Реферат: Редуцированные полукольца
Министерство Образования Российской Федерации
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
Выпускная квалификационная работа
«Редуцированные полукольца»
Работу выполнил студент
математического факультета
\Подпись\____________
Научный руководитель:
К.физ.-мат. наук
.
\Подпись\____________
Рецензент:
Д. физ.-мат. наук, профессор
.
\Подпись\____________
Допущен к защите в ГАК
Зав. кафедрой ___________________.
«___»________________
Декан факультета _______________.
«___»________________
Киров , 2003 .
План.
1. Введение.
2. Основные понятия, леммы и предложения.
3. Доказательство основной теоремы.
1.Введение
Определение 1. Непустое множество S с бинарными операциями + и × называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:
1. (S, +) — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;
2. (S, ×) — полугруппа с нейтральным элементом 1;
3. умножение дистрибутивно относительно сложения:
a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc
длялюбыхa, b, c Î S;
4. 0a = 0 = a0 длялюбогоa Î S.
Итак, по принятому нами определению полукольцо отличается от ассоциативного кольца с единицей отсутствием операции вычитания и именно это вызывает основные трудности при работе с полукольцами.
В настоящей работе рассмотрен такой класс полуколец, как редуцированные полукольца.
Определение 2. Полукольцо S называется редуцированным, если для любых a , b Î S выполняется a = b, как только a + b = ab + ba .
Целью данной работы является доказательство следующей теоремы.
Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:
1. S слабо риккартово;
2. " a, b Î S (D(a) Ç D(b)= Æ Þ = Æ );
3. все идеалы O p , P Î S pec S , первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);
4. все идеалы O M , M Î Max S , первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ O p = O M для " P Î S pec S и M Î Max S ;
5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;
6. " a, b Î S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);
Эта теорема обобщает факты, доказанные в классе колец ([1]).
2.Основные понятия, леммы и предложения
Для доказательства нашей теоремы нам потребуется определить некоторые понятия и вывести несколько фактов.
Определение 3. Полукольцо S называется симметрическим, если для любых элементов a , b , b ¢ ,c Î S выполняется
abc = ab ¢c Ûacb = acb ¢.
Определение 4. Элемент a Î S называется нильпотентным, если в последовательности a , a , a ,…, a , … встретится нуль.
Предложение 1. Редуцированное полукольцо S является симметрическим полукольцом без нильпотентов .
Доказательство: Пусть ab = ab ¢. Тогда
baba =bab ¢a иb ¢aba =b ¢ab ¢a ,
откуда
baba + b ¢ ab ¢ a = bab ¢ a + b ¢ aba
или иначе
(ba )+ (b ¢a )= bab ¢a + b ¢aba .
В силу редуцированности ba = b¢a, т.е.
ab = ab ¢Þba = b ¢a. (1)
Аналогично доказывается ba = b ¢a Þab = ab ¢.
Пусть ab = ab ¢. Тогда с помощью (1) ba = b ¢a, откуда bac = b ¢ac и acb = acb ¢. Значит, имеем:
ab = ab ¢Þ acb = acb ¢, ba = b ¢a Þbca = b ¢ca. (2)
Пусть сейчас abc = abc ¢. Тогда
abc = ab ¢c Þacbc = acb ¢c Þacbac =acb ¢ac Þacbacb =acb ¢acb и
acbacb ¢= acb ¢acb ¢Þ( acb ) + ( acb ¢) = acb ¢acb + acbacb ¢Þacb = acb ¢.
Таким же образом доказывается другая импликация.
Пустьa + b = ab + ba влечётa = b. Приb = 0 получаемa = 0 Þa = 0. Если с = 0 для некоторого натурального n > 2, то c = 0 для k ÎN с условием n£ 2. Получаем, что c = 0, и так далее. На некотором шаге получим c = 0, откуда с = 0. Предложение доказано.
