Реферат: Кривые и поверхности второго порядка

Кафедравысшей математики

Курсовая работа

По линейной алгебре и аналитической геометрии

«Кривые и поверхности второго порядка»

Дубна 2002

Оглавление

 

Введение

Часть I.Исследование кривой второго порядка

1.Определение типа кривой с помощью инвариантов

2. Приведениек каноническому виду

3.Построение графиков

4. Вывод

Часть II.Исследование поверхности второго порядка     

1.Определение типа поверхности.

2. Приведениек каноническому виду

3.Исследование формы поверхности методом сечений

4. Графикиуравнения поверхности.

5. Вывод

Введение

Цель:

Целью данной курсовой работы являетсяисследование кривой и поверхности второго порядка. Закрепление теоретическихзнаний и практических навыков по изучению и анализу свойств кривых иповерхностей второго порядка.

Постановка задачи:

I)         Для данногоуравнения кривой второго порядка:

1)        Определить типкривой с помощью инвариантов.

2)        При a=0 записать каноническое уравнениепрямой и определить расположение центра

3)        Привестиуравнение к каноническому виду, применяя параллельный перенос и повороткоординатных осей.

II)       Для данногоуравнения плоскости второго порядка:

1)        Исследовать формуповерхности методом сечений плоскостями, построить линии, полученные всечениях.

2)        Построитьповерхность в канонической системе координат.

Часть I.Исследование кривой второго порядка 1. Определение типа кривой с помощьюинвариантов

Для данного уравнения кривой второгопорядка:

(5 — a)x2 + 4xy + 3y2 + 8x – 6y +5 = 0     (3.1)

определить зависимость типа кривой отпараметра a спомощью инвариантов.

Для данного уравнения кривой второгопорядка:

a11 = 5 — a, a12 = 2, a13= 4, a22 = 2, a23 = -3, a33 = 5

Вычислим инварианты:

I1 = a11 + a22 = (5 — a) +2 = 7 — a

I2 =/>=/> = (5 — a)2 – 4 = 6 -2a

I2 =/>=/>= (5 — a)10-24-24-32-9(5 — a)-20 = -a-95

Согласно классификации кривых второгопорядка:

I.         Если I2 = 0, то данное уравнение (3.1)определяет кривую параболического типа:

I2  = 6 — 2a = 0, следовательно, при a = 3 уравнение определяет кривую параболическоготипа.

При a = 3 I3  = — a — 95 = -3 — 95 = 98 ¹ 0. Значит, при a = 3 уравнение (3.1) задаёт параболу.

II.                          Если I2 ¹ 0, то задаваемая кривая являетсяцентральной. Следовательно, при a ¹ 3 данное уравнение задаёт центральную кривую.

1.        Если I2 > 0, то уравнение задаёт кривуюэллиптического типа:

Значит, при a < 3 уравнение (3.1) задаёт кривуюэллиптического типа.

a.             Если I1I3 < 0, то уравнение определяетэллипс:

I1I3 = — (7 — a)(a+95) = a2+88a-665 < 0, при решении получаем a Î (-95, 7). Следовательно, при a Î (-95, 3) уравнение (3.1) задаёт эллипс.

b.             Если I1I3 > 0, то уравнение определяетэллипс:

I1I3 = a2+88a-665 > 0, при решении получаем a Î (-¥, -95). Следовательно, при a Î (-¥, -95) уравнение (3.1) задаёт мнимый эллипс.

c.             Если I3 = 0, то уравнение определяет двемнимые пересекающиеся прямые:

I3 = -a — 95 = 0, при решении получаем a — 95. Следовательно, при a = — 95 уравнение (3.1) задаёт двемнимые пересекающиеся прямые.

2.        Если I2 < 0, то уравнение задаёт кривуюгиперболического типа:

Значит, при a > 3 уравнение (3.1) задаёт кривуюгиперболического типа.

a.             Если I3 ¹ 0, то уравнение определяетгиперболу:

I3 = -a — 95 ¹ 0, получаем a ¹ -95. Следовательно, при a Î (3, +¥) уравнение (3.1) задаёт гиперболу.

