Реферат: Системы, эквивалентные системам с известным типом точек покоя

Министерствообразования Республики БеларусьУчреждениеобразования Гомельский государственныйуниверситетимени Франциска СкориныМатематическийфакультетКафедраДифференциальных уравненийКурсоваяработа«Системы, эквивалентныесистемам с известным типом точек покоя»Гомель 2005
Реферат

Курсоваяработа состоит из 14 страниц, 2-х источников.

Ключевыеслова: вложимая система, с известным типом точек покоя, первый интегралдифференциальной системы, отражающая функция, класс систем эквивалентныхсистеме с известным типом точек покоя, непрерывно дифференцируемая функция.

Цельюкурсовой работы является исследование системы с известным типом точек покоя, нахождениепервого интеграла системы, применение теоремы об эквивалентности дифференциальныхсистем.

Содержание

 

Введение

Определение вложимойсистемы. Условия вложимости

Общее решение системы

Нахождение первогоинтеграла дифференциальной системы и условия его существования

Отражающая функция

Применение теоремы обэквивалентности дифференциальных систем

Заключение

Список использованныхисточников

Введение

 

В курсовойработе рассматривается вложимая система с изаестным типом точек покоя. Какизвестно система является вложимой, если любая компонента этой системы вложима,т.е. система вложима тогда и только тогда, когда множество её решений являетсяподмножеством множества решений некоторой линейной стационарной системы.

В 1–2 мпунктах рассматривается вложимая система, с известным типом точек покоя. Далеепроверяем являются ли x и y общим решением нашей системы уравнений.

Во 3-м мы находимпервый интеграл системы и проверяем выполнение тождества.

В 4-м пунктеприменяем теорему об эквивалентности дифференциальных систем.

1. Определение вложимойсистемы. Условия вложимости

Рассмотримдифференциальную систему

/> /> />D. (1)

Будемназывать i-юкомпоненту x/> системы (1) вложимой,если для любого решения x(t)=(x/>(t),…, x/>(t)), t/>, этой системы функция x/>t/>, являетсяквазимногочленом. Таким образом i-я компонента системы (1) вложима тогда и только тогда, когдадля каждого решения x(t)этой системы существует линейное стационарное уравнение вида

/>

/>/>, (2)

для которого/> является решением.

Вообщеговоря, порядок и коэффициенты уравнения (2) зависят от выбора решения />. В частном случае, когдакомпонента /> любого решения /> системы (1) являетсяодновременно и решением некоторого, общего для всех решений /> уравнения (2), компоненту />системы (1) будем называтьсильно вложимой в уравнение (2).

 

2. Общеерешение системы

Рассмотрим вложимуюсистему

/> (1)

/>(b>0 и а-постоянные) с общим решением

/>, если с/>0;

x=0, y=at+c/>, если с=0, гдепостоянные с, с/>, с/> связаны соотношением с/>(b+c/>+c/>)=a/>, имеет два центра вточках/>/>и />./>

Решение:

Подставимобщее решение

/> в нашу систему (1) получим />

/>/>

=/>/>=c(c/>cosct-c/>sinct)=/>

a-/>/>

Для краткостираспишем знаменатель и преобразуем

x/>+y/>+b=/>

/>/>=/>

/>/>

=a+c(c/>sinct+c/>cosct)

a-/>/>

/>

Получаем, чтоx и y являются общим решениемсистемы.

 

3. Нахождениепервого интеграла дифференциальной системы и условия его существования

Рассмотримсистему />= f (t, x), x= (x/>,…, x/>), (t, x)/> (1) снепрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторойподобласти Gобласти D,называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решенияx(t), t/>, системы (1), графиккоторого расположен в G функция U (t, x(t)),t/>, постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только отвыбора решения x(t)и не зависит от t.

Пусть V (t, x), V:G/>R, есть некоторая функция.Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V/> V/>R, определяемую равенством

V/> (t, x(t))/>t/>.

 

Лемма 1.

Для любогорешения x(t), t/>, системы (1), графиккоторого расположен в G, имеет место тождество

V/>/> t/>.

Бездоказательства.

Лемма 2.

