Реферат: Решение иррациональных уравнений

Министерство образования и науки РФ.

МОУ “Ульканская средняя общеобразовательная школа №2”.

ТЕМА:

Решение иррациональных уравнений.

                                                                         Реферат выполнен:

                                                                 Верхошанской Светланой Александровной,

                                                                 ученица 9”Г” класса.

                                                                         Руководитель:

                                                                 Высоцкая Лидия Степановна, 

                                                                 учитель математики.

Улькан

2005

СОДЕРЖАНИЕ:

Глава I. Историческая справка ………………………………….………………..2

Глава II§1. Решение иррациональных уравнений ………………………..……..3 

              §2.Преобразование иррациональных выражений ………………….….5

              §3. Уравнения срадикалом третьей степени …………………………...6

              §4. Введениенового неизвестного …………………………………...…7

Литература …………………………………………………………………………9

Историческая справка

об иррациональных уравнениях.

“Источником алгебраическихиррациональностей является двузначность или многозначность задачи; ибо было быневозможно выразить одним и тем же вычислением многие значения, удовлетворяющиеодной и той же задаче, иначе, чем при помощи корней…; они же разве только вчастных случаях могут быть сведены к рациональностям”.

                                                                                                            (Лейбниц Г.)

         Однойиз конкретных причин появления математических теорий явилось открытиеиррациональностей. Вначале это произошло в пределах геометрических изысканий ввиде установления факта несоизмеримости двух отрезков прямой. Значение этогооткрытия в математике трудно переоценить. В математику, едва ли не впервые,вошла сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучномобщечеловеческом опыте. Вероятно, самой первой иррациональностью, открытойдревнегреческими математиками, было число />.Можно с определённой уверенностью считать, что исходным пунктом этого открытиябыли попытки найти общую меру с помощью алгоритма попеременного вычитания,известного сейчас как алгоритм Евклида. Возможно также, что некоторую рольсыграла задача математической теории музыки: деление октава, приводящее к пропорции1: п=п:2. Не последнюю роль сыграл и характерный для пифагорейской школыобщий интерес к теоретико-числовым проблемам. 

         Древниематематики нашли довольно быстро логически строгое доказательство иррациональностичисла /> путём сведения этогодоказательства к формальному противоречию. Пусть />,где mиn–взаимно простые числа. Тогда m2=2n2, откуда следует, что т2чётное и, следовательно, п2 чётное. Чётно, следовательно и п.Получающееся противоречие (п не может быть одновременно и чётным инечётным) указывает на неверность посылки, что число /> рационально.

         Дляисследования вновь открываемых квадратичных иррациональностей сразу жеоказалось необходимым разрабатывать теорию делимости чисел. В самом деле, пусть/>, где pи g — взаимнопросты, а п является произведением только первых степеней сомножителейотсюда р2=пg2. Если t – простой делитель п, то р2(а значит, и р) делится на t. Следовательно,р2 делится на t2. Но в п содержится только первая степень t.Значит g2 (равнокак и g) делится на t. Но этотрезультат формально противоречит предположению, что р и gвзаимно просты.

         Вследза иррациональностью числа /> былиоткрыты многие другие иррациональности. Так, Архит (около 428-365 до н.э.)доказал иррациональность чисел вида />. Теодориз Кирены (V в. до н.э.) установил иррациональность квадратногокорня из чисел 3,5,6,…,17, которые не являются полным квадратом. Теэтет(410-369 до н.э.) дал одну из первых классификаций иррациональностей.

         Споявлением иррациональностей в древнегреческой математике возникли серьёзныетрудности как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане.

Решение иррациональных уравнений.

         Уравнения,в которых под знаком корня содержится переменная, называют иррациональными.Таково, например, уравнение />.

Прирешении иррациональных уравнений полученные решения требуют проверки, потому,например, что неверное равенство при возведении в квадрат может дать верное равенство.В самом деле, неверное равенство /> привозведении в квадрат даёт верное равенство 12= (-1)2,1=1.

         Иногдаудобнее решать иррациональные уравнения, используя равносильные переходы.

Пример 1. Решим уравнение />.

Возведёмобе части этого уравнения в квадрат и получим />,откуда следует, что />, т.е. />.

         Проверим,что полученные числа являются решениями уравнения. Действительно, приподстановке их в данное уравнение получаются верные равенства:

         /> и /> 

         Следовательно,x=3 или x=-3 – решение данного уравнения.

         Пример2. Решим уравнение />.

Возведяв квадрат обе части уравнения, получим />.После преобразований приходим к квадратному уравнению />, корни которого />и />.

         Проверим,являются ли найденные числа решениями данного уравнения. При подстановке в негочисла 4 получим верное равенство />, т.е. 4- решение данного уравнения. При подстановке же числа 1 получаем в правойчасти   -1, а в левой части число 1. Следовательно, 1 не является решениемуравнения; говорят, что это посторонний корень, полученный в результате принятогоспособа решения.

Ответ:/>.

         Пример3. Решим уравнение />.

Возведёмобе части этого уравнения в квадрат: />, откудаполучаем уравнение />, корни которого /> и />. Сразу ясно, что число -1не является корнем данного уравнения, т.к. обе части его не определены при />. При подстановке в уравнениечисла 2 получаем верное равенство />,следовательно, решением данного уравнения является только число 2.

         Пример4. Решим уравнение />.

Возведяв квадрат обе части этого уравнения, получаем />,/>, />. Подстановкой убеждаемся,что число 5 не является корнем данного уравнения. Поэтому уравнение не имеетрешений.

         Пример5. Решим уравнение />.

