Реферат: ФУНКЦИИ

Функция – одно из важнейших понятий математики.

__________________________________________________________________

Определение 5. Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством X и множеством действительных чисел R, при котором каждому числу множества X соответствует единственное число из множества R.

_____________________________________________________________________________________________

Множество X называют областью определения функции.

Функции принято обозначать буквами f, g, h и др.

Если f – функция на множестве X, то действительное число у соответствующее числу х из множества X, часто обозначают f(х) и пишут у= f(х). Переменную х при этом называют аргументом (или независимой переменной), а у – функцией.

Множество чисел вида f(x) для всех х из множества Х называют областью значений функции f.

Часто функции задают с помощью формул y = f(х), указывающих как по данному значению аргумента найти соответствующее значение функции.

Иногда при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается. Втаких случаях считают, что областью определения функции является область определения выражения f(x) (множество допустимых значений выражения f(x)).

Кроме формул, функции могут быть заданы:

— при помощи таблицы;

— графически.

Графиком функции у = f(х) с областью определения X является множество таких точек координатной плоскости, которые имеют абсциссу х и ординату f(х) для всех х из множества X.

Не каждое множество точек на координатной плоскости представляет собой график некоторой функции.

Например,

Линия не является графиком функции.

Функции могут обладать многими свойствами, одно из которых – монотонность.

__________________________________________________________________

Определение 6. Функция f называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает.

_____________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Определение 7. Функция f называется возрастающей на некото­ром промежутке А, если для любых чисел X1 и Х2 из множества А выполняется условие: х, < х2=> f(x1) < f(х2) (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

_____________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________

Определение 8. Функция f называется убывающей на некотором промежутке А, если для любых чисел x1, х2 из множества А вы­полняется условие: x1 < х2 = f(x1) > f(х2) (большему значению аргу­мента соответствует меньшее значение функции).

____________________________________________________________________________________

Пример 4.

Функция задана аналитически (формулой) у = 2х + 1.

1. Построить график функции, если ее область определена

а) Х = [– 0; 2]; б) Х = {– 2, – 1, 0, 1,…}; в) X = R

2. Исследовать на монотонность

1). Построить график функций:

а) б) в)

2) исследуем функцию на монотонность. Пусть х1 < х2 Þ f(x1)= 2x1 + 2 и f(x2) = 2x2 + 2.

Найдем разность

f(x1) – f(x2)= (2x1 + 2)–( 2x2 + 2) =(2x1 – 2x2)+ 2 – 2 = 2 (x1 – x2)<0, т.к.x1 < x2;

f(x1) – f(x2)<0Þ f(x1) < f(x2)

Получили: x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2), по определению(6) функцияу = 2х + 2 возрастающая.

__________________________________________________________________

Определение 9. Прямой пропорциональностью называется функ­ция вида у =kх, где k ¹ 0 и k – действительное число.

_____________________________________________________________________________________________

Если отношение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, их называют прямо пропорциональными. В нашем случае ( k ¹ 0), k – коэффициент пропорциональности.

Некоторые свойства прямой пропорциональной зависимости.

1. Областью определения и областью значений функции является множество действительных чисел.

2. Графиком функции является прямая, проходящая через начало координат.

3. При k > 0 функция возрастает на всей области определения, при k < 0 – убывает на всей области определения.

4.Если f – прямая пропорциональность и (х1 у1), (х2, у2) – пары соответственных значений переменных х и у, причем х1 ¹ 0, то . Если х > 0 и у > 0, то основное свойство прямой пропорциональной зависимости можно сформулировать так: с увеличением (уменьшением) значения переменной х в несколько раз соответствующее значение переменной у увеличивается (уменьшается) во столько же раз.

__________________________________________________________________

Определение 10. Обратной пропорциональностью называет функция вида у =, гдек – не равное нулю действительное число.

_____________________________________________________________________________________________

Если произведение двух величин равно некоторому числу, отличному от нуля, то эти величины называют обратно пропорциональными.

В нашем случае х × у = k(k¹ 0), k – коэффициент пропорциональности.

Некоторые свойства обратной пропорциональной зависимости

1. Областью определения и областью значений функции множество действительных чисел, отличных от нуля.

2. Графиком функции является гипербола.

3. При k > 0 – функция убывающая на всей области определения, при k < 0 – функция возрастающая на всей области определения.

4. Если f – обратная пропорциональность и (х1, у1), (х2, у2) — пары соответственных значений переменных х и у, то. Если х > 0 и у > 0, то основное свойство обратной пропорциональной зависимости, сформулировать можно так: с увеличением (уменьшением) значения аргумента х в несколько раз соответствующее значение переменной у уменьшается (увеличивается) во столько же раз.

___________________________________________________________________

Определение 11. Функция, которая может быть задана при помо­щи формулы у = kх + с, называется линейной, k ¹ 0.

______________________________________________________________________________________________

Некоторые ее свойства:

1. Областью определения и областью значений функции является множество действительных чисел.

2. Графиком является прямая, пересекающая ось ОY в точке с ординатой с.

3. При k > 0 функция возрастает на всей области определения, при k < 0 – убывает на всей области определения.

Задача 4.

Задания для младших школьников:

1. Увеличить каждое четное однозначное натуральное число в 2 раза.

2. Заполнить таблицу:

Функции, приведенные в этих пунктах, задайте при помощи формул и укажите для каждой область определения и множество значений.

Решение:

1. Четные однозначные числа 2, 4, 6, 8.Увеличиваем каждое из них в 2 раза: 4, 8, 12, 16.

Задаем формулой у = 2х. Область определения Х= {2, 4, 6, 8}.

Множество значений Y = {4, 8, 12, 16}.

