Реферат: Теоремы Ролля, Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя

Реферат

на тему:

«Теоремы Ролля,Коши, Лагранжа. Правило Лопиталя»

1. Теорема Ролля

Знание производнойнекоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этойфункции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы,называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.

Начнем рассмотрение такихтеорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652–1719).

Теорема 1.1. Еслифункция /> непрерывна на отрезке />, дифференцируема во всехего внутренних точках, а на концах отрезка />,/> обращается в ноль, тосуществует, по крайней мере, одна точка />,в которой />.

Доказательство. Так какфункция непрерывна на отрезке />, то,согласно свойству 11.1.1, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезкесвоего минимума /> и максимума /> (рис. 1.1).

Если />, функция постоянна, тоесть />. Но в этом случае /> для любого />.

В общем случае />, и хотя бы одно из этихчисел не равно нулю. Предположим для определенности, что />. Тогда существует точка />, в которой />.

/>

Рис. 1.1

Так как рассматриваемоезначение /> является максимальным, тодля него справедливо, что /> для /> и />.

Рассмотрим пределы

/> для />

и

/> для />.

Так как оба предела равныпроизводной функции /> в одной и той жеточке />, то они равны между собой.Значит, из одновременности /> и /> следует, что />, что и требовалосьдоказать.

Следует отметить, чтоданная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка /> функция не обращается вноль, но принимает равные значения />.Доказательство проводится аналогично.

Геометрический смыслданной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось /> в двух точках />, /> или принимает в них равныезначения, то, по крайней мере, в одной точке между /> и/> касательная к кривойпараллельна оси />.

Необходимо отметить, чтоесли не во всех точках /> урассматриваемой функции существует производная, то теорема может невыполняться. Это касается, например, функции /> (рис. 1.2):

/>

Рис. 1.2

Данная функция непрерывнана отрезке /> и обращается в ноль на егоконцах, но ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.

2. Теорема Лагранжа

Результаты теоремы Ролляиспользуются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащейЛагранжу (1736–1813).

Теорема. Если функция /> непрерывна на отрезке /> и дифференцируема во всехего внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка />, в которой />.

Доказательство.Рассмотрим график функции /> (рис. 2.1).

Проведем хорду,соединяющую точки /> и />, и запишем ее уравнение.Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости,получим:

/>,

откуда:

/>

Рис. 2.1

/> и />.

Составим теперьвспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:

/>.

Полученная функция /> непрерывна на отрезке /> и дифференцируема во всехего внутренних точках. Кроме того, вычисление /> вточках /> и /> показывает, что />. Значит, функция /> на отрезке /> удовлетворяет требованиямтеоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка />, в которой />.

Вычислим производнуюфункции />:

/>.

Согласно теореме Ролля вточке /> производная />, то есть /> и

/>,

что и требовалосьдоказать.

Геометрический смыслтеоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка /> существует,по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде,стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при /> теорема переходит втеорему Ролля.

Теорему Лагранжа частозаписывают в следующем виде:

/>,

то есть приращениефункции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции внекоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют такжетеоремой о конечных приращениях.

3. Теорема Коши

Рассмотрим, наконец,третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789–1859), которая являетсяобобщением теоремы Лагранжа.

Теорема. Если функции /> и /> непрерывны на отрезке /> и дифференцируемы во всехего внутренних точках, причем /> необращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайнеймере, одна точка />, в которой />.

Доказательство. Так как /> во всех точках />, то отсюда следует, что />. В противном случае, какследует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка />, в которой />.

Составим вспомогательнуюфункцию

/>.

Данная функция непрерывнана отрезке /> и дифференцируема во всехего внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках /> и /> дает: />. Значит, функция /> удовлетворяет требованиямтеоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка />, в которой />.

Вычислим производную />:

/>.

Из условия /> следует, что

/> и />,

что и требовалосьдоказать.

В случае, когда />, теорема Коши переходит вформулировку теоремы Лагранжа.

4. Правило Лопиталя

На основании теоремы Кошио среднем можно получить удобный метод вычисления некоторых пределов,называемый правилом Лопиталя (1661–1704).

Теорема. Пусть функции/> и /> непрерывны идифференцируемы во всех точках полуинтервала /> ипри /> совместно стремятся к нулюили бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при />, то этот же предел имеетотношение и самих функций, то есть />.

Проведем доказательстводанной теоремы только для случая, когда />. Так как пределы у обеихфункций одинаковы, то доопределим их на отрезке />,положив, что при /> выполняетсяравенство />.

Возьмем точку />. Так как функции /> и /> удовлетворяют теореме Коши(п. 2.14), применим ее на отрезке />:

/>, где />.

Так как />, то

/>.

Перейдем в данномравенстве к пределу:

/>.

Но если />, то и />, находящееся между точками/> и />, будет стремится к />, значит

/>.

Отсюда, если />, то и />, то есть

/>,

что и требовалосьдоказать.

Если при /> />, то снова получаетсянеопределенность вида /> и правилоЛопиталя можно применять снова, то есть

/>

Доказательство правилаЛопиталя для случая /> проводитсясложнее, и мы его рассматривать не будем.

При раскрытиинеопределенностей типа />, />, />, />, /> правило Лопиталя применятьнепосредственно нельзя. Вначале все эти неопределенности необходимопреобразовать к виду /> или />.

Правило Лопиталя можетбыть использовано при сравнении роста функций, в случае когда />. Наибольший практическийинтерес здесь представляют функции />, />, />. Для этого найдем пределыих отношений:

1) />, значит, /> растет быстрее, чем />;

2) />, значит, /> растет быстрее, чем />;

3) />, значит, /> растет быстрее, чем />.

Отсюда следует, чтобыстрее всего растет />, затем /> и, наконец, />.

Литература

1.   Гмурман В.Е. Теориявероятностей и математическая статистика. М., «Высшая школа» изд. 5, 1977.

2.   Зайцев И.А. Высшаяматематика. ДРОФА, 2005. – 400 с.

3.   КрасновМ. Вся высшая математика т. 1 изд. 2. Едиториал УРСС, 2003. – 328 с.

4.   Краснов М.Л.,Макаренко Г.И., Киселев А.И., Шикин Е.В. Вся высшая математикаИнтегральное исчисление. Дифференциальное исчисление функций несколькихпеременных. Дифференциальная геометрия Том 2.: Учебник – 3-е изд. ЛКИ, 2007.

5.   Мироненко Е.С. Высшаяматематика. М: Высшая школа, 2002. – 109 с.