Реферат: Матрицы и определители
МАТРИЦЫ ИОПРЕДЕЛИТЕЛИ
СОДЕРЖАНИЕ
Лекция1. Матрицы
1. Понятие матрицы. Типы матриц
2. Алгебра матриц
Лекция 2. Определители
1. Определители квадратной матрицы и их свойства
2. Теоремы Лапласа и аннулирования
Лекция 3. Обратная матрица
1. Понятие обратной матрицы.Единственность обратной матрицы
2. Алгоритм построения обратной матрицы. Свойстваобратной матрицы
4. Задачи и упражнения
4.1. Матрицы идействия над ними
4.2. Определители
4.3. Обратная матрица
5. Индивидуальные задания
Литература
ЛЕКЦИЯ 1. МАТРИЦЫ
План
1. Понятие матрицы. Типы матриц.
2. Алгебра матриц.
Ключевые понятияДиагональная матрица.Единичная матрица.
Нулевая матрица.
Симметричная матрица.
Согласованностьматриц.
Транспонирование.
Треугольная матрица.
1. ПОНЯТИЕМАТРИЦЫ. ТИПЫ МАТРИЦ
Прямоугольную таблицу
А=/>,
состоящую из m строк и n столбцов, элементами которой являются действительные числа />, где i– номер строки, j — номер столбца на пересечениикоторых стоит этот элемент, будем называть числовой матрицей порядка m´n и обозначать />.
Рассмотрим основныетипы матриц:
1. Пусть m = n,тогда матрица А – квадратная матрица, которая имеет порядок n:
А = />.
Элементы /> образуют главнуюдиагональ, элементы /> образуютпобочную диагональ.
Квадратная матрицаназывается диагональной, если все ее элементы, кроме, возможно,элементов главной диагонали, равны нулю:
А = /> = diag (/>).
Диагональная, а значит квадратная, матрицаназывается единичной, если все элементы главной диагонали равны1:
Е = /> =diag (1, 1, 1,…,1).
Заметим, что единичная матрица являетсяматричным аналогом единицы во множестве действительных чисел, а такжеподчеркнем, что единичная матрица определяется только для квадратных матриц.
Приведем примеры единичных матриц:
/>=/>, />=/>.
Квадратные матрицы
А = />, В = />
называются верхней и нижней треугольнымисоответственно.
2. Пусть m = 1, тогда матрица А – матрица-строка, которая имеетвид:
/>
3. Пусть n=1, тогда матрица А – матрица-столбец, которая имеетвид:
/>
4.Нулевой матрицей называется матрица порядка m´n, все элементы которой равны 0:
0 = />
Заметим, что нулевая матрица может бытьквадратной, матрицей-строкой или матрицей-столбцом. Нулевая матрица естьматричный аналог нуля во множестве действительных чисел.
5. Матрица называется транспонированнойк матрице /> и обозначается />, если ее столбцы являютсясоответствующими по номеру строками матрицы />.
Пример. />Пусть />= />, тогда /> = />.
Заметим, если матрица А имеет порядок m´n, то транспонированная матрицаимеет порядок n´m.
6. Матрица А называется симметричной, если А=А/>, и кососимметричной, если А = –А/>.
Пример.Исследовать на симметричность матрицы А и В.
/> = />, тогда />= />, следовательно, матрица А– симметричная, так как А = А/>.
В = />,тогда />= />, следовательно, матрица В– кососимметричная, так как В = – В/>.
Заметим, что симметричная икососимметричная матрицы всегда квадратные. На главной диагонали симметричнойматрицы могут стоять любые элементы, а симметрично относительно главнойдиагонали должны стоять одинаковые элементы, то есть />=/>. На главной диагоналикососимметричной матрицы всегда стоят нули, а симметрично относительно главнойдиагонали />= – />.
2. АЛГЕБРА МАТРИЦ
Рассмотрим действия над матрицами, новначале введем несколько новых понятий.