2. Заполняем таблицу

Задаем функцию формулой

Область определения X = {1, 2, 4, 8}.

Множество значений Y = {1,2,4, 8}.

Основными свойствами прямой и обратной пропорциональности можно пользоваться при решении текстовых задач.

Задача 5.

Из куска ткани длиной 20 м в мастерской сшили 5 одинаков костюмов. Сколько потребуется ткани на 15 таких же костюмов?

Решение:

В задаче идет речь о расходовании ткани на костюмы. Этот процесс характеризуется тремя величинами: количеством (в данном случае надо говорить о длине, но в таких ситуациях чаще употребляется слово «количество») ткани, расходуемой на один костюм, количеством костюмов и количеством ткани, израсходованной на все костюмы. Согласно условию задачи количество ткани, расходуемой на один костюм, не меняется. Обозначим его буквой k. Количество костюмов х иколичество израсходованной на них ткани у изменяются, они связаны между собой зависимостью у = kx, т.е. зависимость количества ткани, израсходованной на костюмы, от количества костюмов прямо пропорциональная. Прямая пропорциональность является математической моделью ситуации, представленной в задаче.

Запишем основное свойство этой зависимости .

Решим задачу двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1. 20: 5 = 4(м); 1. 15: 5 = 3 (раза);

2. 4 × 15 = 60 (м); 2. 20 × 3 = 60 (м).

Решая задачу первым способом, сначала нашли количество тка­ни, расходуемой на один костюм, – коэффициент к. Затем, зная что у = 4х, нашли значение у при условии, что х = 15.

При решении задачи вторым способом воспользовались основным свойством прямой пропорциональной зависимости: во сколько раз увеличивается количество костюмов, во столько же раз увеличивается количество ткани, израсходованной на их изготовление.

Задача 6.

Мастер делает 6 деталей за 1 час, а ученик – 2 детали. Мастер сделал48 деталей. Сколько деталей сделает ученик за это же время ?

Решение:

В задаче рассматриваются величины: время, производительность труда – количество деталей в 1 час, работа – количество всех деталей, сделанных мастером или учеником. Первая величина – время – постоянная, а две другие принимают различные значения.

Составим таблицу:

Работа и производительность труда находятся в прямой пропорциональной зависимости.

Если работу обозначим буквой А, время – t, производительность труда – p, то получим А = = t× р, а отношение А: р = t – постоянная.

В задаче надо найти работу, следовательно, А – функция. Производительности труда уученика и умастера разные, значит р – аргумент, время t постоянно –, это коэффициент пропорциональности.

Обозначим время работы буквойk, работу– у, производительностьх, тогда получимилиу = kх, т.е. математической моделью ситуации в задаче является прямая пропорциональность.

Решим задачу двумя арифметическими способами:

1 способ: 2 способ:

1. 48: 6 = 8 (ч); 1.6: 2 = 3 (раза);

2. 2 × 8 = 16 (д); 2. 48: 3 = 16 (д).

Решив задачу первым способом, мы нашли сначала время работы мастера и ученика – коэффициент пропорциональности k, он равен 6.

Затем, зная, что А = 8 × 2 = 16, нашли значение А при условии, что р = 2.

При решении задачи вторым способом воспользовались основнымсвойством прямой пропорциональной зависимости: во сколько раз производительность ученика меньше производительности мастера, во столько же раз меньше деталей сделает ученик.

Задача 7.

Скорость машины 60 км/ч, скорость велосипедиста 15 км/ч. Велосипедист проехал расстояние от села до железнодорожной станции за 4 часа. За сколько часов можно проехать это расстояние на машине?

Решение:

В задаче рассматриваются величины: скорость движения, время движения и расстояние, причем последняя величина (расстояние от села до железнодорожной станции) – постоянна, а две другие принимают различные значения.

Составим таблицу:

Скорость и время движения – величины обратно пропорциональные, т.к. их произведение равно некоторому числу, а именно расстоянию от железнодорожной станции до села, т.е. t × v= S.

В задаче надо найти время движения машины, значит, t – функция. Обозначили время движения машины – у. Скорости разные, значит, V – аргумент х, S – постоянно, то есть S – коэффициент пропорциональности k; у =. Время находится в обратной пропорциональной зависимости от скорости при постоянном расстоянии.

Запишем основное свойство этой зависимости:

Решим задачу двумя арифметическими способами.

1 способ: 2 способ:

1. 15-4 = 60 (км); 1. 60: 15 = 4 (раза);

2. 60: 60 = 1 (ч); 2. 4:4=1 (ч).

Решая задачи первым способом, мы сначала нашли расстояние 60 км (коэффициент пропорциональности).

Затем, зная, что t = нашли значение t при условии, что V = 60. При решении задачи вторым способом воспользовались основым свойством обратной пропорциональности.

Во сколько раз скорость движения машины больше скорости движения велосипедиста, во столько же раз время движения меньше времени движения велосипедиста.

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте определение соответствия между элементами двух множеств. Приведите примеры соответствия между элементами множеств А = {7, 13, 5, 26, 3, 44, 652} и В = {1, 2}. Задайте его перечислением пар, графом. Укажите образ 652 и прообраз 2.

2. Сформулируйте определение функции.

3. Какая функция называется возрастающей, убывающей, монотонной?

4. Назовите способы задания функций.

5. Сформулируйте определение прямой пропорциональной зависимости, ее свойства, основное свойство.

6. Сформулируйте определение обратной пропорциональной зависимости, ее свойства, основное свойство.

7. Сформулируйте определение линейной зависимости, ее свойства.

Постройте графики функций:

а) у = 2х;

б) у = – 3х;

в) у = ;

г) у = ;

д) у = 2х – 3;

е) у = –3х + 2.