Реферат: Теория вероятностей и математическая статистика
Министерствовысшего образования Украины
НациональныйТехнический Университет Украины
“Киевский политехнический институт”
Кафедраавтоматизированных систем обработки информации и управления
К о н т р о ль н а я р а б о т а
по дисциплине:
“ Теориявероятностей и математическая статистика”
Вариант № 24Выполнил студент гр. ЗІС- 91
ІІI курса факультета ФИВТ
Луцько Виктор Степанович
2009г.
Задача 1
Бросаются две игральныекости. Определить вероятность того, что:
а) сумма числа очков непревосходит N;
б) произведение числаочков не превосходит N;
в) произведение числаочков делится на N.
Исходные данные: N=18.
Решение задачи:
Вероятностью случайного события А называется отношение числаравновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числувсех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого даннымиспытанием.
Р(А) = m nгде: n – число всех равновозможных элементарных событий,вытекающих из условий данного испытания;
m — число равновозможных событий, которые благоприятствуютсобытию А.
а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:
n = 36;m = 36
Р(А) = 36 = 1 ; 36б) при произведении числа очков, не превосходящих N:
n = 28;m = 36
Р(А) = 28 = 7 » 0,778 ; 36 9в) при произведении числа очков, делящихся на N:
n = 3;m = 36
Р(А) = 3 = 1 » 0,083 . 36 12Ответы:
а) Р(А) = 1 ;
б) Р(А) = 7/9 »0,778 ;
в) Р(А) = 1/12 » 0,083.
Задача 2
Имеются изделия четырехсортов, причем число изделий i-го сорта равно />=1,2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того,что среди них т1 первосортных, т2, т3 и т4второго, третьего и четвертого сорта соответственно />.
Исходные данные: n1 =3; n2 = 1; n3 = 6; n4 = 2;m1 = 2; m2= 1; m3 = 3; m4 = 1.
Решение задачи.
1) Определяемколичество способов нужной комбинации:
С¢ = Сn1m1 x Сn2m2 x Сn3m3 x Сn4m4 = С32 x С11 x С63 x С21 ;
2) Определяемколичество всех возможных способов:
С¢¢ = Сn1+n2+n3+n4m1+m2+m3+m4= С127 ;
3) Определяем вероятностьР согласно условия задачи:
Р =С32 x С11 x С63 x С21
= 3 х 1 х 4 х 5 х 6 х 2 = 2 х 3С127
8 х 9 х 10 х 11 х 12 2 х 3 х 4 х 5 = 3 х 5 = 5 » 0,15 9 х 11 33Ответ: Р = 5/33 » 0,15 .
Задача 3
Среди п лотерейныхбилетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, чтосреди них /> выигрышных.
Исходные данные: n = 8; l= 3; m = 5; k = 4.
Решение задачи.
k=4
/>
n=8
/>Общее число случаев,очевидно, равно Сnm, число благоприятных случаев Сkl x Сn-km-l, откуда:
Р(А) =Сkl x Сn-km-l
=С43 x С8-45-3
= 3 » 0, 4286 .Сnm
С85
7 Ответ: Р(А) = 3/7 » 0, 4286 .Задача 7В круге радиуса R наудачупоявляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двухнепересекающихся фигур, площади которых равны S1 и S2.Исходные данные:R =14; S1 = 2,6; S2 = 5,6.
Решение задачи
/>/>
S1
R
/>
/>
P(A) = S.
S2
pR2
P(A1) =
S1 = 2,6 » 0,0042246 ;pR2
3,14 x 142
P(A2) =
S2 = 5,6 » 0,0090991 ;pR2
3,14 x 142
P(A) = S1+ S2 = 2,6 + 5,6 = 8,2 » 0,013324 .pR2
3,14 x 142
615,44Ответ: Р(А) » 0,013324 .
Задача 8
В двух партиях k1и k2 % доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают поодному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы однобракованное;
б) два бракованных;
в) одно доброкачественноеи одно бракованное?
Исходные данные: k1= 81; k2 = 37.
Решение задачи
События А и В называютсянезависимыми, если выполняется соотношение:
Р(А/В) = Р(А) / Р(В) .
Для любых событий А и Вимеет место формула:
Р(А+В) = Р(А) + Р(В) –Р(АВ) .