Две матрицы А и В называются матрицамиодного порядка, если они имеют одинаковое количество строк и одинаковоеколичество столбцов.
Пример. /> и /> – матрицы одного порядка 2´3;
/> и /> –матрицы разных порядков, так как 2´3≠3´2.
Понятия ″больше″ и ″меньше″для матриц не определяют.
Матрицы А и В называются равными, если ониодного порядка m´n, и /> = />, где /> 1, 2, 3, …, m, а j =1, 2, 3, …, n.
Умножение матрицы на число.
Умножение матрицы А на число λприводит к умножению каждого элементаматрицы на число λ:
λА = />, λ/>R.
Из данного определения следует, что общиймножитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
Пример.
Пусть матрица А =/>, тогда 5А=/>=/>.
Пусть матрица В = /> = /> = 5/>.
Свойства умножения матрицы на число:
1) λА = Аλ;
2) (λμ)А = λ(μА) =μ(λА), где λ,μ /> R;
3) (λА)/> = λА/>;
4) 0ּА = 0.
Сумма (разность) матриц.
Сумма (разность) определяется лишь дляматриц одного порядка m´n.
Суммой (разностью) двух матриц А и Впорядка m´nназывается матрица С того же порядка, где /> =/> ± /> (/> 1, 2, 3, …, m,
j = 1, 2, 3, …, n.).
Иными словами, матрица С состоит изэлементов, равных сумме (разности) соответствующих элементов матриц А и В.
Пример. Найтисумму и разность матриц А и В.
/>= />, />= />,
тогда />=/>+/>=/>=/>,
/>=/>–/>=/>=/>.
Если же />=/>, />= />, то А ± В не существует,так как матрицы разного порядка.
Из данных выше определений следуют свойствасуммы матриц:
1) коммутативность А+В=В+А;
2) ассоциативность (А+В)+С=А+(В+С);
3) дистрибутивность к умножению на число λ/>R: λ(А+В) =λА+λВ;
4) 0+А=А, где 0 – нулевая матрица;
5) А+(–А)=0, где (–А) – матрица, противоположная матрицеА;
6) (А+В)/>= А/>+ В/>.
Произведение матриц.
Операция произведения определяется не длявсех матриц, а лишь для согласованных.
Матрицы А и В называются согласованными,если число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Так, если />, />, m≠k, томатрицы А и В согласованные, так как n = n, а в обратномпорядке матрицы В и А несогласованные, так как m ≠ k. Квадратные матрицы согласованы,когда у них одинаковый порядок n, причем согласованы как А и В, так и В и А. Если />, а />, то будут согласованыматрицы А и В, а также матрицы В и А, так как n = n, m = m.Произведением двух согласованных матриц />и />А=/>, В=/>
называется матрица С порядка m´k:
/>=/>∙/>, элементы которойвычисляются по формуле:
/> (/>1,2, 3, …, m , j=1, 2, 3, …, k),
то есть элемент /> i –ой строки и j –гостолбца матрицы С равен сумме произведений всех элементов i –ойстроки матрицы А на соответствующие элементы j –го столбцаматрицы В.
Пример. Найтипроизведение матриц А и В.
/>=/>, />=/>,
/>∙/>=/>=/>=/>.
Произведение матриц В∙А несуществует, так как матрицы В и А не согласованы: матрица В имеет порядок 2´2, а матрица А – порядок 3´2.
Рассмотрим свойства произведенияматриц:
1) некоммутативность: АВ ≠ ВА, даже если А и В, и В и А согласованы.Если же АВ = ВА, то матрицы А и В называются коммутирующими (матрицы А и В вэтом случае обязательно будут квадратными).
Пример 1. />= />, />= />;
/>/>=/>=/>;
/>/>=/>=/>.
Очевидно, что /> ≠/>.
Пример 2. />= />, />= />;
/>/>= />= /> =/>/>;
/>/>= />= /> = />.