Согласно полученным данным, построимтаблицу:

a Î (-¥, -95) a = -95 a Î (-95, 3) a = 3 a Î (3, +¥) Мнимый эллипс Две мнимые пересекающиеся прямые Эллипс Парабола Гипербола 2. Приведение кканоническому виду

При a = 0 уравнение (3.1) принимает вид:

5x2 + 4xy + 2y2 + 8x — 6y + 5= 0                                                    (3.2)

Приведем уравнение кривой (3.2) кканоническому виду, применяя преобразования параллельного переноса и поворотакоординатных осей. Мы установили, что данная кривая — центральная, поэтомуиспользуем методику приведения к каноническому виду для уравнения центральнойкривой.

a)   Характеристическое уравнения дляданной кривой будет иметь вид:

/>

A(x, y) = 5x2 + 4xy + 2y2

/>

Откуда следует, корнихарактеристического уравнения есть: l1= 1, l2 = 6.

Расположение эллипсаотносительно начальной системы координат будет известно, если мы будем знать координатыцентра и угловой коэффициент вещественной оси эллипса.

Уравнения для определения координатцентра имеют вид:

/>

Откуда мы находим x0= — /> и y0= />.Следовательно, точка O¢(-/>,/>) есть центр данной кривой.

Угловой коэффициент оси O¢Xможем определить по формуле:

/>                                            

б) Совершимпараллельный перенос началакоординат в точкуO¢(x0,y0). При этом координаты x, yпроизвольной точкиплоскости в системе координат xOy и координаты x', y'  вновой системе координат x'O'y'  связаны соотношениями:

/>

Подставив данные выражения вуравнение (3.1), получим:

5(x0 + x¢)2 + 4(x0 +x¢)(y0 + y¢) + 2(y0 + y¢)2 + 8(x0 +x¢) — 6(y0 + y¢) + 5=0

Раскрыв скобки и приведя подобныечлены, получим:

5x¢2+4x¢y¢+2y¢2+(10x0+4x0 +8)x¢ + (4x0 + 4y0 — 6)y¢+ (5x02 + 4x0y0 + 2y02+ 8x0 — 6y0 + 5) = 0 (3.3)

В данном уравнении коэффициенты при x¢ и y¢ приравняем к нулю и получим систему уравнений:

/>

Решив эту систему уравнений, мыполучим, найденные уже раннее, координаты центра O¢, x0= — /> иy0= />.Подставив данные значения в уравнение (3.3), коэффициенты при x¢ и y¢ станут равными нулю, мы получим уравнение в системекоординат x'O'y' :

5x¢2 + 4x¢y¢ + 2y¢2 + (/>) = 0

5x¢2 + 4x¢y¢ + 2y¢2 — /> = 0                                                             (3.4)

в) Так как a12 = 2 ¹ 0, то для дальнейшего упрощения необходимо произвести поворотаосей координат на угол a. При повороте осей координат на уголa  координаты x', y'   произвольнойточки М плоскости в системе координат x'O'y' и координаты X,  Y  в новой системе координат  XO'Y связаны соотношениями:

/>

Подставим данные выражения вуравнение (3.4), получим:

5(Xcosa — Ysina)2 + 4(Xcosa — Ysina)(Xsina + Ycosa) + 2(Xsina + Ycosa)2 — /> = 0

(5cos2a + 4sinacosa + 2sin2a)X2 + (-6sinacosa + 4cos2a — 4sin2a)XY +

(5sin2a — 4sinacosa + 2cos2a)Y2 — /> = 0                     (3.5)

В полученном выражении найдём такойугол a, чтобы коэффициент при XY стал равен нулю, для этогонеобходимо:

-6sinacosa + 4cos2a — 4sin2a = 0

2tg2a + 3tga — 2=0

Откуда, при решении, находим двазначения tga = -2 и tga = />.

В первом задании мы нашли, чтоугловой коэффициент вещественной оси O'X  эллипса равен k = -2. Так как угловой коэффициент равен тангенсу, то из двухнайдённых значений выберем tga =-2. Следовательно:

cosa = /> ,      sina = />

Подставив данные значения для sina и cosa в уравнение (3.5), коэффициент при XY станет равным нулю, получим:

(/>)X2 + (/>)Y2 — /> = 0

X2 + 6Y2 — /> = 0

/>                                       (3.6)

— это каноническое уравнениеданной кривой (3.1) при a =0.

/>/> 3. Построение графиков

 Подтвердим результаты проведённогоисследования данного уравнения кривой (3.1) второго порядка, построивсоответствующие графики кривых при разных a.