Пример. Рассмотрим полукольцо S = {0, a, b , 1}, операции в котором заданы следующим образом:
+ | a b 1 |
a b 1 | a b 1 b b b 1b 1 |
· | a b 1 |
a b 1 | a a a b b b a b 1 |
Пример этого полукольца показывает, что, во-первых, в определении симметричности полукольца импликации нужны в обе стороны, поскольку aa = ab, но aa ¹ ba. Во-вторых, S – полукольцо без нильпотентов, более того, без делителей нуля; однако симметрическим, в частности, редуцированным, оно не является. В этом проявляется отличие от колец, поскольку известно, что отсутствие нильпотентов в кольце влечёт кольцевую симметричность.
Определение 5. Собственный двусторонний идеал P полукольца S называется первичным, если AB ÍP влечёт A ÍP или B ÍP для любых идеалов A и B. Первичный идеал коммутативного полукольца называется простым.
Определение 6. Правый идеал P полукольца S называется псевдопростым, если ab = 0 влечёт a ÎP или b ÎP для "a , b ÎS .
Предложение 2. Идеал P полукольца S первичен тогда и только тогда, когда для любых элементов a , b Î S \ P найдётся элемент s Î S такой, что asb Ï P . Если S - коммутативное полукольцо, то идеал P прост тогда и только тогда, когда a , b Ï P влечёт ab Ï P .
Доказательство: Пусть P первичен и элементы a , b ÏP. Тогда главные идеалы (a ) и (b ) не лежат в P, как и их произведение. Значит, некоторый элемент t ÎaSb не принадлежит P, поскольку t = для некоторых u , v , w Î S, то хотя бы для одного i Î {1,…,k } a v b ÏP, ибо в противном случае каждое слагаемое uav b w лежит в P, и следовательно, t ÎP .
Обратно. Пусть произведение идеалов A и B лежит в P, но A P. Тогда найдётся a ÎA \ P. Предположим, что B P. Получим, что некоторый элемент b ÎB \ P и по условию asb ÏP для подходящего s ÎS. Но тогда и AB P, и следовательно, P — первичный идеал.
Утверждение для коммутативного случая очевидно.
Определение 7. Подмножество T полукольца называется m - системой, если 0 ÏT, 1 ÎT и для любых a , b ÎT найдётся такой s ÎS, что asb ÎT .
Пример. Рассмотрим множество T = {a , a, a, …, a }, где n Î N и a ¹ 0. Оно является подмножеством полукольца R неотрицательных действительных чисел с обычными операциями сложения и умножения. 0 ÏT, 1ÎT и для "a ,a ÎT $с = 1ÎS: a с a = a ÎT . Таким образом, T является m - системой.
Легко увидеть, что если P – первичный идеал, то S \ P является m -системой. И хотя дополнение до m - системы не обязано быть первичным идеалом, следующее утверждение показывает, что между ними существует глубокая связь.
Предложение 3. Пусть T - m - система, а J - произвольный идеал полукольца S , не пересекающийся с T . Тогда любой максимальный идеал среди содержащих J и не пересекающихся с T первичен.
Доказательство: Пусть P ÊJ, P ÇT = Æ и P — максимальный в семействе идеалов, удовлетворяющих этим условиям. Допустим, что aSb ÍP для некоторых a , b ÏP. Идеалы P + SaS и P + SbS строго содержат идеал P, и значит, пересекаются с T . Пусть m Î (P +SaS ) ÇT, r Î (P +SbS ) ÇT и msr ÎT для некоторого s ÎS. Но, с другой стороны,
msr Î (P +SaS ) × (P +SbS ) ÍP +SaSbS ÍP .
Получили противоречие, что P пересекается с T. Значит, предположение, что aSb ÎP неверно, и P — первичный идеал. Предложение доказано.
Определение 8. Собственный идеал M полукольца S называется максимальным идеалом, если M ÍA влечёт M = A или A = S для каждого идеала A .
Предложение 4. Максимальный идеал полукольца первичен.
Доказательство: Рассмотрим нулевой идеалJ и не пересекающуюся с ним m -систему T = {1}. Любой максимальный идеал M полукольца содержит J и не пересекается с T, значит, по предложению 3 он будет первичным.