Вывод: />≠/>, хотя матрицы /> и />одного порядка.
2) для любых квадратных матриц единичная матрица Е является коммутирующейк любой матрице А того же порядка, причем в результате получим ту же матрицу А,то есть АЕ = ЕА = А.
Пример.
/>=/>, />=/>;
/>/>=/>=/>=/>;
/>/>=/>=/>=/>.
3) A·0 = 0·A = 0.
4) произведение двух матриц может равняться нулю, при этом матрицы А и Вмогут быть ненулевыми.
Пример.
/>= />, />= />;
/>/>= />=/>=/>.
5) ассоциативность АВС=А(ВС)=(АВ)С:
/>· (/>·/>/>
Пример.
Имеем матрицы />,/>, />/>;
тогда Аּ(ВּС) = />(/>·/>
/>
(АּВ)ּС=/>
=/>=/>=
=/>=/>.
Таким образом, мы на примере показали, чтоАּ(ВּС) = (АּВ)ּС.
6) дистрибутивность относительно сложения:
(А+В)∙С = АС + ВС, А∙(В +С)=АВ + АС.
7) (А∙В)/>= В/>∙А/>.
Пример.
/>=/>, />=/>,
/>, />=/>.
Тогда АВ=/>∙/>=/>/>=
=/> />(А∙В)/>= />=/>
В/>∙А/>=/>∙/> = />=/>=/>.
Таким образом, (А∙В)/>= В/>А/>.
8) λ(АּВ) = (λА)ּВ = Аּ (λВ), λ,/>R.
Рассмотрим типовые примеры на выполнениедействий над матрицами, то есть требуется найти сумму, разность, произведение(если они существуют) двух матриц А и В.
Пример 1.
/>, />.
Решение.
1) /> +/>= />= />=/>;
2)/> –/>=/>=/>=/>;
3) произведение />/> несуществует, так как матрицы А и В несогласованы, впрочем, не существует ипроизведения />/>по той же причине.
Пример 2.
/>=/>, />=/>.
Решение.
1) суммы матриц, как и их разности, несуществует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 2´3, а матрица В – порядок 3´1;
2) так как матрицы А и В согласованны, топроизведение матриц АּВ существует:
/>·/>=/>·/>=/>=/>,
произведение матриц ВּА несуществует, так как матрицы />и /> несогласованны.
Пример 3.
/>=/>, />=/>.
Решение.
1) суммы матриц, как и их разности, несуществует, так как исходные матрицы разного порядка: матрица А имеет порядок 3´2, а матрица В – порядок 2´3;
2) произведение как матриц АּВ, так иВּА, существует, так как матрицы согласованны, но результатом такихпроизведений будут матрицы разных порядков: />·/>=/>, />·/>=/>.
/>·/>=/>·/>=
/> = /> = />;
/>·/>=/>·/>=/> =
= />=/> />в данном случае АВ ≠ВА.
Пример 4.
/>=/>, />=/>.
Решение.
1) />+/>=/>=/>=/>,
2) />–/>= />=/>=/>;
3) произведение как матриц АּВ, так и ВּА,существует, так как матрицы согласованны:
/>·/>=/>=/>·/>=/>=/>;
/>·/>=/>=/>·/>=/>=
=/> /> />≠/>, то есть матрицы А и Внекоммутирующие.
Пример 5.
/>=/>, />=/>.
Решение.
1) />+/>=/>=/>=/>,
2) />–/>=/>=/>=/>;
3) произведение как матриц АּВ, так иВּА, существует, так как матрицы согласованны:
/>·/>=/>=/>·/>=/>=/>;
/>·/>=/>=/>·/>=/>=
=/> /> />=/> /> АּВ=ВּА, т. е.данные матрицы коммутирующие.
ЛЕКЦИЯ 2.ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
План
1. Определители квадратной матрицы иих свойства.
2. Теоремы Лапласа и аннулирования.
