Реферат: Магические квадраты
Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждениегимназия №1 муниципального района Мелеузовский район
РеспубликиБашкортостан
Исследовательскаяработа
по информатике
«ИспользованиеMicrosoftExcel
длярешения математической задачи –
составлениемагических квадратов»
Выполнила:Кормакова Яна,
ученица 7Акласса
Руководитель:Животова Е.П.
учительматематики и информатики
2009 г.
План
ведение
1. История появления магическихквадратов
2. Способы заполнения магическихквадратов
3. Реализация способов заполнениямагических квадратов с помощью программы Microsoft Excel.
4. Исследование количества решенийпоставленной задачи.
5. Выводы
Используемые источники
Введение
Однажды за 3 минуты доконца урока математики учитель предложил нам решить следующую задачу.
Задача:заполнить квадрат 3´3 натуральными числами от 1 до 9 включительно, так, чтобы былииспользованы все цифры и сумма чисел на всех строках, столбцах и диагоналяхбыла одинакова.
Так как никто несправился с заданием за такое короткое время, решение задачи было предложено надом. Из 25 учеников нашего класса с ней справился только один. Он изобразилзаполненный квадрат на доске, сказав, что на его заполнение у него ушло минут10-15. Он перебирал различные варианты, пока не пришел к нужному.
Меня заинтересовалапредложенная задача. Но метод перебора мне не понравился: он отнимает оченьмного времени, хотя и позволяет тренировать свои вычислительные навыки. Этопобудило меня заняться исследовательской работой.
Тема исследования: заполнение магических квадратов.
Объект исследования: магический квадрат.
Гипотеза: для заполнения магического квадратасуществуют специальные приемы, позволяющие это сделать быстро.
Цели исследования: изучить способы заполнениямагических квадратов и историю их появления
Задачи исследования:
- Познакомиться систорией появления и названия магических квадратов
- изучить известныеспособы заполнения магических квадратов
- познакомиться спрограммой MicrosoftExcel
- разработать в Microsoft Excel шаблоны для заполнения магических квадратов
- исследоватьколичество решений для магических квадратов 3 и 5 порядка.
Методы исследования: анализ литературы иИнтернет-ресурсов, эксперимент.
Этапы исследования:
1. знакомство с литературой иИнтернет-ресурсами
2. опробация найденных методов
3. изучение программы Microsoft Excel на уровне необходимом для заполнения квадратов и вычисленияих сумм
4. оформление работы
Оборудование:
- компьютер
- проектор длядемонстрации презентации
- сопроводительнаяпрезентация
- документ Microsoft Excel с подготовленными шаблонами по различным методам.
1. Историяпоявления магических квадратов
МАГИЧЕСКИЙ КВАДРАТ, квадратная таблица из целых чисел, вкоторой суммы чисел вдоль любой строки, любого столбца и любой из двух главныхдиагоналей равны одному и тому же числу.
Магическийквадрат – древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во временаправления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыласвященная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы(рис. 1,а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильнымагическому квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о магическихквадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратамбыла посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратамипознакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом,придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный наего знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указаначислами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическимквадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий ГенрихАгриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков,которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, чтовыгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегоднясреди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.
/> />
рис.1 рис.2
В 19 и 20 вв.интерес к магическим квадратам вспыхнул с новой силой. Их стали исследовать спомощью методов высшей алгебры.
Основная терминология
Каждыйэлемент магического квадрата называется клеткой. Квадрат, сторона которогосостоит из n клеток, содержит n2 клеток и называетсяквадратом n-го порядка.
В большинствемагических квадратов используются первые n последовательных натуральныхчисел. Сумма S чисел, стоящих в каждой строке, каждом столбце и на любойдиагонали, называется постоянной квадрата и равна S = n(n2+ 1)/2. Доказано, что n 3. Зависимость постоянной квадрата отего порядка можно проследить с помощью тадлицы.
/>
Дведиагонали, проходящие через центр квадрата, называются главными диагоналями.
Ломанойназывается диагональ, которая, дойдя до края квадрата, продолжается параллельнопервому отрезку от противоположного края (такую диагональ образуютзаштрихованные клетки на рис. 3).
Клетки,симметричные относительно центра квадрата, называются кососимметричными.Таковы, например, клетки a и b на рис. 3.
/>
рис.3
Правилапостроения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от того,каков порядок квадрата: нечетен, равен удвоенному нечетному числу или равенучетверенному нечетному числу. Общий метод построения всех квадратовнеизвестен, хотя широко применяются различные схемы, некоторые из которых мырассмотрим ниже.
