Реферат: Математика

Канашский филиал

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1

По математике

Вариант  3

Студента 1  курса   экономического факультета

Шифр:   04653033            Учебная группа:  53-06

Работа  выслана  в  Чувашский госуниверситет

 «____» ____________2006 г.

Передана на кафедру «Экономики иуправления»

Оценка___________ «___»_____________2006г.

Преподаватель: Бычков Владимир Порфирьевич                             

Возвращена вдеканат______________________

 

 

Математика

Вариант 3

Даны вершины А(х1; у1), В(х2; у2),С(х3; у3) треугольника. Требуется найти:    1)длинустороны ВС; 2)площадь треугольника; 3)уравнение стороны ВС; 4)уравнение высотыпроведенной из вершины А; 5)длину высоты проведенной из вершины А; 6)уравнениебиссектрисы внутреннего угла/> ;

7)угол /> в радианах с точностью до 0,01;8)систему неравенств определяющих множество точек треугольника. Сделать чертеж.

       вариант  3:              А(5;-1),  В(1;-4),    С(-4;8).

Решение:

         1)Длинастороны ВС:

   />  />;

        2)Длинастороны АВ:

   />   ;

          Скалярноепроизведение векторов />и/>

/>

Угол /> :

/>cos/>=/> ; />=arcos0,2462=75,75/>;

          3)Уравнение стороны ВС:

/>

/>;  />;     />;    />;  />;

        4)Уравнение высоты, проведенной из вершины А:

   />;    />;

         Условиеперпендикулярности двух прямых:

  />;   />;

  />;    />;   />;   />;

          5)Длина высоты, проведенной из вершины А:

   />

         6)  />

/>   />

/>

/>

/>

           Уравнение прямой АС:

/>

/>

/>           />

          Уравнение биссектрисы внутреннегоугла />:

/>

 

       7) Угол /> в радианах с точностью до 0,01:

/>

      8) Уравнение стороны ВС:

/>

Уравнение стороны АС:

/>

      Уравнение стороны АВ:

/>

        Система неравенств,определяющих множество внутренних точек треугольника.

/>

 

/>

/>Задание 13.

     Составить уравнение прямой,проходящей через точку А(4;1) на расстоянии 4 единиц от точки В(-4;0).

 

 

Решение:

     Уравнение пучка прямых,проходящих через точку А:

/>

    По условию задачи />

/>

    Искомые прямые:

/>

Задание23.

 

    Составить уравнение линии,расстояние каждой точки которой от точки F(8;0) вдвое больше, чем от прямойХ-2=0. Сделать чертеж.

 

Решение:

 

/>

     Поусловию задачи:   />

/>

/>       -   уравнение гиперболы сцентром в точке /> и полуосями    />

/>

  />

Задание 33.

Составить уравнение параболы и еедиректрисы, если известно что парабола проходит через точки пересечения прямой /> с окружностью />и ось />является осью симметрии параболы. Сделатьчертеж.

Решение.

Рассмотрим уравнение окружности:

/>

Найдем точки пересечения окружности ипрямой.

/>

               Координаты точек пересечения окружности и прямой />т.к.парабола симметрична относительно ОХ, то уравнение имеет вид /> учитывая что /> найдемпараметр  p

/>

      Такимобразом, уравнение параболы />

      Уравнениедиректрисы параболы:  />

/>

Задание 43.

Дано уравнение параболы  f(x;y)=0. Сделать параллельный перенос осейкоординат так, чтобы в новой системе координат XO1Yуравнение параболы приняло вид  X2=aY или Y2=aX. Построить обе системы координат и параболу.

/>

Решение:

/>

/>

Задание 53

Даны вершины А1(Х1;Y1;Z1),. А2(Х2;Y2;Z2), А3(Х3;Y3;Z3), А4(Х4;Y4;Z4)

пирамиды. Требуется найти:   1) длинуребра А1А2;    2)Угол между ребрами А1А2и  А1А4;    3)угол между ребром А1А2и гранью А1А2 А3;     4) площадьграни А1А2 А3;    5) объем пирамиды;    6) уравнение высоты, опущенной из вершины А4на грань  А1А2А3;    7) уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды,опущенной из вершины А4 на грань  А1А2А3, и вершину А1пирамиды.

      A1<sub/>(3;5;4), А2(5;8;3),<sub/> А3(1;9;9), A4(6;4;8);

Решение:

         1)  />

/>

/>

Длина ребра А1А2;

/>

         2) />

/>

/>

Длина ребра А1А4;

/>

       Скалярное произведение векторов А1А2 и  А1А4:

/>/>/>/>

      Уголмежду ребрами А1А2 и  А1А4:

/>

         3) Уравнение грани А1А2А3:

/>

/>

        Уголмежду ребром А1А2и гранью А1А2А3:

/>

       4)Площадь грани А1А2А3: 

/>  кв. ед.

