Реферат: Теория вероятности и математическая статистика
Московскийавиационный институт
(техническийуниверситет)
Курсоваяработа
Дисциплина: Теориявероятности и математическая статистика
Выполнил
студент группы Р 2/1
Истелюев Батырбек.
Ахтубинск-2004
Задания
1. Проверить выполнение теоремы Бернуллина примере электрической схемы.
2. Методом дискретных случайных величинсмоделировать случайную величину, имеющую закон распределения Пуассона.Заполнить массив из 300 точек.
3. Критерием Колмогорова проверить, чтоданный массив имеет соответствующий закон распределения.
Краткая теория
В теории вероятностичасто встречается такой характер приближения одних величин к другим, и для егоописания введен специальный термин: «сходимость по вероятности».
Говорят, что величина Xn сходится по вероятности к величинеа, если при сколь угодно малом е вероятность неравенства │Xn–a│<e сувеличением неограниченно приближается к единице. Применяя этот термин, можносказать, что при увеличении числа опытов частота события не стремится квероятности события, а сходится к ней по вероятности. Это свойство составляетсодержание теоремы Бернулли.
Например, при бросаниимонеты 10 раз теоретически возможно, что все 10 раз появится герб, т.е частотапоявлений будет равна 1; при 1000 бросаниях такое событие возможно, ноприобретает меньшую вероятность; при еще большом количестве бросанийвероятность становится на столько мала, что это событие можно считатьпрактически неосуществимым.
Теорема Я. Бернулли: при увеличении количества опытов,частота появлений событий сходится по вероятности к вероятности этого события.
Теорема Я. Бернуллиутверждает устойчивость частоты при постоянных условиях опыта. Но приизменяющихся условиях опыта аналогичная устойчивость также существует. Теорема,устанавливающая свойство устойчивости частот при переменных условиях опыта,называется теоремой Пуассона.
Закон Пуассона.
Рассмотрим случайнуювеличину Х, которая может принимать целые, неотрицательные значения: 0,1,2,…,m,…
Говорят, что эта СВ Храспределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она приметопределенное значение m,выражается формулой:
Pm=(am/m!)*e-a (m=0,1,2…), a –некоторая положительная величина называемая параметром закона Пуассона.
Ряд распределения СВ Х,распределенный по закону Пуассона, имеет вид:
xm 1 2 … m … pm e-a (a/1!)*e-a (a2/2!)*e-a … (am/m!)*e-a …Математическое ожиданиеданного распределения случайной величины равно параметру закона Пуассона а: mx=a; Дисперсия также равна этому параметру: Dx=a. Таким образом дисперсия случайной величины, распределеннойпо закону Пуассона равна ее математическому ожиданию и равна параметру а.
Это свойство применяетсяна практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайнаявеличина Х, распределена по закону Пуассона, для этого определяют из опытастатистические характеристики: математическое ожидание и дисперсию. Если ихзначения близки, то гипотеза является правдоподобной.
Дискетной называется случайнаявеличина, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа (т.е.между двумя возможными соседними значениями нет возможных значений), которыеэта величина принимает с определенными вероятностями. Другими словами,возможные значения дискретной случайной величины можно перенумеровать. Числовозможных значений дискретной случайной величины может быть конечным илибесконечным (в последнем случае множество всех возможных значений называютсчетным).
Законом распределенияназывают перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.
Критерий А.Н.Колмогорова.
В качестве мерырасхождения между теоретическим и статистическим распределениями Колмогороврассматривает максимальное значение модуля разности между статистическойфункцией распределения F* (x) и соответствующей теоретической функцией распределения F(x):
D=max│F*(x)–F(x)│.
Основанием для выбора вкачестве расхождения величины Dявляется простота ее вычисления. Вместе с тем она имеет достаточно простойзакон распределения. Колмогоров доказал, что, какова бы ни была функцияраспределения F(x) непрерывной случайной величины X, при неограниченном возрастании числа независимых наблюденийn вероятность неравенства
D√n≥ λ стремится к пределу P(λ)=1–∑k=-∞∞(-1)k e-2∙k^(2)∙λ^(2) значения Р(λ) можно найти потаблице, зная λ.
