Реферат: Положительные и ограниченные полукольца

Федеральное агентство по образованию

Государственноеобразовательное учреждение высшего профессионального образования
Вятский государственныйгуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускнаяквалификационная работа

Положительные и ограниченныеполукольца

Выполнил:

студент V курсаматематического факультета

Ворожцов ВячеславАндреевич   _____

Научный руководитель: 

кандидатфизико-математических наук, доцент кафедры алгебры и геометрии В.В.Чермных   ________

Рецензент:

докторфизико-математических наук, профессор кафедры алгебры и геометрии Е.М. Вечтомов  _______

Допущена к защите в государственнойаттестационной комиссии

«___» __________2005 г.     Зав.кафедрой                             Е.М. Вечтомов

«___»___________2005 г.     Деканфакультета                     В.И. Варанкина

Киров

2005


Содержание

Введение… 3

Глава 1. Основные понятия теории полуколец… 4

1.1. Определениеполукольца. Примеры… 4

1.2. Дистрибутивныерешетки… 5

1.3. Идеалы полуколец… 6

Глава 2 Положительные и ограниченныеполукольца… 7

2.1. Определение ипримеры положительных и ограниченных полуколец      7

2.2. Основные свойстваположительных и ограниченных полуколец… 7

Библиографический список… 16


Введение

Теория полуколец – этораздел современной алгебры, обобщающий как кольца, так и дистрибутивныерешетки. Понятие полукольца возникло в 30-х годах прошлого столетия. Каксамостоятельная теория полукольца начали изучаться в 50-е годы. Особенно интенсивнотеория полуколец развивается последние 20 лет, что вызвано не толькотеоретическим интересом, но и многочисленными ее приложениями.

Целью данной работыявляется изучение классов положительных и ограниченных полуколец, рассмотрениеосновных свойств данных алгебраических объектов, часть из которых доказываетсяавтором работы самостоятельно; приведены примеры полуколец.

Работа состоит из 2 глав.В первую главу вошли основные определения и факты, на которые опирается этаработа. Вторая – основная часть всей работы, в ней рассмотрены определения исвойства положительных и ограниченных полуколец, приведены примеры, доказанынекоторые теоремы.


Глава I. «Основные понятия теорииполуколец».

1.1. Определениеполукольца. Примеры.

Определение полукольца:Непустое множество S сбинарными операциями + и · называется полукольцом, есливыполняются следующие аксиомы:

1.  (S,+) – коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

·    Ассоциативность: />;

·    Коммутативность: />;

·    Существованиенейтрального элемента: />.

2.  (S,·) – полугруппа:

·    Ассоциативность: />;

3.  Умножение дистрибутивно относительносложения:

·    леваядистрибутивность: /> а(в+с)=ав+ас;

·    правая  дистрибутивность:/> (а+в)с=ас+вс.

4.  Мультипликативное свойство0:

·    />.

Эта аксиоматика появиласьв 1934 году и ее автором является Вандовер.

Полукольцо S называется коммутативным, если операция /> в нем коммутативна: />.

Полукольцо S называется полукольцом с единицей, если в немсуществует нейтральный элемент по умножению, который называется единицей (1):/>

Примеры полуколец:

1.   <N,+,·>, где N – множество неотрицательных целых чисел с обычнымиоперациями + и ·;

2.   <{0},+,·> — тривиальное полукольцо;

3.   Двухэлементные полукольца:<Z2,+,·>, <В,+,·> (в В 1+1=1);

4.   Множество матриц />с элементами из полукольца N и операциями + и />;

5.   Множества N, Z, Q+, Q, R+, R ивведенных на них различных комбинаций операций: обычные сложение и умножение,максимум /> и минимум /> двух чисел, НОД и НОК,когда они определены.

Полукольцо с импликацией /> /> называетсямультипликативно (аддитивно) сократимым.

Полукольцо, в котором выполняетсяравенство /> />, называется мультипликативно(аддитивно) идемпотентным.

1.2. Дистрибутивныерешетки.

Пусть L – произвольное множество. Введем наL отношение /> положив,

/>.

Отношением порядка называется рефлексивное,транзитивное, антисимметричное бинарное отношение на множестве L, при этом множество Lназовем частично упорядоченныммножеством.

Отношение /> на множестве L является отношением порядка.   

Пусть M – непустое подмножество частичноупорядоченного множества L.Нижней гранью множества M называетсятакой элемент />, что  /> для любого />. Нижняя граньm множества M называется точной нижней гранью, если/>, где n– произвольная нижняя грань множестваM. Двойственным образом определяетсяточная верхняя грань.

