Реферат: Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
КЛАССЫ КОНЕЧНЫХ ГРУПП , ЗАМКНУТЫЕ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ОБОБЩЕННО СУБНОРМАЛЬНЫХ -ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-43 МОКЕЕВА О. А.
Научный руководитель:
доктор ф-м наук, профессор Семенчук В.Н.
Гомель 2008
Содержание
Перечень условных обозначений
Введение
1 Некоторые базисные леммы
2 Критерий принадлежности факторизуемой группы
классическим классам конечных групп
3 Сверхрадикальные формации
Заключение
Список использованных источников
Перечень условных обозначений
Рассматриваются только конечные группы. Вся терминология заимствована из [44, 47].
— множество всех натуральных чисел;
— множество всех простых чисел;
— некоторое множество простых чисел, т. е. ;
---
дополнение к во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число — любое число вида .
Буквами обозначаются простые числа.
Пусть — группа. Тогда:
— порядок группы ;
---
множество всех простых делителей порядка группы ;
-группа — группа , для которой ;
-группа — группа , для которой ;
— коммутант группы , т. е. подгруппа, порожденная коммутаторами всех элементов группы ;
— подгруппа Фиттинга группы , т. е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
— наибольшая нормальная -нильпотентная подгруппа группы ;
— подгруппа Фраттини группы , т. е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
— наибольшая нормальная -подгруппа группы ;
— -холлова подгруппа группы ;
— силовская -подгруппа группы ;
— дополнение к силовской -подгруппе в группе , т. е. -холлова подгруппа группы ;
— нильпотентная длина группы ;
— -длина группы ;
— минимальное число порождающих элементов группы ;
— цоколь группы , т. е. подгруппа, порожденная всеми минимальными нормальными подгруппами группы ;
— циклическая группа порядка .
Если и — подгруппы группы , то :
— является подгруппой группы ;
— является собственной подгруппой группы ;
— является нормальной подгруппой группы ;
--
— ядро подгруппы в группе , т. е. пересечение всех подгрупп, сопряженных с в ;
— нормальное замыкание подгруппы в группе , т. е. подгруппа, порожденная всеми сопряженными с подгруппами группы ;
— индекс подгруппы в группе ;
;
— нормализатор подгруппы в группе ;
— централизатор подгруппы в группе ;
— взаимный коммутант подгрупп и ;
— подгруппа, порожденная подгруппами и .
Минимальная нормальная подгруппа группы — неединичная нормальная подгруппа группы , не содержащая собственных неединичных нормальных подгрупп группы ;
— является максимальной подгруппой группы .
Если и — подгруппы группы , то:
— прямое произведение подгрупп и ;
— полупрямое произведение нормальной подгруппы и подгруппы ;
— и изоморфны;
— регулярное сплетение подгрупп и .
Подгруппы и группы называются перестановочными, если .
Группу называют:
-замкнутой, если силовская -подгруппа группы нормальна в ;
-нильпотентной, если -холлова подгруппа группы нормальна в ;
-разрешимой, если существует нормальный ряд, факторы которого либо -группы, либо -группы;
-сверхразрешимой, если каждый ее главный фактор является либо -группой, либо циклической группой;
нильпотентной, если все ее силовские подгруппы нормальны;
разрешимой, если существует номер такой, что ;
сверхразрешимой, если она обладает главным рядом, все индексы которого являются простыми числами.
Монолитическая группа — неединичная группа, имеющая единственную минимальную нормальную подгруппу.
-замкнутая группа — группа, обладающая нормальной холловской -подгруппой.
-специальная группа — группа, обладающая нильпотентной нормальной холловской -подгруппой.
-разложимая группа — группа, являющаяся одновременно -специальной и -замкнутой.
Группа Шмидта — это конечная ненильпотентная группа, все собственные группы которой нильпотентны.
Добавлением к подгруппе группы называется такая подгруппа из , что .
Цепь — это совокупность вложенных друг в друга подгрупп.
Ряд подгрупп — это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу.
Ряд подгрупп называется:
субнормальным, если для любого ;
нормальным, если для любого ;
главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .
Класс групп — совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы.
-группа — группа, принадлежащая классу групп .
Формация — класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.
Если — класс групп, то:
— множество всех простых делителей порядков всех групп из ;
— множество всех тех простых чисел , для которых ;
— формация, порожденная классом ;
— насыщенная формация, порожденная классом ;
— класс всех групп , представимых в виде
где , ;
;
— класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых принадлежат ;
— класс всех -групп из ;
— класс всех конечных групп;
— класс всех разрешимых конечных групп;
— класс всех -групп;
— класс всех разрешимых -групп;
— класс всех разрешимых -групп;
— класс всех нильпотентных групп;
— класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной .
Если и — классы групп, то:
.
Если — класс групп и — группа, то:
— пересечение всех нормальных подгрупп из таких, что ;
— произведение всех нормальных -подгрупп группы .
Если и — формации, то:
— произведение формаций;
— пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы .
Если — насыщенная формация, то:
— существенная характеристика формации .
-абнормальной называется максимальная подгруппа группы , если , где — некоторая непустая формация.
-гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная подгруппа группы , если обладает субнормальным рядом таким, что
(1) каждый фактор является главным фактором группы ;
(2) если порядок фактора есть степень простого числа , то .
— -гиперцентр группы , т. е. произведение всех -гиперцентральных подгрупп группы .
Вопросы, посвященные факторизации групп, в теории конечных групп занимают важное место. Под факторизацией конечной группы понимается представление ее в виде произведения некоторых еe подгрупп, взятых в определенном порядке, или попарно перестановочных. Исследуются как способы факторизации заданной группы, так и свойства групп, допускающих ту или иную заданную факторизацию.
Начало исследований по факторизации конечных групп восходит к классическим работам Ф. Холла [62, 63], посвященных изучению строения разрешимых групп. Как известно, Ф. Холлом было доказано [63], что конечная разрешимая группа допускает факторизацию при помощи некоторых своих перестановочных силовских подгрупп различных порядков (составляющих так называемую силовскую базу разрешимой группы).
Следующий важный шаг в данном направлении был сделан С.А.Чунихиным, которым был исследован ряд важных арифметических свойств конечных групп [43]. Вопросами факторизации конечных групп занималось много математиков, и развитию данного направления посвящено много научных работ известных математиков.
Кегель и Виландт [68, 75] установили, что конечная группа, факторизуемая двумя нильпотентными подгруппами разрешима. Теорема Кегеля — Виландта послужила источником многочисленных обобщений и стимулировала дальнейшее развитие ряда вопросов, связанных с факторизациями конечных групп.
Cреди дальнейших исследований, посвященных факторизации групп, выделяются работы Л.С. Казарина [6, 7, 67], Л.А. Шеметкова [45, 46], В.С. Монахова [13, 14], А.Н. Скибы [12, 61], В.Н. Тютянова [38] и др.