Задание №1
Проверить выполнениетеоремы Бернулли на примере электрической схемы:
/>
Пусть вероятность того,что каждый элемент данной схемы не выйдет из строя, равна:
Р1=0,6; Р2=0,4;Р3=0,5; Р4=0,7; Р5=0,3; Р6=0,8.
Программа, полученнаяв среде PASCAL:
Program Shema;
Uses CRT;
Vara:array[1..6] of integer;
p,x:array[1..6]of real;
m,n,i,j,c:integer;
R,S,B:real;
BEGIN
CLRSCR;
p[1]:=0.6;p[2]:=0.4;p[3]:=0.5;p[4]:=0.7;p[5]:=0.3;p[6]:=0.8;
n:=1000;
c:=0;
whilen<=25000 do begin
m:=0;
for i:=1 to ndo begin
for j:=1 to 6do begin
x[j]:=random;
ifx[j]<p[j] then a[j]:=1 else a[j]:=0;
end;
ifa[1]*(a[2]+a[3]+a[4])*(a[5]+a[6])>=1 then m:=m+1;
end;
R:=m/n;
writeln('кол-во опытов=',n:5,' P=',R:5:3);
S:=S+R;
n:=n+1000;
inc(c);
end;
S:=S/c;
writeln;
writeln('Вероятностьбезотказной работы=', s:4:5);
writeln;
B:=p[1]*(1-(1-p[2])*(1-p[3])*(1-p[4]))*(1-(1-p[5])*(1-p[6]));
writeln('Вероятностьработы(2-ой способ) =', B:4:5);
readln;
END.
Результаты работы:
кол-во опытов= 1000 P=0.476
кол-во опытов= 2000 P=0.480
кол-во опытов= 3000 P=0.474
кол-во опытов= 4000 P=0.463
кол-во опытов= 5000 P=0.476
кол-во опытов= 6000 P=0.470
кол-во опытов= 7000 P=0.467
кол-во опытов= 8000 P=0.463
кол-во опытов= 9000 P=0.473
кол-во опытов=10000 P=0.476
кол-во опытов=11000 P=0.468
кол-во опытов=12000 P=0.466
кол-во опытов=13000 P=0.462
кол-во опытов=14000 P=0.472
кол-во опытов=15000 P=0.473
кол-во опытов=16000 P=0.464
кол-во опытов=17000 P=0.469
кол-во опытов=18000 P=0.474
кол-во опытов=19000 P=0.471
кол-во опытов=20000 P=0.472
кол-во опытов=21000 P=0.467
кол-во опытов=22000 P=0.464
кол-во опытов=23000 P=0.468
кол-во опытов=24000 P=0.466
кол-во опытов=25000 P=0.469
Вероятность безотказнойработы=0.46972
Вероятность работы(2-ойспособ) =0.46956
Вывод: по результатам видно, что вероятностьбезотказной работы цепи, при большом количестве опытов, сходится к общейвероятности безотказной работы этой цепи, значит, частота событий при большомчисле опытов приближается к вероятности этого события, о чем говорит теоремаБернулли.
Задание №2
Смоделировать массивиз 300 дискретных случайных величин, имеющий закон распределения Пуассона.
