x) = (1+x)aназ. биномиальный ряд с показ-ем a.

Разложение ф-ции ln(1+x)

сх-ся при –1<x<=1

5 Разложение arctgx в степенной ряд Маклорена

сх-ся при -1<=x<=1.