Реферат: Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя
Міністерство охорони здоров’я України
Житомирський фармацевтичний коледж
ім. Г.С. Протасевича
Реферат
на тему:
“Розкриттяневизначеностей за правилом Лопіталя”
Роботу виконала
Студентка211 групи
ПіщукОлеся
Викладач:
ВиговськаВ.Г.
Отриманийбал:
_____________
м. Житомир – 2006
План
І. Розкриттяневизначеностей з використанням правила Лопіталя.
1) ПравилоЛопіталя.
а) Наслідок.
б) Приклад 1.
2) Розкриттяневизначеностей виду: ∞-∞; 0∙∞; 1∞; 00;∞0.
а) Приклад 2.
б) Приклад 3.
в) Приклад 4.
Список використаноїлітератури.
І. Розкриття невизначеностей з використаннямправила Лопіталя.
Лопіталь де Гійом Франсуа (1661-2.02.1704 рр.). Французькийматематик, член Парижської АН, народився в Парижі, вивчав математику підкерівництвом У. Бернуллі. Видав перший друкований підручник по диференціальномуобчисленню – “Аналіз нескінченно малих” (1696р.). В підручнику є правило Лопіталя – правилознаходження межі дробу, чисельник і знаменник якого прямує до 0. Крім того, вінстворив курс аналітичної геометрії конічних перетинів. Йому також належить дослідження ірозвиток за допомогою математичного аналізу декількох важких задач по геометріїі механіці, а також одне із рівнянь знаменитої задачі о браністохроні.
1. Правило Лопіталя.
Нехай виконані умови:
1. функції f(х)та g(х) визначені і диференційовані в колі точки х0;
2. часткацих функцій /> в точці х0має невизначеність вигляду /> або />;
3. існує />.
Тоді існує /> івиконує рівність:
/> (1)
а) Наслідок.
Нехай:
1. Визначені в колі точки х0 функції f(х), g(х) та їх похідні до n-гопорядку включно;
2. Частки />, />, …, /> мають невизначеністьвигляду /> або />;
3. Існує />, тоді
/> (2)
б) Приклад 1.
Знайти: />.
Розв’язання:
Функції /> та /> визначені з усіма своїмипохідними в околі точки х=0.
Маємо:
/>.
2) Розкриття невизначеностей виду: ∞-∞;0∙∞; 1∞; 00; ∞0.
Існують прийоми, що дозволяють зводити вказані невизначеностідо невизначеностей вигляду /> або />, які можна розкривати звикористанням правила Лопіталя.
1. Нехай /> і />, тоді
/> (3)
За умовою /> при />, тому /> при />.
Якщо /> непрямує до 0 при />, то границя вправій частині (3) не існує, а тому і границя лівої частини (3) не існує.
Якщо /> при />, то вираз /> має невизначеність />.
2. Нехай />, />, тоді /> має невизначеність вигляду/> при />.
В цьому випадку поступають так:
/>
Під знаком останньої границі маємо невизначеність />.
3. Нехай />, /> при />. Тоді /> має невизначеність вигляду/>.
Позначимо />.Шляхом логарифмування цієї рівності одержимо:
/>
Отже, обчислення натурального логарифма границі /> зводиться до розкриттяневизначеності вигляду />.
4. Невизначеності вигляду /> та/> зводять доневизначеностей /> або /> шляхом логарифмуванняаналогічно до невизначеності вигляду />.
а)Приклад 2.
Знайти границю />.
Розв’язання:
Функції /> та /> диференційовані, а їхчастка /> має невизначеність вигляду/> при />.
Використовуючи правило Лопіталя, одержимо:
/>.
б)Приклад 3.
Знайти границю />.
Розв’язання:
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду />. Позначимо /> і про логарифмуємо цюрівність. Одержимо:
/>, тобто невизначеність вигляду />. Використовуючи правилоЛопіталя, одержимо:
/>.
Отже, />.
в)Приклад 4.
Знайти границю />.
В цьому випадку маємо невизначеність вигляду />. Нехай />. Логарифмуючи цю рівність,одержимо:
/>.
Чотири рази застосували правило Лопіталя.
Отже, маємо:
/>
Список використаної літератури:
1. КривуцаВ.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. К.82. Вища математика. Практикум.Навчальний посібник.–Київ: Центр навчальної літератури, 2005.–536с.
2. БородинА.И., Бугай А.С., Биографическийсловарь деятелей в области математики. Радянська школа 1979.
3. Алгебра и началаанализа: В 2-х ч./ Под. ред. Г.Н. Яковлева.–2-е изд. –К.: Вища шк., Головноеизд-во, 1984.–Ч.2. 293с.