Реферат: Математический анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ХПИ»

Кафедра«Вычислительной техники и програмирования»

Расчётно–графическое задание

по курсу«Теория алгоритмов и вычислительные методы»

Харьков –2005

Исходные данные:

Вариант №

y0

y1

y2

y3

y4

y5

h

x0

64 -0.02 0.604 0.292 -0.512 -1.284 -2.04 0.5 0.3

Задача 1

Исходные данные вводятсяв ЭВМ как абсолютно точные числа и представляются в ней в виде чисел сплавающей точкой с относительной погрешностью в одну миллионную. Введенныеданные x0и y0служат основой формирования двух векторовx=(x0, x1, …, xn) и y=(y0, y1,…, yn) по рекуррентным формулам:

/>
Вычислить скалярное произведение с:= (x, y) по алгоритму:

 

с:= 0; i := 0;

while i< n + 1 do c := c + xi · yi;

и оценить аналитически ичисленно инструментальную абсолютную и относительную погрешности.

Решение

Поскольку данныепредставляются в ЭВМ в виде чисел с плавающей точкой с относительной погрешностью,то

x0= x0(1+δ)

y0= y0(1+δ)

C0= x0y0(1+δ)

/>

/> <td/> />
При i = 1

При i = 2

x2= x03(1+δ)5

y2= y0(1+δ)3

C2= x0y0(1+δ)5 + x02(1+δ)7+ x03y0(1+δ)10

При i = 3

x3= x04(1+δ)7

y3= (1+δ)5

C3= x0y0(1+δ)6 + x02(1+δ)8+ x03y0(1+δ)11 + x04(1+δ)14

При i= 4

x4= x05(1+δ)9

y4= y0(1+δ)7

C4= x0y0(1+δ)7 + x02(1+δ)9+ x03y0(1+δ)12 + x04(1+δ)15+ x05y0(1+δ)18

/>

Выявим закономерностьизменения Ci:

При расчете Cnбез учета погрешности исходных данных и погрешности вычисления, получим

Обозначим эту сумму как S1.

Тогда абсолютнаяпогрешность S2

/>

а относительнаяпогрешность

/>

Оценим инструментальноотносительную и абсолютные погрешности при n = 10

S1= 0.0923071

S2= 1.45914·10-6

S3= 1.58075·10-5

 

Задача 2

Для функции g(x), заданной своими значениями в шести точках, составитьтаблицу всех повторных разностей. Преобразовать функцию g(x) с помощью линейного преобразования x = a + b * k в функцию G(k) с целочисленным аргументом k. В качестве проверки правильностизаполнения таблицы вычислить аналитически конечную разность Δng(x) = ΔnG(k) для n = 5.

Решение

Составим таблицу всехповторных разно/>стей:

 

k x y Δy

Δ2y

Δ3y

Δ4y

Δ5y

0.3 0.02 -1.576 0.044 -0.136 0.66 -0.54 1 1.1 -1.556 -1.532 -0.092 0.524 0.12 — 2 1.9 -3.088 -1.624 0.432 0.644 — — 3 2.7 -4.712 -1.192 1.076 — — — 4 3.5 -5.904 -0.116 — — — — 5 4.3 -6.02 — — — — —

 

/>

Найдем формулу перехода от xк   k:

/> <td/> />
Выполним проверку, вычисливаналитически конечную разность

Δng(x)= ΔnG(k) для n = 5:

Конечные разности,вычисленные аналитически и таблично Δng(x) = ΔnG(k) для n= 5 совпали,следовательно, таблица повторных разностей составлена верно.

 

Задача 3

Таблично заданную функцию G(k)с целочисленным аргументом представить в виде разложения по факториальныммногочленам (z(n) = z· (z-1) · (z-2) · … · (z— n+ 1)) и преобразовать его в степенныемногочлены G(z) и G(x).

Решение

Представимфункцию G(k) в виде разложения по факториальным многочленам:

/>

Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(z):

/>

Выполним проверку при k = 1:

/>

0.604=0.604

Так как результатысовпали, значит степенной многочлен G(z) представлен правильно.

Преобразуем функцию G(k) в степенной многочлен G(x). Зная, что получим:

/>

/>

Проверим вычисления при x = 0.8:

/>

0.6045128 ≈ 0.604

Так как результатысовпали, то вычисления сделаны верно.

 

Задача 4

 

Вывести аналитическоевыражение суммы для функции целочисленного аргумента G(z). Проверить правильность вычисления полученноговыражения прямым суммированием табличных значений G(k), k = 0,1, 2, 3, 4, 5 (m = 5).

 

Решение.