Важную роль для дальнейшего строения факторизуемых групп оказала идея Гашюца о том [59], что внутреннее строение конечной группы удобно исследовать по отношению к некоторому фиксированному классу групп, названному Гашюцем насыщенной формацией.
Напомним, что насыщенной формацией конечных групп называется класс конечных групп, замкнутый относительно гомоморфных образов, подпрямых произведений и фраттиниевых расширений. Такой подход к изучению строения конечных групп привлек внимание многих специалистов по алгебре и исследования, связанные с насыщенными формациями, составили одно из доминирующих направлений современной теории классов групп.
Эффективность метода Гашюца проявилась прежде всего в том, что многие коренные свойства конечных групп имеют инвариантный характер при переходе от одной насыщенной формации к другой.
Известно, что класс нильпотентных групп замкнут относительно произведения нормальных подгрупп. В работе [64] Хоуксом была поставлена задача об описании наследственных разрешимых формаций Фиттинга, т. е. формаций , замкнутых относительно произведения нормальных -подгрупп. Брайс и Косси в работе [53] доказали, что любая разрешимая наследственная формация Фиттинга является насыщенной. Полное решение проблемы Хоукса было получено В.Н. Семенчуком в работах [27, 30].
Развивая подход Хоукса, Л.А. Шеметков предложил изучать формации , замкнутые относительно произведения -подгрупп, обладающих некоторыми заданными свойствами. В настоящее время данная тематика активно развивается математиками Испании, Китая, Беларуси.
В теории классов конечных групп естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности и -достижимости. В дальнейшем такие подгруппы будем нызывать обобщенно субнормальными.
Одной из первых классификационных проблем данного направления является проблема Л.А. Шеметкова об описании наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, т. е. формаций с тем свойством, что любая группа , где и — -субнормальные -подгруппы, принадлежит .
Данная проблема сразу привлекла пристальное внимание специалистов по теории классов конечных групп. В работе [28] В.Н. Семенчуком в классе конечных разрешимых групп получено полное решение данной проблемы. Л.А. Шеметковым и В.Н. Семенчуком в работе [33] найдены серии произвольных наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций.
Известно, что формация всех сверхразрешимых групп не замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп, но замкнута относительно произведения нормальных сверхразрешимых подгрупп взаимно простых индексов. В связи с этим возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных (-субнормальных, -достижимых) -подгрупп, индексы которых взаимно просты.
Классифицировать наследственные насыщенные формации с тем свойством, что любая группа , где и — -субнормальные -подгруппы взаимно простых индексов, принадлежит .
В 1996 году В.Н. Тютянов в работе [38] доказал, что любая конечная группа вида , где и — -нильпотентные подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , является -нильпотентной группой.
Естественно возникает задача об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число.
В попытках решения этих и других классификационных проблем выявилась особая роль критических групп формации ( минимальных не -групп), т. е. групп, не принадлежащих некоторому классу групп , но все собственные подгруппы которых принадлежат . Еще в 1933 году С.А. Чунихин [40] поставил задачу изучения строения группы, в зависимости от свойств ее критических подгрупп. Развивая данную идею С.А. Чунихина, Л.А. Шеметков на восьмом (Сумы, 1982 г.) и девятом (Москва, 1984 г.) Всесоюзных симпозиумах по теории групп отметил особую роль критических групп при изучении не только отдельной группы, но и при описании классов групп.
Таким образом, задача классификации наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными свойствами, занимает важное место в современной теории классов групп. На реализацию этой актуальной задачи и направлено данное диссертационное исследование.
1. Некоторые базисные леммы
В теории конечных групп одним из основных понятий является понятие субнормальности подгрупп, введенное Виландтом в работе [73].
Напомним, что подгруппа называется субнормальной подгруппой группы , если существует цепь подгрупп
такая, что для любого подгруппа нормальна в .
Естественным обобщением понятия субнормальности является понятие -субнормальности, которое для произвольных конечных групп впервые введено Л.А. Шеметковым в монографии [44].
Пусть — непустая формация. Подгруппу группы называют -субнормальной, если либо , либо существует максимальная цепь
такая, что для всех .
Несколько другое понятие -субнормальности введено Кегелем в работе [69]. Фактически оно объединяет понятие субнормальности и -субнормальности в смысле Шеметкова.
Подгруппу называют -субнормальной в смысле Кегеля или -достижимой, если существует цепь подгрупп
такая, что для любого либо подгруппа нормальна в , либо .
Для любой непустой формации множество всех -достижимых подгрупп произвольной группы содержит множество всех субнормальных подгрупп группы и множество всех -субнормальных подгрупп группы . Если же — непустая нильпотентная формация, то множество всех -достижимых подгрупп в точности совпадает с множеством всех субнормальных подгрупп для любой группы .
В Коуровской тетради [10] Л.А. Шеметковым была поставлена проблема классификации сверхрадикальных формаций.
Напомним, что формация называется сверхрадикальной, если она удовлетворяет следующим требованиям:
1) — нормально наследственная формация;
2) любая группа , где и — -субнормальные -подгруппы из , принадлежит .
В.Н. Семенчуком в работе [28] в классе конечных разрешимых групп было получено полное решение данной проблемы.
В данной главе получено полное решение проблемы Шеметкова для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы
В данном разделе приводятся некоторые свойства критических групп (минимальных не -групп) и обобщенно субнормальных (-субнормальных и -достижимых) подгрупп, которые будут использоваться при доказательстве основных результатов диссертации.
Напомним, что критической группой формации ( минимальной не -группой) называется группа, не принадлежащая , все собственные подгруппы которой принадлежат . Множество всех таких групп обозначают . Через обозначают множество всех разрешимых групп, а через — множество всех групп, у которых -корадикал разрешим.
1.1 Лемма. Пусть — насыщенная формация, — наследственная насыщенная формация. Если и , где , то .
Доказательство. Пусть . По теореме 2.2.1, — -группа. Очевидно, что . По лемме 2.2.2, , где — -группа, — -группа и . Так как и , то . Следовательно, — -группа. Пусть — -главный фактор . Если — -группа, то -централен.
Пусть — -группа. По теореме 2.2.3, . Пусть и — произвольная -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда . Так как , то, по теореме 2.2.4, . Следовательно, . Поскольку
то . Учитывая, что , по теореме 2.2.5, имеем
где — максимальные внутренние локальные экраны, соответственно и . Если , то . Отсюда и из того, что
следует . А это значит, что -централен.
Пусть . Так как — насыщенная формация и , то . Следовательно, — -нормализатор группы . В силу того, что покрывает , то -централен. Следовательно, . По теореме 2.2.4, . Лемма доказана.