Определение 9. Для любого a ÎS множество
Ann aS = {t ÎS: ("s ÎS ) ast =0} называется аннулятором элемента a.
Ann aS является двусторонним идеалом полукольца S .
Ann a ={s ÎS: as = 0} -правыйидеалиAnn aS ÍAnn a .
Определение 10. Для любого идеала P множество O p = {s ÎS: ($t ÏP ) sSt = 0} = {s ÎS: AnnsS P } называется O - компонентой идеала P .
Лемма 1. O p является идеалом для любого первичного идеала P .
Доказательство: Пусть a , b ÎO p. Тогда aSt = 0 и bSu = 0 для некоторых t , u ÏP. В силу первичности P tsu ÏP для подходящего s ÎS. Для любого v ÎS
(a + b )vtsu = (avt )su + b (vts )u = 0.
Далее, (as )vt = a (sv )t = 0, (sa )vt = s (avt ) = s 0 = 0, поэтомуa + b, sa, as ÎO p, иO p -идеал.
Лемма 2. Пусть P Í M - первичные идеалы полукольца.
Тогда O M Í O p Í P.
Доказательство: Пусть a ÎO M, тогда aSt = 0 для некоторого t ÏM. Поскольку t ÏP, то a ÎO p, и значит, O M ÍO p. Для любого s ÎS 0 = ast ÎP. Поскольку P первичен, то a ÎP или t ÎP, отсюда a ÎP, и следовательно, O p ÍP .
Лемма 3. Для произвольных первичных идеалов P и P ¢ симметрического полукольца S верна импликация:
P Ç P ¢ не содержит первичных идеалов Þ O p P ¢ .
Доказательство: Предположим, что O p ÍP ¢. Полагая A = S \ P и B = S \ P ¢, рассмотрим множество AB всевозможных конечных произведений элементов из A ÈB. Покажем, что AB ÇO p = Æ. В самом деле, если s ÎAB ÇO p, то sb = 0 для некоторогоb ÎA, т.е. {0} ÎAB. Поскольку s является произведением элементов из A ÈB, то в силу первичности идеалов P и P ¢ и свойства симметрических полуколец uv = 0 для подходящих u ÎB, v ÎA. Откуда u ÎO p P ¢- противоречие.
Таким образом, AB является m -системой, и значит, существует первичный идеал Q, не пересекающийся с AB и содержащий O p. А так как A ÈB ÍAB, то P ÇP ¢ÊQ. Получили противоречие с условием, значит наше предположение неверно, и Op P ¢.
Следствие 1. Для произвольных первичных идеалов P и P ¢ в симметрическом полукольце, если O p Í P ¢ , то пересечение P и P ¢ содержит хотя бы один первичный идеал.
Определим множество (a , b )= {s ÎS: "x ÎS (axs = bxs )} — идеал полукольца S для "a, b ÎS.Очевидно, (a, 0)= Ann aS .
Для произвольного идеала A обозначим — пересечение первичных идеалов полукольца S, содержащие идеал A .
Определение 11. Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a , b ÎS выполняется
= (a, b ).
Определение 12. Пересечение rad S всевозможных первичных идеалов в S называется первичным радикалом полукольца S .
Определение 13. Полукольцо называется полупервичным, если его первичный радикал равен нулю.
Предложение 5. Полукольцо S полупервично тогда и только тогда, когда = Ann aS для всех a Î S .
Доказательство: При a = 1 rad S = = Ann S = 0, т.е. S — полупервично.
Пусть S — полупервичное полукольцо и b Î. Для каждого первичного идеала P, либо P содержит Ann aS, либо Ann aS не содержится в P. В первом случае b ÎP, во втором случае a ÎO p ÍP. Тогда aSb rad S = 0, откуда b ÎAnn aS. Следовательно, ÍAnn aS. Другое включение справедливо всегда.
Следствие 2. Строго полупервичное полукольцо является полупервичным.
Предложение 6. Всякое редуцированное полукольцо S строго полупервично.
