Реферат: Решение матричных уравнений. Базисный минор. Ранг. Действия над матрицами

Дисциплина: «Высшая математика»

Тема: «Решение матричных уравнений: Базисный минор. Ранг. Действиянад матрицами»


1. Базовые действия над матрицами

Определение 1. Две матрица называются равными, если ониимеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Определение 2. Суммой двух матриц /> (/>) и /> (/>) одинаковых порядков /> называется матрица /> (/>) того же порядка, элементыкоторой равны />.

На письме это действие может быть записано так: />. Операция сложенияобладает, очевидно, обычными свойствами: перестановочным />; сочетательным />.

Определение 3. Произведением матрицы /> на число /> называется матрица />, элементы которой равны />.

Умножение матрицы на число может быть записано: /> или />.

Эта операция обладает следующими свойствами: сочетательнымотносительно числового множителя />; распределительнымотносительно суммы матриц />; распределительнымотносительно суммы чисел />.

После первых двух действий необходимо отметить, чтовычитание матриц производится аналогично сложению, а деление матрицы на числоможет быть определено как умножение на обратное число.

Определение 4. Произведением матрицы /> (/>), имеющей порядок />, на матрицу /> (/>), имеющую порядок />, называется матрица /> (/>), имеющая порядок />, элементы которой равны />, где />.

Записывается это действие так />.Из сказанного выше следует, что для нахождения элемента />, в произведении /> необходимо попарноперемножить все соответствующие элементы />-ойстроки матрицы /> на элементы />-го столбца матрицы />, а затем все это сложить. Изопределения также следует, что для умножения двух матриц необходимо, чтобычисло столбцов матрицы /> было равно числустрок матрицы />. Отсюда следует,что одновременно произведение /> и /> существует только лишь втом случае, когда число столбцов /> равночислу строк />, а число столбцов /> равно числу строк />. В этом случае /> и /> будут квадратнымиматрицами, но разных порядков. Чтобы оба произведения были одинакового порядка,необходимо, чтобы /> и /> были квадратными матрицамиодинакового порядка.

Произведение матриц /> имеетсвойства: сочетательное />; распределительное/>. Перестановочным свойствомв общем случае произведение матриц не обладает. Оно выполняется лишь внекоторых случаях.

Среди квадратных матриц необходимо выделить важный классдиагональных матриц.

Определение 5. Диагональной называется квадратнаяматрица, все элементы которой, расположенные вне главной диагонали, равны 0:

 

/>.


В том случае, если />,то для любой квадратной матрицы /> порядка/> справедливо />. Действительно, для /> получаем />. Для /> - />. Отсюда, />.

Среди диагональных матриц с равными друг другу элементамиособое место занимают две матрицы: единичная и нулевая. У единичной матрицы />, обозначается она — />, у нулевой />, обозначается она — />.

Как было показано />, />. Перемножив эти матрицы,можно убедиться, что />; />. Таким образом, матрицы /> и /> выполняют ту же роль, чтои 1 и 0 среди чисел. Вообще нулевой называют любую матрицу, элементы которойравны нулю.

2. Обратная матрица

Кроме действий над матрицами как сложение, вычитание,умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу есть также операцияделении на матрицу. Она эквивалентна умножению на обратную матрицу. Рассмотрим,что же это такое.

Определение 1. Матрица />,удовлетворяющая вместе с матрицей /> равенствам/>, где /> - единичная матрица,называется обратной к /> и обозначается />.

Поскольку /> и /> обладают в произведенииперестановочным свойством, то обе матрицы должны быть квадратными и одного порядка.

Прежде чем рассматривать вопрос о существовании обратнойматрицы, введем некоторые понятия.

Определение 2. Если определитель квадратной матрицыотличен от нуля, то матрица называется невырожденной. В противном случае онаназывается вырожденной.

Определение 3. Пусть дана квадратная матрица


/>.

 

Матрицей союзной или присоединенной к матрице /> называется матрица

 

/>,

 

где /> алгебраическиедополнения элементов /> данной матрицы.

Необходимо обратить внимание на то, что в матрице /> алгебраические дополненияк элементам />-ой строки расположены в />-ом столбце.

Теорема 1. Определитель произведения матриц равенпроизведению определителей этих матриц, то есть />.

Теорема 2. Матрица /> имеетобратную /> только в том случае, еслиона невырожденная.

Доказательство. Пусть для матрицы /> существует обратная />, тогда />. Отсюда следует, что

/>,

иначе единицы справа быть не может.

Теорема 3. У каждой невырожденной матрицы существуетединственная обратная />.

Доказательство. Пусть /> имеетдве обратные матрицы /> и />. Тогда

/> и />.

Теорема 4. У каждой невырожденной квадратной матрицысуществует обратная, равная />.

Докажем эту теорему, вычисляя />.Очевидно, что мы должны получить при этом матрицу />,элементы которой находятся по формуле

/>.