1.2 Лемма. Пусть — непустая наследственная формация. Если — -субнормальная подгруппа, то — субнормальная подгруппа.
Доказательство. Пусть — -субнормальная подгруппа группы . Если , то лемма очевидна. Пусть . Тогда содержится в максимальной -нормальной подгруппе группы . По индукции, — субнормальная подгруппа из . Так как и — наследственная формация, то . Следовательно, , значит, . Поскольку — нормальная подгруппа группы , то — субнормальная подгруппа . Лемма доказана.
1.3 Лемма. Пусть — наследственная насыщенная формация, — -субнормальная подгруппа группы такая, что . Тогда .
Доказательство. Пусть . Очевидно,
Так как , то по индукции . Следовательно,
Отсюда, согласно лемме 2.2.6,
Пусть . Тогда — цоколь группы . По лемме 3.1.2, — субнормальная подгруппа группы . По теореме 2.2.7, . Следовательно, — нормальная подгруппа группы . Тогда
По теореме 2.2.8, . Отсюда следует, что . Так как и — наследственная формация, то . Получаем , т. е. . Лемма доказана.
В следующих леммах приводятся основные свойства -субнормальных подгрупп.
1.4 Лемма. Пусть — непустая наследственная формация. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) если — подгруппа группы и , то — -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы ;
2) если — -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы , то — -субнормальная (-достижимая) подгруппа для любой подгруппы группы ;
3) если — -субнормальная (-достижимая) подгруппа и — -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы , то — -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы ;
4) если и — -субнормальные (-достижимые) подгруппы группы , то — -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы ;
5) если все композиционные факторы группы принадлежат формации , то каждая субнормальная подгруппа группы -субнормальна в ;
6) если — -субнормальная (-достижимая) подгруппа группы , то -субнормальна (-достижима) в для любых .
Доказательство. 1) Пусть — подгруппа группы и . Так как и — наследственная формация, то подгруппа является -субнормальной подгруппой группы . Отсюда, согласно определению -субнормальной подгруппы, существует максимальная цепь
такая, что для всех . Отсюда, с учетом леммы 2.2.6 получаем, что в группе существует максимальная цепь
такая, что для всех .
А это значит, что — -субнормальная подгруппа группы .
Пусть — подгруппа группы , содержащая , тогда — -субнормальная подгруппа группы . А так как любая -субнормальная подгруппа группы является -достижимой в , то — -достижимая подгруппа группы .
2) Пусть — -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп
такая, что для любого .
Пусть — некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп
Так как и формация наследственна, то из следует, что
Теперь, ввиду изоморфизма,
имеем . Значит, . Так как , то . Итак, . Отсюда, по определению, — -субнормальная подгруппа группы .
Пусть — -достижимая подгруппа группы . Тогда, по определению, существует цепь подгрупп
такая, что для любого либо подгруппа нормальна в , либо .
Пусть — некоторая подгруппа из . Рассмотрим цепь подгрупп:
Если подгруппа нормальна в , то подгруппа нормальна в . Пусть . Так как формация наследственна, то из следует, что
Теперь, ввиду изоморфизма,
имеем . Значит, . Так как , то . Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в , либо . Отсюда, по определению, — -достижимая подгруппа группы .
Утверждение 3) следует непосредственно из определения -субнормальной (-достижимой) подгруппы.
Утверждение 4) следует теперь из утверждений 2) и 3).
5) Пусть все композиционные факторы группы принадлежат формации , и пусть — субнормальная подгруппа группы . Тогда в группе существует цепь подгрупп
такая, что для любого подгруппа нормальна в .
Согласно условию, , отсюда следует, что . А это значит, что подгруппа -субнормальна в группе .
Утверждение 6) следует непосредственно из определения -субнормальной (-достижимой) подгруппы. Лемма доказана.
1.5 Лемма. Пусть — непустая формация, и — подгруппы группы , причем нормальна в . Тогда:
1) если -субнормальна (-достижима) в , то -субнормальна (-достижима) в и -субнормальна (-достижима) в ;
2) если , то -субнормальна (-достижима) в тогда и только тогда, когда -субнормальна (-достижима) в .
Доказательство. Пусть — -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, существует максимальная цепь подгрупп
такая, что для любого .
Рассмотрим следующую цепь подгрупп
Так как , то ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что
Итак, для каждого . Отсюда, по определению, — -субнормальная подгруппа группы .
Ввиду леммы 2.2.6,
Поэтому для любого . Значит, — -субнормальная подгруппа группы .
Пусть — -достижимая подгруппа группы . Тогда, по опрeделению, существует цепь подгрупп
такая, что для любого либо нормальна в , либо . Рассмотрим следующую цепь подгрупп
Если подгруппа нормальна в , то подгруппа нормальна в . Пусть . Тогда ввиду леммы 2.2.6, . Отсюда следует, что . Итак, для каждого либо подгруппа нормальна в , либо . Отсюда, по определению, — -достижимая подгруппа группы .
Ввиду леммы 2.2.6, . Поэтому для любого либо подгруппа нормальна в , либо . Значит, — -достижимая подгруппа группы .
Утверждение 2) следует из 1) и леммы 2.2.6. Лемма доказана.
2 Критерий принадлежности факторизуемой группы классическим классам конечных групп
В работе [3] А.Ф. Васильевым была предложена задача об описании наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и , у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в . В этой же работе было получено описание таких формаций в классе конечных разрешимых групп. Развитию данного направления были посвящены работы [4, 16].
В данном разделе найдены серии наследственных насыщенных формаций, не входящих в класс конечных разрешимых групп, обладающих отмеченным выше свойством.
В теории классов групп важную роль играет класс всех -групп ( — некоторое множество простых чисел), который обозначается через . Большинство важнейших классов групп можно построить из классов вида с помощью операций пересечения и произведения классов.
Напомним, что произведением классов групп и называется класс групп , который состоит из всех групп , таких, что в найдется нормальная -подгруппа с условием .
Пусть — множество всех натуральных чисел. Обозначим через некоторое подмножество из . Пусть , — некоторые множества простых чисел, а , — классы всех -групп и -групп соответственно. В дальнейшем рассматриваем формации вида:
Напомним, что группа называется -замкнутой ( -нильпотентной), если ее силовская -подгруппа (силовское -дополнение) нормальна в . Группа называется -разложимой, если она одновременно -замкнута и -нильпотентна.
Через обозначим дополнение к во множестве всех простых чисел, если , то вместо будем просто писать . Тогда — класс всех -нильпотентных групп, — класс всех -замкнутых групп, — класс всех -разложимых групп, — класс всех нильпотентных групп, где пробегает все простые числа.
Группа называется -нильпотентной ( -разложимой), если она -нильпотентна (-разложима) для любого простого числа из . Классы всех -нильпотентных (-разложимых) групп можно записать в виде
Группа называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холлову подгруппу. Тогда — класс всех -замкнутых групп.