2. Способызаполнения магических квадратов
Магические квадраты нечетногопорядка
Магическиеквадраты нечетного порядка можно построить с помощью метода французскогогеометра 17 в. А.де ла Лубера (сиамский метод). Рассмотримэтот метод на примере квадрата 5-го порядка (рис. 4). Число 1 помещается вцентральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются вестественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево.Дойдя до верхнего края квадрата, продолжаем заполнять диагональ, начинающуюсяот нижней клетки следующего столбца (по ломаной диагонали). Дойдя до правогокрая квадрата, продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкойвыше. Дойдя до заполненной клетки или угла, траектория спускается на однуклетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.
/>/>
рис.4
Дляоблегчения заполнения квадрата данным методом, а именно определения местазаполнения следующей клетки, после края квадрата можно воспользоватьсяследующей схемой
Поставим 1 всреднюю клетку верхнего ряда и продолжим последовательность по диагоналивправо-вверх. Если очередное число на диагонали выходит за границы квадрата, мыего переставляем в соответствующее поле в квадрат (см. рис.5).
Изучаяразличные источники, мы обратили внимание на то, что можно заполнять квадраты ив другом направлении и не обязательно 1 стоит в данной позиции.
Метод Ф.дела Ира (1640–1718)основан на двух первоначальных квадратах. На рис. 5 показано, как с помощьюэтого метода строится квадрат 5-го порядка. В клетку первого квадратавписываются числа от 1 до 5 так, что число 3 повторяется в клетках главнойдиагонали, идущей вправо вверх, и ни одно число не встречается дважды в однойстроке или в одном столбце. То же самое мы проделываем с числами 0, 5, 10, 15,20 с той лишь разницей, что число 10 теперь повторяется в клетках главнойдиагонали, идущей сверху вниз (рис. 5,б). Поклеточная сумма этих двухквадратов (рис. 5,в) образует магический квадрат. Этот методиспользуется и при построении квадратов четного порядка.
/>
Проанализировав даннуюсхему заполнения по рисунку, мы пришли к следующему алгоритму.
1. В первом квадратеразмещаем числа от 1 до n(порядок квадрата), так, чтобы на побочной диагонали стоял средний элемент этойпоследовательности.
2. Все остальныеэлементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементына ломаной диагонали равны. Числа в сроке и столбце не должны повторяться.
3. Во второмквадрате размещаем последовательные числа, кратные порядку квадрата, начиная с0, (количество элементов равно порядку квадрата) так, чтобы на главнойдиагонали стоял средний элемент этой последовательности.
4. Все остальныеэлементы располагаем параллельно этой диагонали по ломаным диагоналям. Элементына ломаной диагонали равны.
Достраивание досимметричной ступенчатой ромбовидной фигуры
Сначала исходный пустойквадрат достраивается до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры какпоказано на следующем рисунке.
/> <td/> <td/> <td/> /> /> /> /> /> />25
24 20 23 6 19 2 15 22 10 18 1 14 22 10 21 17 5 13 21 9 5 16 4 12 25 8 16 4 11 24 7 20 3 6 2 1Полученная на шаге 1фигура заполняется по косым рядам снизу-вверх-направо целыми числами от 1 до n2 последовательно. Результат заполненияпоказан на следующем рисунке:
25 24 20 23 19 15 22 18 14 10 21 17 13 9 5 16 12 8 4 11 /> 7 3 6 2 1Каждое число,расположенное в фигуре вне исходного квадрата, переносится по вертикали илигоризонтали внутрь исходного квадрата в самую удаленную клетку (на n клеток).
Способы заполнениямагических квадратов порядка, кратного четырем
Универсальныеметоды составления магических квадратов произвольного четного порядка поканеизвестны. Однако, разработаны индивидуальные подходы для различных частныхслучаев. Ниже рассмотрен метод составления магических квадратов, порядок кратен4. Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядкаиз натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующую последовательностьшагов.
1. Исходный квадратделится на соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае такихквадратов будет 4. В каждом подквадрате закрашиваются диагональные элементы(главная и побочная).
2. Остальныеэлементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева -направои сверху -вниз по закрашенным клеткам и справа -налево и снизу-вверх по незакрашенным клеткам.
3. Переход междуцветами при заполнении происходит, если следующая для заполнения клетка меняетцвет
/>
3. Реализацияспособов заполнения магических квадратов
с помощью программы MicrosoftExcel.