В полученном выражении, если />,то />. Действительно, /> похоже на выражение длявычисления величины определителя. При этом элементы />-ойстроки умножаются на алгебраические дополнения />-гостолбца. Но так как эти дополнения содержат в себе />-уюстроку, то получается, что мы вычисляем определитель с двумя одинаковымистроками. Значит, он равен нулю.

Итак, если />, то />. Если же />, то полученное выражение вточности соответствует формуле для вычисления определителя. Значит,

/> />/>


Но /> определяетдиагональные элементы. Значит, в полученной матрице по главной диагонали стоятединицы, а остальные элементы — нули. Это единичная матрица />. Следовательно, /> и />.

Отсюда следует правило вычисления обратной матрицы:

1. находим /> (ондолжен быть не равен нулю);

2. транспонируем матрицу />;

3. заменяем каждый элемент транспонированной матрицы егоалгебраическим дополнением;

4. делим каждый полученный элемент на />.

3. Решение матричных уравнений

Понятие обратной матрицы дает возможность решать матричныеуравнения. Пусть имеется уравнение вида />,где />, />, />, /> - некоторые матрицы,причем /> - неизвестная. Длянахождения />, прежде всего, необходимо /> перенести вправо: />. Затем, пользуясь тем, что/>, умножим равенство на />:

/>.

При решении подобных уравнений необходимо учитывать, с какойстороны стоит множитель при />. Еслиуравнение имеет вид />, то

/>.

Если же уравнение имеет множители при /> с обеих сторон

(/>), то />.


4. Базисный минор и ранг матрицы

Введя понятие линейной комбинации строк и столбцов матрицы,как это было сделано у векторов, можно ввести понятие их линейной зависимости инезависимости.

Определение 1. Строки />,/>,..., /> называются линейнозависимыми, если существуют числа />, не всеравные нулю, такие что справедливо равенство />.

Здесь 0 — нулевая строка.

Определение 2. Строки /> называютсялинейно независимыми, если их линейная комбинация обращается в ноль лишь приусловии, что />.

В этом случае линейная комбинация называется тривиальной.

Так же как и у векторов имеется соответствующая теорема.

Теорема 1. Для того чтобы строки /> были линейно зависимы,необходимо и достаточно, чтобы одна из них была линейной комбинацией остальных.

Доказательство проводится так же, как и в 4 (там это разбитона две теоремы).

Теорема 2. Если в систему строк матрицы входит нулеваястрока, то эти строки линейно зависимы.

Доказательство. Действительно, нулевая строка представляетсобой тривиальную линейную комбинацию любых строк. Но тогда мы сразу переходимк теореме 1.

Рассмотрим теперь понятие базисного минора. Пусть имеетсяпроизвольная матрица порядка />:


/>.

Определение 3. Минором />-гопорядка матрицы /> называетсяопределитель />-го порядка с элементами,лежащими на пересечении любых /> строк и/> столбцов матрицы />.

Определение 4. В матрице />,порядка />, минор порядка /> называется базисным, еслион не равен нулю, а все остальные миноры порядка /> равнынулю или миноров порядка /> вообщенет, то есть /> совпадает с меньшим изчисел /> или />.

Очевидно, что в матрице может быть несколько базисныхминоров, но все они должны быть одного порядка.

Определение 5. Рангом матрицы называется порядокбазисного минора. Обозначается ранг матрицы — />.Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называютсябазисными.

Теорема 3. (Теорема о базисном миноре). Базисные строки истолбцы линейно независимы. Любая другая строка или столбец матрицы /> являются линейнойкомбинацией базисных строк или столбцов.

Доказательство проведем для строк. Покажем вначале, чтобазисные строки линейно независимы. Если бы они были линейно зависимы, то однаиз этих строк была бы линейной комбинацией остальных. Тогда на основаниисвойств определителя эту комбинацию можно вычесть из указанной строки иполучить на ее месте ноли. Но если вся строка состоит из нолей, то минор равеннулю, что противоречит теореме.

Докажем вторую часть этой теоремы. Рассмотрим любой минор />-го порядка, включающий всебя базисный. Расположим базисный минор в левом верхнем углу:


/>.

По определению данный минор равен нулю. Раскроем его попоследнему столбцу:

/>.

Здесь />,разделим на него все равенство:

/>

/>

Из полученного выражения следует, что />-ая строка являетсялинейной комбинацией базисных строк.

Отсюда можно сделать вывод, что число линейно независимыхстрок или столбцов равно рангу матрицы. Это свойство используется дляпрактического вычисления />.


Литература

1.        Александров В.В., Потапов М.К., Пасиченко П.И., Потапов М.К. АлександровВ.В., Потапов М. К и др. Алгебра, тригонометрия и элементарные функции. Учебник.М: Высшая школа, 2001. — 736с.

2.        Тоом А., Гельфанд И., Львовский С. Тригонометрия. МЦМНО, 2003. — 200с.

3.        Баврин И.И. Высшая математика — 1980 г.

4.        Дж. Голуб, Ч. Ван Лоун Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.

5.        Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969.

6.        Гантмахер Ф.Р. Теория матриц (2-е издание). — М.: Наука, 1966.

7.        Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973.

еще рефераты
Еще работы по математике