2.1 Лемма. Пусть — наследственная формация. Если — -субнормальная -подгруппа группы , то композиционные факторы группы содержатся среди композиционных факторов групп из .
Доказательство. Если , то лемма верна. Пусть . Тогда содержится в -нормальной максимальной подгруппе группы . По индукции, . Так как , то . Отсюда, и из , получаем . Лемма доказана.
2.2 Лемма. Пусть — наследственная формация, — класс всех групп. Тогда формация совпадает с формацией .
Доказательство леммы осуществляется непосредственной проверкой.
2.3 Теорема [10-A, 13-A]. Пусть — наследственная формация. Тогда всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .
Доказательство. Пусть — формация указанного вида и — такая группа, что , где и любая силовская подгруппа из и -субнормальна в . Индукцией по порядку докажем, что . Рассмотрим сначала случай, когда — класс всех групп.
Пусть — минимальная нормальная подгруппа из . Ясно, что любая силовская подгруппа из и имеет вид , , где и — силовские подгруппы из и соответственно. Согласно лемме 3.1.5, и — -субнормальные подгруппы фактор-группы . По индукции, . Так как — формация, то отсюда следует, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу . Очевидно, что . Так как — насыщенная формация, то нетрудно показать, что .
Пусть — силовская подгруппа из . Покажем, что .
Пусть — абелева группа. Так как — -субнормальная подгруппа группы , то, согласно теореме 2.2.8, .
Пусть — неабелева группа. В этом случае есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .
Рассмотрим подгруппу . Согласно лемме 3.1.5, — -субнормальная подгруппа группы . Пусть . Так как и — собственная -субнормальная подгруппа группы , то равенство невозможно. Итак, .
Так как и — насыщенная формация, то . Отсюда следует, что
А это значит, что . Если , то . Последнее равенство невозможно, так как согласно лемме 3.1.4 — собственная -субнормальная подгруппа .
Итак, — собственная подгруппа . Если , то
Так как и — наследственная формация, то . Но тогда нетрудно заметить, что .
Так как , то согласно лемме 3.1.4, — -субнормальная подгруппа. Так как и — наследственная формация, то любая силовская подгруппа -субнормальна в . Согласно лемме 3.1.4, — -субнормальная подгруппа группы . По индукции, . Отсюда следует, что для любой .
Аналогичным образом доказывается, что для любой , где — любая силовская подгруппа из . Из того, что , следует .
Рассмотрим два случая: и .
Пусть . Покажем, что .
Если — абелева, то — примарная -группа, где . Отсюда следует, что .
Если — неабелева, то есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп.
Так как — нормальная подгруппа из , то
Так как , то очевидно, что . Так как , то для любой . Следовательно, .
Пусть теперь . Если — неабелева, то . Тогда . Отсюда следует, что . А это значит, что . Отсюда следует, что , где — любое простое число из .
Рассмотрим подгруппу , где — любая силовская подгруппа из .
Если , то, как и выше, получаем, что .
Если , то, как и выше, получаем, что . Отсюда следует, что , где — любое простое число из . Согласно лемме 2.2.9, любая силовская подгруппа группы есть , где — силовские подгруппы из и соответственно. Отсюда следует, что любое простое число из принадлежит . Следовательно, . А это значит, что .
Пусть — абелева группа, то . Но тогда .
Ввиду , получаем, что для любой . А это значит, что .
Пусть теперь — произвольная наследственная формация и . По лемме 3.2.1, композиционные факторы группы содержатся среди композиционных факторов групп из . Это значит, что принадлежит .
Пусть . Так как , то ввиду леммы 3.2.2, силовские подгруппы из и -субнормальны в . По доказанному, . Так как , то, по лемме 3.2.2, . Теорема доказана.
2.4 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Пусть — наследственная формация. Тогда всякая формация вида является сверхрадикальной.
Доказательство. Пусть , где и — -субнормальные -подгруппы группы . Так как — наследственная формация, то согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из (из ) -субнормальна в (соответственно в ). Отсюда, согласно лемме 3.1.4, любая силовская подгруппа из и из -субнормальна в . Теперь требуемый результат следует из теоремы 3.2.3.
2.5 Следствие (В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков [33]). Формация вида является сверхрадикальной.
2.6 Следствие. Пусть — формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу , где и — -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .
2.7 Следствие. Пусть — формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , где и — -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .
2.8 Следствие. Пусть — формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , где и — -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие .
2.9 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть . Тогда формация содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .
2.10 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть — формация всех -нильпо- тентных групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .
2.11 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть — формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .
2.12 Следствие [10-A, 13-A]. Пусть — формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в .
2.13 Лемма. Пусть — непустая наследственная формация. Пусть все композиционные факторы группы принадлежат . Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) — -субнормальная подгруппа группы ;
2) — -достижимая подгруппа группы .
Доказательство. Пусть — -субнормальная подгруппа группы . Тогда, по определению, — -достижимая подгруппа группы .
Пусть — -достижимая подгруппа группы . Тогда существует цепь
в которой для любого либо нормальна в , либо .
Пусть . Уплотним участок от до цепи до максимальной -цепи.
Ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, все подгруппы , содержащие , -субнормальны в . Пусть теперь нормальна в . Можно считать, что — максимальная нормальная подгруппа (в противном случае уплотняем участок от до до композиционной -цепи). Ввиду условия леммы , т. е. . Пришли к рассматриваемому выше случаю. Теперь, ввиду утверждения 1) леммы 3.1.4, подгруппа -субнормальна в . Лемма доказана.
2.14 Лемма. Пусть — наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) любая группа , где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -субнормальны в , принадлежит ;
2) любая группа , где и любые силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в , принадлежит .
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Доказательство проведем индукцией по порядку группы .
Пусть — минимальная нормальная подгруппа группы . Очевидно, что . Пусть — произвольная -силовская подгруппа из . Ясно, что — -силовская подгруппа из . По лемме 3.1.5, — -достижимая подгруппа группы . Аналогичным образом доказыватся, что любая силовская подгруппа из -достижима в . Так как , то по индукции, . Предположим, что и — две различные минимальные нормальные подгруппы группы . Выше показано, что , . Так как — формация, то . Итак, имеет единственную минимальную нормальную подгруппу .
Покажем, что . Предположим противное. Тогда, как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Так как — наследственная формация, то . Итак, .
Рассмотрим следующие два случая.
1) Пусть — абелева, тогда — примарная группа. Так как — насыщенная формация и , то . Как и выше, с учетом индукции можно показать, что . Теперь, с учетом леммы 3.2.13 и условия следует, что .
2) Пусть — неабелева группа. В этом случае
есть прямое произведение изоморфных неабелевых простых групп и .