Программа:
ProgramPuasson;
Uses CRT;
Const a=5;d=15; n=300;k=d+1;
Vari,j,w:word;sums,ran:real;
xmin,xmax,mx,Dx,Rx,Sx,Ex,Sk,h:real;
s,al:array[0..d]of real;
x:array[1..n]of byte;
functionPwr(x,p:real):real;
Begin
randomize;
if x>0 thenpwr:=exp(p*ln(x))
else pwr:=0;
end;
functionfact(x:word):real;
var i:word;
f:real;
Begin
f:=1
if x>0 thenfor i:=1 to x do f:=f*i;
fact:=f;
end;
Functionf(m:word):real;
begin
if m>=0then f:=pwr(a,m)*exp(-a)/fact(m)
else f:=0;
end;
begin
sums:=0;
for i:=1 to ddo begin
s[i]:=f(i);sums:=sums+s[i];
end;
for i:=0 to ddo begin al[i]:=0;
for j:=0 to ido al[i]:=al[i]+s[j]/sums;
end;
for w:=1 to ndo begin
ran:=random;
for i:=0 to ddo begin
ifal[i]>ran then begin
x[w]:=i;break;
end;
end;
end;
writeln;
writeln('Массив, полученный по законураспределения Пуассона:');
writeln;
mx:=0;
for i:=1 to ndo begin
write(x[i]:2,'');
mx:=mx+x[i]/n;
end;
Dx:=0;
Sk:=0;
xmin:=x[1];
xmax:=xmin;
for i:=1 to ndo begin
Dx:=Dx+sqr(x[i]-mx)/(n-1);
ifxmin>x[i] then xmin:=x[i];
ifxmax<x[i] then xmax:=x[i];
end;
SX:=sqrt(Dx);
writeln;
Rx:=d;
h:=Rx/k;
Ex:=-3;
for i:=1 to ndo begin
Sk:=Sk+((x[i]-mx)*(x[i]-mx)*(x[i]-mx))/(sqr(dx)*sqr(dx)*sqr(dx));
Ex:=Ex+((x[i]-mx)*(x[i]-mx)*(x[i]-mx)*(x[i]-mx))/(sqr(dx)*sqr(dx)*sqr(dx)*sqr(dx))
end;
writeln('Интервал значений случайнойвеличины:',xmin:0:3,'-',Xmax:0:3);
writeln('математическое ожидание=',mx:0:3);
writeln('Дисперсия=',Dx:0:3);
writeln('Среднее квадротическоеотклонение=',Sx:0:3);
writeln('Скошенность=',Sk:0:3);
writeln('Эксцесс=',Ex:0:3);
readln;
END.
Результат работы:
Массив, полученный позакону распределения Пуассона:
2 4 5 3 8 5 5 6 5 4 3 1 68 7 2 8 8 7 3
8 4 4 1 5 4 2 4 3 4 1 5 74 6 3 3 7 4 7
6 5 4 7 2 7 4 10 5 4 4 7 65 4 3 4 5 7 5
2 2 3 11 7 7 6 8 4 5 8 7 93 6 5 3 3 6 5
7 6 2 5 1 2 6 6 4 2 13 6 55 2 3 9 3 7 7
2 7 6 4 3 4 1 7 6 4 5 4 44 5 2 5 4 3 6
3 4 4 5 7 4 4 7 6 3 8 5 75 4 3 4 5 6 9
2 4 8 6 8 7 6 3 5 9 2 4 81 7 1 4 6 6 7
2 2 3 3 3 4 3 3 1 6 7 4 82 3 7 5 5 6 4
6 4 9 10 4 6 4 7 4 7 3 2 36 9 3 4 5 6 10
5 10 7 9 5 3 4 7 6 5 7 2 37 6 4 5 10 3 6
7 10 3 7 5 5 5 7 7 4 5 2 52 9 2 5 8 4 4
5 7 5 6 5 5 4 1 3 5 5 6 93 5 3 5 2 13 7
7 5 1 5 3 9 7 5 3 5 5 8 74 10 5 5 8 7 8
7 3 4 7 8 4 2 7 7 2 3 4 67 4 7 4 5 7 2
Интервал значенийслучайной величины:1.000-13.000
математическоеожидание=5.093
Дисперсия=4.941
Среднее квадротическоеотклонение=2.223
Скошенность=0.104
Эксцесс=-2.934
Задание №3:
Критерием Колмогоровапроверить, что данный массив, полученный во втором задание, имеетсоответствующий закон распределения.
Статистическая обработкаполученного массива.
По полученному массивупостроим таблицу:
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 M 10 26 39 53 54 33 48 17 10 7 1 2где, M – количество точек.