Ключевые понятия
Алгебраическое дополнение элементаопределителя.
Минор элемента определителя.
Определитель второго порядка.
Определитель третьего порядка.
Определитель произвольного порядка.
Теорема Лапласа.
Теорема аннулирования.
1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ КВАДРАТНОЙМАТРИЦЫ И ИХ СВОЙСТВА
Пусть А – квадратная матрица порядка n:
А=/>.
Каждой такой матрице можно поставить всоответствие единственное действительное число, называемое определителем(детерминантом) матрицы и обозначаемое
/>= det A= Δ=/>.
Отметим, что определитель существуеттолько для квадратных матриц.
Рассмотрим правила вычисленияопределителей и их свойства для квадратных матриц второго и третьего порядка,которые будем называть для краткости определителями второго и третьего порядкасоответственно.
Определителем второго порядкаматрицы /> называется число,определяемое по правилу:
/>=/>=/>/>/> – />/>, (1)
т. е. определитель второго порядка естьчисло, равное произведению элементов главной диагонали минус произведениеэлементов побочной диагонали.
Пример.
/>=/>, тогда />=/>= 4 · 3 – ( –1) · 2=12 + 2 = 14.
Следует помнить, что для обозначенияматриц используют круглые или квадратные скобки, а для определителя –вертикальные линии. Матрица – это таблица чисел, а определитель – число.
Из определения определителя второгопорядка следуют его свойства:
1. Определитель не изменится при замене всех его строксоответствующими столбцами:
/>=/>.
2. Знак определителя меняется на противоположный приперестановке строк (столбцов) определителя:
/>= – />, />= – />.
3. Общий множитель всех элементов строки (столбца)определителя можно вынести за знак определителя:
/>=/>/> или />=/>/>.
4. Если все элементы некоторой строки (столбца)определителя равны нулю, то определитель равен нулю.
5. Определитель равен нулю, если соответствующие элементыего строк (столбцов) пропорциональны:
/>=0, /> = 0.
6. Если элементы одной строки (столбца) определителяравны сумме двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двухопределителей:
/>=/>+/>, />=/>+/>.
7. Значение определителя не изменится, если к элементамего строки (столбца) прибавить (вычесть) соответственные элементы другойстроки (столбца), умноженные на одно и тоже число />:
/>=/>+/>=/>,
так как />=0 по свойству 5.
Остальные свойства определителейрассмотрим ниже.
Введем понятие определителя третьегопорядка: определителем третьегопорядкаквадратнойматрицы называется число
Δ =/>=det A= />=
=/>/>/>+/>/>/>+/>/>/>– />/>/>– />/>/>– />/>/>,
(2)
т. е. каждое слагаемое в формуле (2)представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному итолько одному из каждой строки и каждого столбца. Чтобы запомнить, какиепроизведения в формуле (2) брать со знаком плюс, а какие со знаком минус,полезно знать правило треугольников (правило Саррюса):
/>
Пример. Вычислитьопределитель
/> =/>=
=/>=
=/>.
Следует отметить, что свойстваопределителя второго порядка, рассмотренные выше, без изменений переносятся наслучай определителей любого порядка, в том числе и третьего.
2. ТЕОРЕМЫ ЛАПЛАСА ИАННУЛИРОВАНИЯ
Рассмотрим еще два очень важных свойстваопределителей.
Введем понятия минора и алгебраическогодополнения.
Минором элемента определителя называется определитель, полученный из исходногоопределителя вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежитданный элемент. Обозначают минор элемента /> через/>.
Пример./> =/>.
Тогда, например, />= />, />= />.
Алгебраическим дополнением элемента/>определителя /> называетсяего минор />, взятый со знаком />. Алгебраическое дополнениебудем обозначать />, то есть />=/>/>.
Например:
/>= />, />=/>/>=/>/>= –/>,
/>=/>/>=/>/>=/>.