 

        5)Объем пирамиды:

/>  куб. ед.

     6)уравнение высоты, опущенной из вершины А4на грань  А1А2А3:

/>

      7)Уравнение плоскости, проходящей через высоту пирамиды, опущенной из вершины А4на грань  А1А2 А3, и вершину А1пирамиды.

/>

Задание 63.

        Определить вид поверхности, заданной уравнением   f(x;y;z)=0,  и показать её расположение относительно системыкоординат.

        />

Решение:

/>

     Эллиптический параболоид с вершиной О(z;o;o), направленный вдоль оси ОХ, и имеющий полуосина оси />  по оси   />

/>

Задание 73.

Применяяметод исключения неизвестных, решить систему уравнений.

/>

Решение:

2 -9 -4 -3 3 -83

= >

= >

-47 -28 -13 7 -459 2 -7 -2 -1 -4 -57 -45 -26 -11 -433 7 -6 2 -2 -35 -139 -82 -37 -14 -1351 1 19 12 5 -2 188 1 19 12 5 -2 188 -47/7 -4 -13/7 1 -459/7 68/77 30/77 1 980/77 -45 -26 -11 -433 45/11 26/11 1 433/11 -233 -138 -63 -2269 272/11 120/11 2320/11 1 39/7 4 3/7 398/7 1 94/77 -190/77 481/77

 

1 -2900/77

 

-19/15 1 -2583/11

 

13,6 1 116

 

1 1574/231 22521/77

 

      Общеерешение системы:

/>

 

Задание83.

 

       Даны векторы />и />. Показать, что векторы />образуют базис четырехмерного пространства, инайти координаты вектора  />в этом базисе.

/>

 

Решение:

      Составим определитель из координат векторов   />  ивычислим его:

/>

 

       Так как />, то векторы />составляютбазис. Найдем координаты вектора /> в этом базисе:

/>

2 -10 -4 -42 = > -20 4 -4 -88 = > 48 -12 252 4 -9 10 3 -43 -29 18 3 -135 -80 30 -350 2 -7 -1 -39 -17 4 -1 -85 17 -4 85 1 5 -2 23 1 5 -2 23 1 5 -2 23 -4 1 -21 = > 1 3 40 240 1 6 1 1 1 1 -5 1 -3 -19 1 -1

         Итак/>

      Проверка:

2(-1)-10*6        -4(-5)=-42;   -42=-42;

4(-1)-9*6+10*3+3(-5)=-43;  -43=-43;

2(-1)-7*6-          -(-5)=-39;    -39=-39;

-1+5*6-2*3               =23;       23=23.

/> или />

Задание 93.

        Данаматрица А .  Требуется найти:  1) матрицу, обратную матрице А;

2)собственные значения и собственные векторы матрицы А.

 

        />

Решение:

-1 -2 12 1 1 2 -12 -1 4 3 1 4 3 1 5 6 1 5 6 1 1 -13,5 -1 -0,5 1 -1 -8 6 1 0,75 0,25 1 6/9 -3/9 2,29 -1,25 1 1 -5/9 4/9

      Обратная матрица:

/>

      Корнихарактеристического уравнения:

/>

/> — собственные значения матрицы А .

       При />

/>

    Собственный вектор:

/>

Задание 103.

       Построить график функции y=f(x) деформацией и сдвигом графика функции y=sinx.

      />

Решение:

/>

Задание 113.

Найтиуказанные пределы (не пользуясь правилом Лопиталя).

/>   />

/>

Решение:

/>/>

/>/>/>

/>/>/>

/>

  Подстановка: />

/>/>

/>/>

Задание 123.

         Данафункция y=f(x) и три значенияаргумента x1,x2,x3.  Установить, является ли эта данная функция непрерывной илиразрывной для каждого из данных значений Х. Построить (приближенно) графикфункции в окрестностях каждой из данных точек.

       />

Решение:

/>

/>  />

        Таккак />/>, то функция в точке Х1=-1непрерывна.

/>/>/>/>

Так как />/>, то функция в точке х=3 разрывная.

/>    />

          Таккак />/>, то функция в точке х=7непрерывна.

/>

Задание 133.

      Функция y=f(x) заданаразличными аналитическими выражениями для различных областей изменениянезависимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют.Построить график.

/> 

Решение:

/>/>

/>/>

      Так как  />/>, то функция в точке х=-1разрывна.

/>/>

/>

       Так как />/>, то функция в точке /> непрерывна.

/>

Задание 143.

Найти производные />

     />a) />      б) />  в) />

г) />  д) />

Решение.

а) />

/>

б) />

/>

в) />

/> 

г) />

/>

д) />

/>

Задание 153.