Для вычисления значениясуммы используем функцию G(z) в виде разложения по факториальным многочленам,полученным в задаче 3:

/>

/> <td/> />
где

Для проверки, просуммируем значения G(k) из таблицы:

-0.02 + 0.604 + 0.292 — 0.512 — 1.284 — 2.04 = — 2.96

— 2.96 = — 2.96

Так как результатывычисления аналитического выражения и суммы табличных значений G(k) совпали, значит аналитическое выражение для суммывыведено правильно.

 

Задача 5

Составить таблицу упорядоченныхразделенных разностей для g(x). Проверить правильность таблицы для разделеннойразности [x0; x1; x2; x3] поформуле ее аналитического представления.

Решение/>

Составим таблицуупорядоченных разделенных разностей для g(x):

xi

g(xi)

[xi; xi+1]

[xi; xi+1; xi+2]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4]

[xi; xi+1; xi+2; xi+3; xi+4;xi+5]

0.3 -0.02 1.248 -1.872 0.592 0.0533333 -0.1567999 0.8 0.604 -0.624 -0.984 0.6986666 -0.3386666 — 1.3 0.292 -1.608 0.064 -0.0213333 — — 1.8 -0.512 -1.544 0.032 — — — 2.3 -1.284 -1.512 — — — — 2.8 -2.04 — — — — —

Для проверки правильности заполнениятаблицы разделенных разностей, вычислим разделенную разность пятого порядка поформуле ее аналитического представления:

/>

Так как результатывычислений совпали, значит, таблица разделенных разностей составлена правильно.

 

Задача 6

Получить интерполяционныемногочлены Лагранжа и Ньютона, проходящие через первые четыре точки табличнозаданной функции G(x), и сравнить их степенныепредставления.

 

Решение

Для нахожденияинтерполяционного многочлена Лагранжа используем формулу

/> где n = 3.

/>

/>

Проведем проверку вычислений,подставив x=0.8 в интерполяционный многочленЛагранжа, получим y1=0.604

Интерполяционный многочлен Ньютонанаходится по формуле:

ln(x)= g0+ (x-x0)[x0;x1] + (x-x0)(x-x1)[x0;x1;x2]+ … +

+(x-x0)(x-x1)∙…∙(x-xn-1)[x0;x1;x2;…;xn]

/> <td/> />
Подставив в формулу gi и xi получим:

Интерполяционныемногочлены Ньютона и Лагранжа совпадают.

Проведем проверку вычислений,подставив x=0.8 в интерполяционный многочленНьютона, получим y1=0.604

/>

Задача 7.

 

Вывести выражения для вычислениявторой производной в точке x=x3 в виде функций:

/>

где ∆ng(0)и g(xn) для n = 0,1,…,5 соответственно значенияразностей в точке x = x0 и ординаты g(xn) = gnиз задачи N2. Значения производной вычисленные по выведенным формулам, сравнитьс вычисленным значением производной, найденной путем дифференцированияинтерполяционного многочлена G(x):

/>

 

Решение

Для вычисления производнойвоспользуемся оператором

/> <td/> />
дифференцирования:

/>

Выражение для вычисления производной вточке x0 имеет вид:

Для того, чтобы преобразовать его квыражению для вычисления производной в точке x3, применим операторсдвига:

/>

/> <td/> />
Для того, чтобы перейти от функции кфункции воспользуемся формулой: />/> <td/> />
Получим выражения для ∆2y0:

 

∆5y0= -y0+ 5y1 – 10y2 + 10y3 –5y4 + y5

∆4y0= y0 — 4y1 + 6y2 — 4y3 + y4

∆3y0= -y0+ 3y1 – 3y2 + y3

∆2y0= y0 — 2y1 + y2

/>

Подставим эти значения вфункцию:

Сравним это значение с вычисленнымзначением производной путем дифференцирования интерполяционного многочлена G(x):

при x3 = 1.8

/>

Значения производной равны,следовательно, вычисления сделаны верно.

Задача 8

Методом наименьшихквадратов для таблично заданной g(x) получитьаппроксимирующие степенные полиномы нулевой, первой, второй и третьей степеней (Pi(x), i= 0, 1, 2, 3) и изобразить их на одном графике.

 

Решение.