Рассмотрим подгруппу . Согласно лемме 3.1.5, — -субнормальная подгруппа группы . Пусть . Так как и — собственная -субнормальная подгруппа группы , то равенство невозможно. Итак, .
Так как и — насыщенная формация, то . Отсюда следует, что
А это значит, что . Если , то . Последнее равенство невозможно, так как , согласно лемме 3.1.4, собственная -субнормальная подгруппа .
Итак, — собственная подгруппа . Если , то
Так как и — наследственная формация, то . Но тогда нетрудно заметить, что .
Согласно индукции, группа принадлежит формации . Согласно лемме 3.2.13, любая -достижимая подгруппа является -субнормальной подгруппой. Согласно условию получаем, что группа принадлежит .
Непосредственно из определения -субнормальности и -достижимости из 2) следует 1). Лемма доказана.
Непосредственно из данной леммы и теоремы 3.2.3 следует следующая теорема.
2.15 Теорема. Пусть — наследственная формация. Тогда всякая формация , представимая в виде , содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .
2.16 Следствие. Пусть . Тогда формация содержит любую группу , у которой и силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .
2.17 Следствие. Пусть — формация всех -нильпотентных групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .
2.18 Следствие. Пусть — формация всех -замкнутых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .
2.19 Следствие. Пусть — формация всех -разложимых групп. Тогда содержит любую группу , у которой силовские подгруппы из подгрупп и -достижимы в .
3. Сверхрадикальные формации
В теории формаций конечных групп одной из известных проблем является проблема Шеметкова об описании сверхрадикальных формаций.
В.Н. Семенчуком в работе [28] получено полное решение проблемы Л.А. Шеметкова в классе конечных разрешимых групп. Оказалось, что все такие формации имеют следующее строение: , где — некоторые множества простых чисел, а — множество всех разрешимых -групп.
В данном разделе приводится описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы.
Приведем примеры сверхрадикальных формаций.
3.1 Пример. Формация всех -групп , где — некоторое множество простых чисел является сверхрадикальной формацией.
Действительно. Пусть , где и — -группы, и — -субнормальные подгруппы группы . Так как формация замкнута относительно расширений, то, очевидно, что — -группа.
3.2 Пример. Формации , — сверхрадикальные формации.
Действительно, если — -субнормальная подгруппа группы , то — субнормальная подгруппа из . Очевидно, что любая группа , где и — нильпотентные субнормальные подгруппы из , нильпотентна.
Если — разрешимая -субнормальная подгруппа из , то разрешима. Следовательно, — сверхрадикальная формация.
Аналогичным образом доказывается, что любая нормально наследственная, замкнутая относительно расширений, формация является сверхрадикальной.
Следующая лемма устанавливает связь между сверхрадикальными формациями и формациями Фиттинга.
Напомним, что формациями Фиттинга называются формации, которые замкнуты относительно взятия субнормальных подгрупп и произведения нормальных -подгрупп.
3.3 Лемма. Пусть — наследственная сверхрадикальная формация, тогда — формация Фиттинга.
Доказательство. Пусть , где и — нормальные -подгруппы группы . Так как
то . Аналогичным образом, . Согласно лемме 3.1.4, и — -субнормальные подгруппы группы . Так как — сверхрадикальная формация, то . Итак, — формация Фиттинга. Лемма доказана.
3.4 Лемма. Пусть — непустая наследственная формация. Если содержит любую группу , где для любого из силовские -подгруппы и принадлежат и -субнормальные подгруппы в , то — сверхрадикальная формация.
Доказательство. Пусть — непустая наследственная формация, удовлетворяющая условию леммы. Покажем, что — сверхрадикальная формация. Пусть , где и — -субнормальные -подгруппы группы . Пусть — произвольное простое число из , а и — силовские -подгруппы из и соответственно. Так как и принадлежат и — наследственная формация, то и принадлежат и, и -субнормальны в и соответственно. Так как и — -субнормальные подгруппы группы , то согласно лемме 3.1.4, и -субнормальны в группе . Согласно условию леммы, принадлежит . А это значит, что — сверхрадикальная формация. Лемма доказана.
3.5 Лемма. Пусть — наследственная насыщенная разрешимая формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) — сверхрадикальная формация;
2) — содержит любую группу , где и для любого простого числа из силовские -подгруппы и -субнормальны в .
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть — сверхрадикальная формация и пусть , где и для любого простого числа из и — -субнормальные подгруппы группы . Так как — насыщенная формация и , то и принадлежат . Так как — разрешимая формация и — -субнормальная подгруппа группы , то отсюда нетрудно показать, что — разрешимая группа. А это значит, что и разрешимы.
Согласно теореме Ф. Холла [63], , где . Так как — сверхрадикальная формация, то принадлежит . Так как и — -субнормальные подгруппы группы , то согласно теореме 2.2.10, — -субнормальная подгруппа группы . Так как принадлежит и — сверхрадикальная формация, то подгруппа принадлежит . Продолжая в аналогичном порядке получаем, что принадлежит . Аналогичным образом можем доказать, что принадлежит . Так как — сверхрадикальная формация, то .
Тот факт, что из 2) следует 1) вытекает из леммы 3.3.4. Лемма доказана.
В следующей теореме получено решение проблемы Шеметкова о классификации сверхрадикальных формаций для наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы.
3.6 Теорема [20-A]. Пусть — наследственная насыщенная формация такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) — сверхрадикальная формация;
2) , где — некоторые множества простых чисел.
Доказательство. Пусть — сверхрадикальная формация. Вначале докажем, что любая минимальная не -группа является либо группой простого порядка, либо группой Шмидта.
Пусть — произвольная минимальная не -группа. Согласно условию теоремы, разрешима. Если , то нетрудно заметить, что — группа простого порядка , где .
Рассмотрим случай, когда . Согласно теореме 2.2.5, , где — единственная минимальная нормальная подгруппа из , — -группа, , — максимальный внутренний локальный экран формации . Очевидно, что .
Покажем, что является примарной циклической подгруппой. Предположим противное. Поскольку — разрешимая группа, то в существуют максимальные подгруппы и такие, что . Так как , то очевидно, что и — -нормальные максимальные -подгруппы группы . Но тогда . Так как — сверхрадикальная формация, то . Противоречие. Итак, имеет единственный класс максимальных сопряженных подгрупп. Следовательно, — циклическая -подгруппа. Поскольку — насыщенная формация и , имеем .
Покажем, что . Предположим противное. Пусть , где . Пусть и — циклические группы соответственно порядков и . Обозначим через регулярное сплетение . Пусть — база сплетения, т. е. . Так как некоторая подгруппа группы изоморфна , то . Очевидно, подгруппы , принадлежат формации .