Частично упорядоченноемножество L называется решеткой, еслилюбые два элемента имеют точную верхнюю /> иточную нижнюю /> грани; решетканазывается дистрибутивной, если в ней выполняются дистрибутивныезаконы:

/>

/>

Кроме этого определениясуществует еще одно определение дистрибутивной решетки. Алгебраическая система Lс двумя бинарными операциями сложения+ и умножения ∙ называется решеткой, если (L, +) и (L,∙) являются идемпотентнымикоммутативными полугруппами и операции связаны законами поглощения

/> ,/>;

Решетка называется дистрибутивной,если для любых /> />, ограниченной, если она имеет0 и 1.

1.3.Идеалы полуколец.

Непустое подмножество I полукольца S называется левым (правым) идеалом полукольцаS, если для любых элементов a, b/>I, s/>S элементы a+b и sa(as) принадлежат I.

Непустое подмножество,являющееся одновременно левым и правым идеалом, называется двустороннимидеалом или просто идеалом полукольца. Идеал, отличный от полукольцаS называется собственным. Наименьшийиз всех (левых) идеалов, содержащий элемент a/>S, называется главным (главнымлевым) идеалом, порожденным элементом a. Обозначается (a) или SaS,односторонние Sa и aS – левый и правый соответственно. Множество всехэлементов принадлежащих главному идеалу можно записать так />.

Собственный идеал M полукольца S называется максимальным (максимальным правым) идеалом,если /> влечет M=A или A=S для каждого идеала A .

Примерами идеалов могутслужить следующие подмножества:

1.    {0} – нулевойидеал;

2.    S – идеал, совпадающий со всемполукольцом;

3.    Идеал на полукольце/>: />;

4.    Главный идеалограниченной дистрибутивной решетки L, порожденный элементом a:/>.


Глава II«Положительные и ограниченные  полукольца».

2.1.Определение, примеры  и основные свойства.

Полукольцо S с 1 называется положительным,если для любого элемента а /> S элемент а+1 обратим в S, т.е./>.

Примерами положительныхполуколец служат следующие алгебраические системы:

1.       ограниченныедистрибутивные решетки;

2.       полукольцанепрерывных R+ — значных функций;

3.       множество всехидеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

Полукольцо S называется ограниченым, еслидля любого /> выполняется />. Ограниченноеполукольцо – частный случай положительного полукольца.

Примеры ограниченныхполуколец:

1.       ограниченныедистрибутивные решетки;

2.       множество всехидеалов полукольца, с операциями сложения и умножения.

2.1.Основныесвойства положительных и ограниченных  полуколец:

I.                  Для полукольца Sследующие условия равносильны:

1. S– положительное полукольцо;

2. для любогомаксимального одностороннего идеала Mв Sи любых a и b /> S

(a+b/> M)/> (a/> M& b/> M).

Доказательство:

1/>2. Пусть/> для произвольных /> и максимального правогоидеала M. Предположим, что />,тогда /> и />/>длянекоторых /> и />. Имеем:

/>.

В левой части последнегоравенства – элемент из M,тогда как в правой части обратимый справа элемент; противоречие.

2/>1. Пусть выполнено 2 и с– произвольный элемент из S.Элемент 1+с не лежит ни в одном максимальном одностороннем идеалеполукольца S (т.к.  в противном случае в силуусловия 2 в идеале должен лежать элемент 1, противоречие), значит,1+собратим.

II. В положительном полукольце Sсправедливы импликации:

/>

Доказательство. Пусть />.Поскольку S положительно, то для x+1 найдется некоторый />,такой что />. Тогда

/>, т.к./>.Получили y=1 и значит />.

Таким образом мыдоказали, если положительное полукольцо мультипликативно идемпотентно, то оноограниченно,

Теперь, пусть />, тогда />, т.е. такое полукольцо ещеи аддитивно идемпотентно.

Поскольку /> выполняется для />, то для x=1, также выполняется. Обратно, 1+1=1, помножимобе части на x и получим необходимое равенство.

III. Полукольцо Sположительно тогда и только тогда,когда для любого элемента /> илюбого обратимого элемента /> элемент/> обратим.

Доказательство.

/> Полукольцо положительно,следовательно, элемент /> - обратим.Умножим обратимый элемент на обратимый, получим обратимый.

/>

В левой части обратимый элемент, значити в правой элемент тоже обратим.

/>  /> и/> – обратимы,  тогда ихпроизведение также обратимо />,значит/> обратим.

IV. Для коммутативного положительногополукольца Sравносильны следующие условия:

1.   S– дистрибутивная решетка.

2.   />

Доказательство.

/>. Очевидно.

/>. По свойству  2 следует />, тогда:

/> и />.

Эти условия наряду сассоциативностью, коммутативностью и идемпотентными законами определяютдистрибутивную решетку.

V. В ограниченном полукольце единица 1– единственный обратимый элемент.

Доказательство.

Пусть есть некоторый обратимыйэлемент u,

/> и />

/>

VI. Пусть a– фиксированный элемент полукольца S, тогда каждое из утверждений влечетследующее утверждение:

1.   a+1=1;

2.    /> />

3.   /> />

Доказательство.

