Реферат: Теория вероятностей
1. Независимодруг от друга 10 чел. Садятся в поезд, содержащий 15 вагонов.
Вероятность того, что все они поедут в разных вагонах?
Р= число близких иходов = 15….14…….- 6 =15 ! -2
Число элемент. исходов 15*15*15…15 5 ! »1,88 * 1е
/> 10 раз 50
15 _____________________________________
2. В электрической цепи последовательно включены 3 элемента,работающие
независимо друг от друга. Их вер-ть отказов равны 1 49 1 .
Найти вероятность того, что тока не будет? 50 ; 50 ; 4
-- - -
А –ток есть
Аi – i-йприбор не исправен
Р (А1)= 49 Р (А2)= 1 Р ( А3) = 3
50 ; 50 ; 4
_
Р (А)=1-Р(А) = 1-Р (А1А2 А3) = 1-Р (А1) Р (А2)* Р (А3) = 1- 49 * 1 — 3 = 9,753
50 50 4 10,000
____________________________________________________________________________________________
3. Вер-ть попадания хотя бы раз в мишень при 12-ти выстрелахравно 41 .
Найдите вер-ть попадания при одномвыстреле? 50
Аi – успешный i –выстрел
_________
Р = 41 = 1-Р ( А1 …… А12) – не попали ни в одномслучае из 12-и выстрелов =
50
__ __ _ 12 12
= 1 – Р (А1) …… Р (А12) = 1 – Р (А1) ; 41 =1-Р (А1)
50
Найти Р (А1)
_ 12
Р (А1) = 1- 41= 9
50 50
_ 12__
Р (А1) = Ö 9
50
_ 12__
Р (А1) = 1-Р (А1) = 1 — Ö 9 »0,133
50 ___________________________________________
4. Имеются28 билетов, на каждом из которых написано условие нескольких
задач. В 13 билетах задачи по статистике, а в остальных 15 –задачи по теории
вероятности. 3 студента выбирают на удачу по одному билету.Найти вероятность
того, что хотя бы одному из студентов не достанется задачапо теории вероятности.
Аi –студенту достанется задача потеории вероятности
А – всем достанется задача по теор. вероят.
А = А1 А2 А3
А – хотя бы одному не достанется задача по теор.вероят.
_
Р (А) = 1 – Р(А) = 1- Р (А1А2 А3)= 1 – Р *(А3) * Р (А1 А2) = 1-Р *(А3)* Р *
А1А2 А1А2 А1
*(А2)*Р (А1)=1 – 15 * 14 * 13 = 0,265
28 27 26
5. Вящике содержится 6 деталей, изготовленных на 1-м заводе, 2 детали на 2-м заводе
и 4 детали на 3-м заводе. Вероятность брака на заводах равна19, 19 и 59
20 50 100
Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь будеткачественная.
Н1 – деталь с 1-гозавода
Н2 - деталь со 2-гозавода
Н3 - деталь с 3-гозавода.
Р(Н1) = 6 = 1; Р(Н2) = 2= 1; Р(Н3)= 4 = 1
12 2 12 6 12 3
А — извлеченная деталь качественная
_ _ _ _
Р (А) = Р *(А) * Р (Н1)+ Р *(А) * Р (Н2) + Р *(А)*Р (Н3) =19 * 1 + 19 * 1+ 59 *1=147=>
Н1 _ Н2 Н3 20 2 50 6 100 3 200
Р (А) = 1 – Р (А) = 53/200
__________________________________________________________________________________________
6. Независимыевероятные величины Х, У представляют только целые значения
Х: от 1 до 16 с вер-ю 1
16
У: от 1 до 23 с вер-ю 1
23
Р ( Х+У = 32)
/> Х У Р (Х=9; Х =23) = P (Х=9) * Р (У =23) = 1 * 1
9 23 16 23
10 22
/> P( X+y=32)=P ( X=8, y=23 ) + P ( X=10; y=12 )+…+P ( y=16,X=16 )=
16 16 = 8*1 * 1= 1
16 23 46
_________________________________________________________________________________________
7. Независимыеслучайные величины Х, У принимает только целые значения.