При  a = 3 уравнение (3.1) принимает вид:

2x2 + 4xy + 3y2 + 8x – 6y +5 = 0

Графиком данного уравнения являетсяпарабола:

/>

При a = 6 уравнение (3.1) принимает вид:

x2 + 4xy + 3y2 + 8y2 – 6y +5 = 0

Графиком данного уравнения являетсягипербола:

/>

При a = 0 уравнение (3.1) принимает вид

5x2 + 4xy + 3y2 + 8y2 – 6y +5 = 0

Графикомданного уравнения является эллипс. Изобразим в данной системе также графикканонического уравнения эллипса (3.6):

/>

4. Вывод

Исследовав данное общее уравнениекривой второго порядка,  мы установили, что при значении параметра a = 0 уравнение задаёт эллипс.Привели уравнение к каноническому виду, применяя преобразования параллельногопереноса и поворота. При параллельном переносе коэффициенты при первых степеняхстали равны нулю, при повороте координатных осей коэффициенты при смешанномпроизведении стали равны нулю. Построили графики для всех фигур, которое можетзадавать данное уравнение, построили график эллипса в общей иканонической системе координат.

Часть II.Исследование поверхности второго порядка 1. Определение типа поверхности

Для данного уравнения поверхностивторого порядка:

4x2 — z2 + 12xz + 6y — 8z + 5 = 0                                                      (4.1)

Определить тип поверхности с помощьюинвариантов.

/> 4 + 0 -1 = 3

/>= — 4 – 36 = — 40

/>

/>

/>

/>

Определим характер расположенияцентра: Данная поверхность не имеет центра, так как выполняется условие I3= 0, I4¹ 0. При этом инвариант I4= 360 > 0, следовательно, графиком уравнения (4.1)является гиперболический параболоид.

2. Приведение кканоническому виду

Совершим параллельный переносначала координат в некоторую точку O'(x0 ,y, z). При этом координаты x, y, z произвольной точки пространства в системе координат Oxyz и координаты x', y', z' этой же точки в новой системе координат в системекоординат O'x'y'z' связаны соотношением:

/>                                                                    (4.2)

Подставляя уравнения (4.2) вуравнение (4.1) получим уравнение поверхности S в новой системе координат O'x'y'z' :

4(x'+x0)2 — (z'+z0)2  + 12(x'+x0)(z'+z0) + 6y' — 8(z'+z0) + 5 = 0          

4x'2 + 8x'x0 + 4x02 — z'2 — 2z'z0 — z02 + 12x'z' + 12z'z0 + 12x0z' + 12x0z0+ 6y' — 8z' — 8z0+ 5 = 0

4x'2 — z'2 + 12x'z' + 6y' + (12x0 — 2z0 — 8)z' + (8x0+ 12z0)x' +(4x02 — z02 + 12x0z0 — 8z0+5)=0 (4.3)

Для того, чтобы новое началокоординат O'(x0, y0, z0) было центром поверхности (4.1) необходимо и достаточно,чтобы в уравнении (4.3) отсутствовал член с x' и z' впервой степени:

/>

Решая данную систему, находим x0= /> и y0= />. Подставим полученные значения вуравнение (4.2):

4x'2 — z'2 + 12x'z' + 6y' + (/>)z' + (/>)x' + (/>) = 0

4x'2 — z'2 + 12x'z' + 6y' + />=0                                    (4.4)

Поскольку коэффициент при x'z' не равен нулю, то продолжим дальнейшее преобразование,совершив поворот осей координат на угол a. Координаты произвольной точки поверхности будут связаныследующими соотношениями:

/>                                            (4.5)

Подставив выражения из (4.5) вуравнение (4.4), получим следующее:

4(Xcosa — Zsina)2– (Xsina + Zcosa)2 + 12(Xcosa — Zsina)(Xsina + Zcosa) + 6Y + /> = 0

4X2cos2a — 8XZcosasina + 4Z2sin2a — X2sin2a — 2XZsin2a — 2XZcosasina -Z2cos2a + 12X2cosasina + 12XZcos2a — 12XZsin2a — 12Z2sinacosa + 6Y + /> = 0

(4cos2a-sin2a+12cosasina)X2+(4sin2a-cos2a-12sinacosa)+(-8cosasina-2cosasina+12cos2a-12sin2a)XZ+6Y+/>=0                                  (4.6)

Найдём угол a такой, что коэффициент при XZ будет равен нулю:

-8cosasina-2cosasina+12cos2a-12sin2a=0

6tg2a+5tga-6=0

D = 25+144 = 169 = 132

Откуда следует, что tga = /> или tga = />. Возьмём tga = />. Тогда найдём cosa=/>=/>, sina=/>. Подставим найдённые значения вуравнение (4.6):

(/>)X2+(/>)Z2+(/>)XZ+6Y+/>=0

/>                                                                 (4.7)

— это каноническое уравнениеповерхности (4.1). Оно имеет сдвиг по оси O'Y на (-/>).