Пусть , где . Обозначим через базу сплетения . Тогда .
Так как , то , значит, что подгруппы и -субнормальны в . Легко видеть, что , .
Так как — сверхрадикальная формация, то . Но , и поэтому .
Полученное противоречие показывает, что . Итак, — группа Шмидта. Теперь из леммы 3.1.1 следует, что — группа Шмидта.
Пусть — максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что формация имеет полный локальный экран такой, что , для любого из . Действительно, пусть — такая формация, у которой есть локальный экран . Покажем, что .
С учетом того, что для любого простого из , получим .
Покажем обратное включение. Пусть — группа наименьшего порядка из . Так как — наследственная формация, то формация также является наследственной, значит, . Так как — насыщенная формация, то нетрудно показать, что .
Выше показано, что — либо группа простого порядка, либо группа Шмидта. Пусть — группа простого порядка и . Нетрудно показать, что . Так как , имеем . Отсюда следует, что . Противоречие.
Пусть теперь — группа Шмидта. Поскольку , то из свойств группы Шмидта следует , где и . Так как , то . Из того, что , следует . Так как и — наследственная формация, то . Теперь из того, что , где — единственная минимальная нормальная подгруппа группы и , следует что . Получили противоречие. Итак, , значит, .
Так как — локальный экран формации , имеем
следовательно, — формация из 2).
Пусть . Тогда из следствия 3.2.5 следует, что — сверхрадикальная формация. Теорема доказана.
Покажем, что в теореме 3.3.6 условие наследственной насыщенной формации можно отбросить, в случае, когда — разрешимая формация.
3.7 Лемма. Пусть — разрешимая нормально наследственная формация. Если и , то .
Доказательство. Пусть и . Если , то утверждение леммы очевидно. Пусть . Пусть — нормальная максимальная подгруппа группы . Если , то .
Пусть . Ясно, что . Так как и — нормально наследственная формация, то . Индукцией по порядку группы получаем, что . Лемма доказана.
Если — произвольный класс групп, то через обозначим наибольший по включению наследственный подкласс класса . Более точно
3.8 Лемма. Всякая разрешимая сверхрадикальная формация является наследственной формацией.
Доказательство. Пусть — разрешимая сверхрадикальная формация. Как и в теореме 3.3.6 нетрудно показать, что любая разрешимая минимальная не -группа является группой Шмидта, либо группой простого порядка.
Покажем, что , где — максимальная наследственная подформация из . Допустим, что множество непусто и выберем в нем группу наименьшего порядка. В силу леммы 2.2.11, формация является насыщенной. Поэтому . Очевидно, что группа имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Так как , то в найдется минимальная не -группа . Из нормальной наследственности формации следует, что . Ясно, что является также минимальной не -группой.
По условию, — группа Шмидта. В этом случае , где — нормальная силовская -подгруппа, а — циклическая -подгруппа группы , и — различные простые числа.
Если , то
Получили противоречие с выбором . Остается принять, что . Отсюда и из получаем, что , а значит, — -группа. Рассмотрим . Тогда группу можно представить в виде
где — элементарная абелева -группа, а . Так как не входит в , то по лемме 2.2.12 , где — максимальный внутренний локальный экран формации . Так как и , то является -группой. Отсюда следует, что . Из нормальной наследственности формации , по теореме 2.2.13, следует, что является нормально наследственной формацией. Тогда, по лемме 3.3.7, . Получили противоречие. Таким образом, . Лемма доказана.
Напомним, что формация называется формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.
3.9 Теорема [16-A]. Пусть — наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) — формация Шеметкова;
2) формация содержит любую группу , где и — -достижимые -подгруппы из и ;
3) — сверхрадикальная формация и ;
4) формация такая, что для любой группы и для любых ее перестановочных -субнормальных подгрупп и подгруппа -субнормальна в и ;
5) формация такая, что для любой группы и для любых ее перестановочных -достижимых подгрупп и подгруппа -достижима в и ;
6) , где — некоторые множества простых чисел и .
Доказательство следует из теорем 2.2.14, 2.2.15 и теоремы 3.3.6.
3.10 Теорема [3-A, 5-A]. Пусть — наследственная насыщенная формация такая, что . Тогда следующие утверждения эквивалентны:
1) формация содержит любую группу , где и — -субнормальны в G и ;
2) , где — некоторые множества простых чисел.
Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).
Пусть — формация, удовлетворяющая утверждению 1). Покажем, что она является сверхрадикальной формацией. Пусть — любая группа такая, что , где и — -субнормальные подгруппы группы , принадлежащие . Пусть и произвольные -силовские подгруппы из и соответственно. Так как , и — наследственная формация, то и -субнормальны соответственно в и . Так как и -субнормальны в , то по лемме 3.1.4, и -субнормальны в группе . Отсюда следует, что . Следовательно, — сверхрадикальная формация.
Теперь, согласно теореме 3.3.6, получаем, что .
Обратное утверждение следует из следствия 3.2.16. Теорема доказана.
Из леммы 3.3.5 следует, что в классе конечных разрешимых групп класс всех наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций совпадает с классом всех наследственных насыщенных формаций, замкнутых относительно произведения подгрупп и , силовские подгруппы которых обобщенно субнормальны в .
Как следует из теоремы 3.3.10, аналогичное утверждение верно для всех наследственных насыщенных формаций, критические группы которых разрешимы. Однако для произвольной наследственной насыщенной формации данный вопрос остается открытым.
Заключение
В главе 1 приведены некоторые свойства критических групп и обобщенно субнормальных подгрупп, необходимые для доказательства основных результатов глав2 и 3.
В главе 2 найдены серии наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения подгрупп и , у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в , теорема 2.3 [10-A,13-A].
В главе 3 получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы, теорема 3.6 [20-A].
Основные научные результаты работы
В данной работе проведено изучение строения наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения -подгрупп, обладающих заданными свойствами.
1. Найдены серии произвольных наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения подгрупп и , у которых любая силовская подгруппа -субнормальна в [10-A, 13-A].
2. Получено описание наследственных насыщенных сверхрадикальных формаций, критические группы которых разрешимы [20-A].
3. В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп взаимно простых индексов [18-A].
4. Доказано, что любая разрешимая 2-кратно насыщенная формация , замкнутая относительно произведения обобщенно субнормальных -подгрупп, индексы которых взаимно просты является сверхрадикальной [18-A].
5. Получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова [14-A, 21-A].
6. Получено описание наследственных насыщенных -формаций Шеметкова [14-A, 21-A].
7. В классе конечных разрешимых групп получено описание наследственных формаций Фиттинга , замкнутых относительно произведения -подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое фиксированное простое число [14-A, 21-A].