Доказательство: Пусть c Ï(a, b )для a, b ÎS. Тогда ac ¹bc и из редуцированности S вытекает, что acac + bcb c¹acbc + bcac. Элементы cac и cbc отличны друг от друга, и значит, ac ¹bc в силу симметричности редуцированного полукольца. Аналогично ac ¹bc , и следовательно, ac ¹bc . По индукции ac ¹bc . Значит, T = {1, c, c ,…} -m -система, не пересекающаяся с (a, b ), и поэтому найдётся первичный идеал P, содержащий (a, b ), при этом c ÎS \ P. Значит, c Ï, откуда Í (a, b ). Другое включение справедливо всегда.
Получили = (a, b )Þ по определению 12 S — строго полупервично, что и требовалось доказать.
Обозначим через S pec S множество всех первичных идеалов полукольца S. Для любого идеала A полукольца S положим
D (A ) = {P ÎS pec S: A P }.
МножествоD ({0}) = {P ÎS pec S: {0}P } = Æ, аS pec S = D (S ).
D (A ) ÇD (B ) = { P ÎS pec S: A P ÙB P } = { P ÎS pec S: AB P } = D (AB ).
S pec S является топологическим пространством с семейством открытых множеств видаD (A ).
Лемма 4. Для любого идеала A полупервичного полукольца S
= {P Î S pec S: Ann A Í P}.
Доказательство: Обозначим через Y правую часть доказываемого равенства. Если P ÎD (A ), т.е. A P, то Ann A ÍP, т.е. P ÎY. Откуда ÍY, ибо Y замкнуто.
Обратно, пусть P Ï. Тогда P лежит в некоторой окрестности D (B ), где B — некоторый идеал в S , не пересекающийся с.
D (A ) ÇD (B ) = Æ, тогдаAB Írad S = 0, т.е. B ÍAnn A.
Тогда P не содержит Ann A, иначе P содержал бы B. Следовательно, P ÏY. Получили Y Í.
Лемма 5. Пусть P - первичный идеал редуцированного полукольца S . Тогда P = O p Û P - минимальный первичный идеал.
Доказательство: Пусть P = O p, P ¢ÎS pec S и P ¢ÍP. Тогда O p ÍO P¢ÍP ¢. Поэтому P ¢= P, и P минимален.
Обратно, пусть дан минимальный первичный идеал P редуцированного полукольца S. Предположим, что существует a ÎP \ O p. Степени элемента a образуют m -систему (0 Ï{a }, 1Î{a } и для "a ,a Î{ a } $с = 1ÎS: a с a = a Î{ a }), не пересекающуюся с O p . Действительно, если a ÎO p, n ÎN, то a b = 0 для некоторого b ÎS \ P. Но тогда (ab )= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое без нильпотентов, и значит ab = 0, то естьa ÎO p; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢O p, не содержащий a, который будет первичным. Из следствия 1 вытекает, что в S существует первичный идеал, лежащий в P ÇP ¢, что противоречит минимальности P. Значит, P ÍO p. Также O p ÍP (Лемма 2). Тогда P = O p .
Лемма 6. Любой первичный правый идеал симметрического полукольца псевдопрост.
Доказательство: В самом деле, если a , b ÎS \ P, то asb ÏP для подходящего s ÎS, откуда asb ¹ 0 и ab ¹ 0.
Определение 14. S – слабо риккартово Û"a ÎS "b ÎAnn aS
Ann aS + Ann b = S
Пример. Обозначим через N – полукольцо всех неотрицательных целых чисел с обычными операциями сложения и умножения. Возьмём a = 0 Î N . Тогда Ann aS = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = N. Теперь возьмём a Î N \ {0}. Тогда Ann aS = {0}, а Ann b = N. В результате получим, что Ann aS + Ann b = {0} + N = N. Таким образом, N – слабо риккартово полукольцо. Аналогично, любое полукольцо без делителей нуля будет являться слабо риккартовым.
3. Доказательство основной теоремы.