Х: от 1 до 14 с вероятностью 1
14
У: от 1 до 7 с вероятностью 1
7
Найти вероятность того, что Р (Х £ У)
/>Если У = 7, то 1 £ Х £6 1 * 6
7 14
Если У = 6 то 1£Х £ 5 1 * 5
7 14
Если У = 5 то 1£Х £ 4 1 * 4
7 14
Если У = 4 то 1£Х £ 3 1 * 3
7 14
Если У = 3 то 1£Х £ 2 1 * 2
7 14
Если У = 2 то 1 = Х 1 * 1
7 14
Р (Х<У) = 1* 6 + 1 * 5 + 1 * 1 = 1+2+3+4+5+6 = 21 = 3
7 14 7 14 7 4 7 * 14 714 14
_________________________________________________________________________________________
8. Независимыевеличины Х1……Х7принимают только целые значения от
0 до 10 с вероятностью 1
11
Найти вероятность того, что Р(Х1…….Х7) = 0
Р (Х1……Х7 =0) = 1-Р (Х1….Х7 ¹0) = 1- Р( Х1¹0….Х7 ¹ )=1-Р( Х1¹0 )*Р (Х2¹0)
/>/> 7
*….* Р(Х7¹0) = 1 – 10 * 10 = 1 - 10
11……. 11 11
/>
7раз
9. Независимыеслучайные величины Х, У, Z принимают целые значения
Х: от 1 до 13 с вероятн-ю 1
13
У: от 1 до 12 _____/_____ 1
12
Z от 1 до 9 _____/_____ 1
9
Вероятность того, что Х; У;Z. примут разныезначения?
Пусть “Z” приняло какое-то значение“а”. Р (У¹а) = 11
12
Пусть при этом У= в
Р (Z ¹ a; Z ¹ в)= 11 ; Р = 11 * 11
13 12 13.
_______________________________________________________________________________________
10.
Х 1 4 7 Р 0,1 0,4 0,5/>м = М (Х) — ? М (Х) =0,1+1,6+3,5 = 5,2
Р ( Х < м) — ? Р ( Х < 5,2) = Р(Х=1) +Р(Х=4) = 0,5
/>___________________________________________________________________________________________
11.
Х 2 3 5 Р 0,2 0,3 0,52
Х
4 9 25 Р 0,2 0,3 0,5Д (Х) — ?
М(Х) = 0,4+0,9+2,5=3,8
2
М (Х ) = 0,8+2,7+12,5 = 16
2 2 2
Д (Х) = М (Х ) – М (Х) = 16 — 3,8 = 1,56
______________________________________________________________________________________________________________
12. Независимые величины Х1,……., Х9 принимают целое значение – 8, — 7,…..,5,6
с вероятностью 1
15/> 9
Найти М (Х1, Х2,….., Х9) *М (Х2,…., Х9)= М (Х1) * М(Х2)*….*М(Х9) =М (Х9)
М (Х1) = -8 * 1 – 7 * 1 * 6 * 1 - … + 5 * 1 + 6 * 1 = 1 (-8-7-5….+5+6) = -1
15 15 15 15 15 15
/>/>/>/> 9 9
= М (Х1) = ( -1) = -1
13.
Х 8 10 12 14 16 Р 0,25 0,2 0,2 0,2 0,25/>
м= М(Х)-? М (Х) = 2 + 2 + 1,2 + 2,8 + 4 = 12
/>/>д(Х)-? 2 2
Р ( (Х-м) <d) Д (Х) = М (Х – М (Х) ) = М (Х-12)
/>
Х-12 -4 -2 2 4 Р 0,25 0,2 0,1 0,2 0,25
2
(Х-12)
1 4 Р 0,5 0,4 0,12
М (Х-Р) = 8+1,6
_____
d (Х) = Ö d (Х) » 3,1
/>/>Р ( Х –12 <3,1 ) = Р (-3,1<Х –12 < 3,1) = Р(8,9<Х<15,1)=
= Р (Х=10) + Р (Х=12) + Р (Х=14) = 0,5
___________________________________________________________________________________________________________
14. Х, У – неизвестные случайные величины
/>/>/>/>/>/>М (Х) =3 8 2 2 2 2 2
/>М (У) =2 ½ Д(ХУ) = М( ХУ ) – М (ХУ) =М (Х ) * М (У ) – [ М (Х)*М (Х)] =
Д(Х) = 4 ½ 2 2 2 2
Д(У) = 8 ½ Д (Х)=М(Х ) – М (Х) = М (Х ) = Д (Х) + М (Х) = 4 + 9 = 13
Д (Х У) 2 2
М (У ) = Д (Х) + М (У) =8 + 4 = 12
/>/> 2
= 12*13 –(2 * 3) = 156 – 36 = 120
__________________________________________________________________________
15. Х, У – независимые неизвестные величины. Принимаютзначение 0 и 1.