Вернемся к формуле (2). Группируя элементыи вынося за скобки общий множитель, получим:
/>=/>(/>/>– />/>) +/>(/>/> – />/>) +/>(/>/>–/>/>)=
= />ּ/>/>+/>ּ/>/>+/>ּ/>/>=
= />/>+/>/>+/>/>.
Аналогично доказываются равенства:
/>=/>/>+/>/>+/>/>, />1, 2,3; (3)
/>=/>/>+/>/>+/>/>, />1, 2, 3.
Формулы (3) называются формулами разложения определителя по элементам i-ой строки (j-го столбца), илиформулами Лапласа для определителя третьего порядка.
Таким образом, мы получаем восьмое свойство определителя:
Теорема Лапласа. Определительравен сумме всех произведений элементов какой-либо строки (столбца) насоответствующие алгебраические дополнения элементов этой строки (столбца).
Заметим, что данное свойство определителяесть не что иное, как определение определителя любого порядка. На практике егоиспользуют для вычисления определителя любого порядка. Как правило, прежде чемвычислять определитель, используя свойства 1 – 7, добиваются того, если этовозможно, чтобы в какой-либо строке (столбце) были равны нулю все элементы,кроме одного, а затем раскладывают по элементам строки (столбца).
Пример. Вычислитьопределитель
/>=/>= (из второй строки вычтем первую) =
=/>= (из третьей строки вычтем первую)=
=/>= (разложим определитель по элементам третьей
строки) = 1ּ/>/> = (из второго столбца вычтем первый столбец) = /> = 1998ּ0 – 1ּ2 = –2.
Пример.
Рассмотрим определитель четвертогопорядка. Для его вычисления воспользуемся теоремой Лапласа, то есть разложениемпо элементам строки (столбца).
/>=/>= (таккак второй столбец содержит три нулевых элемента, то разложим определитель поэлементам второго столбца)= =3ּ/>/>= (из второй строки вычтем первую, умноженную на 3, а из третьей строкивычтем первую, умноженную на 2) =
= 3ּ/>= (разложим определитель по элементам первого столбца) = 3ּ1ּ/>/> = />
Девятое свойствоопределителяноситназвание теорема аннулирования:
сумма всех произведений элементов однойстроки (столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополненияэлементов другой строки (столбца) равна нулю, то есть
/>/>+/>/>+/>/> = 0, />
Пример.
/>= />= (разложим по элементам третьей строки)=
= 0ּ/>/>+0ּ/>/>+/>ּ/>/> = –2.
Но, для этого же примера: 0ּ/>+0ּ/>+1ּ/>=
= 0ּ/>/> +0ּ/>/>+1ּ/>/> = 0.
Если определитель любого порядка имееттреугольный вид
/>=/>, то он равен произведению элементов, стоящих на диагонали:
/>=/>ּ/>ּ … ּ/>. (4)
Пример. Вычислить определитель.
/>=/>
Иногда при вычислении определителя спомощью элементарных преобразований удается свести его к треугольному виду,после чего применяется формула (4).
Что касается определителя произведениядвух квадратных матриц, то он равен произведению определителей этих квадратныхматриц: />.
ЛЕКЦИЯ 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА
План
1. Понятие обратной матрицы. Единственность обратнойматрицы.
2. Алгоритм построения обратной матрицы.
Свойства обратной матрицы.
Ключевые понятия
Обратная матрица.
Присоединенная матрица.
1. ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ОБРАТНОЙМАТРИЦЫ
В теории чисел наряду с числом /> определяют число,противоположное ему (/>) такое, что />, и число, обратное ему /> такое, что />. Например, для числа 5противоположным будет число
(– 5), а обратным будет число />. Аналогично, в теорииматриц мы уже ввели понятие противоположной матрицы, ее обозначение (– А). Обратной матрицейдляквадратной матрицы А порядка n называется матрица />,если выполняются равенства
/>/>, (1)
где Е – единичная матрица порядка n.