Обозначения:
Событие А – выбралибракованное изделие из 1-й партии (1 – k1) ;
Событие B – выбралибракованное изделие из 2-й партии (1 – k2) .
События А и В –независимые.
а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = (1 – k1) + (1 – k2)– (1 – k1)(1 – k2) =
= 0,19 + 0,63 – 0,19 х0,63 » 0,82 – 0,12 » 0,70 .
б) Вероятностьпересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этихсобытий:
Р(АÇВ) = Р(А) х Р(В) = (1 – k1)(1– k2) = 0,19 х 0,63 » 0,12 .
/>/>в) Р =Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 – k1)k2 + (1 – k2)k1=
= 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 » 0,07 + 0,51 » 0,58 .
Ответы:
а) » 0,70;
б)» 0,12;
в)» 0,58.
Задача 9
Вероятность того, чтоцель поражена при одном выстреле первым стрелком р1 вторым — р2. Первый сделал n1, второй — n2выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.
Исходные данные: p1= 0,33; p2 = 0,52; n1 = 3; n2 = 2.
Решение задачи.
Обозначения:
А – вероятностьнепоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р1) ;
В – вероятностьнепоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 – р2) ;
Р – цель не поражена врезультате общего количества испытаний.
Р = (1 – р1)n1x (1 – р2)n2 = (1 – 0,33)3 x (1 – 0,52)2= 0,673 x 0,482 » 0,30 x 0,23 » 0,069 » 0,07 .
Ответ:» 0,07 .
Задача 12
Из 1000 ламп niпринадлежат i-й партии, i=1, 2, 3, />. Впервой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачувыбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа —бракованная.
Исходные данные: n1= 350; n2 = 440.
Решение задачи
Рассмотрим три гипотезы:
Н1 – выборлампы из первой партии;
Н2 – выборлампы из второй партии;
Н3 – выборлампы из третьей партии;
а также событие А – выборбракованной лампы.
Учитывая то, что Н1,Н2, Н3 – полная группа попарно несовместимых событий,причем Р(Нi) ¹ 0, i =1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полнойвероятности):
3 Р(А) =å P(Hi) x P(A/Hi) .
i=1Тогда:
P(H1) =350/1000 = 7/20 ;
P(H2) =440/1000 = 11/25 ;
P(H3) =210/1000 = 21/100 .
Р(А) = 7/20 х 0,06 +11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 =0,0514 .
Ответ: Р(А) = 0,0514 .
Задача 18
На каждый лотерейныйбилет с вероятностью p1 может выпасть крупный выигрыш, свероятностью р2. — мелкий выигрыш и с вероятностью р3билет может оказаться без выигрыша, />.Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1 крупныхвыигрышей и n2 мелких.
Исходные данные: n = 14;n1 = 5; n2 = 4;p1 = 0,25; p2 =0,35.
Решение задачи
Для решения данной задачииспользуем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события– является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным –независимы (для разных і):
Pn(m1,m2,…,mk) =
n!p1m1 p2m2 … pkmk .
m1! m2!…mk!
В задаче: А1 –билет оказался с крупным выигрышем;
А2 – билетоказался с мелким выигрышем;
А3 – билетоказался без выигрыша.
Р14(5,4,5) =
14!х (0,25)5 х (0,35)4 х (0,4)5 =
6х7х8х9х10х11х12х13х14 х 5! 4! 5! 2х3х4х2х3х4х5
х 0,0009765 х 0,015х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х
х0,01024 » 0,0378.
Ответ: Р » 0,0378 .
Задача 19
Вероятность «сбоя» вработе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов.Определить вероятность m «сбоев».
Исходные данные: m = 9; N= 500; p = 0,01.
Решение задачи
q = 1 – p = 1 – 0,01 =0,99 .
Так как n – большое число(n = N = 500), а npq » 5,т.е. npq < 9, то применяем формулы Пуассона:
Рn(m) »
am
e-a , a = np .
m!Подсчет вручную даетследующие результаты:
Рn(m) »
59
х 1 »58
х 1 » 2х3х4х5х6х7х8х9е5
2х3х4х6х7х8х92,75
» 390625 » 390625 » 0,03751 . 72576 х 143,5 10 413 862Но, при известных а = 5 иm = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, где
Рn(m) » 0,03627 .