Составим таблицу степенейx и xy

i x y

x2

x3

x4

x5

x6

xy

x2y

x3y

1 0.3 -0.02 0.09 0.027 0.0081 0.00243 0.000728999 -0.006 -0.0018 -0.00054 1 0.8 0.604 0.64 0.512 0.4096 0.32768 0.262144 0.4832 0.38656 0.309247 1 1.3 0.292 1.69 2.197 2.8561 3.71293 4.8268 0.3796 0.493479 0.641523 1 1.8 -0.512 3.24 5.832 10.4976 18.8956 34.0122 -0.9216 -1.65888 -2.98598 1 2.3 -1.284 5.29 12.167 27.9840 64.3634 148.035 -2.9532 -6.79236 -15.6224 1 2.8 -2.04 7.84 21.952 61.4656 172.103 481.89 -5.712 -15.9936 -44.782 6 9.3 -2.96 18.79 42.687 103.22 259.405 669.026 -8.73 -23.5666 -62.4401

 

/>

Составим системы уравнений:

Откуда a0= -0.93621; a1= 3.89576; a2 = -2.8954; a3 = 0.488001

/> <td/> />
Аппроксимирующий степенной полином 3-йстепени имеет вид:

P3(x)= -0.93621 + 3.89576x – 2.8954x2 + 0.488001x3

Откуда a0= -0.0710314; a1= 0.989486; a2 = -0.624589;

Аппроксимирующий степенной полином 2-йстепени имеет вид:

/>

P2(x)= -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2

Откуда a0= 0.974118; a1= -0.946742;

Аппроксимирующий степенной полином 1-йстепени имеет вид:

P1(x)= 0.974118 – 0.946742x

6a0= -2.96

Откуда a0= -0.493333;

Аппроксимирующий степенной полином 0-йстепени имеет вид:

P0(x) =-0.0493333

/> <td/> />
Изобразим полученные полиномы награфике:

Задача 9

 

Для аппроксимирующегополинома третьей степени P3(x) получить аналитические выражения ΔnP3(x), n= 0, 1, 2, 3, 4 и все конечно-разностные разностныекривые изобразить на одном графике.

/>

Решение

Обозначим на графике всеконечно-разностные кривые:

/> /> /> /> /> /> /> <td/>

ΔP3(x)

  /> <td/> <td/>

P3(x)

  /> /> />

Δ2P3(x)

  />
/> /> /> /> />

Δ4P3(x)

  <td/>

Δ3P3(x)

 

Задача 10

Вывести квадратурныеформулы для вычисления определенных интегралов с пределами [0, 1] и [-1, 1] отподынтегральных функций f(t), принадлежащих классу степенныхмногочленов степеней 0, 1, 2, 3. Вывод проделать для трех случаев использованиев квадратурных формулах численных значений подынтегральных функций:

/>
в) заданы значения функции вточках, обеспечивающих получение формул наивысшей алгебраической степени точности.

Решение

Значение определенногоинтеграла найдем, исходя из формулы:

/>

/>

/>

где w1, w2— некоторые коэффициенты

/> /> /> /> /> /> /> /> /> />
t1, t2 —<sub/>точки, плавающие внутри интервала интегрирования./> /> /> /> /> /> <td/> /> />
Составим систему уравнений

w(t) = (t-t1)(t-t2)= C0+ C1t + C2t2 = 0

C2 = 1

/>

Домножив уравнения насоответствующие коэффициенты получим:

2C0+ 2/3 = w1 (C0+ C1t1 + t12)+ w2 (C0+ C1t1 + t22)

2C0+ 2/3 = 0

C0= -1/3

/>
Подставляя полученные значенияв первую систему, получим:

/>

/>

/>

/>

Квадратурная формула: />

/>

 

Задача 11

С помощью квадратурныхформул, полученных в задаче 10, вычислить определенный интеграл от степенногопредставления интерполяционного многочлена Лагранжа (Ньютона), полученного взадаче № 6 в пределах от x0до x0+3h, исравнить его с аналитически вычисленным значением определенного интеграла попервообразным многочлена.

 

Решение

Используем степенноепредставление интерполяционного многочлена Лагранжа из задачи 6

/>

Для перехода к интегралус канонической формой используем линейное преобразование: x = α + βt.

/> />

Составим системууравнений:

Подставив x = 1.05 + 0.75t, получим многочлен Лагранжа отпеременной t:

/> <td/> />
L (t) = 0.24975t3 — 0.80325t2 — 0.49575t + 0.537253

/>

Учитывая, что dx = βdt, получим:

Применим квадратурнуюформулу, полученную в задаче №10

/> <td/> />
Для сравнения вычислиманалитически значение интеграла:

Так как результатысовпали, значит, вычисления произведены верно.

 

Задача 12

Оценить погрешностьопределенного интеграла от функции sin(x) в пределах [0,2/3π] поквадратурной формуле наивысшей алгебраической степени точности, полученной взадаче № 10в, по сравнению с аналитически точным. Проделать то же самое надусеченным степенным рядом, представляющим sin(x), вкоторый x входит со степенью не выше третьей.