Сразу же отметим, что обратная матрицасуществует только для квадратных невырожденных матриц.
Квадратная матрица называется невырожденной(неособенной), если det A ≠0. Если же det A = 0, то матрица А называется вырожденной(особенной).
Отметим, что невырожденная матрица А имеетединственную обратную матрицу />.Докажем это утверждение.
Пусть для матрицы А существуетдве обратные матрицы />,/>, то есть
/>/> и />/>.
Тогда />=/>ּ/>=/>ּ(/>) =
= (/>ּ/>) />=/>/>=/>/>/>=/>.
Что и требовалось доказать.
Найдем определитель обратной матрицы. Таккак определитель произведения двух матриц А и В одинакового порядка равенпроизведению определителей этих матриц, т. е. />,следовательно, произведение двух невырожденных матриц АВ есть невырожденнаяматрица.
/>/>=/>1 /> />.
Делаем вывод, что определитель обратнойматрицы есть число, обратное определителю исходной матрицы.
2.АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ.
СВОЙСТВАОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Покажем, что, если матрица Аневырожденная, то для нее существует обратная матрица, и построим ее.
Пусть
А=/>, />.
Составим матрицу из алгебраическихдополнений элементов матрицы А:
/>/>
Транспонируя ее, получим так называемую присоединеннуюматрицу:
/>/>.
Найдем произведение />ּ/>. С учетом теоремы Лапласа и теоремы аннулирования:
/> ּ/>/> = /> =
=/> /> />.
Делаем вывод:
/>. (2)
Алгоритм построения обратнойматрицы.
1)Вычислить определитель матрицы А. Еслиопределитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.
2)Если определитель матрицы не равен нулю, то составитьиз алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А матрицу />.
3)Транспонируя матрицу />,получить присоединенную матрицу />.
4)По формуле (2) составить обратную матрицу />.
5)По формуле (1) проверить вычисления.
Пример. Найти обратную матрицу.
а). Пусть А=/>.Так как матрица А имеет две одинаковые строки, то определитель матрицы равеннулю. Следовательно, матрица вырожденная, и для нее не существует обратнойматрицы.
б). Пусть А=/>.
Вычислим определитель матрицы
/>/>обратная матрица существует.
Составим матрицу из алгебраическихдополнений
/> = /> = />;
транспонируя матрицу />, получимприсоединенную матрицу />
/>/>;
по формуле (2) найдем обратную матрицу />
/>=/>/>=/>.
Проверим правильность вычислений
/>/>/>=
= /> = />.
Следовательно, обратная матрица построенаверна.
Свойства обратной матрицы
1. />;
2. />;
3. />.
4. ЗАДАЧИИ УПРАЖНЕНИЯ/>
4.1 Матрицы и действия над ними
1. Найти сумму,разность, произведения двух матриц А и В.
а)/>, />;
б) />, />;
в) />, />/>;
г) />, />;
д) />, />;
е) />, />;
ж) />, />;
з) />, />;
и) />, />.
2. Доказать, чтоматрицы А и В коммутирующие.
а) />, />; б) />, />.
3. Даны матрицы А. Ви С. Показать, что (АВ)·С=А·(ВС).
а) />, />, />;
б) />, />, />.
4. Вычислить (3А –2В)·С, если
/>, />, />.
5. Найти />, если
а) />; б) />.
6. Найти матрицу Х,если 3А+2Х=В, где
/>, />.
7. Найти АВС, если
а) />, />, />;
б) />, />, />.
ОТВЕТЫ ПО ТЕМЕ «МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ»
1. а) />, />;
б) произведения АВ и ВАне существуют;
в) />, />;
г) />, />;
д) суммы, разности ипроизведения ВА матриц не существуют, />;
е) />, />;
ж) произведения матриц несуществуют;
з) />, />;
и) />, />.
2. а) />; б) />.
3. а) />; б) />.
4. />.
