Реферат: Математическая статистика
СОДЕРЖАНИЕ
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задание 7
Задание 8
Задание 9
Задание 10
Задание 11
Задание 12
Задание 13
Задание 14
Литература
Задание 1. Исследоватьсходимость рядов:
а) />
Решение:
Воспользуемсяпризнаком Даламбера
/>
Рядсходится.
б) />
Решение:
Для исследования этогоряда на сходимость удобнее применить радикальный признак Коши:
p =/>=/>=
=/>= />=5
Так как показатель Коширяда строго больше единицы, то по радикальному признаку Коши ряд расходится.
Задание 2. Исследоватьряд на абсолютную и условную сходимость:
/>
Решение:
Рассмотрим ряд измодулей:
/>
Сравним его с рядом />
Мы сможем это сделатьсогласно признаку сравнения:
/>
Ряд /> исследуем при помощи интегрального признака:
/>
т.е. ряд /> расходится. Значит ряд из модулей тоже расходится, а наш знакопеременныйряд не обладает абсолютной сходимостью. Но он сходится условно согласно теоремеЛейбница
/>|= />
Задание 3. Найти областьсходимости ряда:
/>
Решение:
Найдем интервалсходимости />, где R – радиус сходимости. Найдем радиус сходимости R :
/>
Следовательно, интервалсходимости ряда. Исследуем сходимость ряда на концах интервала:
/>
/>/>
Полученный ряд являетсяобобщенным гармоническим рядом, в котором
/>
Следовательно, полученныйряд расходится.
/>
/>
Получилизнакочередующийся ряд. Используем теорему Лейбница:
/>
/>
Значит, полученный рядсходится.
Областью сходимостизаданного ряда является промежуток />.
Задание 4. Вычислить сточностью
ε = 0,001 /> .
Решение:
Так как 83является ближайшим к числу 520 кубом целого числа, то целесообразно число 520представить в виде суммы двух слагаемых:
520 = 83 + 8.
Тогда
/> = /> = 8/> = 8(1+0,001562)1/3 =
=8 =
= 8+ 0,0416-0,0002272+…
Третий член уже меньшечем 0,001, поэтому его следует отбрость и последующие за ним. Итак,
/> /> 8 + 0,0416 /> 8,0416
Задание 5. Найти три первых,отличных от нуля, члена разложения в степенной ряд интеграла /> дифференциального уравнения, удовлетворяющегоследующему начальному условию:
/>
Решение:
Воспользуемся разложением
/>
Так как по условию х = 0,то будем иметь
/>
Найдем коэффициенты при х:
/> ;
/> , /> .
Подставляя найденныезначения в формулу, получим
/>
Задание 6. Среди 10 лотерейныхбилетов 6 выигрышных. Наудачу взяли 4 билета. Определить вероятность того, чтосреди них 2 выигрышных.
Решение:
Определимся с событием:
А – среди выбранных 4 билетов2 выигрышных.
Вероятность этогособытия: />
Число всех элементарныхисходов п ( число всех комбинаций выбора из 6 билетов по 2 билета ) равно числусочетаний:
/>
Число элементарныхисходов т, благоприятствующих событию А :
/>
Тогда, искомаявероятность равна:
/>
Задание 7. В двух партиях38% и 79% – процент доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбираютпо одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно бракованное иодно доброкачественное?
Решение:
Определимся с событиями:
А1 – выбордоброкачественного изделия из первой партии,
/>выбор бракованного изделия из первойпартии,
А2 – выбордоброкачественного изделия из второй партии,
/>выбор бракованного изделия из второйпартии.
Тогда
/>
/>.
а) А – хотя бы одноизделие бракованное.
/>
б) В – оба изделиябракованные.
/>.
в) С – одно изделиедоброкачественное и одно изделие бракованное.
/>.
Задание 9. Из 1000 ламп пi принадлежит i-ой партии, i = 1,2, 3, /> В первой партии 6%, во второй 5%, втретьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определитьвероятность того, что выбранная лампа – бракованная.
/>
Решение:
Так как />, то
/> />
Определимся с событиями:
А – выбрана бракованнаялампа;
/>выбрана лампа i-ой партии, i = 1,2,3.
Найдем вероятностисобытий Вi :
п = 90 + 690 + 220 = 1000,
/>
Найдем вероятностисобытия А при условии, что события Bi ( i = 1,2,3 ) наступили, т.е. найдемвероятности выбора бракованной лампы при условии, что лампы взяты из 1-ой,2-ой, 3-ей партий :
/>
По формуле полнойвероятности найдем искомую вероятность:
/>
Задание 9. В магазинпоступают однотипные изделия с трех заводов, причем i-й завод поставляет тi<sub/>% изделий ( i = 1, 2, 3). Среди изделий i-гозавода ni % первосортных. Куплено одноизделие. Оно оказалось первосортным. Определить вероятность того, что купленноеизделие выпущено j-ым заводом.
/>.
Решение:
Определимся с событиями:
А – купленное изделиепервосортное;
/>изделие выпущено i-ым заводом, />.
Запишем вероятностисобытий Вi :
/>
Запишем условныевероятности, т.е. вероятности того, что купленное изделие первосортное приусловии, что оно выпущено i-ымзаводом:
/>
Вероятность того, чтокупленное первосортное изделие выпущено 1-ым заводом, вычислим по формулеБейеса:
/>
/>
Задание 10. Вероятностьнаступления некоторого события в каждом из 100 независимых испытаний равна р =0,8. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяетследующему неравенству:
/>
k1 = 75;
k2 = 90
Решение:
Воспользуемся интегральнойтеоремой Лапласа :
/>
где Ф(х) – функцияЛапласа,
/>
Найдем х1 и х2:
/>
Учитывая, что функцияЛапласа нечетная, т.е. />, получим
/>.
