Реферат: Краткое доказательство великой теоремы Ферма

Файл FERMA-KDVar © Н. М. Козий, 2008

Свидетельство Украины № 27312

о регистрации авторского права

КРАТКОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение (http://soluvel.okis.ru/evrika.html):

А n + В n = С n * /1/

где n — целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах A , B , С .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Из формулировки Великой теоремы Ферма следует: если n – целое положительное число, большее двух, то при условии, что два из трех чисел А, В или С — целые положительные числа, одно из этих чисел не является целым положительным числом.

Доказательство строим, исходя из основной теоремы арифметики, которая называется «теоремой о единственности факторизации» или «теоремой о единственности разложения на простые множители целых составных чисел». Возможны нечетные и четные показатели степени n . Рассмотрим оба случая.

1. Случай первый: показатель степени n — нечетное число.

В этом случае выражение /1/ преобразуется по известным формулам следующим образом:

А n + В n = С n = (A+B)[An-1 -An-2 ·B +An-3 ·B2 — …-A·Bn-2 +Bn-1 ] /2/

Полагаем, что A и B – целые положительные числа.

Числа А, В и С должны быть взаимно простыми числами.

Из уравнения /2/ следует, что при заданных значениях чисел A и B множитель ( A + B ) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n , следовательно, он является делителем числа С.

Допустим, что число С — целое положительное число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие:

С n = An + Bn =(A+B)n ∙ Dn, / 3/

гдемножитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /3/ следует:

/4/

Из уравнения /3/ также следует, что число [Cn = An + Bn ] при условии, что число С – целое число, должно делиться на число ( A + B ) n. Однако известно, что:

An + Bn < ( A + B ) n /5/

Следовательно:

— дробное число, меньшее единицы. /6/

— дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При нечетных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Из анализа уравнения /2/ следует, что при нечетном показателе степени n число:

С n = А n + В n = (A+B)[An-1 -An-2 ·B +An-3 ·B2 — …-A·Bn-2 +Bn-1 ]

состоит из двух определенных алгебраических множителей, при этом при любом значении показателя степени n неизменным остаетсяалгебраический множитель ( A + B ).

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при нечетном показателе степени n >2.

2. Случай второй: показатель степени n — четное число.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ перепишем следующим образом:

An = Cn — Bn /7/

В этом случае уравнение /7/ преобразуется следующим образом:

An = Cn — Bn = ( С +B)∙(Cn-1 + Cn-2 · B+ Cn-3 ∙ B2 +…+ C ∙ Bn -2 + Bn -1 ). /8/

Принимаем, что С и В – целые числа.

Из уравнения /8/ следует, что при заданных значениях чисел B и C множитель (С+ B ) имеет одно и тоже значение при любых значениях показателя степени n , следовательно, он является делителем числа A .

Допустим, что число А – целое число. С учетом принятых условий и основной теоремы арифметики должновыполняться условие:

А n = С n — Bn =(С+ B ) n ∙ Dn , / 9/

гдемножитель Dn должен быть целым числом и, следовательно, число D также должно быть целым числом.

Из уравнения /9/ следует:

/10/

Из уравнения /9/ также следует, что число [А n = С n — Bn ] при условии, что число А – целое число, должно делиться на число (С+ B ) n. Однако известно, что:

С n — Bn < (С+ B ) n /11/

Следовательно:

— дробное число, меньшее единицы. /12/

— дробное число.

Отсюда следует, что при нечетном значении показателя степени n уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

При четных показателях степени n >2 число:

< 1- дробное число, не являющееся рациональной дробью.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах и при четном показателе степени n >2.

Из изложенного следует общий вывод: уравнение /1/ великой теоремы Ферма не имеет решения в целых положительных числах А, В иС при условии, что показатель степени n >2.

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОСНОВАНИЯ

В том случае когда показатель степени n – четное число, алгебраическое выражение (Cn — Bn ) раскладывается на алгебраические множители:

C2 – B2 = (C-B) ∙ (C+B); /13/

C4 – B4 = ( C-B) ∙ (C+B) (C2 + B2 );/14/

C6 – B6 = (C-B) ∙ (C+B) · (C2 –CB + B2 ) ∙ (C2 +CB+ B2 ); /15/

C8 – B8 = (C-B) ∙ (C+B) ∙ (C2 + B2 ) ∙ (C4 + B4 )./16/

Приведем примеры в числах.

ПРИМЕР 1: В=11; С=35.

C 2 – B 2 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) = 24 · 3 · 23;

C 4 – B 4 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) = 24 · 3 · 23 · 673;

C 6 – B 6 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (312 ) ·(3 · 577) =2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 312 ∙ 577;

C 8 – B 8 = (22 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) ∙ (2 · 75633) = 25 ∙ 3 ∙ 23 ∙673 ∙ 75633.

ПРИМЕР 2: В=16; С=25.

C 2 – B 2 = (32 ) ∙ (41) = 32 ∙ 41;

C 4 – B 4 = (32 ) ∙ (41) · (881) =32 ∙ 41 · 881;

C 6 – B 6 = (32 ) ∙ (41) ∙ (22 ∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 33 · 7 ∙ 13· 37 ∙ 41 ∙ 61;

C 8 – B 8 = (32 ) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 ·26833) = 32 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 ·26833.

Из анализа уравнений /13/, /14/, /15/ и /16/ и соответствующих им числовых примеров следует:

— при заданном показателе степени n , если он четное число, число А n = С n — Bn раскладывается на вполне определенное количество вполне определенных алгебраических множителей;

— при любом показателе степени n , если он четное число, в алгебраическом выражении (Cn — Bn ) всегда имеются множители ( C - B ) и( C + B ) ;

— каждому алгебраическому множителю соответствует вполне определенный числовой множитель;

— при заданных значениях чисел В иС числовые множители могут быть простыми числами или составными числовыми множителями;

— каждый составной числовой множитель является произведением простых чисел, которые частично или полностью отсутствуют в составе других составных числовых множителей;

— величина простых чисел в составе составных числовых множителей увеличивается с увеличением этих множителей;

— в состав наибольшего составного числового множителя, соответствующего наибольшему алгебраическому множителю, входит наибольшее простое число в степени, меньшей показателя степениn (чаще всего в первой степени).

ВЫВОДЫ: дополнительные обоснования подтверждают заключение о том, что великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах.

Автор: Николай Михайлович Козий,

инженер-механик

E-mail: nik_krm@mail.ru