Решение

/> <td/> />
Перейдем от пределов [0,2/3 π] к пределу [-1,1]: для этоговоспользуемся линейным преобразованием x= α + βt. Составить систему

/>

/>

Учитывая, что dx = βdt, получим:

/>

Применим квадратурнуюформулу:

Вычислим аналитически:

Найдем погрешностьвычисления:

Проделаем те же операциинад усеченным степенным рядом, представляющем sin(x):

/>

/>

Перейдем от пределов [0;2π/3] к пределам [-1; 1], для этогоиспользуем линейное преобразование x = α +βt. Составим систему уравнений:

/>

Учитывая, что dx = βdt,получим

/>
Применим квадратурную формулу,получим

/>

/>

/>

/>
Найдем погрешность вычисления

 

Задача 14

Степенными полиномамиЧебышева Ti относительно переменной x (|x| < 1) являются решениями линейного разностного уравнениявторого порядка:

Ti+2 — 2x Ti+1 + Ti = 0,

с начальными условиями T0= 1 и T1 = x.

Найти аналитическоевыражение и вычислить значения полинома Чебышева i-й степени, если /> и i = 4. Проверить вычисления непосредственно позаданной рекуррентной формуле. Найти положение нулей и экстремумов умногочленов Чебышева в общем виде и для заданных выше x и i. Оценить модульмаксимально возможного значения полинома в точках экстремумов.

/>
Решение.

/>

Исходя из того, что

xi = |yi|  надо найти T4 т.е. для i = 4

Из Ti+2 — 2xTi+1 + Ti = 0 следует, что

T2= 2xT1 — T0

T3= 2xT2 — T1 = 2x(2xT1 — T0) — T1

T4= 2xT3 — T2 = 2x(2x(2xT1 — T0) — T1)- 2xT1 + T0= 8x3T1 — 4x2T0 — 4xT1 + T0

Подставим значение T0= 1 и T1 = x

T4= 8x4 — 4x2 — 4x2 + 1 = 8x4 — 8x2+ 1

Найдем значения x:

/>

T4 = 0.99980

Проверим по заданнойрекуррентной формуле:

T2= 2·0.00490·0.00490 — 1 = -0.9999

T3= 2·0.00490·(-0.9999) — 0.00490 = -0.01469

T4= 2·0.00490·(-0.01469) + 0.9999 = 0.99980

Нули функции находятся,как решения биквадратного уравнения:

8x4 — 8x2 + 1 = 0, где

x1 = 0.9238795

x2 = -0.9238795

x3 = 0.3826834

x4 = -0.3826834

/>

Чтобы найти экстремумынайдем

 

Задача 16

Выравнивание по всейдлине с течением времени температуры T(x, t) на тонком однородном хорошо теплоизолированном стержне описываетсядифференциальным уравнением в частных производных с начальным распределениемтемпературы (в градусах Цельсия) по длине стержня в 6 равномерно расположенныхс шагом h точках.

/>

T(x0,0) = T0,   T(x1, 0) = T1,   …,   T(x5,0) = T5;    (Ti = 100·yi ˚C).

На концах стержня вточках x-1 и x6 удерживается нулевая температура.

Применяяконечно-разностное представление производных по пространственной переменной x, свести уравнение в частныхпроизводных к системе дифференциальных уравнений в обыкновенных производныхотносительно температуры T.

/> <td/> />
Решение.

/>

Получаем систему диф.уравнений:

/>

Учитывая начальныеусловия, получим систему уравнений:

 

Задача 17.

Используя методНьютона-Рафсона, найти с относительной погрешностью в одну миллионную нульмногочлена Чебышева Ti(x), полученного в задаче 14. В качественачального приближения к корню взять

/>

В качестве xiберутся |yi| из таблицы исходных данных.

Решение.

Из задачи 14 возьмемполином Чебышева T4 = 8x4 — 8x2 + 1. Вкачестве начального приближения к корню возьмем xнач, вычисленное поформуле

/>

Т.к. 8x4 — 8x2+ 1 = 0, то можем сказать, что f(xнач + α) = 0

/>

Воспользуемся DERIVE длянахождения корня с необходимой точностью:

/>

получим такие значения:0.38234, 0.382689, 0.382683, 0.382683, 0.382683.

На третьей итерацииполучаются значения корня с нужной точностью.

 

Задача 19

Скорость измененияпеременной x(t) во времени равна функции от этой переменной f(x). Найтианалитическое выражение последней от времени, начиная с t = 0, если в начальныймомент x(0) = 0. В качестве f(x) взять степенной многочлен P2(x),полученный в задаче 8. Протабулировать полученное решение с шагом h = 0.1  винтервале [0, 0.5].