Поопределению /> - это такоенеотрицательное число, квадрат которого равен подкоренному выражению. Другимисловами, уравнение />равносильносистеме:

/>  />  

  />     

         Решаяпервое уравнение системы, равносильное уравнению />,получим корни 11 и 6, но условие  /> выполняетсятолько для />. Поэтому данное уравнениеимеет один корень />.

         Пример6. Решим уравнение />.

Вотличие от рассмотренных ранее примеров данное иррациональное уравнение содержитне квадратный корень, а корень третьей степени. Поэтому для того, чтобы “избавитьсяот радикала”, надо возвести обе части уравнения не в квадрат, а в куб: />. После преобразованийполучаем:

/>

Итак,/>, />.

         Пример7. Решим систему уравнений:

  />

/>Положив /> и />, приходим к системе

  />

/>Разложим левую часть второго уравнения на множители: /> - и подставим в него изпервого уравнения />. Тогда получимсистему, равносильную второй:

  />

/>Подставляя во второе уравнение значение v,найденное из первого />, приходим куравнению />, т.е. />.

Полученноеквадратное уравнение имеет два корня: /> и/>.

Соответствующиезначения v таковы: /> и />. Переходя к переменным хи у, получаем: />, т.е. />, />, />, />.

Преобразование иррациональных выражений.

         Еслизнаменатель дроби содержит иррациональное выражение, то часто целесообразноизбавиться от последнего.

         Рассмотримнекоторые типичные случаи:

/>   

         Пример:

/>

         Принепосредственном возведении в квадрат обеих частей уравнения уравнение должнобыть сначала преобразовано так, чтобы в одной части стояли только радикалы, а вдругой – остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если радикалов вуравнении два. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения,а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводят в квадрат ипроводятся необходимые преобразования (приведение подобных и т.п.). Далее всечлены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторонууравнения, а оставшийся радикал (теперь он будет только один!) – в другую.Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение,не содержащее радикалов.

         Пример.Введение новой переменной:

  />.

         Решение:Обозначим />, тогда

  />

Уравнениепримет вид:

/>

Возведёмего в квадрат:

/>

Этоуравнение так же возводим в квадрат:

/> />   />             

Проверка: полученные значения tмы должны проверить в уравнении (1), так как именно оно возводилось в квадрат.Проверка показывает, что /> -посторонний корень, а  /> - действительнокорень уравнения (1). Отсюда получим:

/>/>  />

Ответ:0;-1.

Уравнения с радикалом третьей степени.

         Прирешении уравнений, содержащих радикалы 3-й степени, бывает полезно пользоватьсясложением тождествами:

/>

         Пример1.

/>.

Возведёмобе части этого уравнения в 3-ю степень и воспользуемся выше приведённымтождеством:

/>

Заметим,что выражение стоящее в скобках равно 1, что следует из первоначальногоуравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим:

/> 

Раскроемскобки, приведём подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни /> и />. Если считать (поопределению), что корень нечётной степени можно извлекать и из отрицательныхчисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения.

Ответ:/>.

         Решение2

Возведёмдве новые переменные /> и />, тогда />,

/>.

Заметим,что />.

Витоге получим систему уравнений:

/>/>   />   />/>

Используяпервоначальные уравнения системы, преобразуем вторые, заменив первую скобкуединицей, а вторую подставим вместо неизвестного у выражение />, также полученное изпервого />.

Приведёмподобные члены, раскрыв предварительно скобки и решив полученное квадратноеуравнение. Его корни /> и />. Вернёмся теперь к начальнойподстановке и получим искомые решения:

/>

Введение нового неизвестного.

         Решивэти уравнения, найдём радикалы более высоких степеней, но наиболее частоиспользовавшийся способ их решения – введение нового(новых) неизвестного.

         Пример2.

/> 

Обозначим/>, тогда

а)/>

Уравнениепримет вид:

/>

Корень/> не удовлетворяет условию /> 

Ответ:76.

Методы решения иррациональных уравнений.

         Методырешения иррациональных уравнений, как правило основаны на возможности замены (спомощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональнымуравнением, которое либо равносильно исходному, либо является его следствием.Поэтому существуют два пути при решении иррациональных уравнений:

1)переход к выводным уравнениям (следствиям) с последующей проверкой корней;

2)переход к равносильным системам.

         Второйподход избавляет от подстановки полученных корней в исходное уравнение (иногдатакую проверку осуществить нелегко) и, вообще говоря, является более предпочтительным.Однако если в ходе решения оказалось, что проверка полученных корней непредставляет труда, то можно не выяснять источники появления посторонних корнейи не переходить к равносильным системам.

         Пример1.

/>

Возведёмв 6 степень:

/>

Проверка:

/>, т.е. /> - верноеравенство.

Ответ:67.

         Пример2.

/> 

Преобразуемуравнение к виду:

/> и возведём обе части в квадрат:

/>

/>, т.е.

/>/>

Ещёраз возведём обе части в квадрат:

/>, т.е. />, />.

         Проверка:

1)При /> 

/> 

2)/> 

Ответ:/>.

         Пример3.

/>

Положим/>. Тогда /> и мы получаем уравнение />, откуда />, />.

Теперьзадача свелась к решению двух уравнений:

/>; />. Возводя обе частиуравнения /> в 5-ю степень, получим />, откуда />.

Уравнение/> - не имеет корней,поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержатьсянеотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ:34.

Список используемой литературы:

1) Справочник по математике.

     В.А. Гусев, А.Г.Мордкович.: 1986г.

2) Углублённое изучение курсаалгебры и математического анализа.

     М.Л. Галицкий, М.М.Мошкович, С.И. Шварцабурд.: 1992г. 

3) Возникновение и развитиематематической науки.

     К.А. Рыбников.: 1987г.

4) Ученикам о математике.

     М.К. Гриненко.: 1993г.