Полученные результаты могут найти приложение в вопросах классификации классов конечных групп, в дальнейшем развитии теории обобщенно субнормальных подгрупп, а также при изучении строения непростых конечных групп по заданным свойствам её обобщенно субнормальных и критических подгрупп.
Решенные в диссертации задачи позволяют подойти к ещё нерешенным проблемам: задаче об описании наследственных сверхрадикальных формаций; задаче об описании наследственных насыщенных формаций , замкнутых относительно произведений обобщенно субнормальных -подгрупп, индексы которых взаимно просты.
Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей в высших учебных заведениях, написании курсовых, дипломных проектов и диссертаций.
Список использованных источников
1. Васильев, А.Ф. О максимальной наследственной подформации локальной формации / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во народного обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1990. — Вып. 5. — С. 39--45.
2. Васильев, А.Ф. О решетках подгрупп конечных групп / А.Ф. Васильев, С.Ф. Каморников, В.Н. Семенчук // Бесконечные группы и примыкающие алгебраические системы / Ин-т математики Акад. Украины; редкол.: Н.С. Черников [и др.]. — Киев, 1993. — С. 27--54.
3. Васильев, А.Ф. О влиянии примарных -субнормальных подгрупп на строение группы / А.Ф. Васильев // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во обр. и науки Республики Беларусь, Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Гомель, 1995. — Вып. 8. — С. 31--39.
4. Васильева, Т.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / Т.И. Васильева, А.И. Прокопенко. — Гомель, 2006. — 18 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 4).
5. Ведерников, В.А. О локальных формациях конечных групп / В.А. Ведерников // Матем. заметки. — 1989. — Т. 46, № 3. — С. 32--37.
6. Казарин, Л.С. Признаки непростоты факторизуемых групп / Л.С. Казарин // Известия АН СССР. — 1980. — Т. 44, № 2. — С. 288--308.
7. Казарин, Л.С. О произведении конечных групп / Л.С. Казарин // ДАН СССР. — 1983. — Т. 269, № 3. — С. 528--531.
8. Каморников, С.Ф. О некоторых свойствах формаций квазинильпотентных групп / С.Ф. Каморников // Матем. заметки. — 1993. — Т. 53, № 2. — С. 71--77.
9. Каморников, С.Ф. О двух проблемах Л.А. Шеметкова / С.Ф. Каморников // Сибир. мат. журнал. — 1994. — Т. 35, № 4. — С. 801--812.
10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО АН СССР. — Новосибирск, 1992. — 172 с.
11. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп) // Институт математики СО РАН. — Новосибирск, 1999. — 146 с.
12. Легчекова, Е.В. Конечные группы с заданными слабо квазинормальными подгруппами / Е.В. Легчекова, А.Н. Скиба, О.В. Титов // Доклады НАН Беларуси. — 2007. — Т. 51, № 1. — С. 27--33.
13. Монахов, В.С. Произведение конечных групп, близких к нильпотентным / В.С. Монахов // Конечные группы. — 1975. — С. 70--100.
14. Монахов, В.С. О произведении двух разрешимых групп с максимальным пересечением факторов / В.С. Монахов // Вопросы алгебры: межведомств. сб. / Мин-во высш. и ср. спец. обр. БССР, Гомельский гос. ун-т; редкол.: Л.А. Шеметков [и др.]. — Минск: Университетское, 1985. — Вып. 1. — С. 54--57.
15. Мокеева, С.А. Конечные группы с перестановочными -субнормальными (-достижимыми) подгруппами / С.А. Мокеева. — Гомель, 2003. — 25 с. — (Препринт / Гомельский гос. ун-т им. Ф. Скорины; № 56).
16. Прокопенко, А.И. О конечных группах с -достижимыми силовскими подгруппами / А.И. Прокопенко // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 2004. — № 6 (27). — С. 101--103.
17. Семенчук, В.Н. О минимальных не -группах / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. — 1978. — № 7. — С. 596--599.
18. Семенчук, В.Н. Конечные группы с заданными свойствами подгрупп / В.Н. Семенчук // ДАН БССР. — 1979. — № 1. — С. 11--15.
19. Семенчук, В.Н. Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук // Алгебра и логика. — 1979. — Т. 18, № 3. — С. 348--382.
20. Семенчук, В.Н. Конечные группы с системой минимальных не -подгрупп / В.Н. Семенчук // Подгрупповое строение конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1981. — С. 138--149.
21. Семенчук, В.Н. Минимальные не -группы / В.Н. Семенчук // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. — С. 170--175.
22. Семенчук, В.Н. Характеризация локальных формаций по заданным свойствам минимальных не -групп / В.Н. Семенчук, А.Ф. Васильев // Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп: Тр. / Ин-т математики АН БССР. — Минск: Наука и техника, 1984. — С. 175--181.
23. Семенчук, В.Н. Описание разрешимых минимальных не -групп для произвольной тотально локальной формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1988. — Т. 43, № 4. — С. 251--260.
24. Семенчук, В.Н. О разрешимых минимальных не -группах / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — Минск: Университетское, 1987. — Вып. 3. — С. 16--21.
25. Семенчук, В.Н. Роль минимальных не -групп в теории формаций / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1991. — Т. 98, № 1. — С. 110--115.
26. Семенчук, В.Н. Конечные группы с -абнормальными или -субнормальными подгруппами / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1994. — Т. 56, № 6. — С. 111--115.
27. Семенчук, В.Н. Разрешимые тотально локальные формации / В.Н. Семенчук // Сибир. мат. журн. — 1995. — Т. 36, № 4. — С. 861--872.
28. Семенчук, В.Н. Разрешимые -радикальные формации / В.Н. Семенчук // Матем. заметки. — 1996. — Т. 59, № 2. — С. 261--266.
29. Семенчук, В.Н. Об одной проблеме в теории формаций / В.Н. Семенчук // Весцi АН Беларусi. — 1996. — № 3. — С. 25--29.
30. Семенчук, В.Н. О разрешимых тотально локальных формациях / В.Н. Семенчук // Вопросы алгебры. — 1997. — № 11. — С. 109--115.
31. Семенчук, В.Н., Поляков Л.Я. Характеризация минимальных не -групп / В.Н. Семенчук // Известия высших учебных заведений. — 1998. — № 4 (431). — С. 1--4.
32. Семенчук, В.Н. Классификация локальных наследственных формаций критические группы которых бипримарны / В.Н. Семенчук // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 1999. — № 1 (15). — С. 153--162.
33. Семенчук, В.Н. Сверхрадикальные формации / В.Н. Семенчук, Л.А. Шеметков // Доклады НАН Беларуси. — 2000. — Т. 44, № 5. — С. 24--26.
34. Семенчук, В.Н. Конечные группы, факторизуемые -достижимыми подгруппами / В.Н. Семенчук, С.А. Мокеева // Известия Гомельского гос. ун-та им. Ф. Скорины. — 2002. — № 5 (14). — С. 47--49.