Решение

P2(x) = -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2/>
 = f(x)

Исходя из начальныхусловий, т.к. dx/dt = f(x), имеем

/>

Т.к. x = F(t), то:

/>

Протабулируем x(t) наинтервале [0; 0.5] c шагом h = 0.1:

t = 0       x= 0

t = 0.1    x =-0.0622648

t = 0.2    x =-0.137833

t = 0.3    x =-0.230872

t = 0.4    x =-0.347464

t = 0.5    x =-0.496850

 

Задача 20

 

Методом Эйлера винтервале [0, 0.5] с шагом h = 0.1 получить решение нелинейногодифференциального уравнения:

dx/dt = a + bx+ cx2,

x(0) = 0

Коэффициенты a, b, cвзять из P2(x), полученного в задаче 8.

Решение/> <td/> />
y = P2(x)

P2(x)= -0.0710314 + 0.989486x – 0.624589x2/>

Общая формула для решения

x = x0 +h·P2(x0, t0)

x1= 0 + 0.5· (-0.0710314) = -0.0355156

x2= -0.0355156 + 0.5·(-0.0710314 + 0.989486 (-0.0355156)1 –

-0.624589·(-0.03551562) = -0.053854

x3= -0.053854 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.053854)1 –

— 0.624589 (-0.053854)2)= -0.0636315

x4 =-0.0636315 + 0.5· (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0636315)1 –

-0.624589 (-0.0636315)2)= -0.0689304

x5 =-0.0689304 + 0.5 (-0.0710314 + 0.989486 (-0.0689304)1 –

-0. 0.624589 (-0.0689304)2)=--0.071827

 

Задача 23

Проверить заданнуюсистему из трех векторов на линейную зависимость. При обнаружении линейнойзависимости поменять местами первые компоненты векторов x1,x2 и выполнитьповторную проверку. Из исходных данных векторы формируются так:

x1 =(y0,y1,y2); x2=(y3,y4,y5); x3=(h,x0,0).

На базе линейнонезависимой системы векторов x1, x2, x3 методомГрама-Шмидта построить ортонормированную систему трех векторов:

y1 =(y11,y21,y31); y2=(y12,y22,y32); y3=(y13,y23,y33).

На основе полученнойсистемы векторов сформировать квадратную матрицу T = (y1,y2,y3). Вычислить det(T) и получить матрицы — обратную T-1 итранспонированную T’. Найти произведение T-1 · T, T · T’. Сделатьвыводы о свойствах матрицы T.

Решение

Исходные векторы x1 =(-0.02,0.604,0.292); x2=(-0.512,-1.284,-2.04); 

x3=(0.5,0.3,0).

/>/>

Составим матрицу ипроверим ее на линейную зависимость:

det (A·AT) =0.23591 > 0, значит система линейно независима.

Найдем векторы v1,v2, v3

 

/>v1 = x1

v2= x2 + a21·v1

v3= x3 + a32·v2 + a31·v1

/>

v1= (-0.02, 0.604, 0.292);

v2= (-0.572423, 0.54078, -1.15782);

v3 =(0.471405, 0.104651, -0.184183).

/>

Матрица T:

/>

/>

/>

/>

det(T) = -1

/>

Ортонормированная матрицаT состоит из собственных векторов. Определитель матрицы T равен 1. Еслитранспонировать ортогональную матрицу то она будет равна обратной. T’ = T-1.Это значит, что если умножить T·T’ = E — получим единичную матрицу.

 

Задача 24

Считая числа –1, -2, -3собственными значениями, а векторы у1, у2, у3из задачи 23 – собственными векторами некоторой матрицы А, найдите проекторыэтой матрицы ( Р1, Р2, Р3), саму матрицу А ией обратную А-1. Получить характеристическое уравнение матрицы А иподтвердить правильность всех промежуточных вычислений.

 

Решение

/> 

Найдем проекторы матрицыА:

/>

/>

Найдем обратную матрицу А-1:

Характеристическоеуравнение матрицы А имеет вид:

-x3-6x2-11x-6=0;

Корни характеристическогоуравнения – собственные значения матрицы

x1= -1;   x2=-2;    x3= -3

 

Задача 25

Решить системуалгебраических уравнений А·x = b, где А- матрица коэффициентов из задачи 24, x= (x1, x2, x3) – векторы решения, b = (3, 2, 1) – вектор правых частей. Решениеполучить, используя обратную матрицу, полученную из задачи 24.

/> <td/> />
Решение