Р (Х=0) = 0,3 ½ 2 2 2 2 2
/>Р (У=0) = 0,6 ½ М(Х+У) + М (Х + 2ху +у ) = М (Х ) +2М (Х) * М (У) + М (У ) =2
М (Х+У)2
Х , Х
1 Р 0,3 0,72
Х , Х
1 Р 0,6 0,42
М (Х) = 0,7 = М (Х )
2
/>М (У) = 0,4 = М ( У )
= 0,7 + 2 * 0,7 * 0,4 + 0,4 = 1,66
16. Х, У независимые неизвестные величины Принимают значение0 и 1.
/>(задание как в 15).
Х 1 Р 0,3 0,7 У 1 Р 0,5 0,5
/> х — у
М (3 ) - ?
х-у х -у х -у
М (3 ) = М (3 * 3 ) =М (3 ) * М (3 ) = 2,4* 2 = 1,6
3
х
3
1 3 Р 0,3 0,7-у
3
11
3
Р 0,5 0,5/>/> Х -у
М (3 ) = 0,3 + 2,1 = 2,4 М (3 )= 0,5 + 0,5 = 4 * 0,5 = 1
3 3 3
_____________________________________________________________________________________________________________
17. Производится 10240 независимых испытаний, состоящих втом, что
подбрасываются 9 монет
Х – число испытаний, в которых выпало 3 герба
М (Х) -?
1-испт. - 9 монет
9 испытаний Р = 1
2
3 3 6 3 9
Р(Г = 3) = С9 * ( 1) * ( 1 ) = С9 * ( 1) = 84 * 1 - 21 = …
2 2 2 512 128
n = 10240 испытаний
Р = 21 ; М (Х) = np = 21* 10240 = 1680
128 128
18. В серии независимых испытаний (одно испытание заед.времени)
вероятность наступления А равна 1
8.
Пусть Т-время ожидания наступления события А 14 раз. Найти М(Т)1 Д (Т).
Х1 – время ожидания допервого наступления А
Х2 – время ожидания отпервого наступления А до 2-го
Т = Х1 + Х2 +Х3 +…… Х14
Хi Р = 1
8 7/8
/>М (Хi)= 1 = 8; d = 7 Д (Хi) = d = = 56
/>/> 8 8 2 2
p 1/8
М (Т) = 14М * (Х1) 14* 8 = 112
Д (Т) = Д(X1 ) = 14 * 56 = 784
19. ВеличиныХ1 …… Х320 распределены по Биноминальномузакону с параметрами
п =4, р= 3 Найти М (Х1 + Х2 + …+ Х320)=?
8
2 2 2
/>М (Х1 + …..+Х 320) = 320М (Х1 ) = Х1 – биноминальное
2 2 М(Х1) = пр = 3
= М(Х1 ) = Д(Х1) + М (Х1) = 2
/>/> 2 Д (Х1 ) = nрq = 3 * 5 = 5
= 15+ 3 = 15 + 9 = 51 2 8 16
16 2 16 4 16
/>= 320 * 51 = 1020
16
_____________________________________________________________________________________________________________________
20.Величины Х1 …… Х18 распределеныпо закону Пуассона с одинаковым
мат.ожиданиям равным 8.
2 2
Найти М(Х1 +…+ Х18 ) — ?
M (Х) = Д (Х) = l = 8
2 2 2 2
М (Х1 +…+ Х18 ) = 18 М (Х1 ) = 18 (Д (Х1) + М (Хi ) )=18(8 + 64)=18 * 72=1296
_________________________________________________________________________________________________________
21. Х– равномерно распределён на отр. [ — 8,2 ]
/>Р ( 1 )>5 = Р (0< Х <1 ) = > (0<Х <0,5) =
Х 5
1 – 5 >0; 1 – 5Х >0; Х –1/5 < 0 Û (0< Х <0,5)
Х Х Х
1 –5Х > 0; Х – 1/5 < 0
Х Х
/>/>/>[ х, в ]
/> 0, Х>а 0; Х <а
f(Х)= 1 ; а < Х < в F (Х) = х– а; а £ Х £ а Û 0< Х 1/5
в –о в –а
0, Х >в 1, Х >B
/>
F(Х) = Х + 8= F (1/5) — F ( 0 ) =1/5 + 8 - 8 = 1
5 10 10 50
_______________________________________________________________________________________________________________________
22. Х –равномерно распределена на отр. [ -17; 10 ]
2 2
Р ( Х > 64) = 1- Р ( Х < 64) = 1 – 16
27
2
/>Р (Х < 64 ) = Р (-8 < Х <8) =
/> 0; Х < -17
F(Х) = Х + 17, -17 £ Х £ 10
27
1, Х > 10
/>
= F (8) – F (-8) = 8 + 17 — -8 +17 = 16
27 27 27
______________________________________________________________________________________________________________
23.Х – равномернораспределена на отр. [ -1; 1 ]
/> 8/9 X [a,b]; f (x)
М( Х ) a 0; x <-1
M(x)= ∫ x f(x) dx f (x)= -1<x<1
b 0; x>1
a
M(y(x))=∫ y (x) f (x) dx
b
/> 8/9 1 8/9 17/9 1
M(X ) = ∫ ½* X DX = ½ * X = 9/17
-1 17/9 -1
24.Х – равномернораспределена на отр. [ 0.1 ]
9/10 9/10
Д( 19Х ) = 361 (Х )
9/10 9/10 2 2 9/10 9/4 2 9/10 9/10 * 2
Д(Х ) = М ( (Х ) ) — М (Х ) = М (Х ) - М (Х ) Х
__________________________________________________________________________________________________________
25. Х – равномерно распределена на отр. [ 5; 8 ] * Д (24x+ 36) — ?