Дифференцируемаяфункция U(t, x), U:G/>R, представляет собой первыйинтеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U/> в силу системы (1)тождественно в G обращается в нуль.

Необходимость.Пусть U (t, x) есть первый интегралсистемы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы, применяя лемму 1 будем иметь тождества

U/>/>/>

Откуда при t=t/> получим равенство U/>(t/> справедливое при всехзначениях t/> и x(t/>). Необходимостьдоказана.

Достаточность.Пустьтеперь U/> при всех (t, x)/> Тогда для любого решения x(t) системы (1) наосновании леммы1 будем иметь тождества

/>

а с ним идостаточность.

Изопределения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также являетсяпервым интегралом системы (1). Первый интеграл U (t, x) будем называть на G, если при всех (t, x)/> выполняется неравенство.

/>

Функцию U(x) будем называть стационарнымпервым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первыминтегралом системы (1).

Найдемпервый интеграл нашей системы:

/>

Возведем вквадрат и выразим с

/>

y/>

/>

/>

/>

/>

Положим />, получим

/>

/>

/>

/>

/>

Проверим, чтофункция />/> – это первый интегралсистемы (1), т.е. проверим выполнение тождества /> (2)

Найдемпроизводные по t, x, y

/> /> />

/>/>/>/>/>/>/>/>

После вышесделанных преобразований получаем, что функция />/> – это первый интегралсистемы (1),

2) Положим />, т.е. />,

где />, Q/>/>

3) Проверимвыполнение тождества:

/> (3), где />

Преобразуем(3).

/>[в нашем случае />] = />/>/>/>=/>[учитывая все сделанныеобозначения] =

=/>

=/>

=/>[ввиду того, что />которое в свою очередь какмы уже показали есть тождественный ноль]/>

Таким образом,тождество (3) истинное.

/>

4.Отражающая функция

 

Определение. Рассмотрим систему

/> (5)

cчитая, что правая частькоторой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по />. Общее решение в формеКоши обозначено через />). Через />обозначим интервалсуществования решения />.

Пусть

/>

 

Отражающейфункцией системы (5) назовём дифференцируемую функцию />, определяемую формулой

/>

Дляотражающей функции справедливы свойства:

1.)      длялюбого решения />системы (5) вернотождество

/>

2.)      дляотражающей функции F любой системы выполнены тождества

/>

3) дифференцируемаяфункция /> будет отражающей функциейсистемы (5) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений вчастных производных

/>

и начальномуусловию

/>

5. Применениетеоремы об эквивалентности дифференциальных систем

Получаем /> где />-любая нечетная непрерывная функция.

Наряду сдифференциальной системой /> (1)

рассмотримвозмущенную систему/> (2), где /> — любая непрерывнаянечетная функция. Известно по [3], что дифференциальная система /> /> /> (3)

эквивалентнавозмущенной системе

/> /> /> (4), где />непрерывная скалярнаянечетная функция удовлетворяющая уравнению />

Так как вышеуже показано, что функция /> где /> {есть первый интеграл}удовлетворяет этому уравнению, то справедлива следующая теорема.

Теорема1.

Система /> (1) эквивалентна системе /> (2) в смысле совпаденияотражающей функции.

Так каксистема /> (1) имеет две особыеточки, в каждой из которых находится центр, то и система /> (2) имеет центры в этихточках.

Заключение

В даннойкурсовой работе рассмотрена вложимая система с известным типом точек покоя, провереноудовлетворение общего решения нашей системе, найдены первый интеграл ипроверено выполнение тождества, затем с помощью теоремы 1 доказанаэквивалентность дифференциальных систем. Сформулированы определения вложимойсистемы, первого интеграла, отражающей функции и общие свойства отражающейфункции. Cформулированатеорема при помощи которой мы доказали эквивалентность нашей системы сдифференциальной системой.

Списокиспользованных источников

 

1.        Мироненко В.И. Линейнаязависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. – Мн., Изд-во БГУим. В.И. Ленина, 1981, 50 – 51 с.

2.        Мироненко В.И. Отражающаяфункция и периодические решения дифференциальных уравнений. – Мн.: изд-во «Университетское»,1986, 11,17 – 19 с.

3.        Мироненко В.В. Возмущениядифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.