Ответ: Рn(m) » 0,03627 .
Задача 20
Вероятность наступлениянекоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определитьвероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующемунеравенству.
Варианты 22—31: />
Исходные данные: n = 100;P = 0,3; k1 = —; k2 = 40.
Решение задачи
Вероятность Рn(m)того, что в результате этих nопытов событие А произойдет m раз(наступит m успехов), определяется по формулеБернулли:
Pn(m)= Cnmpmqn-m, m = 0,1,2,…,n (1)
где q = 1 – p – вероятность наступления противоположного события А приединичном испытании.
Совокупность чисел,определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей.
При больших значениях п(порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующиеприближенные формулы:
/> (2)
где: />
/> (3)
где:
/> (4)
/> (5)
/> (6)
Формула (2) основана налокальной теореме Муавра—Лапласа, (3) — на интегральной теореме Муавра—Лапласа,(5) и (6) — на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра—Лапласа [формулы (2) и (3)]рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты даетасимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)].
З а м е ч а н и е 1.Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в неенеравенства являются строгими.
З а м е ч а н и е 2.Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблицI—IV соответственно (см. приложение).
В данной задаче n = 100, т.е. n – число большое.
npq = 21, следовательно npq > 9.
При этом q = 1 – p = 0,7 ;np =30 .
Наши рассуждения приводятк тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, аименно с помощью формулы (3).
Тогда:
k2 – np
» 40 – 30 » 10 » 2,18 . Ö npq 4,58 4,58k1 – np
» 0 – 30 » -30 » — 6,55 . Ö npq 4,58 4,58Pn(m £ k2) »Ф(х2) – Ф(х1) » Ф(2,18) – Ф(- 6,55) » Ф(2,18) + Ф(6,55) »
» 0,48537 + 0,5 » 0,98537 .
Ответ: Pn(m £ 40) » 0,98537 .
Задача 21
Дана плотностьраспределения р (х) случайной величины x. Найти параметр g, математическое ожидание Мx дисперсию Dx, функцию распределения случайной величины x вероятность выполнения неравенства х1< x < х2
Варианты 17-24: /> />
Исходные данные: a =-1,5; b = 1; x1 = -1; x2 = 1.
Решение.
Р(х) = í
g, х Î[-1,5, 1],
0, x Ï[-1,5, 1].
Найдем g. Должно выполняться соотношение:Fx(+¥) = 1;
ò p(x)dx = 1;ò gdx = 1;
gx
1 = 1;g*(1+1,5) = 1;
g =
1=2/5 .
-1,5 2,5 -¥ -1,5 1Найдем: Мx=
ò х2/5 dx =
2 х2
1 = 1/5 (1-2,25) = -1,25= -0,25 .
5 2 -1,5 5 -1,5 1Найдем: Dx= Мx2– (Мx)2 =
ò 2/5 x2 dx – 0,0625 = 2/5
x3
1 — 0,0625 = 3 -1,5 -1,5= 2/5 (1/3 +3,375/3) – 0,0625 = 0,4 * 1,4583 – 0,0625 = 0,5833 – 0,0625 = 0,5208 .
í 0 , x < -1,5; x xНайдем: Fx(x)=
ò p(х) dx =ò gdt ,
-1,5 £ x < 1; -¥ -1,5 1 , x ³ 1 . x x
ò gdt =
gt
=gx + 1,5g=
2/5x + 0,6 .
-1,5 -1,5
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> /> />
Найдем: P{-1<x<1} = Fx (1) — Fx (-1) = 1 – (-2/5 + 0,6) = 7/5 – 3/5 =4/5 .
Ответы: 1) g = 2/5; 2) Мx = — 0,25; 3) Dx = 0,5208; 4) Fx (x) = 0,4x +0,6; 5) P{-1<x<1} = 4/5.
/>
/>
Список использованнойлитературы
1. Феллер В. Введение в теориювероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер.с англ. — М.: Мир, 1994. – 528 с.
2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей:Учеб.для вузов. – 6-е изд.стер. – М.: Высш.шк., 1999. – 576 с.
3. Сборник задач по теории вероятностей,математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А.Свешникова. – М.: Наука, 1998. –656 с.
4. Лютикас В.С. Факультативный курс поматематике: Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1998. – 160 с.