Теорема . Для всякого редуцированного полукольца S равносильны следующие условия:
1. S слабо риккартово;
2. " a, b Î S (D(a) Ç D(b)= Æ Þ = Æ );
3. все идеалы O p , P Î S pec S , первичны(эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты);
4. все идеалы O M , M Î Max S , первичны (эквивалентно, вполне первичны, псевдопросты) и P Í M Þ O p = O M для " P Î S pec S и M Î Max S ;
5. каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал;
6. " a, b Î S (ab = 0 Þ Ann a + Ann b = S);
Доказательство: Пусть S — редуцированное полукольцо. Такое S — симметрическое (по предложению 1), поэтому S обладает всеми свойствами симметрических полуколец. Доказательство проведём по схеме 1)Þ3)Þ4)Þ5)Þ6)Þ1) и 2)Û6).
1) Þ 3). Исходя из 1), покажем, что каждый идеал O p вполне первичен. ПустьP ÎS pec S иab ÎO p приa, b ÎS.
Тогда$с ÎS \ P: abSc = 0, т.е. absc = 0 для" s ÎS .
Возьмём s = 1 Þabc = 0 Þbc ÎAnn aS (по определению Ann aS ). НоAnn aS ÍAnn a. Тогдаbc ÎAnn a. Поусловию 1) S -слабориккартово, т.е. Ann aS + Ann bc = S дляa ÎS, bc ÎAnn aS .
$e ÎAnn aS, f ÎAnn bc: e + f = 1 (1ÎS).
Предположим, что a ÏO p ÞAnn aS ÍP (по определению Ann aS ) Þe ÎP .
Тогда f ÏP, т.к. в противном случае 1ÎP. Но P — первичный идеал ÞP — собственный Þ 1ÏP .
f ÎAnn bc Þbcf = 0. Т.к. S — симметрическое ÞbScf = 0. Но cf ÏP (т.к. c ÏP, f ÏP, а P — первичный идеал) Þb ÎO p .
Таким образом, получили, что все идеалы O p, P ÎS pec S, вполне первичны.
3) Þ 4). По условию 3 все идеалыO p, где P ÎS pec S, первичны. Но M ÎMax S – является первичным идеалом (предложение 4), т.е. M ÎS pec S. Но тогда по условию 3) данной теоремы следует, что все идеалы O M, где M ÎS pec S и M ÎMax S, первичны.
Пусть P ÍM. Тогда O M ÍO p (лемма 2).
Если a ÎO p, т.е. ab = 0 при некотором b ÎS \ P и s = 1ÎS, то a ÎO M, ибо b ÏO M ÍP, а ab = 0 ÎO M и O M псевдопрост (доказано выше). Значит и O p ÍO M. Тогда O p = O M.
4) Þ 5). Пусть P – первичный идеал из S иP ÍM. По условию 4) данной теоремы O M – первичный идеал и так как P ÍM ÞO p = O M. Также O p ÍP (Лемма 2). Докажем, что O M – минимальный первичный идеал в S, лежащий в P. Пусть в P лежит Q — минимальный первичный идеал полукольца S. Но Q ÍM ÞO M ÍO Q ÍQ. По условию 4) данной теоремы O M = O Q.. Так как Q – минимальный первичный идеал ÞO Q = Q (Лемма 5). По свойству транзитивности равенства получаем, что O p = OM=Q .
Докажем теперь единственность такого первичного идеала. Пусть P ¢- произвольный минимальный первичный идеал в S, отличный от Q и лежащий в M. Тогда O P¢= O M (по условию 4)). Также O P¢ = P ¢ .
Тогда получили равенство Q = O Q = O M = O P¢= P ¢. Единственность доказана.
Так как все первичные идеалы полукольца S содержатся в M ÎMax S, то мы получили, что каждый первичный идеал полукольца S содержит единственный минимальный первичный идеал.
5) Þ 6). Пусть ab = 0, но Ann a + Ann b ¹S для некоторых a , b ÎS .
Тогда Ann a + Ann b ÍM для подходящего M ÎMax S.
