Реферат: Расчет стационарного теплового поля в двумерной пластине
Московский ГосударственныйТехнический Университет им. Н.Э. Баумана
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО СЕТОЧНЫМ МЕТОДАМ
Расчет стационарноготеплового поля в двумерной пластине
Преподаватель:Станкевич И.В.
Группа:ФН2-101
Студент:Смирнов А.В.
Москва 2002
Содержание
Постановка задачи… 3
Решение… 4
Триангуляция… 5
Метод конечных элементов… 6
Список литературы:… 12
/>/>Постановка задачи
Рассчитать установившееся температурное поле в плоской пластине, имеющей форму криволинейного треугольника с тремя отверстиями (см. рисунок).
К внешним границам пластины подводится тепловой поток плотностью />. На внутренних границахконструкции происходит теплообмен со средой, характеризующийся коэффициентомтеплообмена /> и температурой среды />. Коэффициенттеплопроводности материала пластины />
/>
Рис.1
/>/>Решение
Введем декартову систему координат />,выбрав начало координат и направим оси x и yтак, как показано на рис.2.
/>
Рис. 2
Задача теплопроводности в пластине запишется в виде
/> (1)
/>/> (2)
/>/> (3)
где /> - направляющие косинусывектора внешней нормали к граничной поверхности, /> -граничная поверхность, на которой происходит теплообмен с коэффициентомтеплообмена />, /> - граничная поверхность,на которой задан тепловой поток плотности />.
Решение уравнения (1) с граничными условиями (2) и (3) можно заменитьзадачей поиска минимума функционала
/>. (4)
Решатьпоставленную задачу будем с помощью метода конечных элементов. Для этогосначала проведем триангуляцию нашей области.
/>/>Триангуляция.
Результаттриангуляции представлен на рис.3.
/>
Рис. 3
Все выбранные узлы заносятся всписок, который содержит информацию о координатах узлов. Номер узлаопределяется его номером в списке. Кроме списка вершин будем вести еще списоктреугольников. В глобальном списке треугольников будет храниться информация окаждом построенном треугольнике: номера (Top1, Top2, Top3) трех узлов,составляющих данный элемент и номер границы. Номер треугольника определяетсяего номером в списке. Договоримся, что у каждого треугольника границе можетпринадлежать только одна сторона и если такая сторона есть, то вершины, которыеона соединяет, будут стоять на первых двух позициях (Top1 и Top2).Обход треугольника совершается против часовой стрелки.
/>/>Метод конечных элементов
Выберем произвольный треугольник (сномером e). Обозначим его вершины /> и />. Каждому узлу треугольникапоставим в соответствие функцию формы
/>, (5)
где />, A – площадь треугольника. Тогдатемпературу в пределах треугольника можно определить с помощью функций форм изначений температуры /> в узловых точках
/>. (6)
Функционал (4) можно представить ввиде суммы функционалов />, каждыйиз которых отражает вклад в функционал (4) элемента с номером e
/>. (7)
Минимум функционала (4) находим изусловия
/> (8)
Функционал /> можно представить в виде
/> (9)
Здесь />,глобальный вектор температур /> />, /> - матрица градиентов,которая для функций формы (5) примет вид />, />. Локальный вектортемператур />. Здесь матрицагеометрических связей /> имеетразмерность />. Элементы этой матрицыопределяются следующим образом: />; всеостальные элементы равны нулю.
Продифференцируем функционал (9):
Из выражения (8) с учетом последнегосоотношения получаем />, где матрицатеплопроводности элемента />;вектор нагрузки элемента />.
В силу особенностей проведеннойтриангуляции можно выделить три группы конечных элементов. В первую входяттреугольники, у которых сторона i– jпринадлежит одной из внешних границ. Во вторую – те, у которых та же сторонапринадлежит одной из внутренних границ. И, наконец, третью группу составляютэлементы, стороны которых лежат внутри рассматриваемой области.
В зависимости от того, к какой группепринадлежит конечный элемент с номером e, матрица /> ивектор /> будут определятьсянесколько различным образом.
Обозначим
/>.
Поверхностные интегралы можнопосчитать с помощью относительных координат />.Отрезки, соединяющие любую фиксированную точку P треугольника e c его вершинами, разбивают этот элемент на три треугольныечасти площадью />. Координаты /> определяются изсоотношений />.
Используя относительные координаты,можно получить следующие соотношения:
/>
/>
/>
Если конечный элемент с номером e принадлежит к первой группе, то />. Если ко второй, то />. Наконец, если элементпринадлежит к третьей группе, то />.
Вектор температур, удовлетворяющийусловию (8) минимума функционала (4), находим решением системы линейныхалгебраических уравнений
/>, (10)
где глобальная матрица теплопроводности K и глобальный вектор нагрузки F определяются по формулам
/>, />. (11)
Для решения задачи (10) применялсяследующий алгоритм:
· Вычисление /> разложения матрицы />(/>/>/>).
· Оценка числаобусловленности. Если число обусловленности больше /> (/> определяется точностьювычислительной машины), то выдается предупреждение, так как малые отклонения вкоэффициентах матрицы /> могут привести кбольшим отклонениям в решении.
· />. />.
Реализация описанного выше метода проводилась на языкепрограммирования С++ и FORTRAN в среде интегрированной среде разработки Microsoft Visual C++ 6.0. Конечные результаты данной работы приведены нарис.4 — 7.
/>
Рис.4
/>
Рис.5
/>
Рис.6
/>
Рис.7
Списоклитературы:
1. Амосов А.А,Дубинский Ю.А, Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб.пособие. – М.: Высш. шк., 1994. – 544 с.
2. Сегерлинд Л.Применение метода конечных элементов. – М.: Мир, 1979. – 392 с.
3. Станкевич И. В.Сеточные методы (лекции и семинары 2002 года).