Реферат: Теория вероятностей

Содержание

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4

Задание 5

Задание 6

Список используемой литературы

Задание 1

Найти общее решение дифференциального уравнения первогопорядка:

/>.

Решение:

Преобразуем уравнение и разделяя переменные, получимуравнение с разделенными переменными:

/>

/>

/>

Интегрируем его и получаем общее решение данного уравнения

/>

/>

/>

/>

Ответ: Общее решение данного уравнения

/>

/>Задание 2

Найти общее решение дифференциального уравнения первогопорядка:

/>.

Решение:

Вводим замену

/>→ />

/>

/>

/>

Так как одну из вспомогательных функций можно взятьпроизвольно, то выберем в качестве /> какой-нибудь частный интегралуравнения />.Тогда для отыскания />получим уравнение />. Итак, имеем системудвух уравнений:

/>

/>

/>

/>

/>

/>

/>

Далее

/>

/>

/>

/>

/>

/>

Проверка:

/>

/>

/>

/>

верное тождество. Ч. т.д.

Ответ:

/>

Задание 3

Найти частное решение дифференциального уравнения второгопорядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям:

/>, />/>

 

Решение:

Общее решение данного уравнения

/>

ищется по схеме:

Находим общее решение /> однородногоуравнения. Составим характеристическое уравнение

/>

/>

/> и />

Общее решение имеет вид:

/>,

где />

Находим частное решение />.Правая часть уравнения имеет специальный вид. Ищем решение

 />, т.е.

/>

Найдем производные первого и второго порядков этой функции.

-2

/>

1

/>

1

/>

/>

/> →

/>

/>

/> →

/>

/>

/> →

/>

Т.о. частное решение

/>

Общее решение

/>

Используя данные начальных условий, вычислим коэффициенты

/>

/>

/>

/>

Получим систему двух уравнений:

/>

/>

/>→/>

/>

Искомое частное решение:

/>

Ответ:

/>

/>

 

Задание 4

В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей,из которых 3 в мягком переплете. Библиотекарь взял 2 учебника. Найтивероятность того, что оба учебника в мягком переплете.

Решение:

Пусть имеется множествоNэлементов, из которых M элементов обладают некоторым признаком A.Извлекается случайным образом без возвращения n элементов. Вероятностьсобытия, что из m элементов обладают признаком А определяется поформуле:

(N=6, M=3, n=2, m=2)

/>

Ответ:

/>

Задание 5

Дана вероятность /> появлениясобытия A в каждом из /> независимыхиспытаний. Найти вероятность того, что в этих испытаниях событие A появитсяне менее />и не более />раз.

Решение:

Применим интегральную формулу Муавра-Лапласа

/>

Где

/> и />

 

Ф (x) — функцияЛапласа />, обладает свойствами

10. /> -нечетная, т.е. />

20. При />/>, значения функциипредставлены таблицей (табулированы) для />

Так

/>

Ответ:

/>

 

Задание 6

Задан закон распределения дискретной случайной величины X (впервой строке указаны возможные значения величины X, во второй строке данывероятности p этих значение).

Xi

8 4 6 5

pi

0,1 0,3 0,2 0,4

Найти:

1) найти математическое ожидание />,

2) дисперсию />;

3) среднее квадратичное отклонение />.

Математическое ожидание (ожидаемое среднее значениеслучайной величины):

/>

/>

Дисперсия(мера рассеяния значений случайной величиныХ от среднего значения а):

/>.

Второй способ вычисления дисперсии:

/>где />

/>.

/>

/>

Среднее квадратичное отклонение (характеристика рассеяния вединицах признака Х):

/>→ />

Ответ:

Математическое ожидание/>

Дисперсия />

Среднее квадратичное отклонение />

 

Задание 7

Случайные отклонения размера детали от номинала распределенынормально. Математическое ожидание размера детали равно 200 мм, среднееквадратическое отклонение равно 0,25 мм. Стандартными считаются детали, размеркоторых заключен между 199,5 мм и 200,5 мм. Найти процент стандартных деталей.

Решение:

/>

/>

/>

/>

/>

Таким образом, процент стандартных деталей составляет 95,45%

Ответ: Стандартных деталей 95,45%.

Список используемой литературы

1.   Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерахи задачах с применением MS Excel. /Под ред. Г.В. Гореловой, И.А. Кацко. — Ростов н/Д: Феникс, 2006. — 475 с.

2.   Ковбаса С.И., Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическаястатистика: Учебное пособие для экономистов. — СПб.: Альфа, 2001. — 192 с.

3.   Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей иматематическая статистика: Учебник. — М.: ФОРУМ, 2008. — 200 с.

4.   Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — 551 с.

5.   Пехлецкий И.Д. Математика. / Под ред. И.Д. Пехлецкого. — М.: Издательскийцентр «Академия», 2003. — 421с.

6.   Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебноепособие. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 496 с.