35. Скиба, А.Н. Об одном классе локальных формаций конечных групп / А.Н. Скиба // ДАН БССР. — 1990. — Т. 34, № 11. — С. 382--385.
36. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А.Н. Скиба. — Минск: Беларуская навука, 1997. — 240 с.
37. Старостин, А.И. О минимальных группах, не обладающих данным свойством / А.И. Старостин // Матем. заметки. — 1968. — Т. 3, № 1. — С. 33--37.
38. Тютянов, В.Н. Факторизации -нильпотентными сомножителями / В.Н. Тютянов // Матем. сб. — 1996. — Т. 187, № 9. — С. 97--102.
39. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1929. — Т. 36, № 2. — С. 135--137.
40. Чунихин, С.А. О специальных группах / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1933. — Т. 40, № 1. — С. 39--41.
41. Чунихин, С.А. О группах с наперед заданными подгруппами / С.А. Чунихин // Матем. сб. — 1938. — Т. 4 (46), № 3. — С. 521--530.
42. Чунихин, С.А. О существовании подгрупп у конечной группы / С.А. Чунихин // Труды семинара по теории групп. — ГОНТИ, М.--Л. — 1938. — С. 106--125.
43. Чунихин, С.А. Подгруппы конечных групп / С.А. Чунихин. — Минск: Наука и техника, 1964. — 158 с.
44. Шеметков, Л.А. Формации конечных групп / Л.А. Шеметков. — М.: Наука, 1978. — 272 с.
45. Шеметков, Л.А. Экраны произведения формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1981. — Т. 25, № 8. — С. 677--680.
46. Шеметков, Л.А. О произведении формаций / Л.А. Шеметков // ДАН БССР. — 1984. — Т. 28, № 2. — С. 101--103.
47. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л.А. Шеметков, А.Н. Скиба. — М.: Наука, 1989. — 256 с.
48. Шмидт, О.Ю. Группы, все подгруппы которых специальные / О.Ю. Шмидт // Матем. сб. — 1924. — Т. 31, № 3. — С. 366--372.
49. Ballester-Bolinches, A. On the lattice of -subnormal subgroups / A. Ballester-Bolinches, К. Doerk, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1992. — Vol. 148, № 2. — P. 42--52.
50. Ballester-Bolinches, A. On -critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1995. — Vol. 174. — P. 948--958.
51. Ballester-Bolinches, A. Two questions of L.A. Shemetkov on critical groups / A. Ballester-Bolinches, M.D. Perez-Ramos // J. Algebra. — 1996. — Vol. 179. — P. 905--917.
52. Ballester-Bolinches, A. Classes of Finite Groups / A. Ballester-Bolinches, L.M. Ezquerro. — Springer, 2006. — 385 p.
53. Bryce, R.A. Fitting formations of finite soluble groups / R.A. Bryce, J. Cossey // Math. Z. — 1972. — Bd. 127, № 3. — S. 217--233.
54. Carter, R.O. The -normalizers of a finite soluble group / R. Carter, T. Hawkes // J. Algebra. — 1967. — Vol. 5, № 2. — Р. 175--202.
55. Carter, R. Extreme classes of a finite soluble groups / R. Carter, B. Fisсher, T. Hawkes // J. Algebra. — 1968. — Vol. 9, № 3. — P. 285--313.
56. Doerk, K. Minimal nicht Uberauflosbare, endliche Gruppen / K. Doerk // Math. Z. — 1966. — Vol. 91. — P. 198--205.
57. Doerk, K. Finite soluble groups / K. Doerk, T. Hаwkes. — Berlin — New York: Walter de Gruyter, 1992. — 891 p.
58. Fisman, E. On product of two finite solvable groups / E. Fisman // J. Algebra. — 1983. — Vol. 80, № 2. — P. 517--536.
59. Gaschutz, W. Zur Theorie der endlichen auflosbaren Gruppen // Math. Z. — 1963. — Vol. 80, № 4. — P. 300--305.
60. Guo, W. The Theory of Classes of Groups / W. Guo. — Dordrecht — Boston — London: Kluwer Academic Publishers, 2000. — 257 p.
61. Guo, W. X-semipermutable subgroups of finite groups / W. Guo, K.P. Shum, A.N. Skiba // J. Algebra. — 2007. — Vol. 315. — P. 31--41.
62. Hall, P. A note on soluble groups / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1928. — Vol. 3. — P. 98--105.
63. Hall, P. On the Sylow systems of a soluble group / P. Hall // Proc. London Math. Soc. — 1937. — Vol. 43. — P. 316--323.
64. Hawkes, T. On Fitting formations / T. Hawkes // Math. Z. — 1970. — Vol. 117. — P. 177--182.
65. Huppert, B. Normalteiler und maximal Untergruppen endlichen Gruppen / B. Huppert // Math. Z. — 1954. — Vol. 60. — P. 409--434.
66. Ito, N. Note on (LN)-groups of finite order / N. Ito // Kodai Math. Seminar Report. — 1951. — Vol. 1--2. — P. 1--6.
67. Kazarin, L.S. Product of two solvable subgroups / L.S. Kazarin // Comm. Algebra. — 1986. — Vol. 14, № 6. — P. 1001--1066.
68. Kegel, O.H. Produkte nilpotenter Gruppen // Arch. Math. — 1961. — Vol. 12, № 2. — P. 90--93.
69. Kegel, O.H. Untergruppenverbande endlicher Gruppen, die Subnormalteilerverband echt enthalten / O.H. Kegel // Arch. Math. — 1978. — Bd. 30, № 3. — S. 225--228.
70. Miller, G.A. Nonabelian groups in which every subgroup is abelian / G.A. Miller, H.C. Moreno // Trans. Amer. Math. Soc. — 1903. — Vol. 4. — P. 398--404.
71. Semenchuk, V.N. Finite groups with permutable -subnormal and -accessible subgroups / V.N. Semenchuk, S.A. Mokeeva // 4th International Algebraic Conference in Ukraine. Abstracts, August 4--9. — 2003. — P. 153--154.
72. Thompson, J.G. Nonsolvable finite groups all of whose local subgroups are solvable / J.G. Thompson // Bull. Amer. Math. Soc. — 1968. — Vol. 74. — P. 383--437.
73. Wielandt, H. Eine Verallgemeinerung der invarianten Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. — 1939. — Bd. 45. — S. 209--244.
74. Wielandt, H. Uber den Normalisator der subnormalen Untergruppen // H. Wielandt // Math. Z. — 1958. — Bd. 69, № 8. — S. 463--465.
75. Wielandt, H. Uber das Produkt von nilpotenten Gruppen / H. Wielandt // Illinois Journ. — 1958. — Vol. 2, № 4B. — P. 611--618.