Найти /> дляфункции, заданной параметрическим.

/>

Решение.

/>

/>

/>

/>

/>

Задание 163.

На линии /> найтиточку, в которой касательная к этой линии параллельна прямой />

/>

Решение.

         Угловой коэффициентпрямой:   

 /> или />          />

/> 

        Угловой коэффициент касательной к линии: 

/>

      Так каккасательная к линии и прямая параллельны, то /> 

тогда:

/>

   Такимобразом получаются две точки:

/> 

Задание 173.

Какова должна быть высотаравнобедренного треугольника, вписанного в окружность диаметра d, чтобы площадь треугольника быланаибольшей?

Решение.

/>

/>

/>

/>

/>

/>

Задание 183.

         Исследоватьметодами дифференциального исчисления и построить график.

/>     />/>

Решение.

/>

           1. область определения функции: />

/>/>

     так как />/> то функция нечетная.

         2. Точкипересечения с осями координат:

При />при />

/>/>

           3. Область возрастания (убывания) функции, точкиэкстремумов:

/>

    При /> функция возрастает.

    При />/> функцияубывает.

    При /> функция убывает.

    При />/>  функция возрастает

/>

     Точка />точкамаксимума.

     Точка />точкаминимума.

         4. Область выпуклости(вогнутости) функции, точки перегибов.

/>

     При />   функциявыпукла;

     При />   функциявогнута;

    При />   функциявыпукла;

    При />/>   функция вогнута.

/>

/>

    Точки /> - точкиперегибов.

         5. Асимптот нет

/>

/>/>

1. область определения функции: />

2.  точки пересечения с осямикоординат:

При />

     />так как /> то функция нечетная.

3. области возрастания (убывания)функции; точки экстремумов.

    />/>

Точек экстремумов нет.

Так как /> тофункция возрастает.

4. область выпуклости (вогнутости)функции; точки экстремумов.

       />

При />/>  функция вогнута;

При  />  функциявыпукла;

Точка (0;0) точка перегиба.

5. асимптоты.

      />

      />  асимптота./>/>

/>

Задание 193.

Определить количество действительныхкорней уравнения />;

отделить эти корни и, применяя методхорд и касательных, найти их приближенные значения с точностью до 0,001.

/>

Решение.

Исследуемграфик функции.

    />

Количествокорней  К=1.

     />

     Такимобразом, функция принимает значения на отрезке  />, вкачестве начального приближения возьмем />

     методкасательных:

     составимтаблицу:

/>

/>

/>

/>

/>/>

/>

/>

1

2

3

-0,1

-0,398

-0,388

-0,001

-0,063

-0,586

1,499

-0,053

-0,0001

5,03

5,475

5,452

0,298

-0,0097

-0,00002

-0/3980

-0,3883

-0,3882

Искомыйкорень х=-03882

Задание 203.

Найти частныепроизводные функции />

/>

Решение.

      Частныепроизводные:

/>

/>

Задание 213.

Дана функция /> идве точки />. Требуется:

1) вычислитьприближенное значение функции у точке В, исходя из значения в точке А, заменивприращение функции при переходе от точки А к точке В дифференциалом;  2)вычислить точное значение функции в точке В и оценить в процентах относительнуюпогрешность, возникающую при замене приращения функции дифференциалом.

/>

Решение.

        />

Вычислимчастные производные в точке А.

       />/>

 

/>

/>

Приближенное значение:

        />

Вычислим точки значения функции:

        />/>

Относительная погрешность вычисления:

         />

/>

Задание 223.

Даны функция /> точка/> и вектор а.  Требуется найти:

1) grad z в точке А;   2)производную по направлению вектора в точке А.

/>

Решение.

1) векторомградиентом функции двух переменных /> является вектор:

        />/>

Найдем частные производные в точке А:

         />

/>

/>

2) производная по направлению вектора/>вычисляется по формуле.

         />

/>     />

Задание 233.

Найти наименьшее и наибольшеезначение функции /> в замкнутой области, ограниченнойзаданными линиями.

/>

Решение.

Частныепроизводные:

/>

На прямой АВ: />\

       />/>

На прямой АС:  />

         />

На прямой ВС:  />

   />          />/>

   />

   Z наибольшее =5;   z наименьшее =-117.

/>

Использованная литература:

 1 Ткачук В.В. Математика абитуриенту:-М: МЦНМО,2002 г.

2Сканави М.И. 2500 задач по математике для поступающих в вузы:

-М:Оникс 21 век,  2005 г.

3 МельниковИ.И. Как решать задачи по математике на вступительных экзаменах. 3-е издание,переработанное: учебник/ И.И Мельников, И.Сергеев.-М: УНЦДО, 2004       г.