Так как для составлениямагических квадратов необходимо всегда проверять контрольные суммы по строкам,столбцам и диагоналям, мы пришли к выводу, что этот процесс лучшеавтоматизировать. Для автоматизации мы выбрали программу Excel.
Используя функциюавтосуммирования, мы подготовили шаблоны для вычисления контрольных сумммагических квадратов 3, 5 и 7 порядка по каждому из методов. А для метода Ф.дела Ира еще и вычисление элементов третьего квадрата, как сумм соответствующихэлементов первых двух квадратов.
/>
/>
/>
В ходе экспериментальнойчасти по методу Ф.де ла Ира, мы заметили, что в первых двух квадратах,элементы на ломаных диагоналях равны, и пришли в выводу, что процесс заполненияэтих квадратов можно также автоматизировать. Достаточно указать только поодному элементу на каждой из ломаной диагонали.
Также для квадратазаданного порядка однозначны элементы на выделенных главных диагоналях,согласно алгоритму заполнения, поэтому их также можно занести в шаблонзаполнения.
Внеся эти дополнения вшаблон, мы получили следующую заготовку для магических квадратов:
/>
/>
Теперь достаточно впервом квадрате на главной диагонали (в розовых клетках) разместить элементы с1 до n. А во втором квадрате в первомстолбце (так же в розовых клетках) элементы, кратные порядку квадрата.
В ходе экспериментальнойчасти по способу достраивания до симметричной ступенчатой ромбовидной фигуры,мы заметили, процесс переноса чисел, вышедших за поле квадрата, также можноавтоматизировать.
Элементы по диагоналикаждый раз увеличиваются на единицу от предыдущего элемента, стоящего в этойдиагонали. С учетом этого, достаточно вручную ввести только первые их элементы,а все остальные рассчитать по формулам.
Внеся эти дополнения вшаблон, мы получили следующую заготовку для магических квадратов даннымспособом:
/>
Для построениямагического квадрата, в клетки розового цвета внесем первых n чисел, которые при делении напорядок квадрата дают в остатке 1.
/>
Для сиамского методатакже можно автоматизировать заполнение и перенос чисел, вышедших за пределыквадрата.
/>
4. Исследованиеколичества решений магических квадратов.
Изучая литературу потеме, мы установили факт, что с увеличением размеров квадрата быстро растетколичество возможных магических квадратов. Так, например, для 3 порядка –единственный, для 4 — 880, для 5 – приближается к четверти миллиона.
Изучив алгоритмызаполнения магических квадратов, нам захотелось экспериментировать: чтопроизойдет, если мы поменяем местами элементы? Получится ли магическая сумма?Получим мы такой же квадрат или другой?
Вот некоторые магическиеквадраты, полученные методом Ф.де ла Ира.
/>/>/>/>/>/>/>/>
Можно заметить, что всеэти квадраты различны. Это только малая доля из всех возможных квадратов. Спомощью программы Excel иподготовленных нами шаблонов, на их построение у нас уходит несколько секунд.
Выводы
1. Магическийквадрат – древнекитайского происхождения.
2. Универсальногоспособа заполнения магических квадратов нет.
3. Способ заполнениямагического квадрата, зависит от его порядка.
4. Для квадратовнечетного порядка существует 3 способа: метод Ф.де ла Ира (на двух квадратах),метод А.де ла Лубера (сиамский метод) и достраивание до симметричнойступенчатой ромбовидной фигуры.
5. Для квадратов,порядок которых кратен 4 существует способ разбиения на подквадраты порядка 4.
6. Известные методыдля заполнения нечетных квадратов можно автоматизировать. Для этого идеальноподходит программа Excel.
7. Эффективныешаблоны получаются для двух методов: Ф.де ла Ира и достраивания до симметричнойступенчатой ромбовидной фигуры.
8. С помощьюподготовленных нами шаблонов можно создавать различные магические квадраты дляодного и того же порядка.
Перспектива
В литературе есть ссылка,что метод, основанный на двух первоначальных квадратах, можно применить и длязаполнения квадратов четного порядка. Экспериментируя, мы не пришли к нужномурезультату и оставляем это для дальнейшего исследования.
Использованные Интернет-ресурсы илитература:
1. cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat.html
2. www.krugosvet.ru/articles/15/1001543/1001543a1.htm
3. ru.wikipedia.org/wiki
4. И. Я. Депман, Н.Я. Виленкин. Застраницами учебника математики. Москва. Просвещение. 1989г.