3. Исследование формыповерхности методом сечений

Проведём исследование графикауравнения (4.7) методом сечения плоскостями.

Рассмотрим линии />, полученные в сеченияхгиперболического параболоида плоскостями Y=h. Эти линииопределяются системой уравнений:

/>

Следовательно, уравнения проекцийлиний /> на плоскость ZO'Xимеют вид:

/>:/>

Рассмотрим три случая:

Если h + />>0, h >/>, запишем полученное уравнение ввиде:

/>                                     (4.8)

 Уравнение (4.8) задаёт гиперболыс центрами в точках (0, h ,0).

Полуоси гипербол:

a= /> - действительная полуось, b= /> — мнимая полуось, увеличиваются с увеличением h. При различных значениях h получим семейство соответствующихгипербол:

h = 1           a=/>;      b=/>;     />

h=2             a=/>;     b=/>;     />

h=3             a=/>;     b=/>;     />

Изобразим данные гиперболы нарисунке:

/>

Если h + />=0, h =/>, запишем полученное уравнение ввиде:

/>или />

Данное уравнение задаёт двепересекающиеся прямые. Изобразим их на рисунке:

/>

Если h + />< 0, h</>, запишем полученное уравнение ввиде:

/>

Данное уравнение задаёт сопряжённыегиперболы с центрами в точке (0, h, 0).

Полуоси гипербол:

a=/> — действительная полуось, b=/> — мнимая полуось, увеличиваются с увеличением | h |.

При различных значениях h получаем семейство соответствующихгипербол:

h=-1           a=/>;     b=/>;     />

h=-2           a=/>;     b=/>;     />

h=-3           a=/>;     b=/>;     />

Изобразим данные гиперболы нарисунке:

/>

Рассмотрим линии />, полученные в сеченияхгиперболического параболоида плоскостями Z=h. Эти линииопределяются системой уравнений:

/>

Следовательно, уравнения проекцийлиний /> на плоскость XO'Yимеют вид:

/>:/>                                 (4.9)

Уравнение (4.9) задаёт параболы,с вершинами в точках V(0, />, h) и параметром

p=/>. При различных h получим семейство соответствующих парабол:

h = ±1                  />:/>

h = ±2                  />:/>

h = ±3                  />:/>

Изобразим данные параболы на рисунке:

/>

Рассмотрим линии />, полученные в сеченияхгиперболического параболоида плоскостями X=h. Эти линииопределяются системой уравнений:

/>

Следовательно, уравнения проекцийлиний /> на плоскость YO'Zимеют вид:

/>                                             (4.10)

Уравнение (4.10) задаёт параболы, свершинами в V(h, />,0) и параметром p=/>. При различных h получаем семейство соответствующихпарабол.

h = ±1                  />:/>

h = ±2                  />:/>

h = ±3         />:/>

Изобразим данные параболы на рисунке:

/>

 

4. Графики уравнения поверхности

Изобразим поверхность второго порядкав общеалгебраической и канонической системе координат.

График в общеалгебраической системекоординат:

/>

График в канонической системекоординат:

/>

 5. Вывод

Исследовав каноническое уравнение(4.7) гиперболического параболоида, отметим следующее:

1.        Оси O'Z и O'X являются осями симметрииповерхности. Центра симметрии у поверхности нет.

2.        Рассекаяповерхность горизонтальными плоскостями Y = h, всечениях получаем:

h > /> - гиперболы с действительными осями, параллельнымиоси O'Z

h = /> - две пересекающиеся прямые

h < /> - сопряжённые гиперболы с действительными осями,параллельными оси O'Y

3.        Рассекаяповерхность плоскостями Z = h и X = h, всечениях получаем параболы, с ветвями, направленными вниз (Z = h) или вверх (X = h).

4.        Поверхностьгиперболического параболоида бесконечна в направлении всех трёх координатныхосей.

Список литературы

1.  Копылова Т. В.Аналитическая геометрия. — Дубна: Международный университет природы, общества ичеловека «Дубна», 1997.

2.  Ильин В. А.,Позняк Г. Д. Аналитическая геометрия. — М.: Наука, 1974.