Реферат: Теория вероятностей
Содержание
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Список используемой литературы
Задание 1
Найти общее решение дифференциального уравнения первогопорядка:
/>.
Решение:
Преобразуем уравнение и разделяя переменные, получимуравнение с разделенными переменными:
/>
/>
/>
Интегрируем его и получаем общее решение данного уравнения
/>
/>
/>
/>
Ответ: Общее решение данного уравнения
/>
/>Задание 2
Найти общее решение дифференциального уравнения первогопорядка:
/>.
Решение:
Вводим замену
/>→ />
/>
/>
/>
Так как одну из вспомогательных функций можно взятьпроизвольно, то выберем в качестве /> какой-нибудь частный интегралуравнения />.Тогда для отыскания />получим уравнение />. Итак, имеем системудвух уравнений:
/>
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Далее
/>
/>
/>
/>
/>
/>
Проверка:
/>
/>
/>
/>
верное тождество. Ч. т.д.
Ответ:
/>
Задание 3
Найти частное решение дифференциального уравнения второгопорядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
/>, />/>
Решение:
Общее решение данного уравнения
/>
ищется по схеме:
Находим общее решение /> однородногоуравнения. Составим характеристическое уравнение
/>
/>
/> и />
Общее решение имеет вид:
/>,
где />
Находим частное решение />.Правая часть уравнения имеет специальный вид. Ищем решение
/>, т.е.
/>
Найдем производные первого и второго порядков этой функции.
-2/>
1/>
1/>
/>
/> →
/>
/>
/> →
/>
/>
/> →
/>
Т.о. частное решение
/>
Общее решение
/>
Используя данные начальных условий, вычислим коэффициенты
/>
/>
/>
/>
Получим систему двух уравнений:
/>
/>
/>→/>
/>
Искомое частное решение:
/>
Ответ:
/>
/>
Задание 4
В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей,из которых 3 в мягком переплете. Библиотекарь взял 2 учебника. Найтивероятность того, что оба учебника в мягком переплете.
Решение:
Пусть имеется множествоNэлементов, из которых M элементов обладают некоторым признаком A.Извлекается случайным образом без возвращения n элементов. Вероятностьсобытия, что из m элементов обладают признаком А определяется поформуле:
(N=6, M=3, n=2, m=2)
/>
Ответ:
/>
Задание 5Дана вероятность /> появлениясобытия A в каждом из /> независимыхиспытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие A появитсяне менее />и не более />раз.
Решение:
Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа
/>
Где
/> и />
Ф (x) — функцияЛапласа />, обладает свойствами
10. /> -нечетная, т.е. />
20. При />/>, значения функциипредставлены таблицей (табулированы) для />
Так
/>
Ответ:
/>
Задание 6
Задан закон распределения дискретной случайной величины X (впервой строке указаны возможные значения величины X, во второй строке данывероятности p этих значение).
Xi
8 4 6 5pi
0,1 0,3 0,2 0,4Найти:
1) найти математическое ожидание />,
2) дисперсию />;
3) среднее квадратичное отклонение />.
Математическое ожидание (ожидаемое среднее значениеслучайной величины):
/>
/>
Дисперсия(мера рассеяния значений случайной величиныХ от среднего значения а):
/>.
Второй способ вычисления дисперсии:
/>где />
/>.
/>
/>
Среднее квадратичное отклонение (характеристика рассеяния вединицах признака Х):
/>→ />
Ответ:
Математическое ожидание/>
Дисперсия />
Среднее квадратичное отклонение />
Задание 7
Случайные отклонения размера детали от номинала распределенынормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднееквадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размеркоторых заключен между 199,5 мм и 200,5 мм. Найти процент стандартных деталей.
Решение:
/>
/>
/>
/>
/>
Таким образом, процент стандартных деталей составляет 95,45%
Ответ: Стандартных деталей 95,45%.
Список используемой литературы
1. Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерахи задачах с применением MS Excel. /Под ред. Г.В. Гореловой, И.А. Кацко. — Ростов н/Д: Феникс, 2006. — 475 с.
2. Ковбаса С.И., Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическаястатистика: Учебное пособие для экономистов. — СПб.: Альфа, 2001. — 192 с.
3. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей иматематическая статистика: Учебник. — М.: ФОРУМ, 2008. — 200 с.
4. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — 551 с.
5. Пехлецкий И.Д. Математика. / Под ред. И.Д. Пехлецкого. — М.: Издательскийцентр «Академия», 2003. — 421с.
6. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебноепособие. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 496 с.