Д(24Х + 36) = Д (24Х) = 576 * Д (Х) = 576 * 3 = 432
2 4
Д(Х) = ( в – а )
12
2
Д(Х) = 8 – 5 = 9 = 3
12 12 4
_______________________________________________________________________________________________________________
26.Х1,……Х2 – Независимые и распределенные попоказательному закону.
2
Найти М [ (Х1 + Х2 + …..+ Х10) ], если М (Хi ) = 4.
М(Х) = 1
l
Д(Х) = 1
/> 2
l
M(Хi ) = > Д (Хi) = 16
2 2 2
М [ (Х1 +….+ Х10) ]=Д(Х1 +…+ Х10) + М (Х1 +….+ Х10) =10Д (Х1)+[ 10М (Х1) ]=
2
= 160 +( 10 * 4) = 1760
_________________________________________________________________________________________________________________
/> 2
М(Х)=1/ l ; Д(Х) = 1/l
27. Х –распределен по показательному признаку
2
Найти М[ (Х + 8) ], если Д (Х) = 36 М (Х)=6
2 2 2 2
М (Х +8) = M(Х + 16х + 64) = М (Х ) + 16М(Х) + М (64) = Д (Х) + М (Х) +
+16 М(Х) + 64 =36 + 36+ 96 + 64 =232
____________________________________________________________________________________________________________
28. Х–показательное распределение; Х – показательный закон
/>
0, Х < 0
/> F (Х) = -2х
1 – е , Х >0, Найти Ln (1– Р ( Х < 6) ) = Ln (1 – F (6) ) =
/>/>/> -6/7 -6/7 -6/7
= F (6) = 1 – е = Ln ( 1 – (1 – е ) ) = Ln е = - 6/7
29. (Х) - случайная величина
/> /> /> /> /> /> /> /> /> />
0, Х < 10
ƒ(Х) = С ; Х ≥ 10
/> 5
/> Х
С —? ; М (Х)-?
¥ ¥ опр. B ¥ -5
∫ ƒ (Х)dх = 1 => ∫ с dх = lim ∫ = cdx = C lim ∫ X dx =
10 10 5 b->¥ 10 5 b->¥ 10
Х X
b />/>/>
-4 -4 4 4 4
= C * lim X = C lim - b + 10 = C * 10 = > 1 = C 10 = >
b->¥ -4 b->¥ 4 4 4 4
10
4
=> C =4 * 10
/>
0; Х < 10
ƒ(Х) = 4
4 * 10 , Х ³ 10
5
Х
¥ ¥ 4
М(Х) = ∫ Х ƒ (Х) dx = ∫ 4 *10 dx
10 10 4
Х
_________________________________________________________________________________
30.Х – нормальная случайная величина
М(Х) = 16
Д (Х) = 25
?– Р (Х>10,5)
/> /> /> /> /> /> <td/> />= 1 - f 10,5 – 16 = 0,5 + f (1,1) = 0,5 + 0,364 =0,864
2 5
________________________________________________________________________________________
/> /> /> /> /> /> /> /> /> /> <td/> /> <td/> /> <td/> />1. Р (d £ X £ b ) = f b – m — f d — m
d d
/> /> /> /> /> /> <td/> />2. P ( X < b ) = 1 + f b – m
2 d
/> /> /> /> /> /> <td/> />3. P ( X > b ) = 1 - f b – m
2 d