5. а) />; б) />.
6. />.
7. а) />; б) />.
4.2Определители1. Вычислитьопределители
2.
а) />; б) />; в) />; г) />; д) />; е) />;
ж) />; з) />.
3. С помощью правилатреугольников вычислить определители
а) />; б) />; в) />; г) />.
4. Вычислитьопределители примера 2, используя теорему Лапласа.
5. Вычислитьопределители, предварительно упростив их:
а) />; б) />; в) />;
г) />; д) />; е) />;
ж) />.
6. Вычислить определитель методомприведения его к треугольному виду
/>.
7. Пусть даныматрицы А и В. Доказать, что />:
/>, />.
ОТВЕТЫ ПО ТЕМЕ «ОПРЕДЕЛИТЕЛИ»
1. а) 10; б) 1; в)25; г) 16; д) 0; е) –3; ж) -6; з) 1.
2. а) –25; б) 168;в) 21; г) 12.
3. а) –25; б) 168;в) 21; г) 12.
4. а) 2; б) 0; в) 0; г)70; д) 18; е) –66; ж) -36.
5. –24.
4.3Обратная матрица1. Найти обратнуюматрицу:
а) />; б) />; в) />; г) />;
д) />; е) />; ж) />; з) />;
и) />; к) />; л) />;
м) />; н) />.
2. Найти обратную матрицу и проверитьвыполнение условия />:
а) />; б) />.
3. Доказатьравенство />:
а) />, />; б) />,/>.
4. Доказатьравенство />:
а) />; б) />.
ОТВЕТЫ ПО ТЕМЕ «ОБРАТНАЯ МАТРИЦА»1. а) />; б) />/>;в) />; г) />;
д) />; е) />; ж) />/>;
з) />; и) />;
к) />; л) />;
м) />; н) />.
2. а) />; б) />.
2. а) />, />, />=/>;
б) />, />,
/>=/>.
5. а) />, />,
/>, />;
б) />, />,
/>, />/>.
5.ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1. Вычислитьопределитель разложением
а) по i- той строке;
б) по j- тому столбцу.
1.1. />; 1.2. />; 1.3. />;
i=2, j=3. i=4, j=1. i=3,j=2.
1.4. />; 1.5. />; 1.6. />;
i=3, j=3. i=1, j=4. i=2, j=2.
1.7. />; 1.8. />; 1.9. />;
i=4, j=4. i=2, j=2. i=3, j=2.
1.10. />; 1.11. />; 1.12. />;
i=2, j=1. i=1, j=2. i=3, j=2.
1.13. />; 1.14. />; 1.15. />;
i=2, j=3. i=1, j=3. i=4, j=2.
1.16. />; 1.17. />; 1.18. />;
i=2, j=3. i=2, j=4. i=1, j=3.
1.19. />; 1.20. />; 1.21. />;
i=2, j=2. i=1, j=4. i=3, j=2.
1.22. />; 1.23. />; 1.24. />;
i=1, j=3. i=2, j=1. i=3,j=4.
1.25. />; 1.26. />; 1.27. />;
i=4, j=3. i=3, j=3. i=1,j=2.
1.28. />; 1.29. />; 1.30. />.
i=3, j=3. i=2, j=1. i=3, j=2.
ЛИТЕРАТУРА
1. Жевняк Р.М.,Карпук А.А. Высшая математика. – Мн.: Выш. шк., 1992.- 384 с.
2. Гусак А.А.Справочное пособие к решению задач: аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.- 288 с.
3. Марков Л.Н.,Размыслович Г.П. Высшая математика. Часть 1. –Мн.: Амалфея, 1999. – 208 с.
4. Белько И.В.,Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов. I семестр. М.: Новое знание, 2002.- 140 с.
5.КоваленкоН.С., Минченков Ю.В., Овсеец М.И. Высшая математика. Учеб. пособие. -Мн.: ЧИУП,2003. – 32 с.