Рассмотрим единственный минимальный первичный идеал P, содержащийся в M. ТогдаO M ÍP (Лемма 2). Предположим, что $a ÎP \ O M. Степени элемента a образуют m -систему (0 Ï{a }, 1Î{a } и для "a ,a Î{a } $с = 1ÎS: a с a = a Î{ a }), не пересекающуюся с O M. Действительно, еслиa ÎO M, n ÎN, то ab = 0 для некоторого b ÎS \ M. Но тогда (ab )= 0, так как редуцированное полукольцо симметрическое и значит ab = 0, то есть a ÎO M; противоречие. Из предложения 3 видно, что найдётся идеал P ¢O M, не содержащий a, который будет первичным.
Пустьq, w ÎS \ P иq, w ÎS \ P ¢. Тогда $s ÎS: qsw ÏP Þqsw ÏP ÇP ¢ÞP ÇP ¢-первичный идеал, что противоречит минимальности P. ЗначитP ÍOM и P = OM. Первичный идеалO M псевдопрост, поэтому a ÎO M или b ÎO M. Откуда по определению нуль-компонент Ann a M ÚAnn b M ÞAnn a + Ann b M Þ противоречие ÞAnn a + Ann b = S .
6) Þ 1). Возьмём"a, b ÎS: ab = 0 Þb ÎAnn aS .
Из условия 6) данной теоремы вытекает равенство:
Ann a + Ann b = S. Так как в симметрическом полукольце Ann aS = Ann a, то Ann aS + Ann b = S. Таким образом, полукольцо S -слабо риккартово, что и требовалось доказать.
2) Û 6). Пустьa, b ÎS иab = 0. D (a ) ÇD (b ) = {P ÎS pec S: a ÏP Ùb ÏP } = { P ÎS pec S: ab ÏP } (всилупервичности) = D (ab ) = D (0) = Æ.
Обратно, D (a ) ÇD (b ) ={P ÎS pec S: a ÏP Ùb ÏP } ={P ÎS pec S: ab ÏP }=D (ab ) =ÆÞab = 0, таккакD (x ) = ÆÛx = 0.
Таким образом, ab = 0 ÛD (a ) ÇD (b ) = Æ.
Так как S – симметрическое полукольцо на основании предложения 1, то к нему можно применить предложение 6, то есть S строго полупервично. По следствию 2 S является и полупервичным. Теперь мы можем применить лемму 4. На основании этой леммы
= {S ÎS pec S: Ann a ÍP ÙAnn b ÍP } = Æ.
ТогдаAnn a + Ann b M для"M ÎMax S ÍS pec S ÞAnn a + Ann b = S .
Вдругуюсторону, пустьAnn a + Ann b = S ÞAnn a M ÚAnn b M дляподходящегоM ÎMax S ÍS pec S.
Тогда= {S ÎS pec S: Ann a ÍP ÙAnn b ÍP } = Æ. Таким образом, условия 2) и 6) равносильны.
Теорема доказана полностью.
C войство:
Если редуцированное полукольцо S слабо риккартово, то для любого правого идеала A и элементов a , b полукольца S выполняется импликация:
ab = 0 и a + b Î A Þ a Î A.
Доказательство: Пусть даны в S правый идеал A и такие элементы a и b, что ab = 0 и a + bÎA. Так как условие 6) доказанной теоремы равносильно тому, что S слабо риккартово, то мы можем доказать это свойство, исходя из него. Тогда Ann a + Ann b = S, то есть c + k = 1 при некоторых c ÎAnn a и k ÎAnn b.
c ÎAnn a Þac = 0 (по определению аннулятора).
k ÎAnn b Þbk = 0.
a = a ×1 + 0 = a ×(c + k ) + bk = ac + ak + bk = ac + (a + b )×k = (a + b )×k ÎA .
Получили a ÎA, что и нужно было доказать.
Литература.
1. Е.М. Вечтомов. «Функциональные представления колец». – М.: МПГУ им. Ленина, 1993. – 190 с.
2. В.В.Чермных. «Полукольца». Киров: Изд-во ВГПУ, 1997. — 131 с.