/>. Докажем методом математической индукции по числу n.

I.             База. к=1. />(выполняется по условию).

II. Индуктивное предположение. Пусть для к<n условие выполняется, т.е./>

Рассмотрим для k=n

/> и a+1=1 />

/>

Из I и II Следует />.

/>. />.

Можно выбрать из всегоколичества N, некоторое число, для которого тоже данное выражениебудет верно.

Примером того, что условие 3 невлечет условие 1 является полукольцо матриц />.Зафиксируем элемент />, где />. Для n=2

/> верно, но /> совсемневерно.

VII. Если  S– полукольцо с мультипликативнымсокращением и аддитивно идемпотентно, то все утверждения предыдущего свойстваравносильны.

Доказательство.

Осталось доказать />.

Имеем  />.Добавим к правой и левой части выражения равные элементы />:

/>

В силу аддитивнойидемпотентности мы можем подбирать коэффициенты перед />. В соответствии с биномомНьютона, подберем коэффициенты и получим:

/>

Используямультипликативную сократимость, получим a+1=1. Что и доказывает равносильностьусловий 1 – 3.

VIII. Пусть S– ограниченное полукольцо, исуществует такое /> , что /> для всех />. Тогда:

1.         /> для всех />;

2.         /> - коммутативноеограниченное полукольцо с 1, где I– множество всех мультипликативныхидемпотентов из S, а операция/>определяется так:

/>.

Доказательство.

1.         Возьмем />.

Тогда />, т.к. />.

Для доказательствапонадобится

Лемма: В ограниченном полукольце

/>.

Доказательство: ММИ по числу n в  />.

I. База. n=1.  Из условия ограниченности

/>

/>

II. И.П. n=i-1.

/>

 Из условия II и ограниченности:

/>/>

/>.

По ИП:

/>

Из условий I,II получили, что данное равенство верно для />, лемма доказана.

Рассмотрим />:

/>

Поскольку степень равна 2n-1, то в каждом из составляющих сумму слагаемых, либо/> (1 группа), либо /> (2 группа), и только так.

Среди слагаемых 1 группыимеется член />. Этот член всумме с каждым слагаемым 1 группы будет давать самого себя, при условии /> и лемме 1. из группы 1останется только элемент />

Аналогично с элементамигруппы 2, в которой имеется элемент />,который и останется. Получаем

/>

2.Прежде всего проверим замкнутость операций /> и + на множествеI.

/>/>

/>

(1) Поскольку в качествеаддитивной операции выбрано сложение, и все элементы из полукольца, значит (I,+) – коммутативная полугруппа снейтральным элементом 0.

(2) Докажем, что /> - коммутативная полугруппас нейтральным элементом 1:

a). Ассоциативность:

Рассмотрим элемент />

/>

/>/>

/>/>

/>

Элемент Xсостоит из таких слагаемых, которыеполучены при умножении, кроме тех которые получены при произведении со всеми 1,или со всеми с. Элемент /> имеетсяв качестве сомножителя в каждом слагаемом X, т.е.

/>

/>

/>

С другой стороны />

/>

/>/>/>

Таким образом, правыечасти рассматриваемых тождеств равны, значит ассоциативность доказана. />

b). 1 – нейтральный элемент:

/>

с). Коммутативность:

/>, />

1./>

/>

2./>

/>

Из 1 и 2 следует />, по причине равенствправых частей каждого, а значит следует равенство />.Коммутативность доказана. /> -коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1.

(3) Дистрибутивность:

/>

/>

(4)       />

Все аксиомы полукольцадоказаны, а значит /> - коммутативное полукольцои его элементы – элементы ограниченного полукольца, значит полукольцо –ограничено.

IX. Если в положительном полукольце Sвыполняется равенство

/> />,

то S– аддитивно идемпотентно.

Доказательство.

/> />

Рассмотрим  t>1

/>

/>

/>

/>

/>

/> 

/> />

/>

Рассмотрим  t=1, />

/>

/>

/>

/>

/>

/>  />

/> />

/>

/>

/>

/>

/> />

/>

т.к. полукольцоположительно, то в обеих частях обратимые элементы, домножим на обратный иполучим 1+1=1, умножим обе части на u, получим u+u=u, что и означает аддитивную идемпотентность.

X.        В положительном полукольце S  /> справедливоследующее тождество:

 

/>

Доказательство.

/>

Домножим на обратный  к />:  />

Получим:

/>

Что итребовалось доказать.


Библиографический список

1.           Чермных, В.В.Полукольца [Текст] / В.В. Чермных – Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. – ст.7 – 87.

2.           Вечтомов, Е.М.Введение в полукольца [Текст] / Е.М. Вечтомов – Киров: Издательство ВГ ПУ,2000. – ст.5 — 30.

еще рефераты
Еще работы по математике