По таблице найдем :
/>
Искомая вероятность
/>
Задание 12. Дискретнаяслучайная величина Х принимает только два значения х1 и х2, причем />. Известна вероятность р1 = 0,7 возможногозначения х1, математическое ожидание М(Х ) = 1,3 и дисперсия D(X ) = 0,21. Найти закон распределения этой случайной величины.
Решение:
Сумма вероятностей всехвозможных значений ДСВ равна 1. Отсюда вероятность того, что Х примет значение х2равна
р2 = 1 – р1= 1 – 0,7 = 0,3.
Запишем законраспределения ДСВ Х :
Хх1
х2
р 0,7 0,3Для нахождения значений х1и х2 составим систему уравнений и решим ее:
/> или />;
/>
/> или />
/>
/>
7x12+ /> =19 (x 3)
70x12-182x1+112= 0
/>
/>
/>
По условию задачи />. Следовательно, задаче удовлетворяет толькорешение />, и искомый закон распределения будет иметьвид:
Х 1 2 р 0,7 0,3Задание 12. Непрерывнаяслучайная величина задана функцией распределения />.Требуется найти:
а) функцию плотностираспределения />;
б) математическоеожидание />;
в) дисперсию />;
г) среднее квадратическоеотклонение />.
Построить графики функций/> и />.
/>
Решение:
а) Найдем функциюплотности распределения НСВ Х :
/>
б) Найдем математическоеожидание НСВ Х :
/>
в) Найдем дисперсию НСВ Х:
/>
г) Найдем среднееквадратическое отклонение НСВ Х :
/>
График функциираспределения:
/>
График функции плотностираспределения:
/>
Задание 13. Заданостатистическое распределение выборки. Требуется:
а) найти распределениеотносительных частот;
б) построить полигонотносительных частот;
в) найти эмпирическуюфункцию распределения и построить ее график;
г) найти несмещенныестатистические оценки математического ожидания, дисперсии и среднегоквадратического отклонения в генеральной совокупности.
xi
1 3 4 6 7ni
20 10 14 6 10
Решение:
а) Найдем объем выборки:
/>
Относительные частотыопределяем по формуле: />
/>
Запишем распределениеотносительных частот :
xi
1 3 4 6 7wi
0,33 0,17 0,23 0,1 0,17Контроль: />
б) Построим полигонотносительных частот:
/>
в) Эмпирическая функция
/>
где /> число вариант, меньших х;
п – объем выборки, можетбыть представлена в виде:
/>
Тогда, искомаяэмпирическая функция будет иметь вид :
/>
Строим график функции />
/>
г) Несмещенной оценкойматематического ожидания в генеральной совокупности является выборочнаясредняя:
/>
Найдем эту оценку:
xв = /> (1∙20+3∙10+4∙14+6∙6+7∙10) =/> = 3,53;
Несмещенной оценкойдисперсии в генеральной совокупности является исправленная выборочнаядисперсия:
/>
где DB – выборочная дисперсия.
Найдем выборочную DВ :
/>= />
/>
= /> (400+300+784+216+700) – 12,46 = 27,54;
Найдем исправленнуюдисперсию, т.е несмещенную оценку генеральной дисперсии:
/>
Несмещенной оценкойсреднего квадратического отклонения в генеральной совокупности служитисправленное среднее квадратическое отклонение:
/>.
Найдем эту оценку:
/>.
Задание 14. Найтивыборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х по данным, приведенным в корреляционной таблице
Х
Y
7 14 21 28 35 42 10 5 1 - - - - 15 - 6 5 - - - 20 - - 6 35 9 - 25 - - 8 9 2 - 30 - - - 7 1 6
Решение:
□ Определим частоты/>, т.е. суммы частот появления значений у в каждойстроке таблицы. Аналогично, найдем частоты />.Очевидно, что />, т.е. суммы частот равны объемувыборки. В результате получим таблицу:
Х
Y
7 14 21 28 35 42ny
10 5 1 - - - - 6 15 - 6 5 - - - 11 20 - - 6 35 9 - 50 25 - - 8 9 2 - 19 30 - - - 7 1 6 14nx
5 7 19 51 12 6 n=100Уравнение линейнойрегрессии Y на Х имеет вид:
/>,
где />выборочный коэффициент корреляции.
Найдем значенияпараметров выборочного уравнения линии регрессии:
/>
/>;
/>
/>;
/>;
/>
/>;
/>
/>;
/>;
/>
/>
/>
/>;
/>.
Подставляем полученныезначения параметров в выборочное уравнение регрессии:
/>.
Тогда выборочное уравнениерегрессии примет окончательный вид:
/>.
ЛИТЕРАТУРА
1. Пискунов Н.С. Дифференциальное иинтегральное исчисления. Т.2. – М.: Наука, 1985. – 506с.
2. Данко П.Е., Попов А.Г.,Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч.2. – М.: Высшаяшкола, 1986. – 415с.
3. Доценко А.Д., Нагулин Н.И.Методические указания к практическим занятиям по курсу “Высшая математика”(Ряды). Харьков: ХИРЭ, 1992. – 38с.
4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей иматематическая статистика. – М.: Высшая школа, 2000. – 400с.
5. Гмурман В.Е. Руководство к решениюзадач по теории вероятностей и математической статистике. – М.: Высшая школа,2000. – 400с.